\magnification=\magstep1 \hsize=16truecm \input amstex \parindent=20pt \parskip=3pt plus 1pt \TagsOnRight \define\A{{\bold A}} \define\BB{{\bold B}} \define\DD{{\bold D}} \define\K{{\bold K}} \define\T{{\bold T}} \define\U{{\bold U}} \define\({\left(} \define\){\right)} \define\[{\left[} \define\]{\right]} \define\e{\varepsilon} \define\oo{\omega} \define\const{\text{\rm const.}\,} \beginsection Wiener folyamatok A k\"ovetkez\H o k\'et feladat azt mutatja, hogy az az esem\'eny, hogy egy sztochasztikus folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u-e vagy sem nem hat\'arozhat\'o meg a folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai seg\'\i{}ts\'eg\'evel, de ezen eloszl\'asok seg\'\i{}ts\'eg\'evel explicite eld\"onthet\H o, hogy alkalmas konstrukci\'oval megadhat\'o-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai, \'es amelyik egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos trajekt\'ori\'aj\'u. \item{1.)} Legyen $X(t)=X(t,\omega)$, $0\le t\le 1$, olyan sztochasztikus folyamat, melyre az $X(\cdot,\omega)$ trajekt\'oria folytonos f\"uggv\'eny majdnem minden $\omega$-ra. Legyen tov\'abb\'a ez a folyamat atommentes, azaz tetsz\H oleges folytonos $f(t)$, $0\le t\le1$, f\"uggv\'enyre $P(\{\omega\: X(t,\omega)=f(t)\})=0$. Ekkor l\'etezik olyan $\bar X(t,\omega)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus folyamat, melyre $P(\{\oo\:\bar X(t,\oo)=X(t,\oo)\})=1$ tetsz\H oleges $t\in[0,1]$-re, \'es az $\bar X(t,\oo)$ folyamat trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel sehol sem folytonosak. \item{2.)} Legyen $B$ a $[0,1]$ intervallum egy minden\"utt s\H ur\H u megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmaza, (p\'eld\'aul a a $[0,1]$ intervallumbeli racion\'alis sz\'amok halmaza.) Legyen $X(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a $[0,1]$ intervallumban, melynek v\'eges dimenzi\'os $$ F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)=P(X(t_1)\e)=0$ minden $\e>0$-ra. \itemitem{b.)} L\'assuk be, hogy akkor \'es csak akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ sztochasztikus folyamat a $[0,1]$ intervallumon, melyre $P(X(t)=\bar X(t))=1$ minden $t\in[0,1]$-re, \'es e folyamat $\bar X(t,\oo)$ trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonosak, ha az $X(t)$ folyamat teljes\'\i{}ti az a) r\'esz felt\'eteleit. Az $X(t)$ \'es $\bar X(t)$ folyamat v\'eges dimezi\'os eloszl\'asai megegyeznek. \item{3).} Legyen $X(t)=X(t,\oo)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat az $(\Omega, \Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H on. L\'assuk be, hogy $X(t,\oo)$ tekinthet\H o egy $C([0,1])$ \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak is. R\'eszletesebben megfogalmazva: Jel\H olje $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebr\'at $R^1$-en, \'es legyen $\Cal C$ a Borel $\sigma$-algebra a $C([0,1])$ t\'eren, azaz legyen $\Cal C$ a ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt legsz\H ukebb $\sigma$-algebra a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'en a szupr\'emum norma \'altal gener\'alt topol\'ogi\'aval. L\'assuk be, hogy ha a $\T_t\: (\Omega,\Cal A,P)\to(R^1,\Cal B)$, $\T_t(\oo)=X_t(\oo)$, lek\'epez\'es m\'erhet\H o minden $t\in[0,1]$-re, akkor a $\T\: (\Omega, \Cal A, P)\to (C([0,1]),\Cal C)$, $\T(\oo)= X(\cdot,\oo)$ lek\'epez\'es is m\'erhet\H o. \item{} Legyen $X(t)$, $0\le t\le1$, folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk ennek $\mu_X $eloszl\'as\'at a $C([0,1])$ t\'eren a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\mu_X(\K)=P(X(\cdot,\oo)\in \K)$ minden $\K\in\Cal C$-re. Mutassuk meg, hogy a $\mu_X$ m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$ sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai. \item{4.)} Egy Komogorovt\'ol sz\'armaz\'o eredm\'eny szerint, ha az $X(t)$, $0\le t\le 1$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat teljes\'\i{}ti az $E|X(t)-X(s)|^{2+\delta}\le C|t-s|^{1+\e}$ felt\'etelt minden $s,t\in[0,1]$-re valamely $\delta>0$, $\e>0$ \'es $C>0$ sz\'amokkal, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat a $[0,1]$ intervallumon, melyre $P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden $t\in[0,1]$-re. \'Altal\'anos\'\i{}tsuk ezt az eredm\'enyt arra az esetre, amikor az $X(t)$ sztochasztikus folyamat a $t\in[0,1]^k$ van \'ertelmezve. Ennek megfogalmaz\'as\'ahoz vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o jel\H ol\'eseket: Ha $\Delta=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_k,b_k]\subset [0,1]^k$ egy $k$-dimenzi\'os t\'eglatest, akkor $|\Delta|=\prod\limits_{j=1}^k(b_j-a_j)$, az $X(t)$ megv\'altoz\'asa a $\Delta$-n $X(\Delta)=\sum\limits\Sb t_j=a_j\text{ vagy }b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(t_1,\dots,t_k)} X(t_1,\dots,t_k)$, ahol $\chi(t_1,\dots,t_k)=\#\{j\: t_j=a_j,\;1\le j\le k\}$. Ha $E|X(\Delta)|^{2+\delta}\le C|\Delta|^{1+\e}$ valamely $\delta>0$, $\e>0$ \'es $C>0$-ra, akkor l\'etezik olyan $\bar X(t)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a $[0,1]^k$-n, melyre $P(\bar X(t)=X(t))=1$ minden $t\in [0,1]^k$-ra. \item{5.)} L\'assuk be, hogy a $W(t)$, $0\le t\le a$ sztochasztikus folyamat akkor \'es csak akkor Wiener folyamat a $[0,a]$ intervallumban, ha a $\dfrac1{\sqrt c}W(ct)$ sztochasztikus folyamat Wiener folyamat a $[0,a/c]$ intervallumban, alol $c>0$ tetsz\'oleges pozitiv sz\'am. A $W(t)$ sztochasztikus folyamat akkor \'es csak akkor Wiener folyamat a $[0,a]$ intervallumban, ha $\dfrac1t W\(\dfrac1t\)$ Wiener folyamat az $\[\dfrac1a,\infty\)$ intervallumban. L\'assuk be ennek a t\'enynek a seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy a Wiener folyamatra igaz iter\'alt logaritmus t\'etelb\H ol a v\'egtelen k\"ornyezet\'eben k\"ovetkezik az iter\'alt logaritmus t\'etel a nulla k\"ornyezet\'eben, azaz abb\'ol hogy $\limsup\limits_{t\to\infty}\dfrac{W(t)}{\sqrt{2t\log\log t}}=1$ 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, k\"ovetkezik, hogy $\limsup\limits_{t\to0}\dfrac{W(t)}{\sqrt{2t\log |\log t|}}=1$ 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel. \item{6.)} Legyen $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$, \dots teljes ortonorm\'alt rendszer a $[0,1]$ intervallumban (a Lebesgue m\'ert\'ekkel), $\xi_1$, $\xi_2$, \dots, f\"uggetlen standard norm\'alis va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, \'es defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $W(t)$ sztochasztikus folyamatot a $[0,1]$ intervallumban. $$ W(t)=\sum_{k=1}^\infty \xi_k\int_0^t \varphi(s)\,ds\;,\qquad 0\le t\le1\;. $$ L\'assuk be, hogy $W(t)$ Gauss folyamat, $EW(t)=0$, $0\le t\le1$, melynek a kovarianciaf\"uggv\'enye megegyezik a Wiener folyamat kovarianciaf\"uggv\'eny\'evel, azaz $EW(s)W(t)=\min (s,t)$, $0\le s,t\le1$. \item{7.)} L\'assuk be, hogy a $$ W(t)=\frac1\pi\(\xi_0+\sum_{k=1}^\infty \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k} \)\;,\qquad 0\le t\le1\;. $$ \"osszeg v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek a Wiener folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival, ha $\xi_n$, $n=0,1,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Hogyan lehet ezt a reprezent\'aci\'ot \'altal\'anos\'\i{}tani m\'as $Z(t)$, $EZ(t)=0$, $0\le t\le1$, Gauss folyamatra a $K(s,t)=EZ(s)Z(t)$, ($K(s,t)=K(t,s)$), kovarianciaf\"uggv\'eny alkalmas reprezent\'aci\'oja seg\'\i{}ts\'eg\'evel? \item{8.)} L\'assuk be, hogy az el\H oz\H o feladatban defini\'alt $W(t)$ sztochasztikus folyamat Wiener folyamat. Azaz, l\'assuk be, hogy az ott defini\'alt folyamatra a feladatban bizony\'\i{}tott tulajdons\'agokon k\'\i{}v\"ul az is igaz, hogy a trajekt\'ori\'ai 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonosak, az al\'abbi r\'eszfeladatok seg\'\i{}ts\'eg\'evel. \item{a.)} L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges $1/2>\e>0$-ra \'es minden el\'eg nagy $n$-re $$ \align P(\A_n)=P&\(\sup_{2^n\le p<2^{n+1}}\sup\Sb 0\le s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb \left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k} -\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi s}{2k}\right|>2^{- n\e/2}\)\\ &\qquad<\const 2^{-n(1+\e)} \endalign $$ \item{b.)} Alkalmas $n_0$ k\"usz\"obindex eset\'en tetsz\H oleges $n\ge n_0$, $2^n\le p<2^{n+1}$, $0\le t\le1$-re $$ P\(\left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k} \right|>2^{-n\e}\)<\exp\left\{\(- 2^{n(1-2\e)}\)/2\right\} $$ \item{c.)} Defini\'aljuk a $\BB(n,j,p)$, $0\le j<2^{(1+\e)n}$, $2^n\le p<2^{n+1}$, $$ \BB(n,j,p)=\left\{\oo\: \left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k(\oo)\frac{\sin(k\pi j2^{-(1+\e)n})}{2k} \right|> 2^{-n\e} \right\} $$ esem\'enyeket. L\'assuk be, hogy $$ \sum_{n,j,p}P(\BB(n,j,p))<\infty,\qquad \sum_n P(\A_n)<\infty. $$ L\'assuk be e rel\'aci\'ok \'es a Borel--Cantelli lemma seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy a $W_n(t)=\frac1\pi\(\xi_0+\sum\limits_{k=1}^n \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k}\)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus folyamatok egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel egyenletesen konverg\'alnak a 7. feladatban defini\'alt $W(t)$, $0\le t\le1$, folyamathoz, ez\'ert ez ut\'obbi egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat. \item{9.)} Legyen $W(t)$, $0\le t\le1$, standard Wiener folyamat, \'es defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $B_0(t)$ folyamatot: $B_0(t)=W(t)-tW(1)$. L\'assuk be, hogy $B_0(t)$ 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u (folytonos trajekt\'ori\'aj\'u) Gauss folyamat $EB_0(s)B_0(t)=\min(s,t)-st$ kovarianciaf\"uggv\'ennyel. A $B_0(t)$ folyamat \'es a $W(1)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. \item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti $B_0(t)$, $0\le t \le 1$, folyamattal megegyez\H o v\'eges dimenzi\'os eloszl\'as\'u folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamatokat Brown bridge-nek nevezik. \item{b.)} Legyen $B_0(t)$ Brown bridge, $00$, $\sigma\neq 1$ eset\'en a $\mu_w$ \'es $\mu_{\sigma w}$ m\'ert\'ekek szingul\'arisak egym\'asra n\'ezve. \item{13.)} Legyen a $W(t)+mt$, $0\le t\le 1$, ahol $m$ fix val\'os sz\'am \'es $W(t)$ a Wiener folyamat, eloszl\'asa a $\mu_{w,m}$ m\'ert\'ek a $C([0,1])$ t\'eren. L\'assuk be, hogy a $\mu_{w.m}$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu_w$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es sz\'amoljuk ki a Radon--Nikodym deriv\'altj\'at. \newpage \beginsection Megold\'asv\'azlatok \item{1.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o ekvivalencia rel\'aci\'ot $[0,1]$-en: $x\sim y$ akkor \'es csak akkor, ha $x-y$ racion\'alis sz\'am. Defini\'aljuk a $P=[0,1]/\sim$ ekvivalencia oszt\'alyok halmaz\'at a fenti rel\'aci\'o szerint. Mivel mind a folytonos f\"uggv\'enyek $\bold Q$ halmaz\'anak mind a $P$ halmaznak a sz\'amoss\'aga kontinum, ez\'ert l\'etezik egy $\T\: \bold Q\to P$ k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H u lek\'epez\'es. Egy folytonos $f$ f\"ugg\-v\'eny\-re defini\'aljuk a $\bold U(f)=\bar f$ f\"uggv\'enyt a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\bar f(t)=f(t)$, ha $t\notin \T(f)$, \'es $\bar f(t)=f(t)+1$ ha $t\in \T(f)$. Legyen $\bar X(t,\oo)=\bar f(t)$, ha $X(t,\oo)$ az $f(t)$ folytonos f\"uggv\'eny. Ekkor $\bar X(t)$ trajekt\'ori\'ai egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel sehol sem folytonosak, mert a $\bold U$ lek\'epez\'es egy folytonos f\"uggv\'enyt egy sehol sem folytonos f\"ugg\-v\'eny\-re k\'epez. M\'asr\'eszt, $P(\bar X(t)\neq X(t))=0$ minden r\"ogz\'\i{}tett $t\in [0,1]$-re, mert a $t$ pontban egyetlen folytonos f\"uggv\'eny \'ert\'eke v\'altozik meg, nevezetesen a $t$ pontot tartalmaz\'o ekvivalenciaoszt\'aly k\'epe a $\T^{-1}$ transzform\'aci\'o szerint. \item{2.)} \itemitem{a.)} Legyen $B=\{x_1,x_2,\dots,\}$ \'es $B_n=\{x_1,\dots,x_n\}$. Defini\'aljuk az $$ \A(n,\e,\delta)=\{\oo;\, |X(t,\oo)-X(s,\oo)|<\e,\quad \forall \;s,t\in B_n\text{-re ha }|s-t|<\delta\} $$ esem\'enyeket. Legyen $$ \A(\e,\delta)=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \A(n,\e,\delta),\quad \A(\e)=\bigcup\limits_{\delta\to0}\A(\e,\delta),\quad \A=\bigcap\limits_{\e\to 0}\A(\e). $$ Ekkor az \"osszes $\A(\e,\delta)$, $\A(\e)$ \'es $\A$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H us\'ege kisz\'am\'\i{}that\'o az $F_{t_1,\dots,t_n}(x_1,\dots,x_n)$ eloszl\'asok seg\'\i{}ts\'eg\'evel, \'\i{}gy ezek ismeret\'eben eld\"onthet\H o, hogy az $\A$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H us\'ege 1-gyel egyenl\H o-e. De az $\A(\e,\delta)$ esem\'eny azt jelenti, hogy az $X(\cdot,\oo)$ trajekt\'oria megszor\'\i{}t\'asa a $B$ halmazra olyan, hogy a delt\'an\'al r\"ovidebb intervallumokon e f\"uggv\'eny ingadoz\'asa kisebb mint $\e$, $\A(\e)$ azt jelenti, hogy van olyan $\oo$-t\'ol f\"ugg\H o hossz, hogy az enn\'el r\"ovidebb intervallumokon a trajekt\'oria ingadoz\'asa (megszor\'\i{}tva a $t\in B$ halmazra) kisebb mint $\e$. V\'eg\"ul az $\A$ halmaz tartalmazza azon $\oo$-kat, melyekre az $X(t,\oo)$ trajekt\'oria megszor\'\i{}t\'asa a $B$ halmazra egyenletesen folytonos. Mivel a $P(|X(t)-X(s)|>\e)$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H us\'eg\'et meghat\'arozz\'ak a v\'eges (k\'et) dimenzi\'os eloszl\'asok, \'\i{}gy ezek az eloszl\'asok meghat\'arozz\'ak, hogy az $X(t)$ folyamet sztochasztikusan folytonos-e. \itemitem{b.)} Ha teljes\"ulnek az a) r\'eszben felsorolt tulajdons\'agok, akkor az $$ \bar X(t,\oo)=\lim\limits_{s\in B,s\to t}X(s,\oo) $$ trajekt\'oria majdnem minden $\oo$-ra j\'ol defini\'alt, mert az $X(t,\oo)$ folyamat egyenletesen folytonos a $B$ halmazon. Tov\'abb\'a $P(\bar X(t)=X(t))=1$ a sztochasztikus folytonoss\'ag miatt. A felt\'etelek sz\"uks\'egess\'ege ny\'\i{}lv\'anval\'o. \item{3.)} Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges m\'erhet\H o $C\in \Cal C$ halmazra $\T^{-1}(C)$ m\'erhet\H o halmaz, azaz eleme a $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'anak. El\'eg ezt az \'all\'\i{}t\'ast ny\'\i{}lt halmazokra bel\'atni, mert ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy az \'all\'\i{}t\'as igaz a ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara is. Mi\'ert? Tov\'abb lehet reduk\'alni az \'allt\'ast a k\"ovetkez\H o tipus\'u halmazokra: Ha $x=x(t)\in C([0,1])$, $\e>0$, akkor legyen $S(x,\e)=\{y\: y\in C([0,1]),\; \sup\limits_{t\in [0,1]}|x(t)-y(t)|<\e\}$. El\'eg bel\'atni, hogy az $S(x,\e)$ tipus\'u halmazok \H osk\'epei m\'erhet\H oek minden $x\in C([0,1])$ \'es $\e>0$-ra, mert tetsz\H oleges ny\'\i{}lt halmaz el\H o\'all\'\i{}that\'o megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen halmaz \'uni\'ojak\'ent, \'es egy ny\'\i{}lt halmaz \H osk\'epe megegyezik az \H ot el\H o\'all\'\i{}t\'o \'uni\'oban r\'esztvev\H o halmazok \H osk\'ep\'enek az \'uni\'oj\'aval. A k\"vetkez\H o meggondol\'as mutatja, hogy $S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz. Jel\H olje $Q$ a ra\-ci\-o\-n\'a\-lis sz\'amok halmaz\'at a $[01,1]$ intervallumban. Ekkor $$ \T^{-1}S(x,\e)=\bigcup_{n=1}^\infty\(\bigcap_{r\in Q}\left\{\oo\:|X(r,\oo)-x(r)|<\(1-\frac1n\)\e\right\}\) $$ (Mi\'ert?) Ebb\H ol a reprezent\'aci\'ob\'ol l\'atszik, hogy $\T^{-1}S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz. \item{} Az el\H oz\H o \'ervel\'es megmutatta, hogy az $\{X(t_1)\in \A_1,\dots,X(t_k)\in \A_k\}$ alak\'u halmazok, ahol $t_1,\dots, t_k$ tet\-sz\H o\-le\-ges pontok a $[0,1]$ intervallumban, $\A_1,\dots,\A_k$ tet\-sz\H o\-le\-ges m\'erhet\H o halmazok $R^1$-en, olyan algebr\'at alkotnak, amelyik gener\'alja a $\Cal C$ $\sigma$-algebr\'at. Mivel ezeknek a halmazoknak a m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$ folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai, ez\'ert e v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asok meghat\'arozz\'ak a $\Cal C$ $\sigma$-algebra halmazainak a m\'ert\'ek\'et is. \item{5.)} Annak bizony\'\i{}t\'as\'ahoz, hogy amennyiben $W(t)$ Wiener fo\-lya\-mat, akkor az \'uj fo\-lya\-ma\-tok is azok, el\'eg ellen\H orizni azt, hogy az \'uj folyamatok kovarianciaf\"uggv\'enye az el\H o\'\i{}rt alak\'u. $E\dfrac1{\sqrt c}W(cs)\dfrac1{\sqrt c}W(ct)=E\dfrac1cW(cs)W(ct)=\min(s,t)$, $$ E\dfrac1sW\(\dfrac1s\)\dfrac1tW\(\dfrac1t\)=\min(s,t)\;. $$ Az eredeti folyamatot kifejezve a transzform\'alt folyamat seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy ezek a felt\'etelek sz\"uks\'egesek is. \item{6.)} Be kell l\'atni, hogy $EW(s)W(t)=\min(s,t)$. A $\xi_n$ v\'altoz\'ok korrel\'alatlans\'aga miatt $$ EW(s)W(t)=\sum_{k=1}^\infty\int_0^s \varphi(u)\,du\int_0^t\varphi(u)\,du\;. $$ A Parseval formula szerint tetsz\H oleges n\'egyzetesen integr\'alhat\'o $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyekre $$ \int_0^1 f(u) g(u)\,du=\sum_{k=1}^\infty\int_0^1 f(u)\varphi(u)\,du \int_0^1g(u)\varphi(u)\,du. $$ Legyen $f(u)$ a $[0,s]$, $g(u)$ pedig a $[0.t]$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye. Ekkor a Parseval formula az el\H oz\H o azonoss\'aggal adja, hogy $EW(s)W(t)=\int f(u)g(u)\,du=\min(s,t)$. \item{7.)} Az $\varphi_0(t)=1$, $\varphi_n(t)=\cos n\pi t$ f\"uggv\'enyek teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak a $[0,1]$ intervallumon. Mi\'ert? \'Igy az el\H oz\H o feladat eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as. Az \'altal\'anos esetbeli reprezent\'aci\'ot megkaphatjuk, ha a $K(s,t)$ korrel\'aci\'of\"uggv\'enyt fel tudjuk \'\i{}rni $$ K(s,t)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n\varphi_n(s)\varphi_n(t) $$ alakban, ahol $\varphi_n(t)$ teljes ortonorm\'alt rendszer a $[0,1]$ intervallumban, \'es $\lambda_n\ge0$. Ekkor az $$ X(t)=\sum_{n=1}^\infty\sqrt{\lambda_n}\varphi(t)\xi_n $$ ahol $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u \'es $K(s,t)=EX(s)X(t)$ kovarianciaf\"uggv\'ny\H u Gauss folyamat. Mi\'ert? \item{} A k\'\i{}v\'ant reprezent\'aci\'o lehets\'eges. Defini\'aljuk a $\bold Kf(t)=\int_0^1 K(s,t)f(s)\, ds$ integr\'aloper\'atort a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'en. A funkcion\'alanal\'\i{}zis eredm\'enyei alapj\'an $\bold K$ egy kompakt (Hilbert--Schmidt) \"onadjung\'alt oper\'ator, ez\'ert l\'etezik olyan teljes ortonorm\'alt $\varphi_n(t)$ rendszer, melyre $$ \bold Kf(t)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n\varphi_n(t) \int_0^1\varphi_n(s)f(s)\,ds=\int_0^1 K(s,t)f(s)\,ds\;, $$ ahol $K(s,t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda_n\varphi_n(s)\varphi_n(t)$. Mivel az integr\'aloper\'ator magf\"uggv\'enye egy\-\'er\-tel\-m\H uen meghat\'arozott, ez\'ert megkaptuk a k\'\i{}v\'ant reprezent\'aci\'ot. Be kell m\'eg l\'atni, hogy a k\'epletben szerepl\H o $\lambda_n$ saj\'at\'ert\'ekek nem negat\'\i{}vak. Ehhez el\'eg azt bel\'atni, hogy $\int_0^1\int_0^1 K(s,t)f(s)f(t)\,ds\,dt\ge0$ tetsz\H oleges n\'egyzetesen integr\'alhat\'o $f(t)$ f\"ugg\-v\'eny\-re. Mi\'ert? Viszont $$ \align \int_0^1\int_0^1 K(s,t)f(s)f(t)\,ds\,dt&= \int_0^1\int_0^1 EX(s)X(t)f(s)f(t)\,ds\,dt\\ &=\(\int_0^1 f(s)EX(s)\,ds\)^2\ge0\;, \endalign $$ \item{} K\'erd\'es: Hogy sz\'ol a felhaszn\'alt funkcion\'alanal\'\i{}zisbeli eredm\'eny v\'eges dimenzi\'os line\'aris algebrai v\'altozata? \item{8.)}\item{a.)} $$ \align &\sup\Sb 0\le s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb \left|\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi t}{2k} -\sum_{k=2^n}^{p} \xi_k\frac{\sin k\pi s}{2k}\right| <\sum_{k=2^n}^p \sup\Sb 0\le s,t\le1,\\|t-s|\le2^{-(1+\e)n}\endSb\frac\pi 2(t-s)|\xi_k| \\ & \qquad \le2^{-(1+\e)n}\frac\pi 2\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}|\xi_k| \le \const 2^{-n\e}+2^{-(1+\e)n}\pi\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}(|\xi_k|-E|\xi_k|) \endalign $$ ha $2^n\le p<2^{n+1}$. Ez\'ert $$ P(\A_n)\le P\(\sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}(|\xi_k|-E|\xi_k|)> \frac122^{n(1+\e/2}\)<\const 2^{-n(1+\e)} $$ a Csebisev egyenl\H otlens\'eg alapj\'an. \item{b.)} Az $\eta=\sum\limits_{k=2^n}^{p} \xi_k\dfrac{\sin k\pi t}{2k}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u norm\'alis val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, amelyiknek a sz\'or\'asa kisebb mint $2^{-n}$. Ez\'ert egy a norm\'alis eloszl\'as farokeloszl\'as\'ara adott ismert becsl\'es alapj\'an (ld. p\'eld\'aul a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asr\'ol sz\'ol\'o feladatsor 7. feladat\'at) kapjuk, hogy P($|\eta|>2^{-n\e})=P(2^{n/2}|\eta|>2^{(1/2-\e)n}) <\exp\{-2^{(1-2\e)n/2}\}$. \item{c.)} A $\BB(n,j,p)$ esem\'eny val\'osz\'\i{}n\H us\'eg\'et a b.) r\'eszben megbecs\"ult\"uk $t=\dfrac j{2^{(1+\e)n}}$ v\'alaszt\'assal. Mivel r\"ogz\'\i{}tett $n$-re $2^{(2+\e)n}$ ilyen esem\'enyt defini\'altuk, ez\'ert a b.) r\'esz becsl\'es\'eb\H ol k\"ovetkezik az els\H o \"osszeg konvergenci\'aja. Az a.) r\'eszb\H ol k\"ovetkezik a m\'asodik \"osszeg konvergenci\'aja. A Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol \'es az el\H obbi rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy $n>n(\oo)$-ra $\left|\sup\limits_{0\le t\le 1}\sum\limits_{k=p}^q \dfrac{\sin t}{2k} \xi_k\right|>4\cdot2^{-\e n}$, ha $2^n\le p,q<2^{n+1}$. Ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy a $\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\sin t}{2k}\xi_k$ f\"uggv\'enyek egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel egyenletesen konverg\'alnak a $\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{\sin t}{2k}\xi_k$ f\"uggv\'enyhez. Ebb\H ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as. \item{9.)} \item{a.)} $$ \align &E[W(s)-sW(1)][W(t)-tW(1)]\\ &\qquad=EW(s)W(t)-sEW(t)W(1)-tEW(s)W(1)+stEW(1)^2= \min(s,t)-st \endalign $$ \item{b.)} Legyen $0\le s,t\le1$. Ekkor $$ \align &\frac1rE[B_0(sr)-sB_0(r)][B_0(tr)-tB_0(r)]\\ &\qquad=\frac1r[r\min(s,t)-r^2st-s(tr-tr^2-t(sr-sr^2)+st(r-r^2) =\min(s,t)-st, \endalign $$ $$ E[B_0(sr)-sB_0(r)]B_0(r)=sr-sr^2-sr(1-r)=0\;, $$ $$ E[B_0(r+(1-r)s)-(1-s)B_0(r)]B_0(r)=r-r[r+(1-r)s]-(1-s)(r-r^2)=0\;, $$ $$ \align &E[B_0(sr)-sB_0(r)][B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]\\ &\qquad=EB_0(sr)[B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]\\ &\qquad\qquad-sEB_0(r)[B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]=0\;, \endalign $$ $$ E[B_0(r+(1-r)s)-(1-s)B_0(r)][B_0(r+(1-r)t)-(1-t)B_0(r)]=0\;. $$ E rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as. Mi\'ert? \item{c.)} $EB_0(s)B_0(t)=EB_0(1-s)B_0(1-t)=0$. \item{10.)} $$ F_n(t)=\frac1n\sum_{k=1}^n I(\{\xi_k0$-ra $$ \align &P\(\left|\sum_{k=1}^{2^n} [W(k2^{-n})-W((k-1)2^{-n})]^2-1\right|>\e\)\\ &=P\(\left|\sum_{k=1}^{2^n}\( \[W\(\frac k{2^{n}}\)-W\(\frac{k-1}{2^{n}}\)\]^2- E\[W\(\frac{k}{2^{n}}\)-W\(\frac{k-1}{2^{n}}\)\]^2 \) \right|>\e\)\\ &\qquad<3\e^22^{-n}\;. \endalign $$ Mivel $\sum\limits_{n=1}^\infty 3\e^22^{-n}<\infty$, a Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as. \item{b.)} Defini\'aljuk a folytonos f\"uggv\'enyek k\"ovetkez\H o $\bold K$ halmaz\'at a $C([0,1])$ t\'eren. $$ \bold K=\{f\: f\in C([0,1]),\; \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{2^n}\[f(k2^{-n})-f((k-1)2^{-n})\]^2=1\;. $$ (Ez \'ugy \'ertend\H o, hogy a fenti limesz l\'etezik.) Ekkor az a.) r\'esz eredm\'enye szerint $\mu_w(\bold K)=1$ \'es $\mu_{\sigma w}(\bold K)=0$. Ez\'ert a k\'et m\'ert\'ek szingul\'aris egym\'asra n\'ezve. \item{13.)} Legyen $\mu^{(n)}_w$ a $(W(k2^{-n}),\;k=1,\dots,2^n)$ $\mu^{(n)}_{w,m}$ a $(W(k2^{-n}+mk2^{-n}),\;k=1,\dots,2^n)$ vektorok eloszl\'asa az $R^{2^n}$ t\'erben. Legyen $f(x_1,\dots,x_{2^n})=\dfrac {d\mu^{(n)}_{w,m}}{d\mu^{(n)}_w}(x_1,\dots,x_{2^n})$, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o $\T\:C([0,1])\to R$ lek\'epez\'est: Ha $g\in C([0,1])$, azaz $g(x)$ egy a $[0,1]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'eny, akkor legyen $\T(g)=f(g(2^{-n}),g(2\cdot 2^{-n}),\dots, g(2^n\cdot2^{-n}))$. Legyenek $\bar \mu^{(n)}_{w,m}$ \'es $\bar \mu^{(n)}_{w}$ a $\bar \mu_{w,m}$ \'es $\bar \mu_{w}$ m\'ert\'ekek vet\"ulete a $\{k2^{-n},k=1,\dots,2^n\}$ koordin\'at\'akra a $C([0,1])$ t\'eren. Azaz egy $K\in C([0,1])$ halmazra legyen $\bar \mu^{(n)}_{w,m}(K)=\mu^{(n)}_{w,m}(\bold U(K))$ \'es $\bar \mu^{(n)}_{w}(K)=\mu^{(n)}_{w}(\bold U(K))$, ahol $\bold U$ a $C([0,1])$ m\'erhet\H o r\'eszhalmazait k\'epezi le az $R^{2^n}$ m\'erhet\H o r\'eszhalmazaira, \'es $\bold U(K)=\{(x_1,\dots,x_{2^n})\: \exists g\in K; g(k2^{-n})=x_k,\;k=1,\dots,2^n\}$. Ekkor $\dfrac{d\bar \mu_{w,m}^{(n)}}{d\bar \mu_{w}^{(n)}}(g)=\T(g)$. Mi\'ert? Ekkor $$ \align f(x_1,\dots,x_{2^n})&=\exp\left\{-2^n\( \sum_{k=1}^{2^n}(x_k-x_{k-1}+2^{-n}m)^2 +\sum_{k=1}^{2^n}(x_k-x_{k-1})^2/2\)\right\}\\ &=\exp\{mx_{2^n}-m^2/2\}\;, \endalign $$ \'es $\dfrac{d\bar \mu_{w,m}^{(n)}}{d\bar \mu_{w}^{(n)}}(g)=e^{m g(1)-m^2/2}$. Ez a Radon--Nikodym deriv\'alt nem f\"ugg az $n$ indext\H ol. Ez\'ert a Radon--Nikodym deriv\'alt definici\'oj\'at felhaszn\'alva meg lehet mutatni, hogy $\dfrac{d\bar \mu_{w,m}}{d\bar \mu_{w}}(g)=e^{m g(1)-m^2/2}$. Mi\'ert? \bye