\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection Markov folyamatok
 
Legyen adva val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy $X_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi mez\H on, amelyik \'ert\'ekeit valamely $(X,\Cal B)$
m\'erhet\H o t\'eren veszi fel. Azt mondjuk, hogy az $X_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat Markov l\'anc, ha $P(X_{n+1}\in\BB|X_n=x_n,\dots,
X_1=x_1)=P(X_{n+1}\in \BB|X_n=x_n)$ minden $n=1,2,\dots$ eg\'esz
sz\'amra, $x_j\in X$, $j=1,\dots,n$ elemekre, \'es $\BB\in \Cal B$
halmazra. \'Erdemes a fogalmat egy kicsit \'altal\'anosabban
megfogalmazni. Ennek \'erdek\'eben el\H obb n\'eh\'any m\'as fogalmat
is bevezet\"unk. \medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Adapt\'alt val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok.} Legyen adva $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'oknak \'es $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'aknak, $n=1,2,\dots$,
a sorozata egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H on.
Azt mondjuk, hogy az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
adapt\'altak az $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'akhoz, ha $\Cal
F_1\subset\Cal F_2\subset \cdots\subset \Cal A$, \'es $X_n$ $\Cal F_n$
m\'erhet\H o minden $n=1,2,\dots$-ra.
\smallskip
E definici\'o szeml\'eletes tartalma az, hogy $\Cal F_n$ tartalmazza az
$n$ id\H opontig \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott inform\'aci\'ot. \'Igy $\Cal
F_n$ tartalmazza a megfigyelt $X_j$, $j=1,\dots,n$, val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit, de ezenk\'\i{}v\"ul esetleg
m\'eg m\'as esem\'enyeket is. E fogalmat term\'eszetes m\'odon lehet
\'ertelmezni folytonos idej\H u sztochasztikus folyamatokra.
\smallskip
Legyen $X_t$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'es $\Cal F_t$
$\sigma$-algebr\'ak egy rendszere valamilyen $a\le t\le b$ intervallumba
es\H o sz\'amokkal indexelve, ahol $-\infty\le a<b\le \infty$. Azt
mondjuk, hogy az $X_t$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
adapt\'altak az $\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'akhoz, ha $X_t$ $\Cal F_t$
m\'erhet\H o, \'es $\Cal F_s\subset \Cal F_t\subset\Cal A$, ha $a\le
s<t\le b$. \medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} {\it Markov l\'anc fogalma.} Legyen $(X_n, \Cal
F_n)$, $n=1,2,\dots$, $(X,\Cal B)$ \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'oknak \'es $\sigma$-al\-geb\-r\'ak\-nak egy
adapt\'alt rendszere egy $(\Omega,\Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
mez\H on. Azt mondjuk, hogy $(X_n,\Cal F_n)$ Markov l\'anc, ha
$$
P(X_{n+1}\in \BB|\Cal F_n)(\oo)=P(X_{n+1}\in \BB|X_n)(\oo)
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $\BB\in \Cal B$ halmazra.
Feltessz\"uk tov\'abb\'a, hogy a definici\'oban szerepl\H o felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'egeknek l\'etezik regul\'aris verzi\'oja, azaz
l\'etezik egy $P(n,x,\BB)$ f\"uggv\'eny, $n=1,2,\dots$, $x\in X$,
$\BB\in\Cal B$, melyre $P(n,\cdot,\BB)$ $\Cal B$ m\'erhet\H o
f\"uggv\'eny minden $\BB\in \Cal B$-re \'es $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
$P(n,x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek az $(X,\Cal B)$
t\'eren, \'es
$$
P(X_{n+1}\in \BB|X_n)(\oo)=P(n,X_n(\oo),\BB)\;.
$$
A $P(n,x,\BB)$ f\"uggv\'enyt \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enynek h\'\i{}vj\'ak.
 
Ha az $X_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
teljes\'\i{}tik a fenti felt\'eteleket va\-la\-mi\-lyen
$P(n,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel,
\'es $P(X_1=x)=1$ akkor
az $X_n$ sorozatot az $x$ pontb\'ol kiindul\'o, ha $X_1$ eloszl\'asa
va\-la\-mi\-lyen $\pi$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'er\-t\'ek, akkor az
$X_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozatot $\pi$ kiindul\'o eloszl\'assal rendelkez\H o Markov
l\'anc\-nak h\'\i{}vjuk az
$(X,\Cal B)$ t\'eren $P(n,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyekkel.   Az
$(X,\Cal B)$ m\'er\-he\-t\H o teret, ahol az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok
felveszik az \'ert\'ekeiket, f\'azist\'ernek h\'\i{}vj\'ak.
 
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti definici\'oban, \'es a k\'es\H obbiekben
is, azok az
egyenl\H os\'egek (egyen\-l\H ot\-len\-s\'e\-gek) melyekben felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'eg vagy
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek szerepel, \'ugy \'ertend\H oek,
hogy az egyenl\H os\'eg,
(egyenl\H otlens\'eg) majdnem minden $\oo\in \Omega$-ra teljes\"ul.
Feltett\"uk a
definici\'oban, hogy az ott szerepl\H o felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H
us\'egeknek van
regul\'aris v\'altozata, amelyek bizonyos m\'erhet\H os\'egi
felt\'eteleknek eleget
tesznek, \'es amelyekban a k\'\i{}v\'ant egyenl\H os\'egek minden
pontban
teljes\"ulnek, \'es nemcsak 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel.
Fel\-me\-r\"ul\-het a k\'erd\'es, hogy ez
a felt\'etel milyen er\H os megk\"ot\'es. Be lehet l\'atni, hogy ha az
$(X,\Cal B)$ t\'er
bizonyos sz\'ep topol\'ogiai tulajdons\'agokkal rendelkezik, akkor a
definici\'oban szerepl\H o
felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H us\'egeknek ilyen regul\'aris v\'altozata
mindig l\'etezik.
Ennek a nem trivi\'alis eredm\'enynek a t\'argyal\'as\'aval ebben a
feladatsorban nem foglalkozunk. Megjegyezz\"uk, hogy
olyan terekben, amelyeknek nincsenek sz\'ep topol\'ogiai
tu\-laj\-don\-s\'a\-gai lehet
olyan p\'eld\'at konstru\'alni, ahol a szerepl\H o felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'egeknek
nem l\'e\-te\-zik a k\'\i{}v\'ant regul\'aris v\'altozata.
 
Legyen $(X_t, \Cal F_t)$, $0\le t<\infty$, $(X,\Cal B)$ \'ert\'ek\H u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'oknak \'es
$\sigma$-al\-geb\-r\'ak\-nak egy adapt\'alt redszere egy $(\Omega, \Cal
A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H on. Azt mondjuk, hogy $(X_t,\Cal
F_t)$ Markov folyamat, ha
$$
P(X_{t+s}\in \BB|\Cal F_t)(\oo)=P(X_{t+s}\in \BB|X_t)(\oo)
$$
minden $0\le s,t<\infty$ \'es $\BB\in \Cal B$ halmazra, \'es l\'etezik a
definici\'oban szerepl\H o felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H us\'egeknek
egy regul\'aris verzi\'oja, azaz egy olyan
$P(t,s,x,\BB)$ f\"uggv\'eny, $0\le s,t<\infty$, $x\in X$, $\BB\in\Cal
B$, melyre $P(\cdot,\cdot,\cdot,\BB)$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny minden
$\BB\in \Cal B$-re, $P(t,s,x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ek az $(X,\Cal B)$ t\'eren, \'es $P(X_{t+s}\in
\BB|X_t)(\oo)=P(t,s,X_t(\oo),\BB)$. A $P(t,s,x,\BB)$ f\"uggv\'enyt
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"ugg\-v\'eny\-nek h\'\i{}vj\'ak.
 
Ha az $X_t$, $0\le t<\infty$ sztochasztikus folyamat teljes\'\i{}ti a
fenti felt\'eteleket va\-la\-mi\-lyen $P(t,s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel, \'es $P(X_0=x)=1$
akkor az $X_t$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tot az $x$
pontb\'ol kiindul\'o, ha $X_0$ eloszl\'asa va\-la\-mi\-lyen $\pi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek, akkor az $X_t$, $0\le t<\infty$,
sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tot $\pi$ kiindul\'o eloszl\'assal
rendelkez\H o
Markov folyamatnak nevezik az $(X,\Cal B)$ t\'eren $P(t,s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel. Felt\'etelezz\"uk
azt is, hogy a $P(t,s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyek olyanok, hogy tetsz\H oleges $x\in X$ pontra
\'es $0\le t_0<\infty$ sz\'amra l\'etezik olyan $(Y_t,\Cal G_t)$, $\Cal
G_t=\sigma(Y_s,\;0\le s\le t)$, Markov folyamat (a $\Cal G_t$
$\sigma$-algebra
v\'alaszt\'as\'at illet\H oen l\'asd a 3. feladatot), mely a nulla id\H
opontban az $x$ pontb\'ol indul, azaz $P(Y_0=x)=1$, \'es az
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyei $\bar
P(t,s,x,\BB)=P(t+t_0,s,x,\BB)$ alak\'uak. Ez a felt\'etel a
k\"ovetkez\H ot fejezi ki. Mivel a felt\'eteles eloszl\'asok
csak egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel vannak meghat\'arozva,
ez\'ert az \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyeket
elronthatn\'ank bizonyos $x$ pontokban \'ugy, hogy ez nem
befoly\'asolja a Markov folyamat eloszl\'as\'at. Ezt azonban nem
akarjuk megengedni.
 
Az $(X,\Cal B)$ m\'erhet\H o teret, ahol az $X_t$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok felveszik az \'ert\'ekeiket f\'azist\'ernek
h\'\i{}vj\'ak. \medskip\noindent
{\bf Definici\'o.} Egy  $(X_n,\Cal F_n)$,  Markov
l\'anc, ($(X_t,\Cal F_t)$ Markov folyamat) stacion\'arius ha
$P(n,x,\BB)=P(x,\BB)$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
($P(t,s,x,\BB)=P(s,x,\BB)$ minden $0\le t<\infty$ sz\'amra)
alkalmas $P(x,\BB)$, ($P(s,x,\BB)$) f\"ugg\-v\'ennyel.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az irodalomban, amikor Markov l\'ancokr\'ol vagy
Markov folyamatokr\'ol be\-sz\'el\-nek, akkor gyakran stacion\'arius
Markov l\'ancokra (folyamatokra) gondolnak.
\medskip\noindent
{\bf Defininici\'o:} {\it Meg\'all\'asi szab\'aly.}\/ Legyen $\Cal F_n$,
$n=1,2,\dots$, vagy ($\Cal F_t$, $0\le t<\infty$), $\sigma$-algebr\'ak
egy n\"ovekv\H o sorozata, (halmaza) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi mez\H on, melyekre $\Cal F_n\subset \Cal A$,
($\Cal F_t\subset \Cal A$) minden $0\le n<\infty$ vagy ($0\le
t<\infty$-re). Egy $\tau\ge 0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_n$ ($\Cal F_t$) $\sigma$-algebr\'ak
rendszer\'ere, ha $\{\tau\le n\}\in\Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$-re,
\'es $\tau$ eg\'esz \'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o,
($\{\tau\le t\}\in \Cal F_t$ minden $0\le t<\infty$-re).
\smallskip
Legyen $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_n$ ($\Cal F_t$)
$\sigma$-algebra rendszerre. Az $\Cal F_\tau$ (a $\tau$ id\H opontig
megfigyelhet\H o esem\'enyek $\sigma$-algebr\'aja) definici\'oja:
$\BB\subset\Omega$ halmazra $\BB\subset \Cal F_{\tau}$ akkor \'es csak
akkor, ha $\BB\cap\{\tau\le n\}\in \Cal F_n$ minden $n=1,2,\dots$-ra,
(ha $\BB\cap\{\tau\le t\}\in \Cal F_t$ minden $0\le t<\infty$-re).
\smallskip
\item{1.)} L\'assuk be, hogy az $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebra fenti
definic\'oja \'ertelmes, azaz a benne szerepl\H o $\BB$ halmazok
val\'oban $\sigma$-algebr\'at alkotnak.
\item{2.)} Legyenek $X_1,\dots,X_k$  $\Cal
F_\tau$ m\'erhet\H o val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, melyek
\'ert\'ekeiket egy $(X,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'eren veszik fel. Legyen
$g(x_1,\dots,x_k)\:X^k\to R^1$ $\Cal B^k$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny.
L\'assuk be, hogy $g(X_1,\dots,X_k)$ is $\Cal F_\tau$ m\'erhet\H o
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o.
\smallskip
Az irodalomban nem egys\'eges a terminol\'ogia abban az \'ertelemben,
hogy meg\-k\"o\-ve\-tel\-j\"uk-e azt, hogy $\tau$ val\'odi
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o legyen, azaz $P(\tau=\infty)=0$.
Ha ezt a tulajdons\'agot nem k\"ovetelj\"uk meg a $\tau$-r\'ol, akkor
nevezz\"uk $\tau$-t \'altal\'anos\'\i{}tott meg\'all\'asi szab\'alynak.
\bigskip
\item{3.)} Legyen $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, Markov l\'anc
($(X_t,\Cal F_t)$, $0\le t<\infty$, Markov folyamat). Legyen $\Cal
G_n=\sigma(X_1,\dots,X_n)$ ($\Cal G_t=\sigma(X_s,\; s\le t)$).
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy $(X_n,\Cal G_n)$ Markov l\'anc ($(X_t,\Cal
G_t)$ Markov folyamat.)
\medskip\noindent {\it Megjegyz\'es:}\/ Ha $X_n$, $n=1,2,\dots$, Markov
l\'ancr\'ol vagy $X_t$, $t\ge 0$,
Markov folyamatr\'ol besz\'el\"unk, an\'elk\"ul, hogy az ${\Cal F}_n$
vagy $\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'akat k\"ul\"on defini\'aln\'ank, akkor
feltessz\"uk, hogy $\Cal F_n=\sigma(X_j,\;j\le n)$, $\Cal
F_t=\sigma(X_s,\;s\le t)$.
\medskip
\item{4.)} L\'assuk be, hogy a Poisson folyamat, a Wiener folyamat, a
Brown bridge \'es az Orn\-stein--Uhlenbeck folyamat Markov folyamatok. A
Poisson folyamat, a Wiener folyamat, \'es az Ornstein--Uhlenbeck folyamat
stacion\'arius Markov folyamatok.
\item{} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es legyen $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$,
$n=1,2,\dots$. L\'assuk be, hogy mind a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$ mind az
$S_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat Markov l\'anc, \'es ha a $\xi_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak, akkor ezek a Markov l\'ancok
stacion\'ariusak.
\item{5.)} Legyen $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, Markov l\'anc
$P(n,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel.
Ekkor
$$
\align
&P(X_{n+m}\in \BB_m,\dots,X_{n+1}\in \BB_1|\Cal F_n)(\oo)\\
&\qquad =P(X_{n+m}\in \BB_m,\dots,X_{n+1}\in \BB_1|X_n)(\oo)\;,
\endalign
$$
\'es
$$
\align
&P(X_{n+m}\in \BB_m,\dots,X_{n+1}\in \BB_1|X_n=x)\\
& =\!\int\limits_{\BB_1}\!\cdots \!\int\limits_{\BB_m}\!
P(n+m-1,x_{m-1},dx_m)P(n+m-2,x_{m-2},dx_{m-1})\dots
P(n,x,dx_{n+1}).
\endalign
$$
\smallskip Az 5. feladat seg\'\i{}ts\'eg\'evel fel\'\i{}rhatjuk egy
Markov l\'anc v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asait, ha ismerj\"uk a Markov l\'anc $P(n,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyeit \'es az $X_1$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\pi$
eloszl\'as\'at. Val\'oban, ekkor
$$
P(X_1\in \BB_0,X_2\in \BB_1,\dots,
X_{m+1}\in\BB_m)=\int_{\BB_0}P(X_{m+1}\in\BB_m,\dots,X_2\in\BB_1)\pi(dx),
$$
ahol az integr\'alban szerepl\H o f\"uggv\'enyt az 5. feladat k\'eplete
hat\'arozza meg $m=1$ v\'alaszt\'assal.
\item{6.)}
Igaz az el\"oz\H o \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkez\H o megford\'\i{}t\'asa:
Ha $(X_n,\Cal F_n)$, $\Cal F_n=\sigma(X_1,\dots,X_n)$,
olyan val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta, melyre
alkalmas $P(n, x,\BB)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg
f\"uggv\'enyekkel \'es $\pi$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
m\'ert\'ekkel az $(X,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'eren teljes\"ul a
$$
\align
&P(X_{n}\in \BB_n,X_{n-1}\in \BB_{n-1},\dots,X_1\in \BB_1)\\
&\qquad =\!\int\limits_{\BB_1}\[ \int\limits_{\BB_2}\!\cdots
\!\int\limits_{\BB_n}\!
P(n,x_{n-1},dx_n)P(n-1,x_{n-2},dx_{n-1})\dots
P(2,x,dx_{2})\]\pi(dx)
\endalign
$$
azonoss\'ag, akkor $(X_n,\Cal F_n)$ Markov l\'anc $P(n,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel, melyre $X_1$
eloszl\'asa $\pi$. \medskip\noindent {\it Megjegyz\'es:}\/
Term\'eszetes az a k\'erd\'es, hogy tetsz\H oleges $P(n,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekre \'es $\pi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekre egy $(X,\Cal B)$
m\'ert\'ekt\'eren l\'etezik-e olyan Markov l\'anc, melynek az
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyei ezek a $P(n,x,\BB)$
f\"uggv\'enyek, \'es $X_1$ eloszl\'asa $\pi$. A term\'eszetes
konstrukci\'o a k\"ovetkez\H o: Legyen $(\Omega,\Cal A)=(X^\infty,{\Cal
B}^\infty)$ \'es $X_n(\oo)=x_n$, ha $\oo=(x_1,x_2,\dots)$ minden
$n=1,2,\dots$-ra, a
$$
\align
&P(\oo\:\oo=(x_1,x_2,\dots),\; x_1\in \BB_1,\dots,x_{n}\in \BB_n) \\
&\qquad =P(X_{n}\in \BB_n,X_{n-1}\in \BB_{n-1},\dots,X_1\in \BB_1)
\endalign
$$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egeket pedig az 5. feladat \'es az
ut\'ana k\"ovetkez\H o k\'eplet
adja meg. A f\H o probl\'ema az, hogy \'\i{}gy val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi m\'ert\'eket defini\'alunk-e. A v\'alasz igenl\H o, de ehhez
egy nem trivi\'alis m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, a Tulcea--Ionescu
t\'etelt kell felhaszn\'alni. (Ez annak az eredm\'enynek az
\'altal\'anos\'\i{}t\'asa, mely szerint val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek v\'eg\-te\-len szorzata is val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ek.) Megjegyezz\"uk, hogy ennek az eredm\'enynek az
\'er\-v\'e\-nyes\-s\'e\-g\'e\-hez nem sz\"uks\'eges az, hogy az
$(X,\Cal B)$
t\'ernek j\'o topol\'ogiai tulajdons\'agai legyenek. Ez\'ert ez az
eredm\'eny biztos\'\i{}tja Markov l\'ancok l\'etez\'es\'et olyan
esetekben is, amikor a Kolmogorov alapt\'etel nem alkalmazhat\'o.
\medskip
\item{7.)} L\'assuk be az 5. feladat eredm\'eny\'enek
seg\'\i{}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'ast: Legyen adva
egy $(X_n,\Cal F_n)$ Markov l\'anc egy $(X,\Cal B)$ f\'azist\'eren
$P(n,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel.
Tetsz\H oleges $n\ge 1$, $m\ge1$ sz\'amokra l\'etezik olyan
$P(n,m,x,\BB)$ f\"uggv\'eny, melyekre $P(n,m,\cdot,\BB)$ $\Cal B$
m\'erhet\H o f\"uggv\'eny tetsz\H oleges $n\ge1$, $m\ge1$ eg\'esz
sz\'amra, $P(n,m,x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek
minden $n\ge1$, $m\ge1$ eg\'esz sz\'amra \'es $x\in X$ pontra, \'es
$$
P(X_{n+m}\in \BB|\Cal F_n)(\oo)=
P(X_{n+m}\in \BB|X_n)(\oo)=P(n,m,X_n(\oo),\BB)
$$
minden $n\ge1$, $m\ge1$ eg\'esz sz\'amra \'es $\BB\in \Cal B$
halmazra. A $P(n,m,x, \BB)$ f\"uggv\'enyt az $n$ id\H opontb\'ol $n+m$
id\H opontba val\'o \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enynek
h\'\i{}vj\'ak. L\'assuk be a k\"ovetkez\H o \'ugynevezett
Chapman--Kolmogorov egyenletet: Ha $n\ge1$, $m_1\ge1$, $m_2\ge1$,
$\BB\in \Cal B$, akkor
$$
P(n,m_1+m_2,x,\BB)=\int_X P(n+m_1,m_2,y,\BB) P(n,m_1,x,\,dy)\,.
$$
Mi ennek az egyenletnek a szeml\'eletes tartalma?
\item{8.)} Legyen $(X_n,\Cal F_n)$ Markov l\'anc, mely \'ert\'ekeit egy
$(X,\Cal B)$ m\'ert\'ekt\'eren veszi fel. L\'assuk be, hogy l\'etezik
olyan $P(n,x,\A)$ $x\in X$, $\A\in {\Cal B}^\infty$, f\"uggv\'eny, ahol
$(X^\infty,{\Cal B}^\infty)$ jel\"oli az $X,\Cal B$ t\'er v\'egtelen
direkt szorzat\'at \"onmag\'aval, melyre $P(n,\cdot,\A)$ m\'erhet\H o
f\"uggv\'eny az $(X,\Cal B)$ t\'eren minden $\A\in {\Cal B}^\infty$
halmazra, $P(n,x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek az
$(X^\infty,{\Cal B}^\infty)$ t\'eren, \'es
$$
P((X_{n+1},X_{n+2},\dots)\in \A|X_n(\oo)=x)=P(n,x,\A)
$$
minden $n=1,2,\dots$, $x\in X$ \'es $\A\in {\Cal B}^\infty$-re. Ha a
Markov l\'anc stacion\'arius, azaz a $P(n,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyek  $n$-t\H ol
f\"uggetlenek, akkor a $P(n,x,\A)$ felt\'eteles m\'ert\'ekek sem
f\"uggnek $n$-t\H ol.
\item{9.)} Az el\"oz\H o feladat jel\"ol\'eseit haszn\'alva, legyen
$\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_n$ $\sigma$-algebra
rendszerre. L\'assuk be, hogy
$$
P((X_{\tau+1},X_{\tau+2},\dots,)\in\A|\Cal
F_\tau)(\oo)=P(\tau,X_\tau(\oo),\A)\;,
$$
ahol a $P(n,x,\A)$ f\"uggv\'eny megegyezik az el\"oz\H o feladatban
szerepl\H o f\"uggv\'ennyel. {\it (Ezt az azonoss\'agot nevezik er\H os
Markov tulajdons\'agnak.)}
 
A Markov tulajdons\'ag szeml\'eletes tartalma az, hogy az $X_j$, $j>n$,
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy\"uttes
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'at,
azaz az $n$ id\H opontig megfigyelhet\H o esem\'enyeket, megegyezik
ezen esem\'enyek felt\'eteles eloszl\'as\'aval felt\'eve az $X_n(\oo)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot (l\'asd a 6. feladatot). Azaz az
$\Cal F_n$ $\sigma$-algebra tov\'abbi esem\'enyei nem adnak pontosabb
becsl\'est arra, hogy mi t\"ort\'enik a j\"ov\H oben. Gyakran szok\'as
a Markov tulajdons\'agot \'ugy interpret\'alni, hogy a m\'ult \'es
j\"ov\H o felt\'etelesen f\"uggetlen, felt\'eve a jelent. A
k\"ovetkez\H o feladat c\'elja ennek az \'all\'\i{}t\'asnak, illetve az
er\H os Markov tulajdons\'ag hasonl\'o interpret\'aci\'oj\'anak pontos
megfogalmaz\'asa.
 
\item{10.)} Defini\'aljuk a $\Cal F_n^\infty=\sigma(X_j,\;j>n)$ \'es $\Cal
F_\tau^\infty=\{\A\:\A\cap\{\tau>n\}\in \Cal F_n^\infty \text{ minden
}n\ge1-\text{re}\}$  $\sigma$-algebr\'akat. L\'assuk be, hogy ha $\A_1\in
\Cal F_n$ \'es $\A_2\in \Cal F_n^\infty$, akkor
$P(\A_1\cap\A_2|X_n(\oo))=P(\A_1|X_n(\oo))P(\A_2|X_n(\oo))$. Ha az $X_n$
Markov l\'anc stacion\'arius, $\A_1\in \Cal F_\tau$ \'es $\A_2\in \Cal
F_\tau^\infty$, akkor
$P(\A_1\cap\A_2|X_\tau(\oo))=P(\A_1|X_\tau(\oo))P(\A_2|X_\tau(\oo))$.
\item{11.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, $F(0)=0$, $F(0+0)<1$, (azaz a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok nem negat\'\i{}vak, \'es nem
azonosan null\'ak), $\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Legyen $\tau$
meg\'all\'asi szab\'aly a $\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'ara. Ekkor a
$\xi_{\tau+n}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlenek, egyforma eloszl\'as\'uak $F$ eloszl\'assal, \'es ezek
a val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek az $\Cal F_\tau$
$\sigma$-algebr\'at\'ol.
\smallskip\noindent A k\"ovetkez\H o feladat seg\'\i{}ts\'eg\'evel
jellemezhetj\"uk a Poisson folyamatokat f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'asok seg\'\i{}ts\'eg\'evel. (L\'asd {\it Poisson folyamatok}\/
feladatsor 5. feladat\'at.)
\item{12.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, exponenc\'alis
eloszl\'as\'u  val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$
param\'eterrel $\Cal F_n=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Defini\'aljuk az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket, $n=1,2,\dots$,
\'es r\"ogz\'\i{}ts\"unk egy $T>0$ sz\'amot. Defini\'aljuk a
$\tau=\tau_T=\min\{k\:S_k\ge T\}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot.
L\'assuk be, hogy $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly a $\Cal F_n$
$\sigma$-algebr\'ak rendszer\'ere. L\'assuk be, hogy az $S_\tau-T$,
\'es az $\xi_{\tau+n}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, $\lambda$ param\'eter\H u exponenci\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok,
melyek
f\"uggetlenek a $\tau$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot\'ol is.
 
A k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'asok \'es feladatok c\'elja megmutatni,
hogy a Markov l\'ancokr\'ol megfogalmazott eredm\'enyek term\'eszetes
megfelel\H oje igaz folytonos idej\H u Markov folyamatokra is. Azokban
az esetekben, amikor a bizony\'\i{}t\'as a Markov l\'ancokr\'ol
sz\'ol\'o eredm\'eny bizony\'\i{}t\'as\'at haszn\'alja, csak kiss\'e
bonyolultabb jel\'ol\'esekkel, elhagyjuk a r\'eszletek kidolgoz\'as\'at.
Viszont r\'eszletesebb t\'argyal\'ast ig\'enyel az er\H os Markov
tulajdons\'ag megfogalmaz\'asa \'es bizony\'\i{}t\'asa Markov
folyamatokra.
 
\item{5a.)} Legyen $(X_t,\Cal F_t)$, $0\le t<\infty$, Markov folyamat
$P(t,s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel. Ekkor tetsz\H oleges $0\le t<\infty$ \'es
$0<s_1,\dots,s_k<\infty$ sz\'amokra
$$
\align
&P(X_{t+s_1+\cdots+s_k}\in \BB_k,\dots,X_{t+s_1}\in \BB_1|\Cal
F_t)(\oo)\\
&\qquad =P(X_{t+s_1+\cdots+s_k}\in \BB_k,\dots,X_{t+s_1}\in \BB_1|X_t)
(\oo)
\endalign
$$
\'es
$$
\align
& P(X_{t+s_1+\cdots+s_k}\in \BB_k,\dots,X_{t+s_1}\in \BB_1|X_t=x) \\
&\qquad =\int_{\BB_1}\cdots \int_{\BB_k}
P(t+s_1+\cdots+s_{k-1},s_k,x_{k-1},dx_k) \\
&\qquad\qquad\qquad P(t+s_1+\cdots+s_{k-2},s_{k-1},x_{k-2},dx_{k-1})
\dots P(t,s_1,x,dx_{1})\;.
\endalign
$$
\item{6a.)}
Igaz az el\"oz\H o \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkez\H o megford\'\i{}t\'asa:
Ha $(X_t,\Cal F_t)$, $\Cal F_t=\sigma(X_s,\;,0\le s\le t)$
olyan val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok rendszere, melyre
alkalmas $P(t,s,x,\BB)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg
f\"uggv\'enyekkel, tetsz\H oleges $0<s_1,\dots,s_k<\infty$
sz\'amokkal \'es $\pi$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
m\'ert\'ekkel az $(X,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'eren teljes\"ul a
$$
\align
&P(X_{s_1+\cdots+s_k}\in \BB_k,X_{s_1+\cdots+s_{k-1}}\in
\BB_{k-1},\dots,X_0\in \BB_1)\\
&\qquad =\int_{\BB_1}\biggl[ \int_{\BB_2}\cdots \int_{\BB_k}
P(s_1+\cdots+s_{k-1},s_k,x_{k-1},dx_k) \\
&\qquad\qquad\qquad P(s_1+\cdots+s_{k-2},s_{k-1},x_{k-2},dx_{k-1})
\dots P(0,s_1,x,dx_{1})\biggr]\pi(dx)
\endalign
$$
azonoss\'ag, akkor $(X_t,\Cal F_t)$ Markov folyamat $P(t,s,,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel, melyre $X_0$
eloszl\'asa $\pi$.
 
A 7. feladat els\H o \'all\'\i{}t\'as\'anak megfelel\H oj\'et Markov folyamatokra
tartalmazza a Markov folyamat definici\'oja. Ez\'ert csak a
Chapman--Kolmogorov egyenlet \'all\'\i{}t\'as\'at fogalmazzuk meg.
 
\item{7a.)} Ha $t\ge0$, $s_1\ge0$, $s_2\ge0$, $\BB\in \Cal B$, akkor
$$
P(t,s_1+s_2,x,\BB)=\int_X P(t+s_1,s_2,y,\BB) P(t,s_1,x,\,dy)\,.
$$
Mi ennek az egyenletnek a szeml\'eletes tartalma?
\item{8a.)} Legyen $(X_t,\Cal F_t)$ Markov folyamat, mely \'ert\'ekeit
egy $(X,\Cal B)$ m\'ert\'ekt\'eren veszi fel. L\'assuk be, hogy
l\'etezik olyan $P(t,x,\A)$, $x\in X$, $\A\in {\Cal
B}^{(0,\infty)}$, f\"uggv\'eny, ahol
$(X^{(0,\infty)},{\Cal B}^{(0,\infty)})$
jel\"oli a $0<t<\infty$ intervallumon \'ertelmezett $(X,\Cal B)$
\'ert\'ek\H u f\"ugg\-v\'e\-nyek ter\'et az $\{X_{t_1}\in\BB_1,\dots,
X_{t_k}\in\BB_k\}$, $0<t_1<\cdots<t_k<\infty$, $\BB_k\in\Cal B_k$
hal\-ma\-zok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aval az
$X^{(0,\infty)}$
t\'eren, melyre $P(t,\cdot,\A)$ m\'er\-he\-t\H o f\"ugg\-v\'eny az
$(X,\Cal B)$ t\'eren minden $\A\in {\Cal B}^{(0,\infty)}$ halmazra,
$P(t,x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek az
$(X^{(0,\infty)},{\Cal B}^{0,\infty)})$ t\'eren, \'es
$$
P(\{\oo\:(X_{t+s}(\oo),\;0<s<\infty)\in \A\}|X_t(\oo)=x)=P(t,x,\A)
$$
minden $t\ge 0$, $x\in X$ \'es $\A\in {\Cal B}^{(0,\infty)}$-re. Ha a
Markov folyamat stacion\'arius, azaz a $P(t,s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyek  $t$-t\H ol
f\"uggetlenek, akkor a $P(t,x,\A)$ felt\'eteles m\'ert\'ekek sem
f\"uggnek $t$-t\H ol.
 
A k\"ovetkez\H o feladatban bebizony\'\i{}tjuk az er\H os Markov
tulajdons\'agot Markov fo\-lya\-ma\-tok\-ra nagyon speci\'alis
meg\'all\'asi szab\'alyokra.
\item{13.)} Legyen $(X(t),\Cal F_t)$ Markov folyamat $P(t,s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel egy $(X,\Cal B)$
m\'erhet\H o t\'eren, $\tau$ olyan meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal
F_t$ $\sigma$-algebra rendszerre n\'ezve, mely csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok \'ert\'eket vesz fel. Ekkor, az 5a.) feladat
jel\H ol\'eseit haszn\'alva,
$$
P(\{\oo\:(X_{\tau+s})(\oo),\;0<s<\infty)\in
\A\}|X_t(\oo)=x)=P(\tau(\oo),x,\A)\;.
$$
 
Azt v\'arn\'ank, hogy a fenti feladat \'all\'\i{}t\'as\'anak a
seg\'\i{}ts\'eg\'evel tetsz\H oleges meg\'all\'asi szab\'aly eset\'ere
be lehet bizony\'\i{}tani a Markov folyamatok er\H os Markov
tulajdons\'ag\'at a meg\'all\'asi szab\'aly alkalmas
approxim\'aci\'oj\'aval. A helyzet azonban bonyolultabb. A
hat\'ar\'atmenet v\'egrehajt\'asa problematikus. Bizonyos
regularit\'asi felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en bel\'atjuk, hogy
a hat\'ar\'atmenet (n\'emi m\'odos\'\i{}t\'asssal) v\'egrehajthat\'o,
\'es teljes\"ul az er\H os Markov tulajdons\'ag. De mutatunk p\'eld\'at
olyan esetre, amikor az er\H os Markov tu\-laj\-don\-s\'ag nem
\'erv\'enyes.
A probl\'ema t\'argyal\'as\'ahoz sz\"uks\'eges a felhaszn\'alt fogalmak
pontos definici\'oja. Nem fogalmazzuk \'es nem bizony\'\i{}tjuk az
\'all\'\i{}t\'ast a lehet\H o leg\'altal\'anosabb e\-set\-ben, de a
sz\'amunkra \'erdekes esetekben a bizony\'\i{}tott t\'etelek
biztos\'\i{}tj\'ak az er\H os Mar\-kov tulajdons\'agot.
 
Az er\H os Markov tulajdons\'ag definici\'oja el\H ott
be\-ve\-ze\-t\"unk egy m\'asik fogalmat.
\medskip\noindent{\bf Definici\'o.} Legyen $\Cal F_t$, $0\le t<\infty$,
$\sigma$-algebr\'ak monoton rendszere, $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly
az $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebr\'akra n\'ezve. Defini\'aljuk a $\Cal
F_{t+0}$, $0\le t<\infty$, $\Cal F_{\tau+0}$ $\sigma$-algebr\'akat a
k\"ovetkez\H o m\'odon: $\Cal F_{t+0}=\bigcapp_{\e\to0}\Cal F_{t+\e}$,
$\Cal F_{\tau+0}=\bigcapp_{\e\to0}\Cal F_{\tau+\e}$. (Megjegyezz\"uk,
hogy $\tau+\e$ szint\'en meg\'all\'asi szab\'aly.)
\medskip
\item{14.)} L\'assuk be, hogy $\Cal F_t\subset \Cal F_{t+0}$, minden
$0<t<\infty$-ra. \'es  $\Cal F_\tau\subset F_{\tau+0}$. A tartalmaz\'as
val\'odi, azaz l\'etezik olyan p\'elda, melyre $\Cal
F_{t+0}\setminus\Cal F_t$ \'es $\Cal F_{\tau+0}\setminus\Cal F_\tau$ nem
\"ures halmaz. \medskip
Az er\H os Markov tulajdons\'agot csak stacion\'arius Markov folyamatra
defini\'aljuk, azaz feltessz\"uk azt, hogy a Markov folyamat
a $P(t,s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"ugg\-v\'e\-nyei nem
f\"uggnek $t$-t\H ol.
 
\medskip\noindent {\bf Definici\'o.} {\it Er\H os Markov
tulajdons\'ag.}\/ Legyen $(X_t,\Cal F_t)$, $0\le t<\infty$,
stacion\'arius Markov folyamat egy $(X, \Cal B)$ f\'azist\'eren
$P(s,x,\BB)$, $0\le s<\infty$, \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyekkel. Legyenek $X_t(x)$, $x\in X$, $0\le t<\infty$, Markov
folyamatok az $(X,\Cal B)$ t\'eren ugyanazokkal a $P(s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel \'es $x$ kezdeti
\'allapottal, azaz legyen $P(X_0(x))=1$. Defini\'aljuk ezen $X_t(x)$
Markov folyamatok $P(x,\A)$, $\A\in\Cal A$, el\-osz\-l\'a\-sa\-it, ahol
$(X^{(0,\infty)},\Cal A)=(X^{(0,\infty)},\Cal B^{(0,\infty)})$,
$X^{(0,\infty)}$ a $(0,\infty)$ intervallumon defini\'alt $X$
\'er\-t\'e\-k\H u f\"uggv\'enyek halmaza, \'es $\Cal B^{(0,\infty)}$ az
$\{x(t)\in X^{(0,\infty)}\:x(t_1)\in \BB_1,\dots,x(t_k)\in \BB_k\}$,
$k=1,2,\dots$, $0<t_1\dots<t_k<\infty$, $\BB_j\in \Cal B$,
$j=1,\dots,k$, halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra az
$X^{(0,\infty)}$ t\'eren, a k\"ovetkez\H o m\'odon: Ha $\A=\{x(t)\in
X^{(0,\infty)}\:x(t_1)\in \BB_1,\dots,x(t_k)\in \BB_k\}$, akkor
$P(x,\A)=P(X_{t_j}(x)\in \BB_j,\;1\le j\le k)$, \'es a $P(x,\cdot)$
m\'ert\'eket kiterjesztj\"uk tetsz\H oleges $\A\in\Cal A$-ra.
 
Az $(X_t,\Cal F_t)$, $P(s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyekkel rendelkez\H o Mar\-kov fo\-lya\-mat teljes\'\i{}ti az
er\H os Markov tulajdons\'agot, ha tetsz\H oleges $\tau$ (az $\Cal F_t$
$\sigma$-algebra rendszerre) meg\'all\'asi szab\'alyra \'es $\A\in\Cal
A$ halmazra
$$
P(\{\oo\: (X_{\tau+s}(\oo),\;0< s<\infty)\in\A\}|\Cal
F_{\tau+0})(\oo)=P(X_{\tau(\oo)},\A)
$$
(Jegyezz\"uk meg, hogy az er\H os Markov tulajdons\'ag
definici\'oj\'aban nemcsak a Markov folyamatot, hanem a $P(s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyeket is meg kell adni,
mivel a Markov folyamat nem hat\'arozza meg egy\'ertelm\H uen a folyamat
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyeit. L\'asd a 19.
feladatban konstru\'alt ellenp\'eld\'at.) \medskip
\item{15.)} Legyen $(X_t,\Cal F_t)$, $0\le t<\infty$, val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok \'es $\sigma$-algebr\'ak adapt\'alt rendszere,
$\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'akra.
Tegy\"uk fel, hogy az $X_t(\oo)$ trajekt\'ori\'ak a $t$ v\'altoz\'oban
jobbr\'ol folytonos f\"uggv\'enyek minden $\oo$-ra. Ekkor $X_\tau(\oo)$
\'es $P(X_{\tau(\oo)},\A)$ $\Cal F_\tau$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny.
%(Ez a tulajdons\'ag sz\"uks\'eges ahhoz, hogy az er\H os Markov
%tulajdons\'ag fogalma \'ertelmes.)
 
Be fogjuk l\'atni az er\H os Markov tulajdons\'agot bi{}zonyos
esetekben. Csak val\'os \'ert\'ek\H u Markov folyamatokat fogunk
vizsg\'alni. Term\'eszetes feltenni, hogy a vizsg\'alt Markov folyamat
trajekt\'ori\'ai teljes\'\i{}tenek bizonyos s\'\i{}mas\'agi
felt\'eteleket. Egy\'ebk\'ent ugyanis a Markov folyamatot minden
$t>0$ pontban csak 0 m\'ert\'ek\H u halmazon megv\'altoztatva olyan
Markov folyamatot kaphatunk, melynek \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyei meg\-egyez\-nek az eredeti Markov folyamat
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyeivel, de amelyik m\'ar
nem teljes\'\i{}ti az er\H os Markov tulajdons\'agot. Markov folyamatok
k\'et oszt\'aly\'ara l\'atjuk be az er\H os Markov tulajdons\'agot. Az
egyik oszt\'aly a tiszta ugr\'o folyamatok oszt\'alya (l\'asd a
definici\'oj\'at lejjebb), a m\'asik oszt\'aly pedig olyan Markov
folyamatokat tartalmaz, melynek trajekt\'ori\'ai jobbr\'ol folytonos
\'es baloldali hat\'ar\'ert\'ekkel rendelkez\H o f\"uggv\'enyek. Ebben
az esetben azonban sz\"uks\'eg van egy plusz felt\'etelre a $P(x,\BB)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg f\"uggv\'enyek
(mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enyeinek) folytonoss\'ag\'ar\'ol,
amelyiket az irodalomban Feller tu\-laj\-don\-s\'ag\-nak h\'\i{}vnak.
Bel\'atjuk egy p\'eld\'aban azt is, hogy ha a Feller tu\-laj\-don\-s\'ag
nem teljes\"ul, akkor lehets\'eges, hogy az er\H os Markov
tulajdons\'ag sem teljes\"ul.
 
\medskip\noindent {\bf Definici\'o.} {\it Tiszta ugr\'o folyamat.}\/
Legyen $(X_t,\Cal F_t)$, $0\le t<\infty$, az $(R^1,\Cal B)$ t\'eren
defini\'alt stacion\'arius Markov folyamat $P(s,x,\BB)$
\'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel.  Azt mondjuk, hogy
ez a Markov folyamat tiszta ugr\'o folyamat, ha minden $x\in R^1$-re
l\'etezik olyan $x$ pontb\'ol indul\'o $X_t(x)$ Markov folyamat (azaz
$P(X_0(x)=x)=1)$) ugyanezekkel a $P(s,x,\BB)$
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'eg f\"uggv\'enyekkel,
melyeknek trajekt\'ori\'ai teljes\'\i{}tik az al\'abbi felt\'eteleket:
Az $X_t(x)$ folyamat minden  trajekt\'ori\'aja jobb\-r\'ol
foly\-to\-nos, \'es l\'etezik baloldali limesze, a trajekt\'ori\'ak
szakad\'asi pontjai izol\'altak, (azaz nincs v\'eges torl\'od\'asi
pontjaik), \'es a trajekt\'ori\'ak konstanssal egyenl\H oek a
folytonoss\'agi pontok kis k\"or\-nye\-ze\-t\'e\-ben. \medskip
\item{16.)} Bizony\'\i{}tsuk be, felhaszn\'alva a 13. feladat
eredm\'eny\'et, hogy a tiszta ugr\'o fo\-lya\-ma\-tok teljes\'\i{}tik
az er\H os Markov tulajdons\'agot. Speci\'alisan, ez az eredm\'eny
al\-kal\-maz\-ha\-t\'o a Poisson folyamatra.
 
A 16. feladatra adott bizony\'\i{}t\'as nem alkalmazhat\'o az
\'altal\'anos esetben. A ne\-h\'ez\-s\'e\-gek azzal f\"uggnek \"ossze,
hogy egy  $\BB\in \Cal B$ halmazra az $f(t,\oo)=I_{\BB}(X_t(\oo))$
f\"uggv\'eny (mint $t$ f\"ugg\-v\'e\-nye) nem folytonos.
Annak \'erdek\'eben, hogy a 16. feladatban v\'egrehajtott
hat\'ar\'atmenet \'altal\'anosabb esetben is v\'egrehajthat\'o legyen,
c\'elszer\H u olyan az er\H os Markov tulajdons\'aggal ekvivalens
tulajdons\'agot megadni, amelyikben esem\'enyek felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'ege helyett folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et kell tekinteni. Ez a
c\'elja a k\"ovetkez\H o feladatnak.
\item{17.)} Ha az $(X_t,\Cal F_t)$ stacion\'arius, val\'os \'ert\'ek\H
u Markov folyamat ($P(s,x,\BB)$ \'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'eg f\"uggv\'enyekkel) teljes\'\i{}ti az er\H os Markov
tulajdons\'agot, \'es $g_1(x)$,\dots, $g_k(x)$ folytonos, korl\'atos
f\"uggv\'enyek, akkor tet\-sz\H o\-le\-ges $\tau$ meg\'all\'asi
szab\'alyra \'es $0<t_1<t_2<\dots<t_k<\infty$ sz\'amokra
$$
E(g(X_{\tau+t_1})\cdots g(X_{\tau+t_k})|\Cal F_{\tau+0})=
E_{X_\tau(\oo)}g(X_{t_1})\cdots g(X_{t_k})\;,
$$
ahol $E_x$ az er\H os Markov tulajdons\'ag definici\'oj\'aban
szerepl\H o $P(x,\cdot)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek szerinti
v\'arhat\'o \'ert\'eket jel\"oli. Megford\'\i{}tva, ha ez az egyenl\H
os\'eg igaz tet\-sz\H o\-le\-ges $g_1(x)$,\dots, $g_k(x)$ folytonos,
korl\'atos tart\'oj\'u f\"uggv\'enyekre, akkor teljes\"ul az er\H os
Markov tulajdons\'ag.
\medskip\noindent{\bf Definici\'o.} {\it Feller tulajdons\'ag.}\/ Legyen
$(X_t, \Cal F_t)$ val\'os \'ert\'ek\H u stacion\'arius Markov folyamat
$P(s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel. A
folyamat teljes\'\i{}ti a Feller tulajdons\'agot, ha tetsz\H oleges
folytonos korl\'atos $g(x)$ f\"uggv\'enyre \'es $t>0$ sz\'amra a
$$
P_tg(x)= E_xg(X_t)=\int g(y)P(t,x,\,dy)
$$
f\"uggv\'eny (mint $x$ f\"uggv\'enye, r\"ogz\'\i{}tett $t$-re)
folytonos.
\item{18.)} Legyen az $(X_t,\Cal F_t)$ stacion\'arius Markov folyamat
Feller folyamat. Tegy\"uk fel to\-v\'ab\-b\'a, hogy az $X_t$ folyamat
trajekt\'ori\'ai jobbr\'ol folytonosak \'es l\'etezik baloldali
ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\"uk minden id\H opontban. Ekkor $X_t$
teljes\'\i{}ti az er\H os Markov tulajdons\'agot. Speci\'alisan a Wiener
folyamat teljes\'\i{}ti a Feller, \'es ez\'ert az er\H os Markov
tulajdons\'agot is.
\item{19.)} Jel\"olj\"on $W(t)$, $0\le t<\infty$, egy Wiener folyamatot,
\'es minden $-\infty<x<\infty$-re defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o $x$
pontb\'ol kiindul\'o Markov folyamatokat: $X_t(x)=x+W(t)$, ha $x\neq
0$, \'es $X_t(0)\equiv0$ minden $0\le t<\infty$-ra. L\'assuk be e
p\'elda alapj\'an, hogy l\'etezik $X_t$, $0\le t<\infty$, Markov
folyamat a k\"ovetkez\H o $P(s,x,\BB)$ \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyekkel: $P(s,x,\BB)=\mu_\varphi (s^{-1/2}(\BB-x))$, ha
$x\neq0$, ahol $\mu_\varphi$ jel\"oli a standard norm\'alis
eloszl\'ast, \'es $P(s,0,\BB)=1$, ha $0\in \BB$, \'es $P(s,0,\BB)=0$ ha
$0\notin\BB$. Tekints\"uk az $X_t(x)$ Markov folyamatot, $x\neq0$,
ezekkel az \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg f\"uggv\'enyekkel, \'es a
$\tau=\inf\{t\: X_t(x)=0\}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ot.
L\'assuk be, hogy $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly,
$P(X(\tau+1)\in\BB|X_\tau)\neq P(1,X(\tau),\BB)$, ez\'ert ez a Markov
folyamat nem teljes\'\i{}ti az er\H os Markov tulajdons\'agot.
 
A k\"ovetkez\H o feladat a 10. feladat \'all\'\i{}t\'as\'anak
folytonos v\'altozata.
 
\item{10a.)} Legyen $(X_t,\Cal F_t)$ Markov folyamat, \'es $\tau$
meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_t$ $\sigma$-algebra rend\-szer\-re
n\'ezve. Defini\'aljuk a $\Cal F_t^\infty=\sigma(X_u,\;u>t)$ \'es $\Cal
F_\tau^\infty=\{\A\:\A\cap\{\tau>t\}\in \Cal F_t^\infty \text{ minden
}t\ge0-\text{ra}\}$  $\sigma$-algebr\'akat. L\'assuk be, hogy ha
$\A_1\in \Cal F_{t+0}$ \'es $\A_2\in \Cal F_t^\infty$, akkor
$P(\A_1\cap\A_2|X_t(\oo))=P(\A_1|X_t(\oo))P(\A_2|X_t(\oo))$. Ha az
$X_t$ Markov folyamat stacion\'arius, trajekt\'ori\'ai jobbr\'ol
folytonosak, \'es teljes\'\i{}ti az er\H os Markov tulajdons\'agot,
$\A_1\in \Cal F_{\tau+0}$ \'es $\A_2\in \Cal F_\tau^\infty$, akkor
$P(\A_1\cap\A_2|X_{\tau}(\oo))=P(\A_1|X_\tau(\oo))P(\A_2|X_\tau(\oo))$.
 
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1.)} Ha $\A_k\in \Cal F_\tau$, $k=1,2,\dots$, akkor
$\bigcupp_{k=1}^\infty \A_k\cap \{\tau\le n\}=
\bigcupp_{k=1}^\infty \(\A_k\cap \{\tau\le n\}\)\in \Cal F_n$ minden
$n$-re, teh\'at $\bigcupp_{k=1}^\infty\A_k\in \Cal F_\tau$. Hasonl\'oan,
az $\Cal F_n$ z\'art megsz\'aml\'alhat\'o metszetk\'epz\'esre, \'es
k\"u\-l\"onb\-s\'eg\-k\'ep\-z\'es\-re. Ez\'ert $\Cal F_\tau$
$\sigma$-algebra.
(A folytonos idej\H u fo\-lya\-ma\-tok hasonl\'oan
t\'ar\-gyal\-ha\-t\'o\-ak.)
\item{2.)} Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges m\'erhet\H o $\BB\subset
R^1$ halmazra \'es $T>0$ sz\'amra a
$\{g(X_1,\dots,X_k)\in\BB\}\cap\{\tau\le T\}$ esem\'eny $\Cal F_T$
m\'erhet\H o. Defini\'aljuk az
$X_j^{(T)}(\oo)=X_j(\oo)I_{\{\tau<T\}}(\oo)$, $j=1,\dots,k$,
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $X_j^{(T)}$ $\Cal F_T$
m\'erhet\H o, \'es
$\{g(X_1,\dots,X_k)\in\BB\}\cap\{\tau\le T\}=
\{g(X_1^{(T)},\dots,X_k^{(T)})\in\BB\}\cap\{\tau\le T\}$. Ez ut\'obbi
esem\'eny viszont $\Cal F_T$ m\'erhet\H o, mivel mind $\{\tau\le T\}$
mind $\{g(X_1^{(T)},\dots,X_k^{(T)})\in\BB\}$ $\Cal F_T$ m\'erhet\H o
esem\'enyek.
\item{3.)} Az $\Cal G_n$ ($\Cal G_t$) $\sigma$-algebr\'ak egym\'asba
\'agyazottak, \'es mivel $\Cal G_n\subset \Cal F_n$, $\Cal G_t\subset
\Cal G_t$, ez\'ert
$$
\align
P(X_{n+1}\in \BB|\Cal G_n)(\oo)&=
E(I_{\BB}(X_{n+1})|\Cal G_n)(\oo)=
E(E(I_{\BB}(X_{n+1})|\Cal F_n)|\Cal G_n)(\oo)\\
&=E(E(I_{\BB}(X_{n+1})|X_n)|\Cal G_n)(\oo)=
E(I_{\BB}(X_{n+1})|X_n)(\oo)\\
&=P(X_{n+1}\in \BB|X_n)(\oo).
\endalign
$$
A folytonos idej\H u eset hasonl\'oan t\'argyalhat\'o.
\item{4.)} Mivel a Poisson folyamat \'es Wiener folyamat f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H u, ez\'ert ezek Markov tulajdons\'aga k\"ovetkezik a
{\it Feladatok}\/ feladatsor 4. feladat\'ab\'ol. Ezek a folyamatok
stacion\'arius Markov folyamatok, mivel az \'atmenetm\'atrixuk
$$
P(s,t,x,\BB)=P(X(t+s)-X(t)\in\BB)\;,
$$
ahol $X(\cdot)$ jel\"oli vagy a Wiener
vagy a Poisson folyamatot, nem f\"ugg $t$-t\H ol. Az, hogy a Brown
bridge \'es
Ornstein--Uhlenbeck folyamatok Markov folyamatok, k\"ovetkezik a
fentiekb\H ol \'es a {\it Wiener folyamatok}\/ feladatsor 9. \'es 11.
feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol.
\item{} $P(\xi_{n+1}\in\BB|\xi_n,\dots,\xi_1)=P(\xi_{n+1}\in\BB)$, \'es
$P(S_{n+1}\in\BB|S_n,\dots,S_1)=P(\xi_{n+1}\in\BB-S_n)$. (Az utols\'o
k\'epletben felhaszn\'altuk azt, hogy hogyan kell felt\'eteles
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gek\-kel sz\'amolni, l\'asd {\it
Feladatok}\/ feladatsor els\H o
feladat\'at.) Ez\'ert $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, Markov l\'anc $P(n,x,
\BB)=\mu_{n+1}(\BB)$, \'es $S_n$, $n=1,2,\dots$, Markov l\'anc
$P(n,x,\BB)=\mu_{n+1}(\BB-x)$, \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'ennyel, ahol $\mu_n$ a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o eloszl\'asa. Ha a $\xi_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok egyforma
eloszl\'as\'uak, akkor az \'atmenetval\'osz\'\i{}n\H us\'eg
f\"uggv\'enyek alakj\'ab\'ol l\'athat\'o,
hogy ezek a Markov l\'an\-cok stacion\'ariusak.
\item{5.)} Ha $m=1$, akkor az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a Markov
tulajdons\'ag
definici\'oj\'ab\'ol. Tegy\"uk fel, hogy az \'all\'\i{}t\'as igaz
$m$-re, \'es l\'assuk be
indukci\'oval $m+1$-re. Abb\'ol, hogy az \'all\'\i{}t\'as igaz $m$-re
k\"ovetkezik,
hogy tetsz\H oleges $(X^m,\Cal B^m)$ m\'erhet\H o $g(x_1,\dots,x_m)$
f\"uggv\'enyre
$$
E (g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|\Cal F_n)(\oo)=
E (g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|X_n)(\oo)\;,
$$
\'es
$$
\align
&E (g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|X_n(\oo)=x)\\
&=\int\limits_{X}\cdots \int\limits_{X}g(x_{n+m},\dots,x_{n+1})\\
&\qquad P(n+m-1,x_{m-1},dx_m)P(n+m-2,x_{m-2},dx_{m-1})\dots
P(n,x,dx_{n+1}).
\endalign
$$
Val\'oban, ezek az \'all\'\i{}t\'asok igazak
$g(x_1,\dots,x_m)=\prodd_{l=1}^m
I_{\BB_l}(x_l)$ alak\'u f\"uggv\'enyekre, \'es szok\'asos
limeszel\'esi elj\'ar\'assal
kiterjeszthet\H oek tetsz\H oleges m\'erhet\H o $g(x_1,\dots,x_m)$
f\"uggv\'enyre.
\item{} Ezeket az azonoss\'agokat felhaszn\'alva kapjuk, hogy
$$
\align
&P(X_{n+m+1}\in \BB_{m+1},\dots,X_{n+1}\in \BB_{n+1}|\Cal F_n)\\
&\qquad =E(I_{\BB_{m+1}}(X_{n+m+1})I_{\BB_m}(X_{n+m})\cdots
I_{\BB_1}(X_{n+1})|\Cal F_n)\\
&\qquad=E(I_{\BB_m}(X_{n+m})\cdots
I_{\BB_1}(X_{n+1})E(I_{\BB_{m+1}}(X_{n+m+1})|\Cal F_{n+m})|\Cal F_n)\\
&\qquad =E(g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|\Cal F_n)(\oo)
=E(g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|X_n)(\oo)\;,
\endalign
$$
ahol
$$
\align
g(x_1,\dots,x_m)&=\prod_{l=1}^m I_{\BB_l}(x_l)
P(n+m,x_{m},\BB_{m+1})\\
&=\prod_{l=1}^m I_{\BB_l}(x_l)\int_{\BB_{m+1}}
P(n+m,x_{m},dx_{m+1})\;.
\endalign
$$
Kisz\'am\'\i{}tva az $E(g(X_{n+m},\dots,X_{n+1})|X_n=x)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o
\'ert\'eket a m\'ar bizony\'\i{}tott formula seg\'\i{}ts\'eg\'evel,
kapjuk a k\'\i{}v\'ant \'all\'\i{}t\'ast.
\item{6.)} Az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes
eloszl\'as\'at le\'\i{}r\'o k\'epletet haszn\'alva
$\BB_2=\cdots=\BB_n=X$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy $X_1$ eloszl\'asa
$\pi$.
Ezenk\'\i{}v\"ul be kell m\'eg l\'atni, hogy az $X_n\in \BB_n$
esem\'eny felt\'eteles
eloszl\'asa, felt\'eve az $\Cal F_{n-1}=\sigma(X_1,\dots, X_{n-1})$
$\sigma$-algebr\'at az el\H o\'\i{}rt alak\'u. Ez ekvivalens a
k\"ovetkez\H o \'all\'\i{}t\'assal:
$$
\align
&P(X_n\in \BB_n, (X_1,\dots,X_{n-1})\in \A)\\
&\qquad=\int_{(X_1(\oo),\dots,X_{n-1}(\oo))\in \A}
g(X_1(\oo),\dots,X_{n-1}(\oo))\,dP(\oo)
\endalign
$$
tetsz\H oleges $\A\in\Cal B^{m-1}$ halmazra, ahol
$$
g(x_1,\dots,x_{n-1})=P(n-1,x_{n-1},\BB_n)=\int_{\BB_n}
P(n-1,x_{n-1},dx_n)\;.
$$
El\'eg ezt az \'all\'\i{}t\'ast $\A=\BB_1\times\cdots\times\BB_{n-1}$
alak\'u halmazokra bel\'atni, mivel ha az azonoss\'ag igaz az ilyen
halmazokra, akkor ez az azonoss\'ag kiterjeszthet\H o az \"osszes
k\'\i{}v\'ant tipus\'u halmazra. Ezekre a halmazokra viszont az
\'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a feladatban fel\'\i{}rt azonoss\'agb\'ol.
\item{7.)} Az 5. feladat eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
&P(X_{n+m}\in \BB|\Cal F_n)(\oo)=
P(X_{n+m}\in \BB,X_{n+j}\in X,\in X,\;1\le j<m|\Cal F_n)(\oo)\\
&\qquad=P(X_{n+m}\in \BB,X_{n+j}\in X,\in X,\;1\le j<m|X_n)(\oo)=
P(n,m,X_n(\oo),\BB)\;,
\endalign
$$
ahol
$$
\align
&P(n,m,X_n(\oo),\BB)\\
& =\!\int\limits_{X}\!\cdots \!\int\limits_{\BB}\!
P(n+m-1,x_{m-1},dx_m)P(n+m-2,x_{m-2},dx_{m-1})\dots
P(n,x,dx_{n+1}).
\endalign
$$
E k\'eplet seg\'\i{}ts\'eg\'evel standard sz\'amol\'assal kapjuk a
Kolmogorov--Chapman egyenletet.
\item{8.)} Az 5. feladatb\'ol k\"ovetkezik, hogy az
\'all\'\i{}t\'as igaz tetsz\H oleges
hengerhalmazra, azaz abban az esetben, ha $\A=\{(x_1,x_2,\dots)\in
X^\infty\: x_j\in \BB_j,\;j=1,\dots,m\}$ valamilyen pozit\'\i{}v
eg\'esz $m$
sz\'ammal, \'es $\BB_j\in \Cal B$ halmazokkal. Ebben az esetben a
feladatban
fel\'\i{}rt integr\'al kifejezi a k\'\i{}v\'ant felt\'eteles
val\'osz\'\i{}n\H us\'eget. Innen
viszont standard m\'odon a felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H us\'egek
kiterjeszthet\H oek
tetsz\H oleges $\Cal B^\infty$ m\'erhet\H o  $\A$ halmazra. Ha a
Markov l\'anc
stacion\'arius, akkor ezek a felt\'eteles m\'ert\'ekek nem f\"uggnek
$n$-t\H ol.
\item{9.)} Legyen $\BB\in \Cal F_\tau$. Ekkor $\BB=\bigcupp_{n=1}^\infty
\(\BB\cap\{\tau=n\}\)$, \ $\BB\cap\{\tau=n\}\in \Cal F_n$, \'es a
$\BB\cap\{\tau=n\}$ halmazok diszjunktak k\"ul\"onb\"oz\H o
$n$-re. Ez\'ert
$$
\align
&P(\BB\cap\{(X_{\tau+1},X_{\tau+2},\dots)\in \A\})\\
&\qquad=\sum_{n=1}^\infty
P((\BB\cap\{\tau=n\}\cap\{(X_{n+1},X_{n+2},\dots)\in \A\})\\
&\qquad=\sum_{n=1}^\infty\int_{\BB\cap \{\tau=n\}}
P(n,X_{n}(\oo),\A)P(\,d\oo)=
\int_{\BB} P(\tau,X_{\tau}(\oo),\A)P(\,d\oo)
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag igaz minden $\BB\in \Cal F_\tau$ halmazra. Tov\'abb\'a
$P(\tau,X_\tau(\oo),\A)\in \Cal F_\tau$. Val\'oban, ha  a m\'asodik
feladat \'all\'\i{}t\'as\'at alkalmazzuk $X_1=\tau$, $X_2=X_\tau$ \'es
$g(x_1,x_2)=P(x_1,x_2,\A)$ szereposzt\'assal, akkor megkapjuk a
k\'\i{}v\'ant m\'erhet\H os\'egi tulajdons\'agot. E
tulajdons\'agokb\'ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{10.)} Legyen $\A_1\in \Cal F_n$  \'es $\A_2\in\Cal F_n^\infty$.
Ekkor
$$
\align
&P(\A_1\A_2|X_n(\oo))=E((I_{\A_1}(\oo)I_{\A_2}(\oo)|\Cal F_n)|X_n)\\
&\qquad=E(I_{\A_1}(\oo)E(I_{\A_2}(\oo)|\Cal F_n)|X_n)
=E(I_{\A_1}(\oo)P(\A_2|X_n)|X_n)\\
&\qquad=P(\A_2|X_n)E(I_{\A_1}(\oo)|X_n)
=P(\A_1|X_n)P(\A_2|X_n)\;.
\endalign
$$
A feladat m\'asik \'all\'\i{}t\'asa hasonl\'oan bizony\'\i{}that\'o, de
sz\"uks\'eg van a k\"ovetkez\H o \'esz\-re\-v\'e\-tel\-re is:
Ha $\A_2\in \Cal F_\tau^\infty$, akkor l\'etezik olyan $\tilde
\A\in\Cal B^\infty$ halmaz, melyre
$$
\A_2=\{\oo\: (X_{\tau+1},\dots)\in\tilde \A\}\;.
$$
Ez\'ert, felhaszn\'alva a Markov folyamat stacionarit\'as\'at is,
$$
\align
P(\A_2|\Cal F_\tau)&=P(\{\oo\: (X_{\tau+1},\dots)\in\tilde \A\}|\Cal
F_\tau)= P(\tau, X_\tau(\oo),\tilde \A))\\
&= P(X_\tau(\oo),\tilde \A)=P(\A_2|X_\tau).
\endalign
$$
Az utols\'o azonoss\'ag bizony\'\i{}t\'as\'an\'al haszn\'aljuk fel, hogy
$P(\A_2|\Cal F_\tau)= P(X_\tau(\oo),\tilde \A)$ $X_\tau$ m\'erhet\H o,
\'es  az $X_\tau$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebra r\'esze $\Cal F_\tau$-nak.
\item{11.)} A $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat stacion\'arius Markov
l\'ancot
alkot. Ez\'ert alkalmazhat\'o r\'a a 9. feladatban megfogalmazott er\H
os Markov
tulajdons\'ag. Ebben a speci\'alis esetben a $P(n,x,\A)=P(x,A)$
felt\'eteles
m\'ert\'ekek nem m\'asok mint az $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
\'altal a sz\'amegyenesen
meghat\'arozott m\'ert\'ek \"onmag\'aval v\'egtelen p\'eld\'anyban vett
szorzatm\'ert\'eke az $R^\infty$ szorzatt\'eren. Ez\'ert a
$\xi_{\tau+j}$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek \'es $F$
eloszl\'as\'uak. Mivel az egy\"uttes eloszl\'asuk nem f\"ugg az $\Cal
F_\tau$
$\sigma$-algebr\'at\'ol, ez\'ert, mint a felt\'eteles val\'osz\'\i{}n\H
us\'eg definici\'oj\'ab\'ol
k\"ozvetlen\"ul ad\'odik, ezek a val\'osz\'\i{}\H us\'gi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek a $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebr\'at\'ol,
azaz az \"osszes $\A\in \Cal F_\tau$ esem\'enyt\H ol is.
\item{12.)} Mivel $\{\tau\le n\}=\{S_n\ge T\}\in \Cal
F_n$, $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly. Az el\"oz\H o feladat sze\-rint a
$\xi_{\tau+1}$,
$\xi_{\tau+2}$,\dots f\"uggetlen exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok $\lambda$ param\'eterrel, melyek f\"uggetlenek a $(\tau,
S_\tau-T)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektort\'ol is, mivel ez
ut\'obbi $\Cal F_\tau$ m\'erhet\H o.
\item{} Be kell m\'eg bizony\'\i{}tani, hogy $\tau$ \'es $S_\tau-T$
f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, \'es $P(S_\tau-T>x)=e^{-\lambda x}$ ha $x\ge 0$.
Ez az \'all\'\i{}t\'as ekvivalens azzal, hogy
$P(S_\tau-T>x|\tau=k)=e^{-\lambda
x}$ minden $x>0$ \'es $k=1,2,\dots$ sz\'amra. Viszont
$$
\align
P(S_\tau-T>x|\tau=k)&=P(S_{k-1}+\xi_k>T+x|S_{k-1}\le T,
S_{k-1}+\xi_k>T)\\
&=\frac{P(S_{k-1}+\xi_k>T+x,S_{k-1}\le T)}
{P(S_{k-1}+\xi_k>T,S_{k-1}\le T)}\;.
\endalign
$$
Legyen $S_{k-1}$ eloszl\'asa $F_k(x)$. Ekkor az $S_{k-1}$ \'es $\xi_k$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-len\-s\'e\-ge miatt
az el\"oz\H o sz\'amol\'as szerint
$$
P(S_\tau-T>x|\tau=k)=\frac{\int_0^T e^{-\lambda(T+x-y)}F_k(\,dy)}
{\int_0^T e^{-\lambda(T-y)}F_k(\,dy)}=e^{-\lambda x}.
$$
Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'\i{}t\'asa.
\bye