\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\K{{\bold K}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\beginsection Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben
 
Vizsg\'alni k\'\i{}v\'anjuk eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak
term\'eszetes \'altal\'anos\'\i{}t\'as\'at abban az eset\-ben, amikor a
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek \'altal\'anosabb tereken vannak
defini\'alva, \'es nemcsak az Euklideszi t\'eren. Ehhez sz\"uks\'eg van
az Euklideszi t\'eren \'ertelmezett m\'er\-t\'e\-kek
konvergenci\'aj\'ar\'ol, kompakts\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o eredm\'enyek
\'altal\'anos\'\i{}t\'as\'ara. Legyen adva
$\xi_n=(\xi_n^{(1)},\dots,\xi_n^{(k)})$, $n=1,2,\dots$, $R^k$
\'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'oknak (vagy ezek
$F_n(x_1,\dots,x_k)=P(\xi^{(1)}_n<x_1,\dots,\xi_n^{(k)}<x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeinek) egy sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok (illetve
ezek $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyei) eloszl\'asban konverg\'alnak egy
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as\'u $\xi=(\xi^{(1)},\dots,\xi^{(k)})$
val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ohoz (egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez), ha
$$
\lim\limits_{n\to\infty}F_n(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)
$$
az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban.
\medskip\noindent{\bf Feladatok:}\medskip
\item{1.)} Az $F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor \'es
csak akkor konverg\'alnak eloszl\'asban az $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha tetsz\H oleges $f(x_1,\dots,x_k)$
folytonos \'es kor\-l\'a\-tos f\"uggv\'enyre
$$
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)\to
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF(x_1,\dots,x_k)\;,
\quad\text{ha }n\to\infty\;.
$$
\smallskip
Ennek alapj\'an defini\'aljuk val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'at \'altal\'anosabb teljes sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis
metrikus terekben a k\"ovetkez\H o  m\'odon: Legyen $(X,\rho)$ egy
teljes sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis metrikus t\'er.  A $\rho$
metrika meghat\'aroz egy topol\'ogi\'at, \'es legyen $\Cal A$ az e
topol\'ogia szerinti ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt
Borel $\sigma$-algebra. Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,  az
$(X,\Cal A)$ t\'eren val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek egy
sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak a $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez, ha
tetsz\H oleges az $(X,\rho)$ t\'eren \'ertelmezett folytonos,
korl\'atos $f$ f\"ug\-gv\'eny\-re $\lim\limits_{n\to \infty}\int
f\,d\mu_n\to \int f\,d\mu$. Az el\H oz\H o feladat szerint ez a fogalom
\'altal\'anos\'\i{}t\'asa az Euklideszi t\'eren defini\'alt
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek eloszl\'asbeli
konvergenci\'aj\'anak. Azt mondjuk, hogy a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi m\'ert\'ekek sorozata kompakt, ha e sorozat tetsz\H oleges
$\mu_{n_k}$ r\'eszsorozat\'anak van gyeng\'en konvergens
r\'eszsorozata. A  k\"ovetkez\H o n\'eh\'any fel\-adat\-ban megmutatjuk,
hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia n\'eh\'any tulajdons\'aga
\'altal\'anosabban is igaz a gyenge konvergenci\'ara metrikus terekben.
A k\"ovetkez\H o t\'etelben megfogalmazunk egy a m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o fontos eredm\'enyt.
\medskip
\noindent{\bf T\'etel.} Legyen $(X,\rho)$ teljes (szepar\'abilis),
kompakt metrikus t\'er. Ekkor az $(X,\Cal A)$ t\'e\-ren \'ertelmezett
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekeknek minden $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata kompakt. \smallskip \noindent
K\"ul\"on megfogalmazzuk ennek a t\'etelnek egy speci\'alis eset\'et,
melyet egyszer\H ubb bizony\'\i{}tani, \'es amelyikb\H ol le fogunk
vezetni a feladatsorban egy a fenti t\'eteln\'el
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb eredm\'enyt. Ezt az eredm\'eny nem
bizony\'\i{}tjuk mag\'aban a feladatsorban, csak egy k\"u\-l\"on
kieg\'esz\'\i{}t\'esben. \smallskip\noindent
{\bf T\'etel A.} Legyen a $(Z,\rho)$ t\'er a $[0,1]$ intervallum
\"onmag\'aval
vett v\'egtelen direkt szorzata, azaz az $x=(x_1,x_2,\dots)$ $0\le
x_j\le1$, $j=1,2,\dots$, sorozatokb\'ol \'all\'o t\'er a k\"ovetkez\H
o metrik\'aval: Ha $x=(x_1,x_2,\dots)\in Z$, $y=(y_1,y_2,\dots)\in Z$,
akkor $\rho(x,y)=\summ_{j=1}^\infty 2^{-j}|x_j-y_j|$. Ekkor a
$(Z,\rho)$ t\'er teljes, (szepar\'abilis) kompakt metrikus t\'er.
Legyen $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra a $(Z,\rho)$ t\'eren.
A $(Z,\Cal B)$ t\'e\-ren \'ertelmezett val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekeknek minden $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata kompakt.
\smallskip \noindent
Ugyancsak haszn\'alni fogjuk a k\"ovetkez\H o m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyt: \medskip\noindent
{\bf Proposition.} Legyen $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus
t\'er, \'es $(X,\Cal A)$ az \'altala gener\'alt m\'ert\'ekt\'er. Egy az
$(X,\Cal A)$ t\'eren defini\'alt $\mu$ v\'eges m\'ert\'ek
seg\'\i{}ts\'eg\'evel defini\'aljuk az $I_\mu$ funkcion\'alt az
$(X,\rho)$ t\'eren \'ertelmezett folytonos f\"uggv\'enyek ter\'en az
$$
I_\mu(f)=\int_X f(x)\mu(\,dx)
$$
k\'eplet seg\'\i{}ts\'eg\'evel.  Az $I_\mu$ funkcion\'al
egy\-\'er\-tel\-m\H u\-en meg\-ha\-t\'a\-roz\-za a $\mu$ m\'ert\'eket.
Spe\-ci\-\'a\-li\-san, egy gyeng\'en konverg\'al\'o $\mu_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'eksorozat $\mu$ hat\'ar\'ert\'eke
egy\-\'er\-tel\-m\H u\-en meghat\'arozott.
\smallskip\noindent Kiss\'e r\'eszletesebben: Az, hogy az $I(\mu)$
funkcion\'al egy\'ertelm\H uen meghat\'arozza a $\mu$ m\'ert\'eket
k\"ovetkezik a k\"ovetkez\H o rel\'aci\'okb\'ol:
$\mu(G)=\sup\limits_{f\in\Cal F_G}
I_\mu(f)$ minden ny\'\i{}lt $G\in \Cal A$ halmazra, ahol $\Cal F$ azon
folytonos $f(x)$, $x\in X$, f\"uggv\'enyek halmaza, melyekre $0\le
f(x)\le 1$ minden $x\in X$-re, \'es $f(x)=0$ minden $x\in X\setminus G$.
Tov\'abb\'a, $\mu(\A)=\inf\limits_{G\: G\text{ ny\'\i{}lt }\A\subset
G}\mu(G)$ minden $\A\in \Cal A$-ra.
\smallskip\noindent Ebb\H ol az \'all\'\i{}t\'asb\'ol ad\'odik az
al\'abbi k\"ovetkezm\'eny:
\smallskip\noindent{\bf K\"ovetkezm\'eny.} Ha $\mu_1$ \'es $\mu_2$ k\'et
v\'eges m\'ert\'ek az $(X,\Cal A)$ t\'eren, melyekre $I_{\mu_1}(f)\le
I_{\mu_2}(f)$ minden nem negat\'\i{}v folytonos f\"uggv\'enyre az
$(X,\Cal A)$ t\'eren, akkor $\mu_1(\A)\le \mu_2(\A)$ minden  $\A\in
\Cal A$ m\'erhet\H o halmazra az $(X,\Cal A)$ t\'eren.
\medskip
Az al\'abbiakban megfogalmazott feladatokban t\"obbsz\"or kell egy teljes
szepar\'abilis metrikus t\'er kompakt halmazaival dolgozni. Felid\'ezz\"uk
azt a k\'et ekvivalens jellemz\'es\'et kompakt halmazoknak, melyeket
haszn\'alni fogunk.
\medskip\noindent
{\bf Kompakt halmazok jellemz\'ese:} Legyen $(X,\rho)$ teljes
szepar\'abilis metrikus t\'er. Egy $\K\subset X$ halmaz akkor \'es csak
akkor kompakt, ha a k\"ovetkez\H o k\'et (ekvivalens) tulajdons\'ag
valamelyike teljes\"ul. \smallskip
\item{a.)} A $\K$ halmaz, z\'art, \'es tetsz\H oleges $x_1,x_2,\dots$,
$x_j\in \K$, $j=1,2,\dots$, sorozatnak van konvergens r\'eszsorozata.
\item{b.)} A $\K$ halmaz tetsz\H oleges ny\'\i{}lt fed\'es\'eb\H ol
kiv\'alaszthat\'o egy v\'eges ny\'\i{}lt fed\'es, azaz, ha
$\K\subset\bigcap\limits_{t\in T} G_t$, ahol a $G_t\subset X$ halmazok
ny\'\i{}ltak, \'es a $T$ indexhalmaz tetsz\H oleges, akkor l\'etezik
olyan $\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges r\'eszhalmaza $T$-nek,
melyre $\K\subset\bigcap\limits_{j=1}^n G_{t_j}$. \medskip
\item{2.)}Bizony\'\i{}tsuk be a Propositiont \'es a k\"ovetkezm\'eny\'et.
\item{3.)} Legyen $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er,
\'es $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek
sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren. L\'assuk be, hogy a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'asok ekvivalensek:
\itemitem{a.)} A $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak egy
$\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez.
\itemitem{b.)} Minden z\'art $F\subset X$ halmazra
$\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(F)\le \mu(F)$
\itemitem{c.)} Minden ny\'\i{}lt $G\subset X$ halmazra
$\liminf\limits_{n\to\infty}\mu_n(G)\ge \mu(G)$
\itemitem{d.)} Jel\"olje $\partial \A$ egy m\'erhet\H o $\A$ halmaz
hat\'ar\'at. Ha $\mu(\partial \A)=0$,
akkor $\lim\limits_{n\to\infty}\mu_n(\A)=\mu(\A)$.
\item{} Mutassuk meg egy p\'eld\'an, hogy a b.) illetve c.) r\'eszben a
$\limsup$ \'es $\liminf$ nem he\-lyet\-te\-s\'\i{}t\-he\-t\H o limesszel.
\item{4.)}  Legyen $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er,
\'es  legyen adva  val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-keknek egy
$\mu_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Tegy\"uk fel
tov\'abb\'a, hogy l\'etezik egy olyan $\K\subset X$ z\'art halmaz,
melyre $\mu_n(\K)=1$ minden $n=1,2,\dots$-ra. L\'assuk be, hogy a
k\"ovetkez\H o k\'et \'all\'\i{}t\'as ekvivalens:
\item{a.)} A $\mu_n$ m\'ert\'ekek megszor\'\i{}t\'asai a $\K$ halmaz
m\'erhet\H o r\'eszhalmazaira gyeng\'en konverg\'alnak egy $\mu$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez a $(\K,{\Cal A}_{\K})$
t\'eren, ahol ${\Cal A}_{\K}$ az $\Cal A$ $\sigma$-algebra
megszor\'\i{}t\'asa a $\K$ halmaz r\'eszhalmazaira.
\item{b.)} A $\mu_n$ m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak egy $\mu$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez $(X,\Cal A)$ t\'eren.
\item{} A b.) esetben is teljes\"ul a $\mu(\K)=1$ tulajdons\'ag.
\item{5.)} Legyen $(X,\rho)$ teljes  szepar\'abilis metrikus t\'er, \'es
$x\in X$-re defini\'aljuk az $x$ k\"o\-z\'ep\-pon\-t\'u $\delta$
sugar\'u g\"omb\"ot a k\"ovetkez\H o formula seg\'\i{}ts\'eg\'evel:
$S(x,\delta)=\{y\:y\in X,\; \rho(x,y)<\delta\}$. Legyen $\mu$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek az $(X,\Cal A)$ t\'eren.
Mutassuk meg, hogy tetsz\H oleges $\e>0$ \'es $\delta>0$-ra megadhat\'o
v\'eges sok $x_1\in X$, \dots, $x_n\in X$, $n=n(\e,\delta)$, pont
\'ugy, hogy $\mu\biggl(\bigcup\limits_{j=1}^n
S(x_j,\delta)\biggr)>1-\e$. Ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a
seg\'\i{}ts\'eg\'evel l\'assuk be, hogy minden $\e>0$-ra l\'etezik
olyan kompakt $\K=\K(\e)\subset X$ halmaz, melyre $\mu(\K)>1-\e$.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes megjegyezni, hogy e feladat
\'all\'\i{}t\'asa szerint egy az $(X,\rho)$ metrikus t\'eren
defini\'alt val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek nagyr\'esze a t\'er egy
kis halmaz\'ara van koncentr\'alva. M\'\i g v\'eges dimenzi\'os Euklideszi
t\'erben a kompakt halmazok megegyeznek a korl\'atos z\'art halmazokkal,
addig az \'altal\'anos esetben ez m\'ask\'epp van. Eml\'ekeztet\H o\"ul:
Minden v\'egtelen dimenzi\'os Banach t\'erben az egys\'egg\"omb nem
kompakt.
\item{6.)} L\'assuk be az el\H oz\H o \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkez\H o
\'eles\'\i{}t\'es\'et: Ha $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi m\'ert\'ekek kompakt sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren, akkor
minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan kompakt $\K=\K(\e)\subset X$ halmaz,
melyre $\mu_n(\K)>1-\e$ minden $n$-re.
\item{}  Be akarjuk l\'atni ennak az \'all\'\i{}t\'asnak a
megford\'\i{}t\'as\'at a T\'etel~A seg\'\i{}ts\'eg\'evel. El\H osz\"or
bel\'atjuk a t\'etelt abban a speci\'alis esetben, amikor az $X$ t\'er
az Euklideszi t\'er kompakt r\'eszhalmaza (7. feladat). Ezt az eredm\'enyt
felhaszn\'aljuk a kieg\'esz\'\i{}t\'esben a
a T\'etel~A bizony\'\i{}t\'as\'aban. A T\'etel~A seg\'\i{}ts\'eg\'evel
bel\'atjuk a 6. feladat eredm\'eny\'enek
megford\'\i{}t\'as\'at, ami a kompakt tereken defini\'alt
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekeknek (a gyenge konvergencia szerinti) kompakts\'ag\'at
kimond\'o T\'etel \'altal\'anos\'\i{}t\'asa. (9.
feladat). Ehhez el\H obb bel\'atunk egy topol\'ogiai jelleg\H u t\'etelt
(8. feladat).
\item{7.)} L\'assuk be, hogy ha az $X$ t\'er a $k$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'er korl\'atos, z\'art r\'eszhalmaza, $\Cal A$ az ezen a
t\'eren \'ertelmezett Borel $\sigma$-algebra, akkor tetsz\H oleges az $(X,\Cal
A)$ t\'eren defini\'alt $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
sorozat\'anak van gyeng\'en konvergens r\'esz\-so\-ro\-za\-ta.
\item{8.)} Legyen $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis metrikus t\'er.
L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan foly\-to\-nos, injekt\'\i{}v (= k\"ul\"onb\"oz\H o
pontok k\'epe k\"ul\"onb\"oz\H o), $\T$ lek\'epez\'ese az
$(X,\rho)$
t\'ernek a a T\'etel~A-ban de\-fi\-ni\-\'alt $(Z,\rho)$ t\'er  $\T(X)$
r\'eszhalmaz\'aba, mely teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o tulajdons\'agot
is. Ha $\K\subset X$ az $X$ t\'er kompakt r\'eszhalmaza, akkor a $\T$
lek\'epez\'es megszor\'\i{}t\'asa a $\K$ halmazra homeomorphizmus.
(Azaz a $\T$ lek\'epez\'es megszor\'\i{}t\'asa a $\K$ kompakt
halmazra folytonos, invert\'alhat\'o, \'es az inverz lek\'epez\'es is
folytonos.)
\item{9.)} Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek sorozata egy $(X,\rho)$ teljes sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis
metrikus t\'er \'altal defini\'alt $(X,\Cal A)$ m\'ert\'ekt\'eren,
mely teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o fel\-t\'e\-telt:
Minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan kompakt $\K=\K(\e)\subset X$ halmaz,
melyre $\mu_n(\K)>1-\e$ minden $n$-re. L\'assuk be, hogy a
hogy a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'er\-t\'ek\-so\-ro\-zat kompakt.
\medskip
A fenti feladatokban bizony\'\i{}tott eredm\'enyeket folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokra k\'\i{}v\'anjuk
alkalmazni. Ennek \'erdek\'eben jellemezz\"uk a kompakt hal\-ma\-zo\-kat a  $C([0,1])$ t\'erben (11.\
feladat), majd egy egyszer\H u, de az \'altal\'anos metrikus terekben
vett m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'anak az elm\'elet\'eben is fontos
eredm\'eny se\-g\'\i{}t\-s\'e\-g\'e\-vel (12.\ feladat) megadjuk annak
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy $C([0,1])$
t\'erbeli m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'aljanak (13.\ feladat). A
feladatsor n\'eh\'any egy\'eb fel\-ada\-ta ezen eredm\'enyek
alkalmazhat\'os\'ag\'at k\'\i{}v\'anja megmutatni. Ahhoz azonban, hogy
a $C([0.1])$ t\'erbeli konvergencia elm\'elet\'et alkalmazhassuk
tetsz\H oleges folytonos tra\-jek\-t\'o\-ri\-\'a\-j\'u sztochasztikus
folyamatra, tudni kell, hogy egy folytonos trajekt\'ori\'aj\'u a $[0.1]$
intervallum pontjaival param\'eterezett sztochasztikus folyamat
felfoghat\'o mint $C([0,1])$ \'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o. Ennek az \'all\'\i{}t\'asnak a pontos megfogalmaz\'asa
\'es bi\-zo\-ny\'\i{}\-t\'a\-sa a 10.\ feladat c\'elja.
\medskip
\item{10.)} Legyen $X(t)=X(t,\oo)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
sztochasztikus folyamat az $(\Omega, \Cal A, P)$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi mez\H on. L\'assuk be, hogy $X(t,\oo)$ tekinthet\H o egy
$C([0,1])$ \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi
v\'altoz\'onak is. R\'eszletesebben megfogalmazva: Jel\H olje $\Cal B$
a Borel $\sigma$-algebr\'at $R^1$-en, \'es legyen $\Cal C$ a Borel
$\sigma$-algebra a $C([0,1])$ t\'eren, azaz legyen $\Cal C$ a
ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt legsz\H ukebb $\sigma$-algebra
a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
ter\'en a szupr\'emum norma \'altal gener\'alt topol\'ogi\'aval.
L\'assuk be, hogy ha a $\T_t\: (\Omega,\Cal A,P)\to(R^1,\Cal B)$,
$\T_t(\oo)=X_t(\oo)$, lek\'epez\'es m\'erhet\H o minden
$t\in[0,1]$-re, akkor a $\T\: (\Omega, \Cal A, P)\to (C([0,1]),\Cal C)$,
$\T(\oo)= X(\cdot,\oo)$ lek\'epez\'es is m\'erhet\H o.
\item{} Legyen $X(t)$, $0\le t\le1$, folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk
ennek $\mu_X $eloszl\'as\'at a $C([0,1])$ t\'eren a k\"ovetkez\H o
m\'odon: $\mu_X(\K)=P(X(\cdot,\oo)\in \K)$ minden $\K\in\Cal C$-re.
Mutassuk meg, hogy a $\mu_X$ m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$
sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai.
\item{11.)} Mutassuk meg, hogy a $C([0,1])$ t\'er, azaz a $[0,1]$
intervallumon \'ertelmezett folytonos f\"uggv\'enyek tere a szupr\'emum
norm\'aval, teljes szepar\'abilis metrikus t\'er. Ez\'ert az e t\'eren
\'ertelmezett m\'ert\'ekekre alkalmazhat\'oak a fenti eredm\'enyek.
Mutassuk meg, hogy a $C([0,1])$ t\'erben egy z\'art $\K$ halmaz akkor
\'es csak akkor kompakt, ha teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o k\'et
felt\'etelt:
\itemitem{(i)} $\sup\limits_{f\in \K} |f(0)|<\infty$
\itemitem{(ii)} A $\K$ halmazbeli f\"uggv\'enyek egyenl\H o
m\'ert\'ekben egyenletesen folytonosak, azaz tetsz\H oleges $\e>0$-ra
l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy
$$
\sup_{f\in\K}\sup\Sb 0\le s,t\le 1\\|t-s|<\delta\endSb |f(t)-f(s)|<\e
$$
\item{12.)} Legyen adva k\'et $(X,\rho_1)$ \'es $(Y,\rho_2)$ teljes
szepar\'abilis metrikus t\'er, \'es legyenek $(X,\Cal A)$ illetve
$(Y,\Cal B)$ az \'altaluk gener\'alt m\'ert\'ekterek. Legyen $\T\:
(X,\Cal A)\to (Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o lek\'epez\'es. Defini\'aljuk egy
az  $(X,\Cal A)$ t\'eren l\'ev\H o $\mu$ m\'ert\'ek $\T\mu$ k\'ep\'et az
$(Y,\Cal B)$ t\'eren a k\"ovetkez\H o m\'odon: Egy m\'erhet\H o
$\BB\subset Y$-ra legyen $\T\mu(\BB)=\mu(\{x\:x\in X,\;\T x\in \BB\})$.
Mutassuk meg, hogy ha a $\T$ lek\'epez\'es folytonos minden $x\in
X$-ben \'es a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek sorozata
gyeng\'en tart a $\mu$ m\'ert\'ekhez az $(X,\Cal A)$ t\'erben $n\to
\infty$ eset\'en, akkor a $\T\mu_n$ m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en
konverg\'al a $\T\mu$ m\'ert\'ekhez az $(Y,\Cal B)$ t\'erben, ha
$n\to\infty$.
\item{13.)} Legyenek $X_n(t)$, $n=1,2,\dots$, \'es $X(t)$ a $[0,1]$
intervallumon \'ertelmezett, folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
sztochasztikus folyamatok. (Ez \'ugy is interpret\'alhat\'o, hogy $X_n$
\'es $X$ $C([0,1])$ \'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok. L\'asd ehhez pl.\ a  norm\'alis eloszl\'as feladatsor 3.
feladat\'at.) Legyen $X_n$ (mint $C([0,1])$-beli
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'o) eloszl\'asa $\mu_n$,
$X$ eloszl\'asa pedig $\mu$ a $C([0,1])$ t\'erben. L\'assuk be, hogy a
$\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek sorozata akkor \'es csak
akkor tart gyeng\'en a $\mu$  val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez,
ha a k\"ovetkez\H o k\'et felt\'etel teljes\"ul:
\itemitem{(i)} Tetsz\H oleges $0\le t_1<\cdots< t_k\le 1$-re az
$(X_n(t_1),\dots,X_n(t_k))$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak az $(X(t_1),\dots,X(t_k))$ v\'eletlen
vektorhoz, ha $n\to\infty$.
\itemitem{(ii)}   Minden $\e>0$ \'es $\eta>0$-hoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e,\eta)>0$, hogy
$$
\sup_{n\ge1}P\(\sup\Sb 0\le s,t\le 1\\|t-s|\le\delta\endSb
|X_n(t)-X_n(s)|>\eta\)<\e
$$
Mutassuk meg, hogy a (ii) \'all\'\i{}t\'asban a $\sup\limits_{n\ge 1}$
az $\sup\limits_{n\ge n_0}$-lal is he\-lyet\-te\-s\'\i{}t\-he\-t\H o
tet\-sz\H o\-le\-ges $n_0$-lal.
\item{14.)} Mutassuk meg, hogy a $\T x=\sup\limits_{t\in[0,1]}x(t)$,
$\T x=\sup\limits_{t\in[0,1]}|x(t)|$ \'es $\T x=\int_0^1 |x(t)|^p\,dt$,
$p>0$, lek\'epez\'esek folytonos lek\'epez\'esek a $C([0,1])$
t\'erb\H ol a val\'os sz\'amegyenesre. Ha $X_n(t)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamatok eloszl\'asai $C([0,1])$
t\'erben gyeng\'en konverg\'alnak a Wiener folyamat eloszl\'as\'ahoz,
milyen hat\'areloszl\'ast\'etelek k\"ovetkeznek a fenti lek\'epez\'esek
folytonoss\'ag\'ab\'ol \'es a 11. feladatb\'ol?
\item{15.)} L\'assuk be a 12. feladat k\"ovetkez\H o
\'eles\'\i{}t\'es\'et: A feladat felt\'eteleit gyeng\'\i{}thetj\"uk a
k\"ovetkez\H o m\'odon: Ha a $\T$ lek\'epez\'es nem felt\'etlen\"ul
folytonos minden $x\in X$-re, de folytonos majdnem minden $x\in X$-re a
$\mu$ m\'ert\'ek szerint, \'es a feladat t\"obbi felt\'etele
\'erv\'enyben marad, akkor is igaz, hogy  $\T\mu_n\to \T\mu$, ha
$n\to\infty$.
\item{16.)} Tekints\"uk a $\T x=\lambda\{t\: x(t)>0\}$ lek\'epez\'est
a $C([0,1])$ t\'erb\H ol $R^1$-re, ahol $x=x(t)$, $0\le t\le1$,
folytonos f\"uggv\'eny, azaz $x\in C([0,1])$, \'es $\lambda$ a Lebesgue
m\'ert\'ek.  Mutassuk meg, hogy $\T x$ azon $x=x(t)$ pontokban
folytonos, melyekre $\lambda\{t\: t\in[0,1],\;x(t)=0\}=0$. Mutassuk
meg, hogy ez a $\T$ transzform\'aci\'o a Wiener m\'ert\'ek szerint egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos.
\medskip{\it Megjegyz\'es:}\/ Mint egy m\'asik feladatsorban
feldolgozott eredm\'eny mutatja, f\"ug\-get\-len val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeib\H ol term\'eszetes m\'odon
olyan v\'eletlen t\"o\-r\"ott\-vo\-nal f\"uggv\'eny sorozatot lehet
k\'esz\'\i{}teni, amelyiknek az eloszl\'asa a Wiener m\'ert\'ekhez
tart. L\'attuk, hogy ennek az eredm\'enynek az a k\"ovetkezm\'enye,
hogy  e v\'eletlen t\"o\-r\"ott\-vo\-nal f\"uggv\'eny sorozat sok
lek\'epez\'es\'enek van hat\'areloszl\'asa, mely hat\'areloszl\'as nem
f\"ugg a v\'eletlen t\"or\"ottvonalat defini\'al\'o val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'at\'ol. Ezt a t\'enyt szokt\'ak az
irodalomban invariancia-elvnek h\'\i{}vni. Az utols\'o k\'et eredm\'eny
p\'eld\'at mutat olyan funkcion\'alra, amelyikre szint\'en
alkalmazhat\'o az invariancia-elv, de ennek igazol\'asa k\"ul\"on
meggondol\'ast ig\'enyel. Ennek a p\'eld\'anak a vizsg\'alata
fontos szerepet j\'atszott az invariancia-elv vizsg\'alat\'aban.
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
A megold\'asok le\'\i{}r\'asa el\H ott le\'\i{}rjuk az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agait,
melyek jellemzik is a t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeket.
 
\item{(i)} $F(x_1,\dots,x_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak monoton
f\"uggv\'enye.
\item{(ii)} $F(x_1,\dots,x_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\item{iii)} $\lim\limits\Sb x_j\to\infty \\ j=1,\dots,k\endSb
F(x_1,\dots,x_k)=1$
\item{(iv)} $\lim\limits\Sb x_j\to-\infty \\ \text{valamely }1\le j\le
k\text{-ra}\endSb F(x_1,\dots,x_k)=0$
 
\noindent
V\'eg\"ul defini\'aljuk egy adott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre \'es egy
$\K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\K)=\mu_F(\K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
 
\item{(v)} $\mu_F(\K)\ge 0$ minden $\K$ t\'eglatestre.
 
Egy $k$-v\'altoz\'os $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak
akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye egy $k$-dimenzi\'os val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi vektornak, ha teljes\'\i{}ti az (i)---(v) felt\'eteleket.
Megjegyezz\"uk, hogy a $\mu_F(\K)$ sz\'am a $\K$ t\'eglatest
m\'ert\'eke az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt m\'ert\'ek szerint. A
fenti \'all\'\i{}t\'asok bizony\'\i{}t\'asa megtal\'alhat\'o p\'eld\'aul
{\it R\'enyi Alfr\'ed: Val\'osz\'\i{}n\H us\'egsz\'am\'\i{}t\'as}\/
c\'\i{}\-m\H u k\"onyv\'eben.
\medskip\noindent{\it Megold\'asok:}
 
\item{1.)} \item{a.)} Eloszl\'asban val\'o konvergencia $\Rightarrow$
integr\'alok konvergenci\'aja:\newline
Mivel $F(x_1,\dots, x_k)\to 1$, ha $x_j\to\infty$ minden
$j=1,\dots,k$-ra, \'es $F(x_1,\dots, x_k)\to 0$, ha $x_j\to-\infty$
valamelyik $1\le j\le k$-ra, ez\'ert tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik
olyan $\K$ t\'eglatest, melyre $\mu_F(\K)>1-\e$. To\-v\'ab\-b\'a, mivel
$F_n\to F$, ha $n\to \infty$, ez\'ert el\'erhet\H o, a $\K$ halmazt
esetleg nagyobbra v\'alasztva, hogy $\mu_{F_n}(\K)>1-\e$ minden $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyre. Azt is feltehetj\"uk,
hogy a $\K$ halmaz minden hat\'arpontja folytonoss\'agi pontja az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek, mivel az $F$ eloszl\'as vet\"ulete a $j$-ik
koordin\'at\'ara olyan 1~dimenzi\'os eloszl\'as, amelyiknek csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok atomja van minden $j=1,\dots,k$-ra. Mi\'ert
igaz ez az \'all\'\i{}t\'as, \'es mi\'ert k\"ovetkezik bel\H ole a
megfogalmazott k\"ovetkez\'eny?
 
\item{} Az $f$ f\"uggv\'eny korl\'atoss\'aga miatt $|\int_{R^k\setminus
\K}f(x_1,\dots, x_k)\,dF(x_1,\dots,x_k)|<\const\e$, \'es
 $|\int_{R^k\setminus \K}f(x_1,\dots, x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)|
<\const\e$ minden $n=1,2,\dots$-ra. To\-v\'ab\-b\'a, az $f$ folytonos
f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos a $\K$ t\'eglatesten, ez\'ert
l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy $|f(x)-f(y)|<\e$, ha $|x-y|\le\delta$.
A $\K$ t\'eglatest felbonthat\'o v\'eges sok, k\"oz\"os bels\H o ponttal
nem rendelkez\H o, legfeljebb $\delta$ \'atm\'er\H oj\H u $\Delta_j$,
$j=1,\dots, p(\K)$ t\'eglatest uni\'oj\'ara, amelyeknek a hat\'ara 0
m\'ert\'ek\H u az $F$ \'altal induk\'alt $\mu_F$ m\'ert\'ek szerint.
Mi\'ert? \'Igy $\lim\limits_{n\to\infty}\mu_{F_n}(\Delta_j)
=\mu_F(\Delta_j)$ minden $j=1,\dots, p(\K)$-ra, \'es az $f$
f\"uggv\'eny egyenletes folytonoss\'aga miatt a $\K$ halmazon
$$
\limsup\left|\int_{\K}f\,dF_n-\int_{\K}f\,dF\right|<\e\;.
$$
A fenti egyenl\H otlens\'egekb\H ol k\"ovetkezik, hogy
$\limsup\left|\int f\,dF_n-\int f\,dF\right|<\const\e$, ahol $\const$
f\"uggetlen az $\e$-t\'ol. Mivel ez igaz minden $\e>0$-ra, ebb\H ol
k\"ovetkezik a kiv\'ant \'all\'\i{}t\'as.
\item{b.)} Integr\'alok konvergenci\'aja $\Rightarrow$ eloszl\'asban
val\'o konvergencia:\newline
Legyen $x=(x_1,\dots,x_k)$ az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi
pontja. Ekkor minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy az
$y=(y_1,\dots,y_k)=(x_1-\delta,\dots,x_k-\delta)$ \'es
$z=(z_1,\dots,z_k)=(x_1+\delta,\dots,x_k+\delta)$  pontokra
$F(y)>F(x)-\e$ \'es $F(z)<F(x)+\e$. L\'eteznek olyan $f_1(u)$ \'es
$f_2(u)$ folytonos f\"uggv\'enyek az $R^k$-n, melyek teljes\'\i{}tik a
k\"ovetkez\H o felt\'eteleket: $0\le f_i(u)\le1$ minden $u\in R^k$-ra,
$i=1,2$; $f_1(u)=1$, $u=(u_1,\dots,u_k)$-ra, ha $u_j\le y_j$, minden
$j=1,\dots,k$,  $f_1(u)=0$, ha $u_j\ge x_j$ valamely $1\le j\le k$-re;
\ $f_2(u)=1$ ha $u_j\le x_j$ minden $j=1,\dots,k$-ra, $f_2(u)=0$, ha
$u_j\ge z_j$ valamely $1\le j\le k$-ra. Ekkor
$$
\align
\limsup_{n\to\infty} F_n(x)&\ge \lim_{n\to\infty}\int
f_1(u)\,dF_n(u)=\int f_1(u)\,dF(u)\ge
F(x)-\e\\
\liminf_{n\to\infty}F_n(x)&\le \lim_{n\to\infty} \int
f_2(u)\,dF_n(u)=\int f_2(u)\,dF(u)\le
F(x)+\e\;. \endalign
$$
Mivel ezek az egyenl\H otlens\'egek minden $\e>0$-ra igazak, innen
k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{2.)}
A $\mu(G)\ge\sup\limits_{f\in\Cal F_G} I_\mu(f)$ rel\'aci\'o
ny\'\i{}lv\'anval\'o. Bel\'atjuk, hogy egy tetsz\H oleges $G$ ny\'\i{}lt halmazhoz \'es
$\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan folytonos $f$ f\"uggv\'eny az $X$
t\'eren, melyre $0\le f(x)\le 1$ minden $x\in X$-re, $f(x)=0$, ha $x\in
X\setminus G$, \'es $f(x)=1$ egy olyan z\'art $F\subset G$ halmazon
melyre $\mu(F)>\mu(G)-\e$. Innen k\"ovetkezik, hogy a fenti
rel\'aci\'oban egyenl\H os\'eget is \'\i{}rhatunk. Minden $\delta>0$-ra
defini\'aljuk az $F_\delta=\{x\: x\in X,\; \rho(x, X\setminus
G)\le\delta\}$ halmazt. Ekkor $F_\delta$ z\'art halmaz, \'es
$\bigcup\limits_{n=1}^\infty G_{\frac1n}=G$. Ez\'ert
$F_\delta\subset G$ \'es el\'eg kis $\delta>0$-ra
$\mu(F_\delta)>\mu(G)-\e$.
Az $f(x)=1-\min(1,\delta^{-1}\rho(x,F_\delta))$ f\"uggv\'eny
teljes\'\i{}ti a k\'\i{}v\'ant felt\'eteleket.
\item{} Jel\"olje $\Cal B$ azon $\A\subset X$ m\'erhet\H o halmazok
oszt\'aly\'at, melyekre
$$
\mu(\A)=\inf\limits_{G\: G\text{ ny\'\i{}lt, }\A\subset G}\mu(G)\quad
\text{\'es}\quad \mu(X\setminus\A)=\inf\limits_{G\: G\text{ ny\'\i{}lt, }
X\setminus \A\subset G}\mu(G)
$$
Minden ny\'\i{}lt halmaz eleme $\Cal B$-nek mert egy ny\'\i{}lt $G$
halmaz fed\'esei k\"oz\"ott szerepel saj\'atmaga, a komplementere
$F=X\setminus G$ z\'art, \'\i{}gy $F=\bigcap\limits_{n=1}^\infty
G_{\frac1n}$, ahol $G_u=\{x\: x\in X,\;\rho(x, F)<u\}$ $u>0$-ra.
Ez\'ert $\mu(F)=\inf\limits_n \mu(G_{\frac1n})$, \'es a ny\'\i{}lt $G$
halmaz mind a k\'et k\'\i{}v\'ant rel\'aci\'ot teljes\'\i{}ti. A $\Cal
B$ halmazrendszer $\sigma$-algebra. Ha ugyanis $\A_n\in \Cal B$,
$n=1,2,\dots$, akkor minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan ny\'\i{}lt
$G_n\supset \A_n$, melyre $\mu(G_n)\le\mu(\A_n)+2^{-(n+1)}$. Ez\'ert
$\mu\biggl(\bigcup\limits_{n=1}^\infty \A_n\biggr)\ge\mu\biggl(\bigcup
\limits_{n=1}^\infty G_n\biggr)-\e$, \'es el\'eg nagy $N$-re
$\mu\biggl(\bigcap\limits_{n=1}^\infty \A_n\biggr)\ge
\mu\biggl(\bigcap\limits_{n=1}^N
\A_n\biggr)-\e\ge\mu\biggl(\bigcap\limits_{n=1}^N
G_n\biggr)-2\e$. Ez azt jelenti, hogy mind az uni\'onak mind a
metszetnek van alkalmas ny\'\i{}lt fed\'ese, melynek m\'ert\'eke alig
haladja meg az uni\'o illetve metszet m\'ert\'ek\'et. Hasonl\'o
\'all\'\i{}t\'as \'erv\'enyes az $\A_n$ halmazok
komplementeire is. Mivel a fenti becsl\'esek tetsz\H oleges $\e>0$-ra
igazak, ez\'ert a $\Cal B$ oszt\'aly megsz\'aml\'alhat\'o  metszetre,
uni\'ora \'es komplementerk\'epz\'esre z\'art. Mivel $\Cal B$
tartalmazza a ny\'\i{}lt halmazokat, ez\'ert tartalmazza a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'at is.
\item{} A bebizony\'\i{}tott rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy  ha
$I_{\mu_1}(f)\le I_{\mu_2}(f)$ minden folytonos $f$ f\"uggv\'enyre,
akkor az els\H o rel\'aci\'o szerint a ny\'\i{}lt, majd a
m\'asodik rel\'aci\'o szerint a m\'erhet\H o halmazoknak a $\mu_1$
m\'ert\'eke kisebb, mint azok $\mu_2$ m\'ert\'eke. Speci\'alisan, az
$I_\mu$ funkcion\'al meghat\'arozza a $\mu$ m\'ert\'eket.
\item{3.)} A b.) \'es c.) \'all\'\i{}t\'asok ekvivalenci\'aja
ny\'\i{}lv\'anval\'o.
\item{} a.) $\Rightarrow$ b.) Jel\"olje $G_\delta$ az $F$ z\'art halmaz
$\delta$ sugar\'u k\"ornyezet\'et, azaz legyen $G_\delta=\{x\: x\in X;\;
\rho(x,F)\le \delta\}$. Mivel $F=\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_{\frac
1n}$, ez\'ert  minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $\delta>0$, hogy
$\mu(G_\delta)<\mu(F)+\e$. L\'etezik az $(X,\rho)$  t\'eren olyan
folytonos $f$ f\"uggv\'eny, mely teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o
felt\'eteleket: $0\le f(x)\le 1$ minden $x\in X$-re, $f(x)=1$, ha
$x\in F$, \'es $f(x)=0$, ha $x\in X\setminus G_\delta$. P\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H ok\'epp konstru\'alhatunk ilyen $f$ f\"uggv\'enyt:
$f(x)=1-g(x)$, $g(x)=\min\{1,\delta^{-1}\rho(x, F)\}$. Ekkor
az a.) tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese eset\'en a k\"ovetkez\H ot
\'\i{}rhatjuk:
$$
\limsup_{n\to\infty}\mu_n(F)\le\lim_{n\to\infty} \int_X
f(x)\mu_n(\,dx)=\int_X f(x)\mu(\,dx)\le \mu(G_\delta)\le \mu(F)+\e\;.
$$
Mivel ez az egyenl\H otlens\'eg igaz minden $\e>0$-ra, innen
k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{} b.) $\Rightarrow$ a.) Mivel az $f(x)\equiv1$ f\"uggv\'eny
integr\'alja minden $\mu_n$ \'es $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ek szerint 1-gyel egyenl\H o, \'es az $I(\mu)\:f\to \int_X
f(x)\mu(\,dx)$ lek\'epez\'es a folytonos f\"uggv\'enyek ter\'er\H ol a
sz\'amegyenesre egy line\'aris funkcion\'al tetsz\H oleges $\mu$
m\'ert\'ekre, ez\'ert az \'all\'\i{}t\'ast elegend\H o olyan folytonos
$f$ f\"uggv\'enyekre bel\'atni, melyekre $0\le f(x)\le 1$ minden $x\in
X$-re. To\-v\'ab\-b\'a el\'eg azt bel\'atni, hogy
$$
\limsup\limits_{n\to \infty}\int_X f(x)\mu_n(\,dx)\le
\int_X f(x)\mu(\,dx)\;,
$$
mivel ezt az egyenl\H otlens\'eget az $1-f(x)$ f\"ugg\-v\'eny\-re
alkalmazva azt kapjuk, hogy
$$
\liminf\limits_{n\to \infty}\int_X f(x)\mu_n(\,dx)\ge
\int_X f(x)\mu(\,dx)\;.
$$
\item{} Minden $\e>0$-ra defini\'aljuk a k\"ovetkez\H o \"osszegeket:
$$
K(f,\mu,\e)=\e \sum_{j=1}^{\frac1\e} \mu(\{x\: x\in X,\; f(x)\ge j\e\})\;.
$$
Mivel $\lim\limits_{\e\to0} K(f,\mu_n,\e)=\int_X f(x)\mu_n(\,dx)$,
tov\'abb\'a a konvergencia ebben a rel\'aci\'oban egyenletes $n$-ben,
\'es az anal\'og \'all\'\i{}t\'as igaz a $\mu$ m\'ert\'ekre is, el\'eg
azt bel\'atni, hogy $\limsup\limits_{n\to\infty} K(f,\mu_n,\e)\le
K(f,\mu,\e)$ minden $\e>0$-ra. Vi\-szont az $\{x\: x\in X,\; f(x)\le
j\e\}$ halmazok z\'artak, ez\'ert a felt\'etel alapj\'an
$\limsup\limits_{n\to\infty} \mu_n(\{x\: x\in X,\; f(x)\le j\e\})\le
\mu(\{x\: x\in X,\; f(x)\le j\e\})$ minden $j$-re \'es $\e$-ra. Ezekb\H
ol az egyenl\H otlens\'egekb\H ol k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{} b.) \'es c.)$\Rightarrow$d.) Ny\'\i{}lv\'anval\'oan,
$\text{Int}\, \A\subset \A\subset \bar
\A$, ahol $\text{Int}\, \A$ az $\A$ halmaz belsej\'et, $\bar \A$ pedig
$\A$ lez\'artj\'at jel\"oli. Alkalmazva ezekre a b.) \'es c.)
\'all\'\i{}t\'ast, megkapjuk a d.) \'all\'\i{}t\'ast.
\item{} d.)$\Rightarrow$b.) Egy $F$ z\'art halmazra \'es $\delta>0$-ra
defini\'aljuk az $F$ halmaz $G_\delta=\{x\: x\in X,\;\rho(x,F)\le
\delta\}$ sugar\'u (z\'art) k\"ornyezet\'et. Mivel
$\bigcap\limits_{n=1}^\infty
G_{\frac1n}=F$, ez\'ert minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $\delta_0>0$,
hogy $\mu(G_\delta)\le \mu(F)+\e$ minden $\delta<\delta_0$-ra.
M\'asr\'eszt, mivel $(\partial G_\delta)=\{x: x\in
X,\;\rho(x,F)=\delta\}$, ez\'ert ezek a halmazok diszjunktak
k\"ul\"onb\"oz\H o $\delta$-kra, \'es l\'etezik olyan $\delta<\delta_0$
melyre $(\partial G_\delta)=0$. Egy ilyen $\delta$-t v\'alasztva kapjuk,
hogy $\mu(F)\ge \mu(G_\delta)-\e=\lim\limits_{n\to\infty}
\mu_n(G_\delta)-\e \ge\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(F)-\e$. Mivel ez
az egyenl\H otlens\'eg igaz minden $\e>0$-ra, innen k\"ovetkezik az
\'all\'\i{}t\'as.
\item{} Tekints\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H o p\'eld\'at: $X=R^1$,
a $\mu_n$ m\'ert\'ek az $\dfrac1n$ pontba van koncentr\'alva, a $\mu$
m\'ert\'ek pedig a 0 pontba. Ekkor $\mu_n$ gyeng\'en konverg\'al a
$\mu$ m\'ert\'ekhez, \'es $F=\{0\}$, $G=R^1\setminus F$ v\'alaszt\'as
mutatja, hogy a $\limsup$ \'es $\liminf$ nem helyettes\'\i{}thet\H o
limesszel a b.) \'es c.) r\'eszben.
\item{4.)} Az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik a gyenge konvergenci\'anak
az el\H oz\H o feladat b.) pontbeli jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-b\H ol.
Az a.)$\Rightarrow$b.) igaz, mert az a.) felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en
$$
\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(F)=
\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(F\cap \K)\le\mu(F\cap\K)=\mu(F)
$$
minden z\'art $F\subset X$ halmazra. Az utols\'o azonoss\'ag igaz, mert
$\mu(\K)=1$, az $1=\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(\K)\le\mu(\K)$
 \"osszef\"ugg\'es miatt.
A b.)$\Rightarrow$a.) \'all\'\i{}t\'as igaz, mivel a $\K$ halmaz z\'art
r\'eszhalmazai z\'art r\'eszhalmazok az eredeti t\'erben is.
\item{} A bizony\'\i{}t\'as sor\'an l\'attuk, hogy  a $\mu(\K)=1$
\'all\'\i{}t\'as igaz a b.) felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en is.
 \newline {\it Megjegyz\'es:}\/
Az \'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}that\'o k\"ozvetlen\"ul a gyenge
konvergencia eredeti de\-fi\-ni\-ci\-\'o\-ja seg\'\i{}ts\'eg\'evel is.
De ekkor sz\"uks\'eg van a k\"ovetkez\H o nem trivi\'alis topol\'ogiai
e\-red\-m\'eny\-re is: Egy az $X$ t\'er valamely z\'art
r\'eszhalmaz\'an \'ertelmezett folytonos f\"uggv\'eny kiterjeszthet\H o
egy az eg\'esz $X$ t\'eren folytonos f\"uggv\'enny\'e. (Urison lemma.)
\item{5.)} Mivel az $X$ t\'er szepar\'abilis, l\'etezik rajta egy
minden\"utt s\H ur\H u $x_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat. Ez\'ert tetsz\H
oleges $\delta>0$-ra $\bigcup\limits_{n=1}^\infty S(x_n,\delta)=X$,
ahonnan a $Q(\e,\delta)=\bigcup\limits_{n=1}^K S(x_n,\delta)$ halmazra
$\mu (Q(\e,\delta))\ge 1-\e$, ha $K=K(\e,\delta)$ el\'eg nagy. Ez\'ert
$\mu\biggl(\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bar Q\(\e2^{-n},
\e2^{-n}\)\biggr)\ge 1-\e$, ahol $\bar Q\(\e2^{-n},\e2^{-n}\)$, a
$Q\(\e2^{-n},\e2^{-n}\)$ halmaz lez\'artj\'at jel\"oli. Vi\-szont a
$\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bar Q\(\e2^{-n},\e2^{-n}\)$ halmaz
kompakt. (P\'eld\'aul \'atl\'os elj\'ar\'assal bel\'athat\'o, hogy
tetsz\H oleges az e halmaz elemeib\H ol \'all\'o sorozatnak van
konvergens r\'esz\-so\-ro\-za\-ta. Ez az\'ert igaz, mert alkalmas
r\'esz\-so\-ro\-zat\-nak v\'eges sok pont kiv\'etel\'evel az \"osszes
eleme valamelyik $S(x_{n(j,\e)},\e2^{-j})$ g\"ombben van minden
$j=1,2,\dots$-ra.) Innen k\"ovetkezik az \'all\'\i{}t\'as.
\item{6.)} Az el\"oz\H o feladat konstrukci\'oj\'at alkalmazhatjuk,
ha bel\'atjuk, hogy minden $\e>0$ \'es $\delta>0$-ra l\'etezik olyan
$n$-t\H ol f\"uggetlen $K=K(\delta,\e)$ k\"usz\"obindex, melyre a
$Q(\e,\delta)= \bigcup\limits_{n=1}^K S(x_n,\delta)$ halmaz
teljes\'\i{}ti a $\mu_n(Q(\e,\delta))\ge 1-\e$ egyenl\H otlens\'eget
minden $n$-re. Defini\'aljuk a $K(n)=K(n,\e,\delta)$ k\"usz\"obindexet,
mint a legkisebb olyan sz\'amot, melyre
$\mu_n\(\bigcup\limits_{l=1}^{K(n)}S(x_l,\delta)\)>1-\e$. A feladat
bizony\'\i{}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni azt, hogy a
$K(n)=K(n,\e,\delta)$ sorozat  b\'armely r\"ogz\'\i{}tett $\e>0$ \'es
$\delta>0$ sz\'amra korl\'atos. Tegy\"uk
fel indirekt m\'odon, hogy l\'etezik olyan $n_k$ sorozat, melyre
$K(n_k)\to\infty$.
Ennek a sorozatnak, kompakts\'agi feltev\'es\"unk szerint, l\'etezik
olyan $n'_k$ r\'eszsorozata, melyre $\mu_{n'_k}$ gyeng\'en konverg\'al
egy $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez. Bel\'atjuk, hogy ez
nem lehets\'eges. Val\'oban, a $\mu$ m\'ert\'ekre l\'etezik olyan $N$
index, hogy $\mu(G)=\mu\(\bigcup\limits_{n=1}^N S(x_n,\delta)\)\ge
1-\e/2$, \'es $G$ ny\'\i{}lt halmaz. Ez\'ert a $\mu_{n'_k}$ m\'ert\'ekek
gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol a $\mu$ m\'ert\'ekhez \'es a 3c.)
feladat \'all\'\i{}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\liminf\limits_{k\to\infty}\mu_{n'_k}(G)\ge \mu(G)\ge1-\e/2$. Ez
azonban nem lehets\'eges, mert a $G$ halmaz definici\'oj\'ab\'ol \'es az
$K(n'_k)\to\infty$ tulajdons\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\liminf\limits_{k\to\infty}\mu_{n'_k}(G)\le1-\e$.
Ez\'ert igaz a feladat \'all\'\i{}t\'asa.
\item{7.)} \'Agyazzuk be az $X$ teret az $R^k$ t\'erbe, \'es jel\"olje
$F_n(x)$ a $\mu_n$ m\'ert\'ekhez tartoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enyt.
V\'alassszunk egy minden\"utt s\H ur\H u megsz\'aml\'alhat\'o
$x^{(p)}$, $p=1,2,\dots$, sorozatot az $R^k$ t\'eren. Legyen $\Cal
P=\{x^{(p)},\; p=1,2,\dots\}$. Be lehet l\'atni az \'atl\'os
elj\'ar\'as seg\'\i{}ts\'eg\'evel, hogy az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek van egy olyan $F_{n_j}$ r\'eszsorozata,
melyre az $F_{n_j}(x^{(p)})$ sorozat konverg\'al egy $\tilde
F(x^{(p)})$ sz\'amhoz  minden $x_p\in \Cal P$ pontra, ha $j\to\infty$.
Tov\'abb\'a, mivel az \"osszes m\'ert\'ek egy korl\'atos z\'art
halmazba van koncentr\'alva, ez\'ert l\'etezik olyan $L>0$ sz\'am, hogy
minden $n=1,2,\dots$-ra $F_n(x_1,\dots,x_k)=1$, ha $x_j\ge L$ minden
$j=1,\dots,k$-ra, \'es $F_n(x_1,\dots,x_k)=0$, ha $x_j\le -L$ valamilyen
$1\le j\le k$-ra.  Ugyanez a tulajdons\'ag \'erv\'enyes az
$F$ f\"uggv\'enyre is, melyet a k\"ovetkez\H o m\o'don defini\'alunk.
Legyen $F(x_1,\dots,x_k)=\lim\limits\Sb
y_l\to x_l-0\\l=1,\dots,k\\ (y_1,\dots,y_k)\in \Cal P \endSb \tilde
F(y_1,\dots,y_k)$ f\"uggv\'enyt, ahol $y_l\to x_l-0$ azt jelenti, hogy
az $y_l$ sorozat szigor\'uan monoton n\"ovekv\H o m\'odon tart az $x_l$
sz\'amhoz. Lehet ellen\H orizni, hogy az \'\i{}gy konstru\'alt
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny teljes\'\i{}ti az (i)---(v)
felt\'eteleket, \'es
$$
\lim\limits_{j\to\infty}F_{n_j}(x_1,\dots,x_k)=F(x_1,\dots,x_k)
$$
az $F$ f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi
pontj\'aban. Ez\'ert az $\mu_{n_l}$ m\'ert\'ekek kon\-ver\-g\'al\-nak az
$F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt $\mu$ m\'ert\'ekhez. Az el\H oz\H o
feladat szerint a $\mu_n$ m\'er\-t\'e\-kek nemcsak az $R^k$-n
konverg\'alnak gyeng\'en a $\mu$ m\'ert\'ekhez, hanem annak korl\'atos
z\'art $X$ r\'eszhalmaz\'an is.
\item{8.)} A be\'agyaz\'as elv\'egz\'es\'ehez jegyezz\"uk meg, hogy
a $\rho$ metrika az $(X,\rho)$ t\'eren he\-lyet\-te\-s\'\i{}t\-he\-t\H
o olyan $\rho_1$ metrik\'aval, mely ugyanazt a topol\'ogi\'at, ez\'ert
ugyanazt az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at defini\'alja, az $(X,\rho_1)$
t\'er ezzel az \'uj metrik\'aval is teljes szepar\'abilis metrikus
t\'er, \'es $\rho_1(x,y)\le 1$ minden $x\in X$ \'es $y\in X$ pontra.
Val\'oban, a $\rho_1(x,y)=\min\{1,\rho(x,y)\}$ metrika teljes\'\i{}ti a
k\'\i{}v\'ant felt\'eteleket. Legyen $x_1,x_2,\dots$ egy minden\"utt
s\H ur\H u halmaz az $(X,\rho)$ t\'eren, \'es defini\'aljuk a $\T\:X\to
Z$ lek\'epez\'est a k\"ovetkez\H o m\'odon: (A $(Z,\Cal B)$ teret a
T\'etel~A-ban defin\'altuk.)
$$
\T(x)=(\rho_1(x,x_n),\;n=1,2,\dots),\quad \text{ha }x\in X\;.
$$
Ez a lek\'epez\'es foly\-to\-nos, mert
$$
\rho(\T x,\T y)\le\summ_{n=1}^\infty
2^{-n}|\rho_1(x,x_n)-\rho_1(y,x_n)| \le\summ_{n=1}^\infty
2^{-n}|\rho_1(x,y)|=\rho_1(x,y)\;.
$$
Tov\'abb\'a, ez a lek\'epez\'es k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H u, mert
ha $x\neq y$, $x\in X$, $y\in X$, akkor $\rho_1(x,y)>2\delta$ alkalmas
$\delta>0$ pozit\'\i{}v sz\'amra, \'es a $\T$ transzform\'aci\'o
definic\'oj\'aban kijel\"olt minden\"utt s\H ur\H u $x_n$ halmaznak
l\'etezik olyan $x_m$ eleme, melyre $\rho_1(x,x_m)<\delta$. Ekkor
$\rho_1(y,x_m)\ge\rho_1(y,x)-\rho_1(x,x_m)>\delta$, ez\'ert
$\rho_1(x,x_m)\neq\rho_1(y,x_m)$, \'es $\T x\neq \T y$. Ha $\K\subset X$
kompakt halmaz, akkor ennek $\T(\K)$ k\'epe a $Z$ t\'ernek kompakt
r\'eszhalmaza. (Ez az \'all\'\i{}t\'as az\'ert igaz, mert tetsz\H
oleges $\T x_n$, $x_n\in \K$, $n=1,2,\dots$, sorozatnak van konvergens
r\'eszsorozata, mely eleme a $\T(\K)$ halmaznak. Ugyanis, ha
kiv\'alasztjuk az $x_n$ sorozatnak egy konvergens $x_{n_k}\to x\in\K$
r\'eszsorozat\'at, akkor $\T x_{n_k}\to\T x\in\K$.) A $\T$ lek\'epez\'es
megszor\'\i{}t\'asa a kompakt $\K$ halmazra homeomorphizmus. Ehhez a
m\'ar bebizony\'\i{}tott folytonoss\'agon \'es inver\'alhat\'os\'agon
k\'\i{}v\"ul azt kell m\'eg bel\'atni, hogy a $\T^{-1}$ lek\'epez\'es
folytonos a kompakt $\T(\K)$ halmazon. Azt kell megmutatni, hogy
minden $\T x_n\to \T x$, $x_n\in \K$, $n=1,2,\dots$, $x\in \K$
konvergens sorozatra $x_n\to x\in\K$. Ehhez el\'eg bel\'atni, hogy
ha $x_{n_k}\to z$ az $x_n$, $x_n\in K$, $n=1,2,\dots$,sorozatnak
valamely
konvergens r\'eszsorozata, akkor l\'etezik az $y=\limm_{k\to\infty}\T
x_{n_k}$ limesz, \'es $y=\T x$. Ekkor ugyanis a $\T$ lek\'epez\'es
folytonoss\'aga miatt $\T z=\limm_{n\to\infty}\T x_{n_k} =\T x$, ahonnan a
$\T$ lek\'epez\'es
invert\'alhat\'os\'aga miatt  $z=x$. Viszont a $\T
x_{n_k}$ sorozatnak mint a $\T x_n$ sorozat r\'eszsorozat\'anak
l\'etezik az $y=\T x$ limesze.
\item{9.)} Tekints\"unk minden $m=1,2,\dots$ sz\'amra egy olyan $\K_m$
kompakt halmazt, melyre $\mu_n(\K_m)\ge 1-\dfrac1m$. Feltehetj\"uk,
hogy ezek a $\K_m$ halmazok egym\'asba \'agyazottak, mert ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ult az eredeti $\K_m$ halmazokra, akkor e
halmazokat helyettes\'\i{}thetj\"uk a $\bigcupp_{j=1}^m\K_j$
halmazokkal. Defini\'aljuk a $\bar\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekeket a $(Z,\Cal B)$ t\'eren a k\"ovetkez\H o m\'odon. Ha
$\BB\in \Cal B$ a $Z$ halmaz m\'erhet\H o r\'eszhalmaza, akkor $\bar
\mu_n(\BB)=\mu_n(\{x\:\T x\in \BB\})$, ahol $\T$ az $(X,\Cal A)$ t\'er
el\"oz\H o feladatban defini\'alt be\'agyaz\'asa a $(Z,\Cal B)$ t\'erbe.
A T\'etel~A
miatt l\'etezik a $\bar\mu_n$ sorozatnak konvergens $\bar\mu_{n_k}$
konvergens r\'eszsorozata, mely gyeng\'en konverg\'al egy $\bar\mu$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekhez a $(Z,\Cal B)$ t\'erben.
\item{} Defini\'aljuk a $\K_\infty=\bigcupp_{m=1}^\infty \K_m$ halmazt.
Ekkor $\mu_n(\K_\infty)=1$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, mert
$\mu_n(\K_\infty)\ge\mu_n(\K_m)\ge1-\dfrac1m$ minden $m$-re.
Tov\'abb\'a, tetsz\H oleges m\'erhet\H o $\A\subset\K_\infty$ halmazra a
$\T(\A)\subset Z$ m\'erhet\H o r\'eszhalmaza a $(Z,\Cal B)$ t\'ernek,
\'es $\mu_n(\A)=\bar \mu_n(\T(\A))$. Ugyanis, $\T(\A)=
\bigcupp_{m=1}^{\infty}\T(\A\cap\K_m)\in\Cal A$, \'es
$\bar\mu_n(\T(\A))=\limm_{m\to\infty}\bar\mu_n(\T(\A\cap\K_m))
=\limm_{m\to\infty}\mu_n(\A\cap\K_m)=\mu(\A)$. Ebben az \'ervel\'esben
kihaszn\'altuk, hogy a $\T$ lek\'epez\'es injektiv (k\"ul\"onb\"oz\H o
pontok k\'epe k\"ul\"onb\"oz\H o), \'es homeomorphizmus a kompakt
$\K_m$ halmazokon. Defini\'aljuk a $\mu$ m\'ert\'eket mint a $\bar \mu$
m\'ert\'ek \H osk\'ep\'et az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Pontosabban, ha
$\A\in\Cal A$, akkor legyen $\mu(\A)=\mu(\A\cap\K_\infty)
=\bar\mu(\T(\A\cap\K_\infty))$, ahol $\bar\mu$ a $\bar\mu_{n_k}$
m\'ert\'ekek gyenge limesze a $(Z,\Cal B)$ t\'eren. Ekkor $\mu$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ek az $(X,\Cal A)$ t\'eren, \'es azt
\'all\'\i{}tjuk, hogy a $\mu_{n_k}$ m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak a $\mu$ m\'ert\'ekhez. Val\'oban, tetsz\H oleges z\'art
$F\subset X$ halmazra \'es $\K_m$ halmazra a $\T(\K_m\cap F)$ halmaz is
z\'art (kompakt). Ez\'ert a $\bar \mu_{n_k}$ m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja, a 3.c) feladat eredm\'enye  \'es a $\K_m$ halmaz
tulajdons\'aga alapj\'an
$$
\align
\limsup_{k\to\infty}\mu_{n_k}(F)&\le
\limsup_{k\to\infty}\mu_{n_k}(F\cap\K_m)+\frac1m
=\limsup_{k\to\infty}\bar\mu_{n_k}(\T(F\cap\K_m))+\frac1m\\
&\le\bar\mu(\T(F\cap\K_m))+\frac1m=\mu(F\cap\K_m)+\frac1m
\le\mu(F)+\frac1m
\endalign
$$
minden $m\ge1$-re. Ez\'ert minden z\'art $F\subset X$ halmazra
$\limsupp_{k\to\infty}\mu_{n_k}(F)\le \mu(F)$, \'\i{}gy a 3.c) feladat
\'all\'\i{}t\'asa alapj\'an a $\mu_{n_k}$ m\'ert\'ekek gyeng\'en
tartanak a $\mu$ m\'ert\'ekhez.
\item{10.)} Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges m\'erhet\H o $C\in
\Cal C$ halmazra $\T^{-1}(C)$ m\'erhet\H o halmaz, azaz eleme a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'anak. El\'eg ezt az \'all\'\i{}t\'ast ny\'\i{}lt
halmazokra bel\'atni, mert ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy az
\'all\'\i{}t\'as igaz a ny\'\i{}lt halmazok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara is. Mi\'ert? Tov\'abb lehet reduk\'alni az
\'allt\'ast a k\"ovetkez\H o tipus\'u halmazokra: Ha $x=x(t)\in
C([0,1])$, $\e>0$, akkor legyen $S(x,\e)=\{y\: y\in C([0,1]),\;
\sup\limits_{t\in [0,1]}|x(t)-y(t)|<\e\}$. El\'eg bel\'atni, hogy az
$S(x,\e)$ tipus\'u halmazok \H osk\'epei m\'erhet\H oek minden $x\in
C([0,1])$ \'es $\e>0$-ra, mert tetsz\H oleges ny\'\i{}lt halmaz el\H
o\'all\'\i{}that\'o megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen halmaz
\'uni\'ojak\'ent, \'es egy ny\'\i{}lt halmaz \H osk\'epe megegyezik az
\H ot el\H o\'all\'\i{}t\'o \'uni\'oban r\'esztvev\H o halmazok \H
osk\'ep\'enek az \'uni\'oj\'aval. A k\"ovetkez\H o meggondol\'as
mutatja, hogy $S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz. Jel\H olje $Q$ a
ra\-ci\-o\-n\'a\-lis sz\'amok halmaz\'at a $[01,1]$ intervallumban.
Ekkor
$$
\T^{-1}S(x,\e)=\bigcup_{n=1}^\infty\(\bigcap_{r\in
Q}\left\{\oo\:|X(r,\oo)-x(r)|<\(1-\frac1n\)\e\right\}\)
$$
(Mi\'ert?) Ebb\H ol a reprezent\'aci\'ob\'ol l\'atszik, hogy
$\T^{-1}S(x,\e)$ m\'erhet\H o halmaz.
\item{} Az el\H oz\H o \'ervel\'es megmutatta, hogy az $\{X(t_1)\in
\A_1,\dots,X(t_k)\in \A_k\}$ alak\'u halmazok, ahol $t_1,\dots, t_k$
tet\-sz\H o\-le\-ges pontok a $[0,1]$ intervallumban, $\A_1,\dots,\A_k$
tet\-sz\H o\-le\-ges m\'erhet\H o halmazok $R^1$-en, olyan algebr\'at
alkotnak, amelyik gener\'alja a $\Cal C$ $\sigma$-algebr\'at. Mivel
ezeknek a halmazoknak a m\'ert\'eket meghat\'arozz\'ak az $X(t)$
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai. Egy m\'ert\'ek
kiterjeszt\'ese egy algebr\'ar\'ol az \'altala gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara egy\'ertelm\H u, ez\'ert a v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asok meghat\'arozz\'ak a $\Cal C$ $\sigma$-algebra halmazainak
a m\'ert\'ek\'et is.
\item{11.)} Tekints\"uk r\"ogz\'\i{}tett pozitiv eg\'esz $n$-re azon
f\"uggv\'enyek halmaz\'at, melyek a $\dfrac kn$ pontokban valamilyen
racion\'alis \'ert\'eket vesznek fel, ezen oszt\'opontok k\"oz\"ott
pedig line\'arisak. E f\"uggv\'enyhalmazok uni\'oja $n=1,2,\dots$-ra
egy a $C([0,1])$ t\'erben minden\"utt s\H ur\H u megsz\'aml\'alhat\'o
halmazt alkot, ez\'ert a $C([0,1])$ t\'er szepar\'abilis. Mivel
folytonos f\"uggv\'enyek limesze az egyenletes konvergencia szerint
folytonos, ez\'ert ez a t\'er teljes is.
\item{a.)} A $\K$ halmaz teljes\'\i{}ti (i)-et \'es (ii)-t
$\Rightarrow$ a $\K$ halmaz kompakt. Mivel
$$
|f(t)|\le |f(0)|+\frac1\delta\sup_{0\le
u,v\le1,\;|u-v|<\delta}|f(u)-f(v)|\;,
$$
ez\'ert, ha $\K$ teljes\'\i{}ti (i)-t \'es (ii)-t, akkor l\'etezik
olyan $C=C(\K)>0$ konstans, hogy minden $f\in\K$-ra \'es $0\le
t\le1$-re $|f(t)|\le C$. Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges
$f_n$, $f_n\in\K$, $n=1,2,\dots$, f\"uggv\'enysorozatnak van
egyenletesen konvergens r\'eszsorozata. R\"ogz\'\i{}ts\"unk egy
minden\"utt s\H ur\H u $t_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatot, a $[0,1]$
intervallumban. Az $f_n$-nek van egy r\'eszsorozata, mely konvergens a
$t_1$ pontban, ennek egy r\'eszsorozata, mely konvergens a $t_2$
pontban, ennek egy r\'eszsorozata, mely konvergens a $t_3$ pontban
\'es \'\i{}gy tov\'abb. V\'eg\"ul \'atl\'os m\'odszerrel
kiv\'alaszthatunk egy olyan $f_{n_k}(t)$ r\'eszsorozatot,
mely mindegyik $t_n$ pontban konverg\'al egy $f(t_n)$ sz\'amhoz. Azt
\'all\'\i{}tjuk, hogy ez az $f_{n_k}(t)$ r\'eszsorozat (a (ii)
tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese miatt) egyenletesen konverg\'al a $[0,1]$
intervallumban. Val\'oban, adott $\e>0$-hoz v\'alasszunk olyan
$\delta>0$-t, melyre $|f(u)-f(v)|\le \dfrac \e3$, ha $f\in \K$ \'es
$|u-v|\le\delta$. V\'alasszuk ki a $t_1,t_2,\dots$ sorozatnak egy olyan
v\'eges  $\{y_1=t_{j_1}, y_2=t_{j_2},\dots, y_l=t_{j_l}\}$,
 $l=l(\delta)$, v\'eges r\'eszhalmaz\'at, melyre igaz az, hogy (e
sz\'amokat monoton sorrendbe rakva) $0\le y_1\le\delta$, $0\le
y_{j+1}-y_j\le \delta$, $j=1,\dots,l-1$, $y_l>1-\delta$. V\'alasszunk
egy olyan $k_0$ sz\'amot, melyre igaz, hogy $|f_{n_k}(y_j)-f_{n_{\bar
k}}(y_j)|\le\dfrac\e3$ minden $1\le j\le l$, ha $k\ge k_0$, $\bar k\ge
k_0$. Ekkor tetsz\H oleges $0\le u\le1$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$y_j$, $1\le j\le l$ melyre $|u-y_j|\le \delta$. Ez\'ert tetsz\H oleges
$k\ge k_0$, $\bar k\ge k_0$-ra
$$
|f_{n_k}(u)-f_{n_{\bar k}}(u)|\le
|f_{n_k}(u)-f_{n_k}(y_j)|+ |f_{n_k}(y_j)-f_{n_{\bar k}}(y_j)|
+|f_{n_{\bar k}}(y_j)-f_{n_{\bar k}}(u)|\le \e\;.
$$
Mivel ez az \'all\'\i{}t\'as minden $\e>0$-ra  $0\le 0\le1$ sz\'amra
\'es el\'eg nagy $k_0=k_0(\e)$-ra igaz, ez\'ert az $f_{n_k}$ sorozat (a
szupr\'emum norma szerint) Cauchy sorozatot alkot, amib\H ol
k\"ovetkezik, hogy egyenletesen konvergens. (A fenti \'ervel\'esben
tulajdonk\'eppen az anal\'\i{}zisben j\'ol ismert Arzela--Ascoli
t\'etelt bizony\'\i{}tottuk be.)
\item{b.)} A $\K$ halmaz kompakt $\Rightarrow$ $\K$ halmaz
teljes\'\i{}ti (i)-et \'es (ii)-t. Defini\'aljuk a ${\Cal G}_n=\{f\:
f\in C([0,1]),\; |f(0)|\le1\}$, $n=1,2,\dots$, egym\'asba
skatuly\'azott ny\'\i{}lt halmazokat a $C([0,1])$ t\'erben. Mivel ezek
uni\'oja az eg\'esz t\'er, minden kompakt $\K$ halmazt lefed egy ${\Cal
G}_n$, halmaz. Ebb\H ol k\"ovetkezik, hogy a $\K$ halmaz teljes\'\i{}ti
az (i) tulajdons\'agot.
\item{} R\"ogz\'\i{}tett $\e>0$-ra defini\'aljuk a
$$
{\Cal H}_n={\Cal H}_{n,\e}=\biggl\{f\:f\in C([0,1]),\; \sup\Sb 0\le
u,v\le1\\ |u-v|\le\frac1n\endSb\ |f(u)-f(v)|<\e\biggr\}
$$
halmazokat, $n=1,2,\dots$. Ezek a halmazok ny\'\i{}ltak, egym\'asba
skatuly\'azottak, tov\'abb\'a, mivel a $[0,1]$ intervallumon folytonos
f\"uggv\'enyek egyenletesen folytonosak, ez\'ert  a $\Cal H_n$ halmazok
uni\'oja, $n=1,2,\dots$-re
(r\"ogz\'\i{}tett $\e$-nal) lefedi az eg\'esz $C([0,1])$ teret. Ez\'ert
egy kompakt $\K$ halmaz benne van egy ${\Cal H}_{n,\e}$ halmazban el\'eg
nagy $n=n(\e)$-ra. Ez\'ert $\K$ teljes\'\i{}ti a (ii) tulajdons\'agot
is.
\item{12.)} {\it Els\H o megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy
tetsz\H oleges az $(Y,\Cal B)$ t\'eren folytonos, korl\'atos $f(y)$
f\"uggv\'enyre $\lim\limits_{n\to\infty}\int_Y f(y)\T\mu_n(\,dy)=\int_Y
f(y)\T\mu(dy)$. Mivel $\int_Y f(y)\T\mu_n(\,dy)=\int_X f(\T
x)\mu_n(\,dx)$, \'es az anal\'og \'all\'\i{}t\'as \'erv\'enyes a $\mu$
m\'ert\'ekre, a bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as ekvivalens a
$\lim\limits_{n\to\infty}\int_X f(\T x)\mu_n(\,dx)=\int_X f(\T
x)\mu(dx)$ azonoss\'aggal. Ez viszont azonnal k\"ovetkezik a $\mu_n$
m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol, \'es abb\'ol a t\'enyb\H
ol, hogy a $g(x)=f(\T x)$ f\"uggv\'eny folytonos \'es korl\'atos.
\item{}{\it M\'asodik megold\'as:}\/ L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast a
k\"ovetkez\H o form\'aban: Ha $F\subset Y$ z\'art halmaz, akkor
$\limsup\limits_{n\to\infty}\T \mu_n(F)\le \T\mu(F)$. Ez viszont
ekvivalens a $\limsup\limits_{n\to\infty}\mu_n(\T^{-1} F)\le
\mu(\T^{-1} F)$ \'all\'\i{}t\'assal, ami az\'ert igaz, mert folytonos
$T$ transzform\'aci\'o eset\'en a $\T^{-1}F$ halmaz is z\'art, \'es a
$\mu_n$ m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak a $\mu$ m\'ert\'ekhez.
\item{13.)} a.) (i) \'es (ii) teljes\"ul $\Rightarrow$ igaz a gyenge
konvergencia.
\item{} El\'eg bel\'atni, hogy ha $X_n(t)$ teljes\'\i{}ti az (i) \'es
(ii) felt\'eteleket, akkor az $X_n(t)$ sorozat $\mu_n$ eloszl\'asa
kompakt sorozat, \'es $\mu_n$ tetsz\H oleges konvergens
r\'eszsorozat\'anak a limesze megegyezik az $X(t)$ sztochasztikus
folyamat eloszl\'as\'aval. Az az \'all\'\i{}t\'as, hogy a $\mu_n$
m\'ert\'eksorozat kompakt, azzal ekvivalens, hogy tetsz\H oleges
$\e>0$-hoz l\'etezik olyan kompakt $\K=\K(\e)$ halmaz a $C([0,1])$
t\'erben, melyre $\mu_n(\K(\e))>1-\e$. (L\'asd a 6. \'es 9. feladatot.)
A $C([0,1])$ t\'er kompakt halmazait pedig 11. feladatban \'\i{}rtuk le.
\'Igy el\'eg bel\'atni, hogy a feladat felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese
eset\'en tetsz\H oleges $\e>0$ -ra megadhat\'o k\'et olyan
$\K_1=\K_1(\e)$ \'es $\K_2=\K_2(\e)$ halmaz a $C([0,1])$ t\'erben,
melyeknek a $\mu_n$ m\'ert\'eke nagyobb, mint $1-\e$ minden $n\ge1$-re,
\'es a $\K_1$ halmazban lev\H o f\"uggv\'enyek teljes\'\i{}tik a 11.
feladat (i), a $\K_2$ halmazban lev\H o f\"uggv\'enyek pedig a 11.
feladat (ii) felt\'etel\'et. Ekkor ugyanis $\mu_n(\K_1\cap\K_2)>1-2\e$
minden $n\ge1$-re, \'es $\K_1\cap\K_2$ kompakt halmaz. Az (i)
tulajdons\'agot alkalmazva $t=0$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
l\'etezik olyan $K=K(\e)$ sz\'am, melyre
$\sup\limits_{n}P(|X_n(0)|<K)>1-\e$. Ez\'ert el\'eg nagy
$K=K(\e)$-ra a $\K_1=\{f\: f\in C([0,1]),\;|f(0)|\le K\}$ teljes\'\i{}ti
a 11. feladat (i) felt\'etel\'et, \'es $\mu_n(\K_1)\ge 1-\e$ minden
$n\ge1$-re.
\item{} Defini\'aljuk a
$$
\K_2=\bigcap_{l=1}^\infty\K_2^{(l)}=\bigcap_{l=1}^\infty
\left\{f\:f\in C([0,1]),\;\sup\Sb 0\le
s,t\le1\\|t-s|<\delta_l\endSb |f(t)-f(s)|<\frac1l\right\}
$$
halmazt egy alkalmas $\delta_l\to 0$, $l=1,2,\dots$, sorozat
seg\'\i{}ts\'eg\'evel. A 11. feladat (ii) felt\'etele teljes\"ul ezen a
$\K_2$ halmazon. Ugyanis, ha ez a felt\'etel teljes\"ul minden
$\eta=1/l$, $l=1,2,\dots$ sz\'amra, akkor teljes\"ul minden $\eta>0$-ra
is. M\'asr\'eszt, a (ii) felt\'etel biztos\'\i{}tja azt, hogy
$\mu_n(\K_2)>1-\e$ minden $n=1,2,\dots$-ra ha a $\delta_l>0$
sz\'amokat el\'eg kicsinek v\'alasztjuk. Ekkor ugyanis
el\'erhet\H o az, hogy $\mu_n(\K_2^{(l)})>1-\e2^{-(l+1)}$ minden
$n=1,2,\dots$ \'es $l=1,2,\dots$ sz\'amra, ahonnan k\"ovetkezik a
k\'\i{}v\'ant egyenl\H otlens\'eg. \'Igy bel\'attuk, hogy a $\mu_n$
m\'ert\'ekek kompaktak.
\item{} Tekints\"uk az $X_n(t)$ sztochasztikus folyamatok egy
gyeng\'en konvergens $X_{n_j}(t)$ r\'esz\-so\-ro\-za\-t\'at. Mivel a
$\T\: C([0,1])\to R^k$, $\T f=(f(t_1),\dots,f(t_k))$ lek\'epez\'es
folytonos tetsz\H oleges $k=1,2,\dots$, \'es $0\le t_1<\cdots<t_k\le1$
sz\'amokra, ez\'ert az el\H oz\H o feladat szerint az $X_{n_j}(t)$
sorozat gyenge limesze egy olyan sztochasztikus folyamat, melynek a
$0\le t_1<\cdots<t_k\le1$ id\H opontokban vett egy\"uttes eloszl\'asa
megegyezik az $(X(t_1),\dots,X(t_k))$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval. Mivel ezek a v\'eges dimenzi\'os el\-osz\-l\'a\-sok
meghat\'arozz\'ak a folyamat eloszl\'as\'at, ez\'ert az $X_{n_j}(t)$
folyamat eloszl\'asa gyeng\'en konverg\'al az $X(t)$ folyamat
eloszl\'as\'ahoz. V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy minden
r\"ogz\'\i{}tett $n$-re, ha $X_n(t)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
sorozat, akkor tetsz\H oleges $\eta>0$-ra
$$
P\(\lim\limits_{\delta\to 0}\sup\limits\Sb 0\le s,t\le
1\\|t-s|<\delta\endSb |X_n(t)-X_n(s)|>\eta\)\to 0\;.
$$
Ez\'ert, ha a (ii) felt\'etel teljes\"ul $\sup\limits_{n\ge n_0}$
m\'odos\'\i{}t\'assal, akkor a $\delta$ param\'eter alkalmas
kicsiny\'\i{}t\'es\'evel el\'erhet\H o, hogy ez a felt\'etel
$\sup\limits_{n\ge 1}$ v\'alaszt\'assal is teljes\"ulj\"on.
\item{} b.) ha igaz a gyenge konvergencia $\Rightarrow$  (i) \'es (ii)
teljes\"ul.
\item{} Ha az $X_n(t)$ sorozat gyeng\'en konverg\'al az $X(t)$
folyamathoz, akkor az el\H oz\H o  fel\-adat szerint a v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asai is konverg\'alnak az $X(t)$ folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asaihoz, ez\'ert az (i) felt\'etel teljes\"ul. Mivel az $X(t)$ folyamat trajekt\'ori\'ai
folytonos f\"uggv\'enyek a $[0,1])$ intervallumon, ez\'ert  tetsz\H
oleges $\eta>0$-ra \'es $\e>0$-ra $P(X(\cdot)\in G(\eta,\delta))<\e$
el\'eg kis $\delta>0$-ra, ahol
$$
G(\eta, \delta)=\left\{x\: x\in
C([0,1]),\;\sup\limits\Sb 0\le s,t\le1 \\ |s-t|\le \delta\endSb
|x(t)-x(s)|\ge\eta\right\}\;.
$$
Mivel a $G(\eta,\delta)$ halmaz z\'art, \'es az
$X_n(t)$ folyamatok eloszl\'asai gyeng\'en konverg\'alnak az $X(t)$
folyamat eloszl\'as\'ahoz, ez\'ert $\limsup\limits_{n\to\infty}
P(X_n(\cdot)\in G(\eta,\delta))<\e$. A $\delta$ pa\-ra\-m\'e\-tert esetleg
kisebbnek v\'alasztva, el\'erhet\H o, hogy $\sup\limits_{1\le
n<\infty}P(X_n(\cdot)\in G(\eta,\delta))<\e$. Ez viszont azt jelenti,
hogy a (ii) felt\'etel is teljes\"ul.
\item{14.)} A megadott lek\'epez\'esek folytonos transzform\'aci\'ok a
$C([0,1])$ t\'erb\H ol a sz\'am\-e\-gye\-nes\-re. Val\'oban, a $\T
x=\sup\limits_{t\in[0,1]}x(t)$ \'es $\T
x=\sup\limits_{t\in[0,1]}|x(t)|$ lek\'epez\'esekre $|\T x-\T y|\le
\sup\limits_{0\le t\le1}|x(t)-y(t)|=\rho(x,y)$, \'es a $\T x=\int_0^1
|x(t)|^p\,dt$ lek\'epez\'es teljes\'\i{}ti a $|\T x-\T y|\le
p\sup\limits_{0\le t\le1}|x(t)|^{(p-1)} \rho(x,y)$, ha $p\ge1$ \'es $|\T x-\T y|\le
\rho(x,y)^p$, ha $0<p\le1$. A 12. feladatb\'ol k\"ovetkezik, hogy
amennyiben az $X_n(t)$ folyamatok eloszl\'asa gyeng\'en konverg\'al a
Wiener m\'ert\'ekhez, akkor a fenti $\T$ transzform\'aci\'ok (\'es
tetsz\H oleges a $C([0,1])$ t\'ernek a sz\'amegyenesre val\'o folytonos
lek\'epez\'ese) eset\'eben a $\T X_n(t)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a $\T W(t)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'ahoz, ahol $W(t)$
Wiener folyamat.
\item{15.)} Az \'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'as\'ahoz elegend\H o
bel\'atni, hogy amennyiben a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekek gyeng\'en konverg\'alnak egy $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi m\'ert\'ekhez, a $g(x)$ f\"uggv\'eny korl\'atos \'es a $\mu$
m\'ert\'ek szerint majdnem minden pontban folytonos, akkor
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\int g(x)\mu_n(\,dx)=\int g(x)\mu(\,dx)
$$
Fel\'\i{}rva ugyanis, hogy mit jelent a $\T\mu_n$ m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja a $\T\mu$ m\'ert\'ekhez, \'es a fel\'\i{}rt formul\'at
integr\'altranszform\'aci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel \'at\'\i{}rva az
$(X,\Cal A)$ t\'erbe, amint azt a 12. feladat 1. megold\'as\'aban
tett\"uk, a fenti formul\'at kell bel\'atni tetsz\H oleges $g(x)=f(\T
x)$ f\"uggv\'enyre, ha $f$ folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'eny az
$(X,\Cal A)$ t\'eren. Ekkor viszont a feladat felt\'etelei
teljes\"ul\'ese eset\'en a $g$ f\"uggv\'eny korl\'atos \'es majdnem
minden $x$-re folytonos. Tov\'abb reduk\'alhatjuk a bizony\'\i{}tand\'o
\'all\'\i{}t\'ast olyan a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden\"utt
folytonos $g$ f\"uggv\'enyekre, melyekre $0\le g(x)\le1$. S\H ot,
elegend\H o bel\'atni azt, hogy
$\liminf\limits_{n\to\infty}\int g(x)\mu_n(\,dx)\ge\int g(x)\mu(\,dx)$,
mivel alkalmazva az utols\'o \'all\'\i{}t\'ast a $g(x)$ \'es $1-g(x)$
f\"uggv\'enyre, megkapjuk, hogy abban $\liminf$ helyett $\lim$ \'es
$\ge$ helyett $=$ \'\i{}rhat\'o. (Ugyanezt az \'ervel\'est haszn\'altuk
a 3. feladat b.)~$\Rightarrow$~a.) \'all\'\i{}t\'as\'anak a
bizony\'\i{}t\'as\'aban is. Ennek a bizony\'\i{}t\'asnak az
\'ervel\'es\'et haszn\'aljuk a bizony\'\i{}t\'as folytat\'as\'aban is.)
R\"ogz\'\i{}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
$$
K(g,\mu,\e)=\e \sum_{j=1}^{\frac1\e} \mu(\{x\: x\in X,\; g(x)>j\e\})\;.
$$
kifejez\'est. Mivel $\lim\limits_{\e\to0} K(g,\mu_n,\e)=\int_Xg(x)
\mu_n(\,dx)$, tov\'abb\'a a konvergencia ebben a rel\'aci\'oban
egyenletes $n$-ben, \'es az anal\'og \'all\'\i{}t\'as igaz a $\mu$
m\'ert\'ekre is, el\'eg azt bel\'atni, hogy
$\liminf\limits_{n\to\infty} K(g,\mu_n,\e)\ge K(g,\mu,\e)$ minden
$\e>0$-ra. Ehhez elegend\H o megmutatni, hogy tetsz\H oleges $u\in R^1$
\'es $\e>0$-ra
$$
\liminf_{n\to\infty}\mu_n\{x\: g(x)>u-\e\}\ge\mu\{x\: g(x)>u\}\;.
$$
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H o jel\"ol\'eseket: Legyen $\A$ azon $x\in
X$ pontok halmaza, melyekben $g(x)$ folytonos. Egy $x\in\A$
ponthoz \'es $\e>0$-hoz rendelj\"unk hozz\'a egy $\delta=\delta(x,\e)>0$
sz\'amot \'ugy, hogy $|g(x)-g(y)|<\e$, ha $\rho(x,y)<\delta$, \'es
legyen $U(x,\e)=\{y\: \rho(x,y)<\delta\}$. Defini\'aljuk a
$$
\BB(u,\e)=\bigcup_{x\: x\in\A,\text{ \'es }g(x)>u} U(x,\e)
$$
halmazt. Ekkor $\{x\: x\in X,\; g(x)>u-\e\}\supset\BB(u,\e)$, a
 $\BB(u,\e)$ halmaz ny\'\i{}lt, ez\'ert a gyenge konvergencia 3.
feladat  c.) pontj\'aban adott jellemz\'ese miatt
$$
\liminf_{n\to\infty}\mu_n(\{x\:g(x)>u-\e\})\ge
\liminf_{n\to\infty}\mu_n(\BB(u,\e))\ge \mu(\BB(u,\e))\;.
$$
M\'asr\'eszt, $\mu(\{x\: g(x)>u\})\le \mu(\BB,\e)$, mivel
$\{g(x)>u\}\subset (\{g(x)>u\}\cap\A)\cup(X\setminus \A)\subset
\BB(u,\e)\cup (X\setminus \A)$, \'es $\mu(X\setminus\A)=0$. E
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik a feladat \'all\'\i{}t\'asa.
\item{16.)} a.) A $\T$ oper\'ator folytonoss\'agi pontjainak
le\'\i{}r\'asa.
\item{} Ha $x\in C([0,1])$, $y\in C([0,1])$, \'es $\rho(x,y)<\e$
valamilyen $\e>0$-val, akkor
$$
\lambda\{t\: x(t)>\e\}\le \T y\le\lambda\{t\: x(t)>-\e\}\;,
$$
\'es $\lim\limits_{\e\to0}\lambda\{t\: x(t)>\e\}=\lambda\{t\: x(t)>0\}$,
$\lim\limits_{\e\to0}\lambda\{t\: x(t)>-\e\}=\lambda\{t\: x(t)\ge0\}$.
Innen $\lambda\{t\: x(t)\ge0\}=\lambda\{t\: x(t)>0\}$, ha
$\lambda\{t\: x(t)=0\}=0$. Ez\'ert $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk a
fenti formul\'aban, hogy e felt\'etel mellett $\T y_n\to \T x$ ha
$\rho(y_n,x)\to0$, azaz a $\T$ lek\'epez\'es ebben az $x$ pontban
folytonos. Ha $\lambda\{t\: x(t)=0\}>0$, akkor az $y_n(t)=x(t)-\dfrac1n$
f\"uggv\'enysorozatra, $y_n\to x$, \'es $\T y_n\to \lambda \{t\:
x(t)\ge0\}>\lambda\{t\: x(t)>0\}=\T x$, ez\'ert a $\T$ lek\'epez\'es
ebben a pontban nem folytonos.
\item{b.)} A $\T$ oper\'ator a $\mu_w$ Wiener m\'ert\'ek szerint egy
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel folytonos.
\item{} Defini\'aljuk a $\chi(x)=\lambda\{t\:\chi(x)=0\}$, $x\in
C([0,1])$, f\"uggv\'enyt. El\'eg bel\'atni, hogy $\int
\chi(x)\mu_w(\,dx)=0$. E rel\'aci\'o bizony\'\i{}t\'asa \'erdek\'eben
tekints\"uk a $C([0,1])\times [0,1]$ szorzatteret a szorzat
$\sigma$-algebr\'aval \'es a $\mu_w\times \lambda$ szorzatm\'ert\'ekkel.
Defini\'aljuk a
$$
\varphi(x,t)=\cases
1&\text{ha }x(t)=0\\
0&\text{ha }x(t)\neq0
\endcases
$$
f\"uggv\'enyt a szorzatt\'eren, \'es sz\'amoljuk ki az
I=$\int_{C([0,1])\times[0,1]}\varphi(x,t)d\mu_w(\,x)\,dt$ integr\'alt a
Fubini t\'etel seg\'\i{}ts\'eg\'evel k\'et k\"ul\"onb\"oz\H o m\'odon.
El\H osz\"or az $x$ v\'altoz\'o sze\-rint integr\'alva kapjuk, hogy
$I=0$, mert r\"ogz\'\i{}tett $t$-re
$\mu_w\{x\: X(t)=0\}=0$. El\H osz\"or a $t$ v\'altoz\'o szerint
integr\'alva $I=\int\chi(x)\mu_w(\,dx)$. A k\'et azonoss\'agot
\"osszehasonl\'\i{}tva megkapjuk a k\'\i{}v\'ant \'all\'\i{}t\'ast.
\newpage
 
\beginsection Kieg\'esz\'\i{}t\'es
 
{\it A T\'etel A bizony\'\i{}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk egy a $(Z,\Cal
B)$ t\'eren \'ertelmezett
$\mu$ m\'ert\'eknek a $\mu^{(k)}$ projekci\'oj\'at az els\H o $k$
koordin\'at\'ara a k\"ovetkez\H o m\'odon. Ha $\A\subset [0,1]^k$
m\'erhet\H
o halmaz, ahol $[0,1]^k$ jel\"oli a $[0,1]$ intervallum $k$-szoros
direkt szorzat\'at \"onmag\'aval, akkor legyen $\mu^{(k)}(\A)=\mu(\{x\:
x=(x_1,x_2,\dots)\in Z,\;(x_1,\dots,x_k)\in A\})$.
 
Legyen $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tetsz\H
oleges sorozata a $(Z,\Cal B)$ t\'eren. Alkalmazva a 7.
feladat eredm\'eny\'et az $X=[0,1]^k\subset R^k$ egys\'egkocka
v\'alaszt\'assal, kapjuk, hogy a $\mu_n$ sorozatnak van olyan
$\mu_{n_k,1}$ r\'eszsorozata, melyre $\mu_{n_k,1}^{(1)}$
gyeng\'en konverg\'al egy $\bar \mu^{(1)}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekhez a $[0,1]$ intervallumon, ennek egy $\mu_{n_k,2}$
r\'eszsorozata, melyre $\mu_{n_k,2}^{(2)}$ gyeng\'en konverg\'al egy
$\bar \mu^{(2)}$ m\'ert\'ekhez a $[0,1]^2$ egys\'egn\'egyzeten, \'es
\'\i{}gy tov\'abb
szukcesszive minden $p=1,2,\dots$-ra a $\mu_{n_k,p}$ sorozatnak, melyre
$\mu_{n_k,p}^{(p)}$ gyeng\'en konverg\'al egy $\bar \mu^{(p)}$
m\'ert\'ekhez a $[0,1]^p$ egys\'egkock\'an, l\'etezik olyan
$\mu_{n_k,p+1}$ r\'eszsorozata, melyre $\mu_{n_k,p+1}^{(p+1)}$
gyeng\'en konverg\'al egy $\bar \mu^{(p+1)}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekhez a $[0,1]^{p+1}$ egys\'egkock\'an. V\'eg\"ul \'atl\'os
elj\'ar\'assal e sorozatok
seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapunk egy olyan $\mu_{n_k}$ r\'eszsorozatot,
melyre igaz, hogy a $\mu_{n_k}^{(p)}$ m\'ert\'eksorozat
minden $p=1,2,\dots$-ra gyeng\'en konverg\'al egy $\bar \mu^{(p)}$
m\'ert\'ekhez a $[0,1]^p$ egys\'egkock\'an. A konstrukci\'ob\'ol
k\"ovetkezik,
hogy a $\bar\mu^{(p)}$ m\'ert\'ekek konzisztensek, azaz tetsz\H oleges
$p\ge1$ \'es $s\ge 0$-ra \'es $\A\subset [0,1]^p$ m\'erhet\H o
halmazra, $\bar\mu^{(p)}(\A)=\bar\mu^{(p+s)}(\A\times \underbrace
{[0,1]\times\dots\times[0,1]}_s)$. Mi\'ert? (P\'eld\'aul a
$\mu_{n_k}^{(p)}$ \'es $\mu_{n_k}^{(p+s)}$ m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy  a $\mu^{(p)}$
m\'ert\'eknek \'es a $\mu^{(p+s)}$ m\'ert\'ek vet\"ulet\'enek az els\H
o $p$ koordin\'at\'ara olyanok az eloszl\'asf\"uggv\'enyei, hogy ezek
\'ert\'ekei meg\-egyez\-nek azokban a pontokban, melyek mind a k\'et
eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonoss\'agi pont\-jai. Innen k\"ovetkezik,
hogy a k\'et m\'ert\'ek is megegyezik.)
 
Ez\'ert a Kolmogorov alapt\'etel alapj\'an l\'etezik olyan $\mu$
m\'ert\'ek a $(Z,\Cal B)$ t\'eren, melyre $\mu^{(p)}=\bar\mu^{(p)}$
minden $p=1,2,\dots$-ra. \'All\'\i{}tjuk, hogy a $\mu_{n_k}$
m\'ert\'eksorozat gyeng\'en konverg\'al a $\mu$ m\'ert\'ekhez. Innen
k\"ovetkezik a T\'etel~A \'all\'\i{}t\'asa.
 
Azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H oleges a $(Z,\Cal B)$ t\'eren
folytonos $f$ f\"uggv\'enyre, (amelyik sz\"uks\'egk\'eppen korl\'atos is a $Z$
t\'er kompakts\'aga miatt)
$$
\limm_{k\to\infty}\int f(x)\mu_{n_k}(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx)\,.
$$
L\'assuk be az \'all\'\i{}t\'ast el\H osz\"or abban a speci\'alis
esetben, amikor $f(x)$ csak az $x\in Z$ els\H o $p$
koordin\'at\'aj\'at\'ol f\"ugg, azaz $f(x)=f(y)$,
ha $x=(x_1,\dots,x_p,x_{p+1},\dots)$ \'es
$y=(x_1,\dots,x_p,y_{p+1},\dots)$. Ekkor defini\'aljuk az $\bar
f(x_1,\dots,x_p)=\bar f(x_1,\dots,x_p,0,0,\dots)$ $p$ v\'altoz\'os,
folytonos f\"uggv\'enyt. Az $f$ f\"uggv\'eny \'es a $\mu_{n_k}^{(p)}$
m\'ert\'ekek tulajdons\'agai alapj\'an a $\limm_{k\to\infty}\int
\bar f(x)\mu_{n_k}^{(p)}(\,dx)=\int\bar f(x)\bar\mu^{(p)}(\,dx)$,
amib\H ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\int
f(x)\mu_{n_k}(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx)\;,
$$
ha az $f(x)$ f\"uggv\'eny az $x=(x_1,x_2,\dots)$ pontnak csak az els\H o
$p$ koordin\'at\'aj\'at\'ol
f\"ugg. Ha $f(x)$ tetsz\H oleges folytonos f\"uggv\'eny a $(Z,\Cal B)$
t\'eren, akkor $f(x)$ egyenletesen folytonos, mivel $f(x)$ kompakt
t\'eren \'ertelmezett folytonos f\"uggv\'eny. A $Z$ t\'eren defini\'alt
$\rho$ metrika olyan, hogy $\rho(x,y)\le 2^{-p}$, ha az $x$ \'es $y$
pontok els\H o $p$ koordin\'at\'aja megegyezik. \'Igy tetsz\H oleges
$\e>0$-ra \'es $Z$-n \'ertelmezett folytonos f\"uggv\'enyre l\'etezik
olyan $p=p(\e,f)$ sz\'am, melyre az
$f_0(x_1,x_2,\dots)=f_{0,p}(x_1,x_2,\dots)
=f(x_1,\dots,x_p,0,0,\dots)$ f\"uggv\'eny teljes\'\i{}ti a $\supp_{x\in
Z}|f(x)-f_0(x)|<\e$ felt\'etelt. Innen k\"ovetkezik, hogy $|\int
f_0(x)\mu_{n_k}(\,dx)-\int f(x)\mu_{n_k}(\,dx)|\le\e$
\'es $|\int f_0(x)\mu(\,dx)-\int f(x)\mu(\,dx)|\le\e$. Tov\'abb\'a,
mivel $f_0(x)$ csak $x$ els\H o $p$ koordin\'at\'aj\'at\'ol f\"ugg,
ez\'ert $\limm_{n_k\to\infty}\int f_0(x)\mu_{n_k}(dx)=\int
f_0(x)\mu(\,dx)$. Ezekb\H ol a rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|\limsup_{n_k\to\infty}\int f(x)\mu_{n_k}(dx)-\int
f(x)\mu(\,dx)\right|\le2\e\;.
$$
Mivel ez az \'all\'\i{}t\'as igaz tetsz\H oleges $\e>0$-ra, innen
k\"ovetkezik T\'etel~A.
 
\newpage
 
\beginsection Funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
 
A k\"ovetkez\H o feladatsor c\'elja a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'eles\'\i{}t\'ese.
Ebben felhaszn\'aljuk a {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek
gyenge konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor
e\-red\-m\'e\-nye\-it. Bel\'atjuk, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en a
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi  v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ib\H
ol term\'eszetes m\'odon defini\'alt v\'eletlen t\"o\-r\"ott\-vo\-nal
f\"uggv\'eny sorozat eloszl\'asai, mint $C([0,1])$ t\'erbe k\'epez\H o
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok eloszl\'asai, gyeng\'en
tartanak a Wiener m\'ert\'ekhez. Ennek \'es az eml\'\i{}tett feladatsor
eredm\'enyeinek fontos k\"ovetkezm\'enye a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'as:  Tekints\"uk a val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
els\H o $n$ r\'eszlet\"osszeg\'et, $n=1,2,\dots$, \'es ennek az $n$
r\'eszlet\"osszegnek valamilyen
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. F\"uggv\'enyek nagyon t\'ag oszt\'aly\'ara az
\'\i{}gy defini\'alt v\'eletlen f\"uggv\'enyeknek van
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'a\-sa, ha $n\to\infty$. R\'aad\'asul ez a
hat\'areloszl\'as univerz\'alis abban az \'ertelemben, hogy minden a
t\'etel felt\'eteleinek eleget tev\H o val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-i\-b\H ol \'\i{}gy elk\'esz\'\i{}tett
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o sorozatnak ugyanaz a
hat\'areloszl\'asa. Ezen\-k\'\i{}\-v\"ul bebizony\'\i{}tunk egy
a statisztikai alkalmaz\'asokban fontos eredm\'enyt arr\'ol, hogy egy
statisztikai mint\'ab\'ol elk\'esz\'\i{}tett empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enyre hasonl\'o ered\-m\'eny \'er\-v\'e\-nyes.
\bigskip
A f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeir\H ol sz\'ol\'o centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel leg\'altal\'anosabb alakja a
k\"ovetkez\H o: \medskip\noindent{\bf Centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel.} Legyen adva minden
$k=1,2,\dots$-ra val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'ok egy
$\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$ sorozata, $n_k\to\infty$, ha $k\to\infty$,
mely teljes\'\i{}ti a k\"ovetkez\H o felt\'eteleket:
\item{(i)} R\"ogz\'\i{}tett $k$-ra a $\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
\item{(ii)} $E\xi_{k,l}=0$, $E\xi_{k,l}^2=\sigma_{k,l}^2$ minden
$k=1,2,\dots$, \'es $1\le l\le n_k$-ra,
$\sum\limits_{l=1}^{n_k}\sigma_{k,l}^2=1$.
\item{(iii)} Teljes\"ul a k\"ovetkez\H o, \'ugynevezett Lindeberg
felt\'etel:
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{l=1}^{n_k}E\xi_{k,l}^2I(|\xi_{k,l}|>\e)\to 0
\quad \text{minden $\e>0$-ra.}
$$
 
Ekkor az $S_k=\sum\limits_{l=1}^{n_k}\xi_{k,l}$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok $k\to\infty$ eset\'en eloszl\'asban konverg\'alnak
a standard norm\'alis eloszl\'ashoz.
\medskip Megfogalmazzuk, majd n\'eh\'any feladat seg\'\i{}ts\'eg\'evel
bebizony\'\i{}tjuk a centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
funkcion\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel alakj\'at.
Tegy\"uk fel a centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
felt\'eteleit. Legyen $s_{k,0}=0$, $S_k^{(0)}=0$, \'es
$s_{k,l}=\sum\limits_{p=1}^l\sigma^2_{k,p}$, $S_k^{(l)}=
 \sum\limits_{p=1}^l\xi_{k,p}$, $1\le l\le n_k$. Defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H o v\'eletlen $S_k(t)$, $0\le t\le1$, $k=1,2,\dots$,
t\"or\"ottvonal f\"uggv\'enyeket. $S_k(s_{k,l})= S_k^{(l)}$,
$l=0,\dots, n_k$ (speci\'alisan $S_k(1)=S_k(s_{k,n_k})=S_k$), \'es
terjessz\"uk ki az $S_k(\cdot)$ f\"uggv\'enyeket ezen oszt\'opontok
k\"oz\"ott line\'aris m\'odon, azaz legyen $s_{k,l-1}\le t\le s_{k,l}$
eset\'en $S_k(t)=\[\dfrac1{s_{k,l}-s_{k.l-1}}(t-s_{k,l-1})S^{(l)}_k
+(s_{k,l}-t)S_k^{(l-1)}\]$, $1\le l\le n_k$. Ekkor r\"og\-z\'\i{}\-tett
$k$-ra az $S_k(t)$ v\'eletlen f\"uggv\'eny felfoghat\'o mint egy
$C([0,1])$ t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H o val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'o. Igaz a k\"ovetkez\H o funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel.
\medskip \noindent {\bf Funkcion\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel.} A centr\'alis hat\'areloszl\'as
fent megfogalmazott felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en az el\H obb
defini\'alt $S_k(t)$ folyamatok eloszl\'asai a $C([0,1])$ t\'erben
gyeng\'en konverg\'alnak a Wiener m\'ert\'ekhez, azaz a Wiener
folyamatnak mint $C([0,1])$ t\'erbeli val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'onak az eloszl\'as\'ahoz.
\bigskip
A {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ fel\-adatsor 13. fel\-adata
megmutatja, hogy milyen \'all\'\i{}t\'asokat kell bizony\'\i{}tani e
t\'etel igazol\'as\'ahoz. El\H o\-sz\"or bebizony\'\i{}tunk k\'et
egyszer\H ubb \'all\'\i{}t\'ast. Ezek k\"oz\"ul az els\H ot
\'altal\'anosabban fo\-gal\-maz\-zuk meg, mint ahogy sz\"uks\'eg\"unk
van r\'a.
\item{1.)} Legyen $X_n$ \'es $Y_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-nak k\'et sorozata, melyek \'ert\'ek\"uket egy
$(X,\Cal A)$ t\'eren veszik fel, ahol $(X,\rho)$ teljes szepar\'abilis
metrikus t\'er, \'es $\Cal A$ a Borel $\sigma$-algebra ezen a t\'eren.
Tegy\"uk fel, hogy az $X_n$ \'es $Y_n$ sorozat k\"ozel van egym\'ashoz
a k\"ovetkez\H o \'ertelemben: $\rho(X_n,Y_n)\Rightarrow 0$, ha
$n\to\infty$, ahol $\Rightarrow$ a sztochasztikus konvergenci\'at
jel\"oli. Mutassuk meg, hogy ha az $X_n$, $n\to\infty$,  sorozat
eloszl\'asa gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ekhez az $(X,\Cal A)$ t\'eren, akkor az $Y_n$, $n\to\infty$,
sorozat eloszl\'asa is gyeng\'en konverg\'al ugyanahhoz a $\mu$
m\'ert\'ekhez.
\item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti \'all\'\i{}t\'as legfontosabb
speci\'alis esete a k\"ovetkez\H o: Ha $(X,\Cal A)=(R^k,\Cal B^k)$ (a $k$
dimenzi\'os Euklideszi t\'er), \'es $X_n-Y_n\Rightarrow 0$ (ahol
$\Rightarrow$ eloszl\'asban vagy, ami az adott esetben ekvivalens,
sztochasztikus konvergenci\'at jel\"ol), akkor ha az $X_n$ sorozatnak
van hat\'areloszl\'asa, akkor az $Y_n$ sorozatnak is van
hat\'areloszl\'asa, amelyik megegyezik az $X_n$ sorozat
hat\'areloszl\'as\'aval.
\item{} Mutassuk meg speci\'alisan, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel (ii)  felt\'etele gyen\-g\'\i{}t\-he\-t\H o a
k\"ovetkez\H o m\'odon: El\'eg megk\"ovetelni azt, hogy
$\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{l=1}^{n_k}\sigma_{k,l}^2\to1$ a
pontos azonoss\'ag helyett.
\item{2.)}Mutassuk meg, hogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleib\H ol k\"ovetkezik, hogy
$\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{1\le l\le n_k}\sigma_{k,l}^2=0$.
\item{3.)} Mutassuk meg (a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
felhaszn\'al\'as\'aval) azt, hogy a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en tetsz\H oleges $0<t_1<t_2<\cdots<t_p\le 1$
sz\'amokra az $(S_k(t_1),\dots,S_k(t_p))$ vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak $k\to\infty$ eset\'eben a $(W(t_1) ,\dots, W(t_p))$
vektorhoz, ahol $W(t)$ a Wiener folyamat a $[0.1]$ intervallumon.
 \medskip
A {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor 13. fel\-ada\-t\'a\-ban
szerepl\H o m\'asik felt\'etel teljes\"ul\'es\'enek az igazol\'as\'ahoz
meg kell mutatnunk azt, hogy bizonyos f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek a maximuma csak kis
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel vesz fel viszonylag nagy (= sokszor nagyobb,
mint az \"osszes val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asa) \'ert\'eket. Ebben a becsl\'esben c\'elszer\H u
meg\-sza\-ba\-dul\-ni a maximumt\'ol. Ez lehets\'eges alkalmas egyenl\H
otlens\'egek seg\'\i{}ts\'eg\'evel. T\"obb olyan egyenl\H otlens\'eg
ismeretes a val\'osz\'\i{}n\H us\'egsz\'am\'\i{}t\'asban, melyek azt
fejezik ki szem\-l\'e\-le\-te\-sen, hogy a r\'eszlet\"osszegek maximuma
nem sokkal nagyobb, mint az \"osszes va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszege. Mi a k\"ovetkez\H o nem t\'ul
neh\'ez,
de e feladatsornak csak a ki\-eg\'e\-sz\'\i{}\-t\'e\-s\'e\-ben
bizony\'\i{}tott lemm\'at fogjuk haszn\'alni.
\bigskip\noindent{\bf Lemma.} Legyenek $X_1$,\dots, $X_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, $EX_j=0$, $EX_j^2=\sigma_j^2$,
$j=1,\dots,n$, $s_n^2=\sum\limits_{j=1}^n\sigma_j^2$. Ekkor minden
$x>0$-ra
$$
P\(\sup_{1\le j\le n}\sum_{p=1}^j X_p>x\)\le\frac43
P\(\sum_{p=1}^n X_p> x-2s_n\)\;.
$$
\medskip
El\H osz\"or megmutatjuk, hogy e lemma seg\'\i{}ts\'eg\'evel a
centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
fel\-t\'e\-te\-le\-i\-nek teljes\"ul\'ese eset\'en a
{\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor 13. feladata (ii.)
\'all\'\i{}t\'as\'anak a bizony\'\i{}t\'as\'at egyszer\H ubb
\'all\'\i{}t\'as bizony\'\i{}t\'as\'ara lehet visszavezetni.
\item{4.)} L\'assuk be, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en minden $\delta>0$-ra \'es
$k\ge k_0$-ra, ahol $k_0=k_0(\delta)$ alkalmas k\"usz\"obindex,
l\'etezik olyan $0=t_{k,0}<t_{k,1}<t_{k,2}<\cdots<t_{k,p}=1$,
$p=p(k,\delta)$, partici\'oja a $[0,1]$ intervallumnak,
melyre teljes\"ulnek a k\"ovetkez\H o felt\'etelek:
$t_{k,r}=s_{k,L(k,r)}$ alkalmas $1\le L(k,r)\le n_k$-val, \'es
$3\delta\le t_{k,r}-t_{k,r-1}\le7\delta$, $1\le r\le p$. Legyen
$t_{k,0}=L(k,0)=0$. (Az $s_{k,l}$ sz\'amokat a funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelben szerepl\H o $S_k(t)$ t\"or\"ottvonal
konst\-ruk\-ci\-\'o\-j\'a\-ban defini\'altuk.)  Minden  el\'eg nagy
$k$-ra \'es $0<\delta<1$-re r\"ogz\'\i{}ts\"unk egy ilyen partici\'ot
\'es az e partici\'ot meghat\'aroz\'o $L(k,r)$, $0\le r\le p(k,\delta)$
sz\'amokat. A kimondott lemma seg\'\i{}ts\'eg\'evel mutassuk meg, hogy
a {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aja
metrikus terekben}\/ feladatsor 13. feladat\'aban szerepl\H o (ii)
tulajdons\'ag teljes\"ul, ha minden $\eta>0$-ra l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\eta)$, hogy minden $0<\delta\le\delta(\eta)$-ra az ehhez
a $\delta$-hoz tartoz\'o partici\'o teljes\'\i{}ti a
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
-S_{k}^{(L(k,r-1))}\right|>\eta\)=0 \tag a
$$
rel\'aci\'ot, ahol az $S_k^{(l)}$ \"osszeget az $S_k(t)$ v\'eletlen
t\"or\"ottvonal konstrukci\'oj\'aban de\-fi\-ni\-\'al\-tuk.
\item{} A k\"ovetkez\H o feladat c\'elja az, hogy megmutassuk:
Az (a) rel\'aci\'oban az $S_k^{(L(k,r))}$ \"osszegekben szerepl\H o
$\xi_{k,l}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat
helyettes\'\i{}thetj\"uk ezek alkalmas csonk\'\i{}tottj\'aval, illetve
azokhoz m\'eg egy konstanst hoz\-z\'a\-ad\-ha\-tunk, amit\H ol az
\"ossze\-adan\-d\'ok nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H uek lesznek. \'Igy
a 4. feladat (a) \'all\'\i{}t\'asa helyett egy egyszer\H ubb
becsl\'est is el\'eg bizony\'\i{}tani. Ebben a feladatban haszn\'aljuk
ki a Lindeberg felt\'etelt. E felt\'etel biztos\'\i{}tja azt, hogy a
$\xi_{k,l}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok nagy \'ert\'ekeinek a
ha\-t\'a\-sa elhanyagolhat\'o. (A $\xi_{k,l}$ v\'altoz\'o nagy, ha
nagyobb mint $\e$, azaz $\e$-szor az \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete.
Teh\'at inform\'alis m\'odon megfogalmazva, a $\xi_{k,l}$ \'ert\'ek\'et
akkor tekintj\"uk nagynak, ha ennek az egyetlen \"osszeadand\'onak az
\'ert\'eke \"osszem\'erhet\H o a teljes $S_k$ \"osszeg tipikus
\'ert\'ekeivel.)
\item{5.)} Legyen $\xi_{k,l}$, $k=1,2,\dots$, $1\le r\le n_k$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'oknak egy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit kiel\'eg\'\i{}t\H o rendszere.
Tetsz\H oleges $\tau>0$-ra defini\'aljuk a
$\bar\xi_{k,r}(\tau)=\xi_{k,r}I(|\xi_{k,r}|<\tau)$,
$\bar\xi_{k,r}'(\tau)=\xi_{k,r}I(|\xi_{k,r}|\ge\tau)$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat. Legyen
$m_{k,r}(\tau)=E\bar\xi_{k,r}(\tau)=-E\bar\xi_{k,r}'(\tau)$, \'es
legyenek $\xi_{k,r}(\tau)=\bar\xi_{k,r}(\tau)-m_{k,r}(\tau)$,
$\xi_{k,r}'(\tau)=\bar\xi_{k,r}'(\tau)+m_{k,r}(\tau)$.
Defini\'aljuk tov\'abb\'a az
$$
S^{(r)}_k(\tau)=\sum_{p=1}^r\xi_{k,p}(\tau)\quad\text{\'es} \quad
\bar S^{(r)}_k(\tau)=\sum_{p=1}^r\xi_{k,p}'(\tau), \quad 1\le
r\le n_k
$$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat. Mutassuk meg, hogy
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel fel\-t\'e\-te\-le\-i\-b\H ol (a
Lindeberg felt\'etelb\H ol) k\"ovetkezik, hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{r=1}^{n_k}E|\bar \xi_{k,r}'(\tau)|=0\;,
$$
\'es
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{r=1}^p P\(\left|\bar S_{k}^{(M(k,r))}(\tau)
-\bar S_{k}^{(M(k,r-1))}(\tau) \right|>\eta\)=0
$$
minden $\eta>0$, $\tau>0$ val\'os, $p>0$ eg\'esz sz\'amokra \'es a
$[0,n_k]$ intervallum tetsz\H oleges $0=M(k,0)<M(k,1)<\cdots<M(k,p)=n_k$
feloszt\'as\'ara $M(k,r)$ eg\'esz sz\'amokkal. Ez\'ert a 4. feladatban
szerepl\H o (a) rel\'aci\'o k\"ovetkezik a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'asb\'ol:
$$
\limsup_{k\to\infty}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\right|>\eta\)\le\const(\eta)(\tau^2+\delta)
\tag b
$$
minden $\eta>0$, $\tau>0$ \'es $0<\delta<\delta(\eta)$-ra, ahol az
$L(k,r)$ sz\'amok megegyeznek a 4. feladatban szerepl\H o
($\delta$-t\'ol f\"ugg\H o), a $[0,1]$ intervallum  partici\'o\j\'at
defini\'al\'o sz\'amokkal. (Val\'oj\'aban  el\'eg lenne a (b) becsl\'es
jobboldal\'an tetsz\H oleges olyan $f(\eta,\delta,\tau)$ f\"uggv\'eny,
melyre $\lim\limits\Sb \delta\to0\\ \tau\to 0 \endSb
f(\eta,\delta,\tau)=0$ minden $\eta>0$-ra.)
\item{6.)} Bizony\'\i{}tsuk be az el\H oz\H o feladat (b)
\'all\'\i{}t\'as\'at, \'es \'\i{}gy a funkcion\'alis  centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt.
\item{} A k\"ovetkez\H o egyszer\H u feladat c\'elja az, hogy egy
p\'eld\'aval megmutassuk: Szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok v\'eges
dimenzi\'os el\-osz\-l\'a\-sa\-i\-nak a kon\-ver\-gen\-ci\'a\-ja egy
sztochasztikus folyamathoz a $C([0,1])$ t\'erben nem elegend\H o ahhoz,
hogy e folyamatok minden folytonos funkcion\'alj\'anak legyen
hat\'areloszl\'asa, amelyik a hat\'arfolyamat
funk\-ci\-o\-n\'al\-j\'a\-nak az eloszl\'as\'ahoz tart.
\item{7.)} Legyen $f_0(t)\equiv0$, $0\le t\le1$, $f_n(t)=nt$, ha $0\le
t\le\dfrac1n$, $f_n(t)=2-nt$, ha $\dfrac1n\le t\le \dfrac2n$ \'es
$f_n(t)=0$, ha $\dfrac2n\le t\le1$, $n=2,3,\dots$. Legyen az $X_0$
$C([0,1])$ \'ert\'ek\H u (elfajult) val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel $f_0(t)$ f\"uggv\'eny, az
$X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o pedig 1
val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel az $f_n(t)$ f\"uggv\'eny, $n=2,3,\dots$.
Mutassuk meg, hogy az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai konverg\'alnak az $X_0$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asaihoz, de az $X_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
$\mu_n$ eloszl\'asa nem konverg\'al gyeng\'en az $X_0$  $\mu_0$
eloszl\'as\'ahoz a $C([0,1])$ t\'eren, ha $n\to\infty$. Adjunk
meg olyan $\T$ folytonos lek\'epez\'est a $C([0,1])$ t\'erb\H ol
$R^1$-re, amelyikre $\T(X_n)$ nem konverg\'al eloszl\'asban
$\T(X_0)$-hoz, ha $n\to\infty$.
\bigskip
Egy m\'asik (k\"ul\"on\"osen statisztikai alkalmaz\'asokban) fontos
$C([0.1])$ t\'erbeli ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel az empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas norm\'altj\'anak a gyenge
konvergenci\'aja a Brown bridge-hez. Ennek megfogalmaz\'as\'ahoz el\H
osz\"or vezess\"unk be n\'eh\'any fogalmat. Legyenek
$\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok. Defini\'aljuk a
$\xi_1^{*(n)}\le\xi_2^{*(n)}\le\cdots\le\xi_n^{*(n)}$ rendezett
mint\'at, ami a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok nagys\'ag sze\-rin\-ti rendez\'ese. (Megjegyezz\"uk, hogy
mivel a $\xi_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel k\"ul\"onb\"oz\H oek, ez\'ert a nagys\'ag
sze\-rin\-ti rendez\'es 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel
egy\-\'er\-tel\-m\H u.) Defini\'aljuk az $F_n(t)=F_n(t,\oo)$,
$n=1,2,\dots$, $0\le t\le1$, empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt
a k\"ovetkez\H o m\'odon: $F_n(t)=F_n(t,\oo)=\dfrac kn$, ha
$\xi_k^{*(n)}(\oo)\le t<\xi_{k+1}^{*(n)}(\oo)$, $k=1,\dots,n-1$,
($\xi_0^{*(n)}=0$ jel\"ol\'essel) \'es $F_n(t)=F_n(t,\oo)=1$, ha
$\xi_n^{*(n)}(\oo)\le t\le1$. Mivel az $F_n(t)$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny nem folytonos f\"uggv\'eny, annak \'erdek\'eben,
hogy a $C([0,1])$ t\'erben dolgozhassunk, bevezetj\"uk az $\tilde
F_n(t)=\tilde F_n(t,\oo)$ m\'odos\'\i{}tott
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt, melyben az $F_n(t)$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enynek a $\xi_n^{*(k)}$ ugr\'opontokban
felvett \'ert\'ekeit li\-ne\-\'a\-ri\-s szakasszal k\"otj\"uk \"ossze.
Form\'alisan fel\'\i{}rva
$$
\align
\tilde F_n(t,\oo)&=\frac kn\frac
{\xi_{k+1}^{*(n)}-t}{\xi_{k+1}^{*(n)}-\xi_k^{*(n)}}
+\frac {k+1}n\frac
{t-\xi_{k}^{*(n)}}{\xi_{k+1}^{*(n)}-\xi_k^{*(n)}}\quad\text{ha }
\xi_k^{*(n)}\le t\le \xi_{k+1}^{*(n)}\\
\tilde F_n(t,\oo)&=1-\frac 1n\frac{1-t}{1-\xi_n^{*(n)}}\quad\text{ha }
\xi_n^{*(n)}\le t\le 1\,.
\endalign
$$
Bebizony\'\i{}tjuk a k\"ovetkez\H o t\'etelt:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel az empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enyre.}\/ Minden $n=1,2,\dots$ eg\'esz sz\'amra
legyen adva f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altozoknak egy
$\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozata. Tekints\"uk az ezen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'ok \'altal a fent le\'\i{}rt
m\'odon defini\'alt $\tilde F_n(t)=\tilde F_n(t,\oo)$ m\'odos\'\i{}tott
empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket \'es az
$X_n(t)=X_n(t,\oo)=\sqrt n(\tilde F_n(t,\oo)-t)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokat, $n=1,2,\dots$. Az
$X_n(t)$ sztochasztikus folyamatok $C([0,1])$ t\'erbeli
el\-osz\-l\'a\-sai gyeng\'en konverg\'alnak a $B_0(t)=W(t)-tW(1)$ Brown
bridge el\-osz\-l\'a\-s\'a\-hoz a $C([0,1])$ t\'erben, ahol $W(t)$ a
Wiener folyamatot jel\"oli. \medskip
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy amennyiben minket az $F_n(t)$
empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny aszimptotikus viselked\'ese \'erdekel,
nem lehet-e a fenti t\'etelhez hasonl\'o eredm\'enyt bizony\'\i{}tani
az $Y_n(t)=\sqrt n(F_n(t)-t)$ sztochasztikus folyamatokra. Ez
lehets\'eges, de mivel az $Y_n(t)$ sztochasztikus folyamat nem
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u, ez\'ert ennek az eredm\'enynek a
bizony\'\i{}t\'as\'ahoz ki kell dolgozni a gyenge konvergencia
elm\'elet\'et \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb terekben. Ez megtal\'alhat\'o
p\'eld\'aul {\it Patrick Billingsley: Convergence of Probability
Measures}\/ c\'\i{}m\H u k\"onyv\'eben. Mi ennek az elm\'eletnek
finomabb k\'erd\'eseit ebben a feladatsorban nem t\'argyaljuk. Viszont
megmutatjuk, hogy mivel $\supp_{0\le t\le1}|X_n(t)-Y_n(t)|=n^{-1/2}$ (a
szupr\'emum a $t=\xi_k^{*(n)}-0$ pontokban v\'etetik fel, ahol
$F_n(t)=\dfrac{k-1}n$ \'es $\tilde F_n(t)=\dfrac kn$) \'es az $X_n(t)$
sztochasztikus folyamatok eloszl\'asai gyeng\'en konverg\'alnak egy
$C([0,1])$ t\'erbeli m\'ert\'ekhez, ez\'ert az $X_n(t)$ folyamatok
gyenge konvergenci\'aja egyen\'ert\'ek\H u ered\-m\'eny az $Y_n(t)$
folyamatok gyenge konvergenci\'aj\'aval. (A Billingsley k\"onyvben
kidolgozott elm\'elet akkor hasznos, ha sztochasztikus folyamatok
gyenge konvergenci\'aj\'at akarjuk bel\'atni nem folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamathoz. Ilyen nem
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u hat\'arfolyamat lehet p\'eld\'aul a
Poisson folyamat. E feladatsorban viszont ilyen tipus\'u eredm\'enyeket
nem t\'argyalunk.) \medskip
 
\newpage
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1.)} Tudjuk, hogy ha $f(x)$ folytonos, korl\'atos f\"uggv\'eny,
akkor $\lim\limits_{n\to\infty} f(X_n)$ l\'etezik. Be akarjuk l\'atni,
hogy $\lim\limits_{n\to\infty} f(Y_n)$ szint\'en l\'etezik, \'es ez a
k\'et hat\'ar\'ert\'ek megegyezik. Ehhez el\'eg megmutatni azt, hogy
$E[f(X_n)-f(Y_n)]\to 0$, ha $n\to \infty$. Ez az \'all\'\i{}t\'as
k\"ovetkezik a Lebesgue t\'etelb\H ol, mivel a feladat felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en
$$
\sup\limits_{1\le n\le \infty}|f(X_n)-f(Y_n)|<\const,\quad\text{\'es}
\quad f(X_n)-f(Y_n)\Rightarrow 0\;,
$$
ha $n\to\infty$. Az utols\'o \'all\'\i{}t\'as igazol\'as\'an\'al
haszn\'aljuk ki, hogy mivel az $X_n$ sorozat eloszl\'asa gyeng\'en
konverg\'al, ez\'ert tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan kompakt
$\K=\K(\e)\subset X$ halmaz, melyre $P(X_n\in \K)>1-\e$ minden $n=1,2,
\dots$-ra (l\'asd {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor 6. feladat\'at), \'es
egy folytonos $f(x)$ f\"uggv\'eny a kompakt $\K$ halmazon egyenletesen
folytonos.
\item{} Bevezetve az $s_k=\sum\limits_{l=1}^{n_k}\sigma_{k,l}^2$
jel\"ol\'est, a centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel
gyen\-g\'\i{}\-tett fel\-t\'e\-te\-le\-i\-nek teljes\"ul\'ese eset\'en
az $\dfrac{S_k}{s_k}$ sorozat eloszl\'asban konverg\'al  a standard
nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\-hoz. Mivel $E\(S_k-\dfrac{S_k}{s_k}\)^2
\to0$, ez\'ert $S_k-\dfrac{S_k}{s_k}\Rightarrow0$, ez\'ert az $S_k$
\'es $\dfrac{S_k}{s_k}$ sorozatnak ugyanaz a hat\'areloszl\'asa.
\item{2.)} Tetsz\H oleges $\e>0$-ra
$$
\sigma_{k,l}^2\le E\xi_{k,l}^2\le \e^2+E\xi_{k,l}^2I(|\xi_{k,l}|>\e)
\le\e+\sum_{l=1}^{n_k}E\xi_{k,l}^2I(|\xi_{k,l}|>\e)\;.
$$
Ebb\H ol az egyenl\H otlens\'egb\H ol \'es a Lindeberg felt\'etelb\H
ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\limsup\limits_{k\to \infty}\sup\limits_{1\le k\le
n_k}\sigma^2_{k,l}\le \e\;.
$$
Mivel ez az egyenl\H otlens\'eg minden  $\e>0$-ra igaz, innen ad\'odik
az \'all\'\i{}t\'as.
\item{3.)} A feladat \'all\'\i{}t\'asa ekvivalens a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'assal: Az $\{S_k(t_j)-S_k(t_{j-1}),\;1\le j\le p\}$
vektor eloszl\'asa, $t_0=0$ \'es $S(t_0)=0$ jel\"ol\'essel,
eloszl\'asban konverg\'al egy norm\'alis eloszl\'as\'u
$(Z_1,\dots,Z_p)$ vektorhoz, ahol $EZ_j=0$, $EZ_j^2=t_j-t_{j-1}$, $1\le
j\le p$, \'es a $Z_1$, \dots, $Z_p$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Defini\'aljuk a $v_{k,j}=\sup\limits\Sb
1\le l\le n_k\\ s_{k,l}\le t_j \endSb s_{k,l}$,  \'es
$u_{k,j}=\inf\limits\Sb 1\le l\le n_k\\ s_{k,l}\ge t_{j-1} \endSb
s_{k,l}$, $1\le j\le p$ sz\'amokat, \'es az
$Y_{k,j}=S(v_{k,j})-S(u_{k,j})$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'okat, $1\le j\le p$. Azaz $v_{k,j}$ az utols\'o $t_j$ el\H
otti, $u_{k,j}$ az els\H o $t_{j-1}$ ut\'ani $s_{k,l}$ oszt\'opont. A
2. feladat alapj\'an $v_{k,j}\to t_j$  \'es $u_{k,j}\to t_{j-1}$,
minden $1\le j\le p$-re, ha $k\to\infty$. Ez\'ert
$Y_{k,j}-[S_k(t_j)-S_k(t_{j-1})]\Rightarrow 0$ \'es
$EY_{k,j}^2\to t_j-t_{j-1}$, $EY_{k,j}=0$ minden $1\le j\le p$-re, ha
$k\to\infty$. Tov\'abb\'a r\"ogz\'\i{}tett $k$-ra az $Y_{k,1}$,\dots,
$Y_{k,p}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, mivel
ezek bizonyos $\xi_{k,l}$ egym\'ast\'ol f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei, \'es az egyes $Y_{k,j}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat defini\'al\'o \"osszegekben
k\"ul\"onb\"oz\H o $\xi_{k,l}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
vesznek r\'eszt. Az 1.\ feladat alapj\'an a bizony\'\i{}tand\'o
\'all\'\i{}t\'as ekvivalens azzal az \'all\'\i{}t\'assal, hogy az
$(Y_{k,1},\dots,Y_{k,p})$  v\'eletlen vektor eloszl\'asban
konverg\'al a $(Z_1,\dots,Z_k)$ vektorhoz. Ehhez viszont az $Y_{k,j}$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt el\'eg
bel\'atni azt, hogy az $Y_{k,j}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
r\"ogz\'\i{}tett $1\le j\le p$-re konverg\'alnak egy 0 v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H u, $t_j-t_{j-1}$ sz\'or\'asn\'egyzet\H u norm\'alis
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ohoz, ha $k\to\infty$. Mi\'ert? Ez
az \'all\'\i{}t\'as k\"ovetkezik  a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H ol, mivel az $Y_{k,j}$ val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi v\'altoz\'ok fel\'\i{}rhat\'ok mint f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei, melyek
teljes\'\i{}tik a centr\'alis hat\'areloszl\'at\'etel \'atsk\'al\'azott
v\'altozat\'at.
\item{4.)} V\'alasszuk $k_0$-t olyan nagynak, hogy $k>k_0$-ra
$\sigma^2_{k,r}<\delta$ minden $1\le r\le n_k$-ra. (Ez lehets\'eges,
l\'asd a 2.\ feladatot.) Legyen $s_{k,0}=L_{k,0}=0$, \'es ha $t_{k,r}$
\'es $L(k,r)$ m\'ar defini\'alva van, akkor legyen $L(k,r+1)=\min\{
l\:s_{k,l}\ge t_{k,r}+3\delta\}$, ha $t_{k,r}\le1-7\delta$,
$L(k,r+1)=n_k$, ha $1-7\delta<t_{k,r}<1$, \'es $p(q,\delta)=r$, ha
$t_{k,r}=1$. Legyen $s_{k,r+1}=s_{k,L(k,r+1)}$. Ez a partici\'o
ny\'\i{}lv\'an teljes\'\i{}ti a feladatban megk\'\i{}v\'ant
tulajdons\'agokat. Mivel $\min (S_k^{(l)},S_k^{(l+1)})\le S_k(t)
\le\max (S_k^{(l)},S_k^{(l+1)})$, ha $s_{k,l}\le t\le s_{k,l+1}$, \'es
$s_{k,l+1}-s_{k,l}\le\delta$ ha $k>k_0$, ez\'ert
$$
\align
\sup\Sb 0\le s,t\le1\\|t-s|<\delta\endSb |S_k(t)-S_k(s)|&\le
4\sup\Sb 0\le p,q\le n_k\\|s_{k,p})-s_{k,q}|<3\delta\endSb
|S_k(s_{k,p})-S_k(s_{k,q})| \\
&\le 3\sup_{0\le r< p(k,\delta)}\sup_{L(k,r)\le l\le
L(k,r+1)}\left|S_k^{(l)}-S_k^{(L_{k,r})}\right|\;.
\endalign
$$
Legyen $\delta<\delta_0<\dfrac{\eta^2}{7\cdot 36}$. Ekkor
$E\(S_k^{(L_{k,r+1})}-S_k^{(L_{k,r})}\)^2\le 7\delta<\(\dfrac
\eta 6\)^2$. Ez\'ert az el\H oz\H o egyenl\H otlens\'egb\H ol \'es a
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
&P\(\sup\Sb 0\le s,t\le1\\|t-s|<\delta\endSb |S_k(t)-S_k(s)|>\eta\)\\
&\qquad\le\sum_{r=0}^{ p(k,\delta)-1}P\(\sup_{L(k,r)\le l\le
L(k,r+1)}\left|S_k^{(l)}-S_k^{(L_{k,r})}\right|>\frac\eta3\)\\
&\qquad\le\frac43\sum_{r=0}^{ p(k,\delta)-1}P\(
\left|S_k^{(L_{k,r+1})}-S_k^{(L_{k,r})}\right|>\frac\eta6\)\;,
\endalign
$$
ha $k>k_0$ \'es $\delta<\delta_0$. Ez\'ert a feladatban megfogalmazott
(a) rel\'aci\'ob\'ol, ($\eta$ helyett $\eta/6$ v\'alaszt\'assal)
k\"ovetkezik a {\it Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor 13. feladat\'anak
(ii.) felt\'etele az $S_k(t)$ sorozatra.
\item{5.)}
$$
\sum_{r=1}^{n_k}E|\bar \xi_{k,r}(\tau)|\le
\frac1\tau\sum_{r=1}^{n_k}E \xi^2_{k,r}I(\xi_{k,r}>\tau)\to 0
$$
r\"ogz\'\i{}tett $\tau>0$-ra,ahol a konvergencia teljes\"ul $k\to\infty$
eset\'en a Lindeberg felt\'etel
alapj\'an. Ez a feladat els\H o \'all\'\i{}t\'asa. M\'asr\'eszt,
$$
\align
\bar S_{k}^{(M(k,r))}(\tau)-\bar S_{k}^{(M(k,r-1))}(\tau)&=
\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}\xi'_{k,p}(\tau)\\
&=\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}\bar\xi'_{k,p}(\tau) +
\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}m_{k,p}(\tau)\,
\endalign
$$
\'es a feladat m\'ar bizony\'\i{}tott \'all\'\i{}t\'asa szerint
$$
\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}m_{k,p}(\tau)\le
\sum_{p=1}^{n_k}E|\bar \xi_{k,p}(\tau)|\le\frac\eta2\;,
$$
ha $k>k_0$, $k_0=k_0(\eta,\tau)$. Tov\'abb\'a, esetleg $k_0$-t
$\tau$-t\'ol f\"ugg\H oen
nagyobbnak v\'alasztva azt is feltehetj\"uk, hogy  $|m_{k,p}|\le\tau/2$
$k>k_0$-ra, \'es $p=1,\dots, n_k$-ra. Ez\'ert $|\xi_{k,p}|>\tau/2$, ha
$|\bar \xi_{k,p}|>\tau$, \'es $E\bar \xi'_{k,p}(\tau)^2<E\xi_{k,p}^2
I(|\xi_{k,p}|>\frac{\tau}2)$.  Ez\'ert  a Csebisev
egyenl\H otlens\'eget alkalmazva a $\bar\xi'_{k,p}(\tau)$ f\"uggetlen 0
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere kapjuk, hogy $k>k_0$-ra $$
\align
&P\(\left|\bar S_{k}^{(M(k,r))}(\tau)
-\bar S_{k}^{(M(k,r-1))}(\tau) \right|>\eta\)\le
P\(\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}
\bar\xi'_{k,p}(\tau)>\frac\eta2\)\\
&\qquad\qquad\le\frac4{\eta^2}\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}E
\bar\xi'_{k,p}(\tau)^2
\le\frac4{\eta^2}\sum_{p=M(k,r-1)+1}^{M(k,r)}E\xi_{k,p}^2
I\(|\xi_{k,p}|>\frac{\tau}2\)
\endalign
$$
\'es
$$
\sum_{r=1}^p P\(\left|\bar S_{k}^{(M(k,r))}(\tau)
-\bar S_{k}^{(M(k,r-1))}(\tau) \right|>\eta\)\le
\frac4{\eta^2}\sum_{p=1}^{n_k}E\xi_{k,p}^2I\(|\xi_{k,p}|>\frac\tau2\)\;.
$$
Az utols\'o kifejez\'es jobboldala null\'ahoz tart a Lindeberg
felt\'etel miatt. Ezzel a feladat m\'asodik \'all\'\i{}t\'as\'at
bel\'attuk. Mivel az (a) \'all\'\i{}t\'asban szerepl\H o \"osszeg
tagjaira igaz, hogy
$$
\left|S_k^{L(k,r)}-S_k^{L(k-1,r)}\right|\le
\left|(\bar S_k^{L(k,r)}(\tau)-\bar S_k^{L(k-1,r)}(\tau))\right|+
\left|(S_k^{L(k,r)}(\tau)- S_k^{L(k-1,r)}(\tau))\right|
$$
ez\'ert a (b) tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese eset\'en alkalmazva az 5.
feladat m\'asodik becsl\'es\'et $p=p(k,\delta)$, $M(k,r)=L(k,r,\delta)$
szereposzt\'assal \'es $\eta$ helyett $\eta/2$-t v\'alasztva mind ebben
a becsl\'esben mind a (b) \'all\'\i{}t\'asban, kapjuk, hogy
$$
\align
&\limsup_{k\to\infty}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
-S_{k}^{(L(k,r-1))}\right|>\eta\) \\
&\qquad \le \lim_{k\to\infty}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)} P\(\left|\bar
S_{k}^{(L(k,r))}(\tau) -\bar S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)
\right|>\frac\eta 2\)\\
&\qquad\quad+\limsup_{k\to\infty}
\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\right|>\frac\eta2\)
\le\const(\eta)(\tau^2+\delta).
\endalign
$$
Mivel ezt az egyenl\H otlens\'eget alkalmazhatjuk tetsz\H oleges
$\tau>0$, $\delta>0$ \'es $\eta>0$ sz\'amokra, $\delta\to0$ \'es
$\tau\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy az (a) \'all\'\i{}t\'as
bizony\'\i{}t\'as\'ahoz (a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
felt\'eteleinek a teljes\"ul\'ese eset\'en) el\'eg bel\'atni a (b)
\'all\'\i{}t\'ast.
\item{6.)} Term\'eszetes pr\'ob\'alkoz\'as lenne a
$$
\align
&\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\right|>\eta\)\\
&\qquad\le\frac 1{\eta^2}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)} E\( S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\)^2\;\,\(=\frac1{\eta^2}\)
\endalign
$$
egyenl\H otlens\'eg seg\'\i{}ts\'eg\'evel megpr\'ob\'alni a (b)
\'all\'\i{}t\'as becsl\'es\'et
bizony\'\i{}tani. Ez a becsl\'es azonban t\'ul durva. A becsl\'es
durvas\'ag\'anak az az oka,
hogy a m\'asodik momentum becsl\'es\'eben nem tudjuk
kihaszn\'alni azt,
hogy az egyes $\xi_{k,p}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'okat
csonk\'\i{}tottuk egy kis $\tau$ szinten. Viszont ezt a m\'odszert
finom\'\i{}tva, felhaszn\'aljuk a
$$
\align
&\sum_{r=1}^{p(k,\delta)}P\(\left|S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\right|>\eta\)\\
&\qquad\le \frac 1{\eta^4}\sum_{r=1}^{p(k,\delta)} E\( S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\)^4
\endalign
$$
egyenl\H otlens\'eget, \'es azt \'all\'\i{}tjuk, hogy
$$
\sum_{r=1}^{p(k,\delta)} E\( S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\)^4\le \const(\tau^2+\delta)\;.
$$
A k\'et utols\'o egyenl\H otlens\'egb\H ol k\"ovetkezik a (b) egyenl\H
otlens\'eg is.
 
\item{} Mivel a $\xi_{k,p}(\tau)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H uek,
$$
\align
E\( S_{k}^{(L(k,r))}(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\)^4&=
\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}(\tau)^4\\
&\qquad+\sum\Sb L(k,r-1)<p,q\le L(k,r)\\ p\neq q\endSb
E\xi_{k,p}(\tau)^2E\xi_{k,q}(\tau)^2\;.
\endalign
$$
Mivel $|\xi_{k,p}(\tau)|\le \tau+|m_{k,p}(\tau)|<2\tau$ el\'eg nagy
$k$-ra, (az $|m_{k,p}(\tau)|\le\tau$ egyenl\H otlens\'eg k\"ovetkezik az
5. feladat els\H o egyenl\H otlens\'eg\'eb\H ol), ez\'ert
$$
\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}(\tau)^4\le
4\tau^2E\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}(\tau)^2\le
4\tau^2E\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}^2
$$
minden $1\le r\le p(k,\delta)$-ra, ha $k\ge k_0=k_0(\tau)$.
M\'asr\'eszt,
$$
\align
\sum\Sb L(k,r-1)<p,q\le L(k,r)\\ p\neq q \endSb
E\xi_{k,p}(\tau)^2E\xi_{k,q}(\tau)^2&\le
\(\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}(\tau)^2\)^2\\
&\le 7\delta\sum_{p=L(k,r-1)+1}^{L(k,r)} E\xi_{k,p}^2
\endalign
$$
minden $1\le r\le p(k,\delta)$-ra, az
$E\xi_{k,p}(\tau)^2\le E\xi_{k,p}^2$ egyenl\H otlens\'eg \'es az
$L(k,r)=L(k,r,\delta)$ sorozat definici\'oja miatt. Ezeket az
egyenl\H otlens\'egeket \"osszeadva minden $p=1,\dots,p(k,\delta)$-ra,
kapjuk, hogy
$$
\sum_{r=1}^{p(k,\delta)} E\( S_{k}^{(L(k,r))}
(\tau)-S_{k}^{(L(k,r-1))}(\tau)\)^4
\le(4\tau^2+7\delta)\sum_{p=1}^{n_k} E\xi_{k,p}^2
\le\const(\tau^2+\delta)\;,
$$
\'es ezzel bebizony\'\i{}tottuk a (b) egyenl\H otlens\'eget
$k>k_0(\delta,\tau)$ eset\'en. A fenti fel\-adat\-sor
eredm\'enyeib\H ol k\"ovetkezik, hogy a funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel
megfogalmaz\'as\'aban szerepl\H o $S_k(t)$ sztochasztikus folyamatok
eloszl\'asai a $C([0,1])$ t\'erben \'es a Wie\-ner m\'er\-t\'ek
a cent\-r\'a\-lis hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmazott
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en tel\-je\-s\'\i{}\-tik a
{\it Va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi m\'ert\'ekek gyenge
konvergenci\'aja metrikus terekben}\/ feladatsor 13. fel\-ada\-t\'a\-ban
el\H o\-\'\i{}rt
felt\'eteleket. Ez\'ert igaz a funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.
\item{7.)} R\"ogz\'\i{}tve bizonyos $0=t_0<t_1<\cdots<t_k\le1$
sz\'amokat az
$f_n(t_j)$, $0\le j\le k$, (elfajult) val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa
megegyezik az (elfajult) $f_0(t_j)$, $0\le j\le k$, val\'osz\'\i{}n\H
us\'egi
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'aval, ha $n\ge\dfrac1{t_0}$.
Ez\'ert az $f_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asai konverg\'alnak az $f_0$
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaihoz. Viszont a gyenge konvergencia
m\'asik felt\'etele nem teljes\"ul, mivel $\supp_{0\le
|t-s|\le\delta}|f_n(t)-f_n(s)|=1$ egy val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel, ha
$n\ge\dfrac1\delta$. Alkalmazva a $\bold Tx=\supp_{0\le t\le1}x(t)$
folytonos funkcion\'alt a $C([0,1])$ t\'eren kapjuk, hogy $\bold T
f_n=1$, ha
$n\ge1$ \'es $\bold T f_0=0$ 1 val\'osz\'\i{}n\H us\'eggel. Ez\'ert
$\bold T f_n$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok nem konverg\'alnak
eloszl\'asban $\bold T f_0$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ohoz.
 
 
 
 
\newpage
 
\beginsection Kieg\'esz\'\i{}t\'es
 
{\it A Lemma bizony\'\i{}t\'asa:}\/ Defini\'aljuk az
$$
\A_p=\left\{\sum_{j=1}^pX_j>x\;,\quad\sum_{j=1}^l X_j\le x\;,
\quad l=1,\dots,p-1\right\}
$$
halmazokat, $p=1,\dots,n$. Az $\A_1$,\dots, $\A_n$ halmazok diszjunktak,
\'es
$$
\left\{\sup\limits_{1\le p \le n}\sum\limits_{j=1}^p X_j>x\right\}
=\bigcup_{p=1}^n\A_p\;.
$$
Ez\'ert
$$
P\(\sup_{1\le p\le n}\sum_{j=1}^p X_j>x\)=\sum_{p=1}^nP(\A_p)\;.
$$
Legyen $\BB_p=\left\{\sum\limits_{j=p+1}^n X_j>-2s_n\right\}$,
$p=1,\dots, n-1$, $\BB_n=\Omega$. Az $\A_p$ \'es $\BB_p$ esem\'enyek
f\"uggetlenek, \'es a Csebisev egyenl\H otlens\'eg alapj\'an
$$
1-P(\BB_p)=P\(\sum_{j=p+1}^n X_j<-2s_n\)\le\frac{\sum\limits_{j=p+1}^n
\sigma^2_j}{4s_n^2}\le\frac 14\;.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $P(\BB_p)\ge\dfrac34$, \'es ez\'ert
$P(\BB_p)\ge\dfrac34$ minden $p=1,\dots,n$-re. Tov\'abb\'a
az $\A_p\cap \BB_p$, $p=1,\dots,n$ halmazok diszjunktak, \'es
$$
\left\{\sum_{j=1}^n
X_j>x-2s_n\right\}\supset\bigcup_{p=1}^n(\A_p\cap\BB_p)\;,
$$
mivel $\omega\in \A_p\cap\BB_p$-re
$\sum\limits_{j=1}^nX_j=\sum\limits_{j=1}^p X_j+\sum\limits_{j=p+1}^n
X_j>x-2s_n$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\sum_{p=1}^n X_p>x-2s_n\)&\ge\sum_{p=1}^n P(\A_p\cap
\BB_p)=\sum_{p=1}^n P(\A_p)P(\BB_p)\\
&\ge\frac34\sum_{p=1}^nP(\A_p)=\frac34
P\(\sup_{1\le j\le p}\sum_{j=1}^pX_j>x\)\;,
\endalign
$$
\'es ez a bizony\'\i{}tand\'o \'all\'\i{}t\'as.
 
 
\bye