\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
 
\TagsOnRight
 
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\beginsection Empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny approxim\'aci\'oja
 
E feladatsorban normaliz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny Brown
bridge folyamattal val\'o approxim\'aci\'oj\'aval foglalkozunk.
R\'eszletesebben megfogalmazva a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at
vizsg\'aljuk:
 
Legyen  $B(t,\oo)$, $0\le t\le 1$, egy Brown bridge egy $(\Omega,\Cal
B,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, azaz legyen $B(t)$ egy
Gausss folyamat $EB(t)=0$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $EB(s)B(t)=\min
(s,t)-st$, $0\le s,t\le 1$, kovarianciaf\"uggv\'ennyel. Feltessz\"uk
tov\'abb\'a azt is, hogy a $B(t,\oo)$ Brown bridge $B(\cdot,\oo)$
trajekt\'ori\'ai a $[0,1]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'enyek
minden $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyre. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as klasszikus
eredm\'eyei szerint val\'oban l\'etezik a fenti tulajdons\'agokat
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} Brown bridge.
 
Legyen $P_n(t)$, $0\le t\le1$, egy a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u mint\'ahoz tartoz\'o empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny,
azaz legyen $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, $P_n(t)=\dfrac1n \sum\limits_{j=1}^n
I(\{\zeta_j\le t\})$, $0\le t\le1$, ahol $I(A)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli. Legyen
$$
Z_n(t)=\sqrt n[P_n(t)-t]\;,\quad 0\le t\le 1\;.
$$
a $P_n(t)$ folyamat standardiz\'altja. Ekkor a $Z_n(t)$ \'es $B(t)$,
$0\le t\le 1$, folyamatok kovarianciaf\"uggv\'enye megegyezik. Be
akarjuk l\'atni, hogy a k\'et folyamat egym\'ashoz k\"ozel tehet\H o
alkalmas konstrukci\'oval. Pontosabban megfogalmazva: \medskip\noindent
{\bf Approxim\'aci\'os t\'etel.} {\it Legyen adva egy $B(t)$ Brown
bridge egy el\'eg gazdag $(\Omega,\Cal B,P)$ va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H
u\-s\'e\-gi mez\H
on. (El\'eg felt\'etelezni azt, hogy ezen a val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
mez\H on megadhat\'o $\eta_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'oknak olyan sorozata, mely f\"uggetlen a $B(t)$ Brown
bridge-t\H ol.)  Ekkor minden $n=2,3,\dots$ sz\'am\-ra
konst\-ru\-\'al\-ha\-t\'o f\"uggetlen, a $[0,1]$
intervallumban egyenletes el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'oknak olyan $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ sorozata, melyre igaz,
hogy a bel\H ole elk\'esz\'\i{}tett $P_n(t)=\dfrac1n
\sum\limits_{k=1}^nI(\{\zeta_n\le t\})$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny, illetve annak $Z_n(t)=\sqrt n[P_n(t)-t]$,
$0\le t\le 1$, standardiz\'altja teljes\'\i{}ti a
$$
P\(\sqrt n\sup_{0\le t\le 1}|Z_n(t)-B(t)|>C_1\log n+x\)\le
C_2e^{-\lambda x}
$$
rel\'aci\'ot minden $x>0$ sz\'amra alkalmas ($n$-t\H ol f\"uggetlen)
univerz\'alis $C_1>0$, $C_2>0$ \'es $\lambda>0$ konstansokkal.} \medskip
 
A t\'etelt kiel\'eg\'\i{}t\H o konstrukci\'o
elk\'esz\'\i{}t\'es\'en\'el k\"ozvetlen\"ul a $P_n(t)$ empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt konstru\'aljuk meg mint egy
r\"ogz\'{\i}tett Brown bridge al\-kal\-mas transz\-for\-m\'alt\-j\'at
\'ugy, hogy annak v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai az el\H o\'\i{}rtak
legyenek, \'es e folyamat $Z_n(t)$ standardiz\'altja k\"ozel legyen
ehhez a $B(t)$ Brown bridge-hez. A m\'odszer a kvantilis
transz\-for\-m\'a\-ci\'o m\'odszer\'enek adapt\'al\'asa illetve
alkalmas \'altal\'anos\'{\i}t\'asa az adott probl\'ema
vizsg\'alat\'aban. Az okoz neh\'ezs\'eget, hogy jelen eset\-ben a
Brown bridge illetve a konstru\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asai is el\H{o}\'{\i}rtak, m\'{\i}g a
kvantilis transzform\'aci\'o csak el\H{o}\'{\i}rt egydimenzi\'os
eloszl\'as\'u val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
konst\-ruk\-ci\'o\-j\'aval foglalkozik. Ezen a neh\'ezs\'egen
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon seg\'{\i}t\-he\-t\"unk. A Brown bridge-t
r\"ogz\'{\i}tj\"uk \'es a (standardiz\'alt) $Z_n(t)$ empirikus folyamat
\'ert\'ekeit a $[0,1]$ intervallum egyre \'ujabb \'es \'ujabb $t$
\'ert\'ekeire defini\'aljuk, mint ennek a Brown bridge-nek alkalmas
transzform\'altj\'at. Az $l$-edik l\'ep\'esben a $Z_n(t)$ folyamat
\'ert\'ekeit a $t=j2^{-l}$, $j=0,1,\dots,2^l$, diadikus pontokban
defini\'aljuk. Ennek sor\'an arra kell \"ugyeln\"unk, hogy az \'ujonnan
konstru\'aland\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felt\'eteles
eloszl\'asai felt\'eve a m\'ar meg\-konst\-ru\-\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit el\H{o}\'{\i}rtak.
Az adott probl\'em\'aban a vizs\-g\'a\-lan\-d\'o felt\'eteles
eloszl\'asok j\'ol kezelhet\H{o}ek, \'es a m\'odszer alaposabb
kidolgoz\'as\'aval megkapjuk a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt. Ez a
konstrukci\'o az\'ert m\H{u}k\"odik j\'ol, mert a $Z_n(t)$ folyamat
\'ert\'ekeit a $t_{k,l}=k2^{-l}$, $1\le k\le 2^l$, pontok
mindegyik\'eben m\'ar az $l$-edik l\'ep\'esben
meg\-konst\-ru\-\'al\-juk. Ha a $Z_n(t)-B(t)$ folyamat \'ert\'ekeinek
szupr\'emuma a m\'ar megkonstru\'alt pontokban mindegyik
l\'ep\'esben  keveset n\H{o}, akkor ez biztos\'{\i}tja, hogy a
megkonstru\'alt standardiz\'alt empirikus folyamat \'es a Brown bridge
k\"ozel lesznek egym\'ashoz. A becsl\'esek r\'eszletes
kidolgoz\'as\'aval azt tudjuk biztos\'{\i}tani, hogy durv\'an sz\'olva
ez a k\"ul\"onbs\'eg minden l\'ep\'esben  csak konstanssal n\H{o}j\"on.
\'Igy olyan konstrukci\'ot kapunk, melyben a $Z_n(t)$ \'es
$B(t)$ folyamatok k\"ul\"onbs\'eg\'enek a szupr\'emuma majdnem egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kisebb, mint $\const\log n$. \'Erdemes
megjegyezni, hogy ez az \'all\'{\i}t\'as \'eles, azaz a k\'et folyamat
k\"ul\"onbs\'ege tetsz\H{o}leges konstrukci\'o eset\'en majdnem egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyobb, mint $\const\log n$ alkalmas
pozit\'{\i}v konstanssal. Az ut\'obbi \'all\'{\i}t\'ast
l\'enyegesen k\"onnyebb bizony\'{\i}tani, mint az ebben a feladatsorban
t\'argyalt eredm\'enyt, \'es ezt egy ennek a fel\-adat\-sor\-nak az
eredm\'eny\'ehez kapcsol\'od\'o fel\-adat\-sor\-ban meg is fogjuk tenni.
 
Ahhoz, hogy a kvantilis transzform\'aci\'o m\'odszert j\'ol tudjuk
alkalmazni az app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'an\'al felmer\"ul\H{o} probl\'em\'akban
$Z_n(t_2)-Z_n(t_1)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
(alkalmas felt\'etelek melletti) felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sait
le\'{\i}r\'o hat\'areloszl\'ast\'etelre van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk
pontos aszimptotik\'aval. S\H{o}t, ahhoz, hogy j\'o becsl\'est
kapjunk, nem el\'eg egy szok\'asos \'ertelemben vett hat\'arelosz\'as
t\'etel, hanem nagy elt\'er\'es t\'etelre van sz\"uks\'eg\"unk, azaz
olyan eredm\'enyre, mely j\'o becsl\'est ad az eloszl\'asf\"uggv\'eny
nem tipikus \'ert\'ekeire is. Megfogalmazzuk a nagy elt\'er\'es
elm\'elet egyik klasszikus eredm\'eny\'et abban a speci\'alis esetben,
amelyikben sz\"uks\'eg\"unk lesz r\'a. Ezut\'an k\'et olyan feladatot
t\'argyalunk ennek seg\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, melyek
alkalmas becsl\'est adnak a sz\'amunkra sz\"uks\'eges kvantilis
transzform\'aci\'oval elv\'egzett approxim\'aci\'ok j\'os\'ag\'ara.
 
Az al\'abbiakban a k\"ovetkez\H o jel\"ol\'eseket haszn\'aljuk. Legyen
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt {2\pi}}e^{-x^2/2}$ a standard norm\'alis
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny, \'es $\Phi(x)=\int_{-\infty}^x
\varphi(x)\,dx$ a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.
Sz\"uks\'eg\"unk lesz a k\"ovetkez\H o eredm\'enyre. \medskip
\noindent {\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F_n(x)$ az $n$
elem\H u $p=\frac 12$ param\'eter\H u $B\(n,\frac12\)$ binomi\'alis
eloszl\'as standardiz\'altj\'at, azaz legyen
$F_n(x)=P\(2\dfrac{\eta_1+\cdots+\eta_n-\frac n2}{\sqrt n}<x\)$,
ahol $\eta_1,\dots,\eta_n$ f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $P(\eta_j=1)=P(\eta_j=0)=\frac12$, $j=1,\dots,n$.
Akkor l\'eteznek olyan univerz\'alis, ($n$-t\H ol f\"uggetlen) $K>0$,
$A>0$ kons\-tan\-sok, melyekkel az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre
az al\'abbi becsl\'esek \'erv\'enyesek az $|x|\le A\sqrt n$
intervallumban:
$$   \allowdisplaybreaks
\align
\(1-\Phi(x)\)\exp\left\{-\frac{K(x^3+1)}{\sqrt n}\right\}&\le1-F_n(x)
\le \(1-\Phi(x)\)\exp\left\{\frac{K(x^3+1)}{\sqrt n}\right\}\\
\Phi(-x)\exp\left\{-\frac{K(x^3+1)}{\sqrt n}\right\}&\le F_n(-x)\le
\Phi(-x)\exp\left\{\frac{K(x^3+1)}{\sqrt n}\right\},\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{\rm ha }0\le x\le A\sqrt n.
\endalign
$$
(A t\'etel \'al\-l\'\i{}\-t\'a\-sa igaz tetsz\H oleges $A<\frac12$ \'es
alkalmas $K=K(A)$ kons\-tan\-sok\-kal, de erre az \'elesebb
eredm\'enyre nem lesz sz\"uks\'egunk.)} \medskip
Megjegyezz\"uk, hogy a fent kimondott t\'etel egy \'altal\'anosabb
eredm\'eny speci\'alis ese\-te. Egy $B(n,\frac12)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa, mint azt a t\'etel
kimond\'as\'aban megjegyezt\"uk, fel\'{\i}rhat\'o mint $n$ f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u $B(1,\frac12)$ eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az
eloszl\'asa. A nagy elt\'er\'esek \'altal\'anos elm\'elet\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszeg\'ere a t\'etelben kimondott becsl\'es \'erv\'enyes,
felt\'eve, hogy az \"osszeadand\'oknak l\'etezik
mo\-men\-tum-ge\-ne\-r\'al\'o f\"uggv\'enye, azaz ezek $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti az $\int e^{tx}F(\,dx)<\infty$
felt\'etelt, ha $|t|<a$ alkalmas $a>0$ sz\'ammal. Ez az eredm\'eny \'es
ennek bizony\'{\i}t\'asa a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete I.}\/
feladatsor 22. feladat\'aban is megtal\'alhat\'o.
 
\medskip\noindent
{\bf Feladatok}
 
\item{1.)} L\'eteznek olyan $C_1>0$ \'es $C_2>0$ sz\'amok, melyekre
$$
\align
C_1(x+2)&<\frac {\varphi(x)}{1-\Phi(x)}<C_2(x+2),\quad\text{ha
}x\ge -1 \\
C_1(x+2)&<\frac {\varphi(-x)}{\Phi(-x)}<C_2(x+2),\quad\text{ha
}x\ge -1.
\endalign
$$
\itemitem{b.)} L\'eteznek olyan $C_1>0$ \'es $C_2>0$ sz\'amok, melyekre
tetsz\H{o}leges $x>0$ \'es $|h|<x+1$ sz\'amokra
$$
\align
e^{-C_1h(x+2)}&<\frac {1-\Phi(x+h)}{1-\Phi(x)}<e^{-C_2h(x+2)},
\quad\text{ha }x\ge 0,\text{ \'es } h>0, \\
e^{C_2h(x+2)}&<\frac {\Phi(-x+h)}{\Phi(-x)}<e^{C_1 h(x+2)},
\quad\text{ha }x\ge 0\text{ \'es } h>0,
\endalign
$$
\'es (k\"ul\"on t\'argyalva a $h>0$ \'es $h<0$ eseteket)
$$
\align
e^{C_1|h|(x+2)}&<\frac {1-\Phi(x+h)}{1-\Phi(x)}<e^{C_2|h|(x+2)},
\quad\text{ha }x\ge 0,\text{ \'es } h<0, \\
e^{-C_2|h|(x+2)}&<\frac {\Phi(-x+h)}{\Phi(-x)}<e^{-C_1 |h|(x+2)},
\quad\text{ha }x\ge 0\text{ \'es } h<0.
\endalign
$$
\medskip
Legyen $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, $F(x)$ tetsz\H{o}leges
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Ismert, (l\'asd p\'eld\'aul a {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"ozels\'eg\'enek kapcsolata feladatsor}\/
7. feladat\'at), hogy a $\xi=F^{-1}(\Phi(\eta))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahol
$F^{-1}(x)=\sup\{u\: F(u)<x\}$, $F(x)$ eloszl\'as\'u.
(Ez a kvantilis transzform\'aci\'o.) A k\"ovetkez\H{o} feladatban az
$\eta$ \'es az \'{\i}gy konstu\'alt $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok t\'avols\'ag\'ara adunk becsl\'est, ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)=F_n(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye $n$ elem\H{u} $p=\frac12$
binomomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
normaliz\'altj\'anak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye, illetve
kiss\'e \'altal\'anosabban, ha olyan eloszl\'asf\"uggv\'enyt
tekint\"unk, ahol a $\dfrac {\sqrt n}2$ sz\'or\'as helyett $\dfrac
{\sqrt m}2$ sz\'ammal osztunk a normaliz\'al\'as alkalmaz\'asakor,
ahol $m$ \'es $n$ egym\'ashoz k\"ozeli sz\'amok. \medskip
\item{2.)} Legyen $F_{m,n}(x)$ egy olyan $\xi_{m,n}=\dfrac2{\sqrt
m}\(\bar\xi_n-\dfrac n2\)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa, melynek definici\'oj\'aban egy $B(n,\frac12)$
param\'eter\H u binomi\'alis eloszl\'as\'u $\bar \xi_n$
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'o szerepel. Azaz legyenek
$\chi_k$, $k=1,\dots,n$, $P(\chi_k=0)=(\chi_k=1)=\frac12$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\bar \xi_n=\summ_{k=1}^n\chi_k$. Tegy\"uk fel, hogy $|n-m|\le
Bn$ valamilyen el\'eg kis $B>0$ sz\'ammal. Legyen $\eta$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
v\'altoz\'o, \'es defini\'aljuk az $\xi_{m,n}=F_{m,n}^{-1}(\Phi(\eta))$
\ $F_{m,n}$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Megadhat\'o egy $n_0=n_0(B)$ k\"usz\"obindex, \'es l\'eteznek olyan
$A>0$, $K>0$ konstansok, melyekre igaz, hogy minden $n>n_0$ sz\'amra
$$
|\xi_{m,n}-\eta|<K\dfrac{1+\eta^2+\frac{(m-n)^2}n}{\sqrt n}\quad\text
{az } \{|\eta|\le A\sqrt n\}\text{ halmazon}.
$$
\medskip
 
Megadjuk az Approxim\'aci\'os T\'etelt kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
konstrukci\'o r\"ovid inform\'alis le\'{\i}r\'as\'at.
R\"ogz\'{\i}tj\"uk a $B(t)$ Brown bridge-t, \'es a $P_n(t)$ empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, illetve annak $Z_n(t)=\sqrt n(P_n(t)-t)$,
$0\le t\le 1$, standardiz\'altj\'at rekurziv m\'odon
konst\-ru\-\'al\-juk. A konst\-ruk\-ci\'o $l$-edik l\'ep\'ese ut\'an a
$Z_n\(\dfrac k{2^l}\)$, $k=0,1,\dots,2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok  m\'ar meg vannak konst\-ru\-\'al\-va, \'es az $l+1$-ik
l\'ep\'esben megkonstru\'aljuk a $Z_n\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)$,
$k=0,1,\dots,2^l-1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ezeknek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a
konst\-ruk\-ci\'o\-j\'a\-ban figyelembe kell venn\"unk azt, hogy a
$Z(t)$, $0\le t\le 1$, standardiz\'alt em\-pi\-ri\-kus
eloszl\'asf\"uggv\'eny meghat\'arozza ezeknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak az (egy\"uttes)
fel\-t\'e\-teles eloszl\'as\'at azon felt\'etel mellett, hogy a
m\'ar megkonstru\'alt $Z_n\(\dfrac k{2^l}\)$, $k=0,1,\dots,2^l$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekei el\H{o}\'{\i}rtak.
K\'e\-nyel\-me\-sebb k\"ozvetlen\"ul nem a
$Z_n\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, hanem a
$$
Z_n\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)-Z_n\(\dfrac{k}{2^{l}}\)\text{ vagy }
Z_n\(\dfrac{k+1}{2^{l}}\)-Z_n\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)
$$
k\"ul\"onbs\'egeket megkonstru\'alni. Ennek \'erdek\'eben meg kell
hat\'arozni ezen k\"ul\"onbs\'egek egy\"uttes fel\-t\'e\-te\-les
el\-osz\-l\'a\-s\'at. Ezenk\'{\i}v\"ul meghat\'arozzuk a Brown bridge
megv\'altoz\'as\'at le\'{\i}r\'o
$B\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)-B\(\dfrac{k}{2^{l}}\)$ vagy
$B\(\dfrac{k+1}{2^{l}}\)-B\(\dfrac{2k+1}{2^{l+1}}\)$ k\"ul\"onbs\'egek
egy\"uttes fel\-t\'e\-te\-les eloszl\'as\'at is, felt\'eve a folyamat
$B\(\dfrac{k}{2^{l}}\)$, $k=1,\dots,2^l$, \'ert\'ekeit. L\'atni
fogjuk, hogy egyr\'eszt az empirikus folyamat illetve a Brown bridge
speci\'alis (Markov) tulajdons\'agai miatt a vizsg\'alt v\'eletlen
vektorok felt\'etelesen f\"uggetlenek az adott felt\'etelek mellett.
Ezenk\'{\i}v\"ul az egydimenzi\'os felt\'eteles eloszl\'asok
explicit m\'odon megadhat\'oak mind az empirikus folyamat mind a Brown
bridge eset\'eben. Meg fogjuk konstru\'alni a standardiz\'alt empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny fent jelzett megv\'altoz\'asait a Brown bridge
meg\-fe\-le\-l\H{o} megv\'altoz\'asainak transzform\'altjak\'ent
a (felt\'eteles) kvantilis transzform\'aci\'o
seg\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. (A felt\'eteles jelz\H{o} arra utal, hogy
az el\H{o}\'{\i}rt felt\'eteles eloszl\'asokkal fogunk dolgozni. Ennek
a megjegyz\'esnek a pontosabb \'ertelme a r\'eszletek kidolgoz\'asa
ut\'an vil\'agosabb lesz.)
 
L\'atni fogjuk, hogy olyan (felt\'eteles) eloszl\'asok jelennek meg,
melyeknek aszimptotik\'aj\'at a feladatsor elej\'en kimondott t\'etel
j\'ol le\'{\i}rja. Ez\'ert a 2. feladat eredm\'enye a tov\'abbiakban
j\'ol haszn\'alhat\'o lesz. Megjegyezz\"uk, hogy a kvantilis
transz\-for\-m\'a\-ci\'ot k\"ozvetlen\"ul nem az al\'abbi
k\"ul\"onbs\'egekre fogjuk alkalmazni, hanem a k\"ul\"onbs\'egekb\H{o}l
kivonjuk azok alkalmas felt\'etelek szerinti felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et. Ilyen m\'odon a kvantilis transz\-form\'aci\'ot k\'et
olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o k\"oz\"ott alkalmazzuk,
melyeknek a v\'arhat\'o \'ert\'eke meg\-egye\-zik, de sz\'or\'asuk
kiss\'e elt\'erhet. A felt\'eteles eloszl\'asok megjelen\'ese az oka
annak, hogy a m\'asodik fel\-adat\-ban binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem felt\'etlen\"ul
ter\-m\'e\-sze\-tes normaliz\'altjait is \'erdemes volt
tekinteni. A konstrukci\'oban megjelen\H{o} felt\'eteles
v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-kek  egyszer\H{u}ek, ez\'ert j\'o fels\H{o}
korl\'atot tudunk adni a
$$
Z_n\(\dfrac{k+1}{2^l}\)-B\(\dfrac{k+1}{2^l}\),\quad k=0,1,\dots,2^l,
$$
v\'altoz\'ok abszolut \'ert\'ek\'enek a szupr\'emum\'ara is, ha a
fenti konstrukci\'ot alkalmazzuk. Az \'{\i}gy kapott korl\'at
\"onmag\'aban m\'eg nem elegend\H{o} a sz\'a\-munk\-ra, de ez olyan
kifejez\'es, melyet a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
klasszikus m\'odszerei se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel j\'ol tudunk
vizsg\'alni.
 
A fent v\'azolt program kidolgoz\'asa lesz az approxim\'aci\'os t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak a f\H{o} r\'esze. Ahhoz, hogy ezt
v\'egrehajthassuk \'erdemes bevezetni n\'eh\'any jel\"ol\'est.
 
Legyen adva egy $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus folyamat vagy egy
$B(t)$ Brown bridge. Defini\'alunk e folyamatok $t$, $0\le t\le1$,
param\'eter\'enek ``szukcessziv felez\'es\'evel" \'es alkalmas
normaliz\'assal bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorokat. A
k\"ovetkez\H{o}  3.) \'es 4.) feladatokban megfogalmazzuk ezeknek a
v\'eletlen vektoroknak sz\'amunkra legfontosabb tulajdons\'agait. Ezek
sugallj\'ak a $Z_n(t)$ folyamat term\'eszetes definici\'oj\'at.
 
Legyen
$$
\align
U_{k,l}&=2^{(l+1)/2}\[B\(\frac k{2^l}\)-B\(\frac{k-1}{2^l}\)\],\quad
k=1,2,\dots,2^l,\;\; l=0,1,2,\dots \tag1a \\
V_{k,l}(n)&=2^{(l+1)/2}\[Z_n\(\frac
k{2^l}\)-Z_n\(\frac{k-1}{2^l}\)\],\quad
k=1,2,\dots,2^l,\;\; l=0,1,2,\dots,   \tag1b
\endalign
$$
azaz a $Z_n(t)$ \'es $B(t)$ folyamatoknak a diadikus
$k2^{-l}$ alak\'u pontok k\"oz\"otti meg\-v\'al\-to\-z\'a\-sai\-nak
alkalmas normaliz\'altja. Vezess\"uk be az
$$
\align
\Cal F_l&=\Cal B\left\{U_{k,l},\; 1\le k\le 2^l\right\},\quad
l=1,2,\dots\\ \intertext{\'es}
\Cal G_l=\Cal G_l(n)&=\Cal B\left\{V_{k,l}(n),\; 1\le k\le
2^l\right\},\quad l=1,2,\dots  \tag2
\endalign
$$
$\sigma$-algebr\'akat. Defini\'aljuk tov\'abb\'a az
$$
\aligned
\bold U_l&=\{U_{k,l},\;k=1,\dots, 2^l\},\quad l=1,2,\dots \\
\bold V_l(n)&=\{V_{k,l}(n),\;k=1,\dots, 2^l\},\quad
l=1,2,\dots
\endaligned \tag3
$$
\'es az
$$
\aligned
&\bar{\bold U}_{l+1}=\{\bar U_{1,l+1},\dots,\bar U_{2^{l+1},l+1}\},\quad
\bar{\bold V}_{l+1}(n)=\{\bar V_{1,l+1}(n),\dots,\bar
V_{2^{l+1},l+1}(n)\},\\
&\bar U_{k,l+1}=U_{k,l+1}-E (U_{k,l+1}|\Cal F_l),\quad
\bar V_{k,l+1}(n)=V_{k,l+1}(n)-E( V_{k,l+1}(n)|\Cal G_l(n))\\
&\hskip9truecm 1\le k\le 2^{l+1}
\endaligned\tag4
$$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektorokat, $l=0,1,2,\dots$.
 
A fenti definici\'okban szerepl\H o $2^{(l+1)/2}$ norm\'al\'as helyett
m\'ast is v\'alaszthattunk volna. Ez a norm\'al\'as az\'ert
term\'eszetes, mert mint a k\"ovetkez\H o feladatok mutatj\'ak, ezzel
a norm\'al\'assal $\bar U_{k,l}$ \'es $\bar V_{k,l}(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'eke 0 \'es felt\'eteles sz\'or\'asa majdnem 1, felt\'eve a
sz\'amunkra \'erdekes felt\'eteleket. \medskip
\item{3.)} Haszn\'aljuk az el\H oz\H o jel\"ol\'eseket. Vegy\"uk
el\H{o}sz\"or \'eszre azt, hogy az $\Cal G_l(n)$ $\sigma$-algebra
a k\"ovetkez\H{o} $B(m_1,\dots,m_{2^l})$ atomokb\'ol \'all.
$$
B(m_1,\dots,m_{2^l})=\left\{\oo\:
V_{k,l}(n)(\oo)=\dfrac{2^{(l+1)/2}}{\sqrt n}[m_k-
 n2^{-l}],\;k=1,\dots,2^l\right\},
$$
ahol $m_k$, $1\le k\le 2^l$, nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok, \'es
$\summ_{k=1}^{2^l}m_k=n$. (Az $m_k$ sz\'am megegyezik a $Z_n(t)$
standardiz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz\'o
$\zeta_1,\dots,\zeta_n$ minta $[(k-1)2^{-l},k2^{-l}]$ intervallumba
es\H{o} pontjainak sz\'am\'aval.) Az
$$
\{E\(V_{l+1}(n)|\Cal G_l(n)\),\;k=1,\dots,2^{l+1}\}=\{\tilde
V_{k,l+1}(n),\;k=1,\dots,2^{l+1}\}
$$
rel\'aci\'o \'erv\'enyes, ahol $\tilde V_{2k-1,l+1}(n)=\tilde
V_{2k,l+1}(n)=\dfrac1{\sqrt2} V_{k,l}(n)$, $k=1,\dots,2^l$. Ez\'ert
$\bar V_{2k-1,l+1}(n)=-\bar V_{2k,l+1}(n)=V_{2k-1,l+1}(n)
-\dfrac1{\sqrt2} V_{k,l}(n)$.
\item{} A  (4) formul\'aban defini\'alt $\bar{\bold V}_{l+1}(n)$
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi vektor felt\'eteles eloszl\'asa a $\Cal
G_l(n)$ $\sigma$-algebra szerint a  $\sigma$-algebra
$B(m_1,\dots,m_{2^l})$ atomj\'an meg\-egye\-zik egy
$$
X=\{X_k,\;k=1,\dots,2^{l+1}\}
=\{X_k(m_1,\dots,m_{2^l}),\;k=1,\dots,2^{l+1}\}
$$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi vektor eloszl\'as\'aval, ahol
$X_{2k-1}=-X_{2k}$, $k=1,2,\dots,2^l$, \'es az $X_{2k-1}$,
$k=1,\dots,2^l$, val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
Tov\'abb\'a $X_{2k-1}$ eloszl\'asa megegyezik egy
$\(\dfrac{2^{l+2}}n\)^{1/2}(\bar X_{2k-1}-E\bar X_{2k-1})$
val\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval, ahol
$\bar X_{2k-1}$ \ $B(m_k,\frac12)$ param\'eter\H u binomi\'alis
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz
$$
P(\bar X_{2k-1}=j)=\dbinom {m_k} j 2^{-m_k}, \quad j=0,1,\dots,m_k\;.
$$
\item{4.)}Az el\H oz\H o jel\"ol\'eseket haszn\'alva
$$
\{E(U_{k,l+1}|\Cal F_l),\;k=1,\dots,2^l\} =\{\tilde
U_{k,l+1},\;k=1,\dots,2^{l+1}\},
$$
ahol $\tilde U_{2k-1,l+1}=\tilde U_{2k,l+1}=\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l}$,
$k=1,\dots,2^l$. Ez\'ert $\bar U_{2k-1,l+1}=-\bar
U_{2k,l+1}=U_{2k-1,l+1} -\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l}$.
\item{} A (4) formul\'aban defini\'alt $\bar{\bold U}_{l+1}$
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'egi vektor f\"uggetlen az $\Cal F_l$
$\sigma$-algebr\'at\'ol. Eloszl\'asa megegyezik egy
$Y_1,Y_2,\dots,Y_{2^{l+1}}$ v\'eletlen
vektor eloszl\'as\'aval, ahol $Y_{2k-1}=-Y_{2k}$, $k=1,\dots,2^l$,
\'es $Y_{2k-1}$, $k=1,\dots,2^l$, f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy a (4) formul\'aban defini\'alt  $\bar
U_{k,l+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa
(\'es speci\'alisan sz\'or\'asa) nem f\"ugg a
$\Cal F_l$ $\sigma$-algebr\'at\'ol. Ez azzal f\"ugg \"ossze, hogy a 4.)
feladatban Gauss eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorokat
tekintett\"unk, \'es ilyen esetben bizonyos koordin\'at\'aknak a
felt\'eteles eloszl\'asa, felt\'eve a t\"obbi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ekeit norm\'alis eloszl\'as, amelyiknek kovariancia
m\'atrixa nem f\"ugg a felt\'etelben sze\-rep\-l\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit\H{o}l. A 3.
feladatban tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
felt\'eteles eloszl\'asa \'es sz\'or\'asa f\"ugg a felt\'etelben
sze\-rep\-l\H{o} v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit\H{o}l, de ez a f\"ugg\'es
gyenge. A fenti megjegyz\'est k\"ozvetlen\"ul nem fogjuk haszn\'alni
a tov\'abbiakban, de tal\'an jobban megvil\'ag\'{\i}tja bizonyos
\"osszef\"ugg\'esek h\'atter\'et.
 
Megadjuk a $Z(t)$, $0\le t\le1$, standardiz\'alt empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny konst\-ruk\-ci\'o\-j\'a\-nak pontos
le\'{\i}r\'as\'at. Legyen $Z_n(0)=Z_n(1)=0$, \'es defini\'aljuk $l$
szerinti rekurzi\'oval a $Z_n\(\dfrac k{2^l}\)$, $k=0,1,\dots,2^l$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ha a konstrukci\'o $l$-edik
l\'ep\'es\'et m\'ar megtett\"uk, azaz a $Z_n\(\dfrac k{2^l}\)$,
$k=0,1,\dots,2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat m\'ar
defini\'altuk, akkor tekints\"uk az $m_k= m_k(l)=\sqrt n \(Z_n\(\dfrac
{k}{2^l}\)-Z_n\(\dfrac{k-1}{2^l}\)\)+\dfrac n{2^l}$, $k=1,\dots,2^l$,
v\'eletlen sz\'amokat. Az $m_k$ mennyis\'eg azt adja meg, hogy a
a $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus eloszl\'anyf\"uggv\'enyt
defini\'al\'o $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ f\"uggetlen a $[0,1)$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"oz\"ul h\'any esik a $[(k-1)2^{-l},k2^{-l}]$
intervallumba. Azt fogjuk felhaszn\'alni, hogy el\H{o}\'{\i}rt
$m_k=m_k(l)$, $1\le k\le2^l$, sz\'amok eset\'en a
$[(2k-2)2^{-l-1},(2k-1)2^{-l-1}]$ intervallumba es\H{o} pontok sz\'ama
binomi\'alis $B(m_k,\frac12)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_k$ \'es $\frac12$ param\'eterekkel, tov\'abb\'a, ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"ul\"onb\"oz\H{o} $k$
indexekre felt\'etelesen f\"uggetlenek, felt\'eve az  $m_k$,
$1\le k\le 2^l$, \'ert\'ekeket. A konstrukci\'oban ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, illetve jobb
kezelhet\H{o}s\'eg \'erdek\'eben ezek line\'aris alkalmas
transzform\'altjait defini\'aljuk olyan norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kvantilis transzform\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, melyeket az adott $B(t)$ Brown bridge
fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val defini\'alunk term\'eszetes m\'odon.
Ezeknek a v\'altoz\'oknak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk fejezni a
$Z_n\(\dfrac{2k-1}{2^{l+1}}\)$. $k=1,\dots,l$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es \'{\i}gy v\'egre tudjuk
hajtani a rekurzi\'o $l+1$-ik l\'ep\'es\'et.
 
Konkr\'etabban, k\'epletekkel le\'{\i}rva, a k\"ovetkez\H{o}
konstrukci\'ot csin\'aljuk: Jel\"olje $\bar F_m(x)$ egy binomi\'alis
$B(m,\frac12)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et $m$ \'es $\frac12$ para\-m\'e\-te\-rek\-kel,
\'es le\-gyen $F_{m_k,l}(x)=F_{m_k,l,n}(x)=\bar
F_{m_k}\(\dfrac {\sqrt n x}{2^{(l+2)/2}}+\dfrac{m_k}2\)$ a fent
de\-fi\-ni\-\'alt $m_k=m_k(l)$ sz\'ammal, azaz $F_{m_k,l}(x)$ a $\bar
F_{m_k}(x)$ eloszl\'as ``majdnem standardiz\'altja". Az $F_{m_k,l}(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny ugyanis egy $B(m_k,\frac12)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan transzform\'altj\'anak az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye, amelyikben a v\'altoz\'ob\'ol kivontuk
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, de a val\'odi $\frac12 \sqrt {m_k}$
sz\'or\'as helyett a $\frac{\sqrt n} {2\cdot2^{l/2}}$ sz\'ammal
osztottunk. Legyen
$$
\bar V_{2k-1,l+1}(n)=F^{-1}_{m_k,l}\(\Phi(\bar U_{2k-1,l+1})\),
\quad k=1,\dots, 2^l,      \tag5a
$$
ahol $F^{-1}(x)=\sup\{u\: F(u)<x\}$. Ez azt jelenti, hogy a
$\bar V_{2k-1,l+1}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a
standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\bar U_{2k-1,l+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kvantilis transzform\'altja.
Az ebben a kvantilis transzform\'aci\'oban szerepl\H{o} $F_{m_k,l}(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyt \'ugy defini\'altuk, ahogy azt az (1)---(4)
formul\'aban defini\'alt $\bar V_{2k-1,l+1}(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak a 3. feladatban
le\'{\i}rt (felt\'eteles) eloszl\'asa sugallja. Megjegyezz\"uk, hogy a
$\bar V_{2k-1,l+1}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
definici\'oj\'aval k\"ozvetett m\'odon azt adtuk meg, hogy ha a majdan
megkonstru\'aland\'o $\zeta_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"oz\"ul $m_k$ veszi fel \'ert\'ek\'et a
$[(k-1)2^{-l},k2^{-l}]$ intervallumban, akkor h\'any $\zeta_j$  esik
a $[(k-1)2^{-l},(2k-1)2^{-l-1}]$ intervallumba.
 
Legyen tov\'abb\'a
$$
\align
V_{2k-1,l+1}(n)&=
\bar V_{2k-1,l+1}(n)+\frac{V_{k-1,l}(n)}{\sqrt 2} \tag5b\\
&\(=\bar V_{2k-1,l+1}(n)+E\(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n)\)\),
\quad k=1,\dots, 2^l,
\endalign
$$
\'es
$$
Z_n\(\frac{2k-1}{2^{(l+1)}}\)=Z_n\(\frac{2k-2}{2^{(l+1)}}\)
+2^{-(l+2)/2}V_{2k-1,l+1}(n), \quad k=1,\dots, 2^l.     \tag5c
$$
Ezeknek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak a
definici\'oj\'aban igyekezt\"unk azt is el\'erni, hogy az (1)---(4)
formula ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
\'erv\'enyesek legyenek. Ez az elv sugallja $V_{2k,l+1}(n)$
\'es $\bar V_{2k,l+1}(n)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'ok defini\'oj\'at is. Nevezetesen, legyen
$$
\align
V_{2k,l+1}(n)&=\sqrt 2 V_{k,l}(n)-V_{2k-1,l+1}(n) \tag5d \\
\intertext{\'es}
\bar V_{2k,l+1}(n)&=-\bar V_{2k-1,l+1}(n),      \tag5e
\endalign
$$
mert az (1)---(4) formul\'ak \'es a 3. feladat eredm\'enye ezt
sugallj\'ak. A k\"ovetkez\H{o} 5a \'es 5b feladatokban befejezz\"uk a
konstrukci\'o le\'{\i}r\'as\'at, \'es bel\'atjuk, hogy ilyen m\'odon
val\'oban egy standardiz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt
konstru\'altunk. \medskip
\item{5a.)} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $L>0$ sz\'amot, \'es konstru\'aljuk
meg a $Z_n(k2^{-l})$, $V_{k,l}(n)$ \'es $\bar V_{k,l}(n)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altozokat, $1\le k\le 2^l$,
a fent le\'{\i}rt m\'odon minden $l=1,2,\dots, L$ sz\'amra.
Az \'{\i}gy defini\'alt $Z_n(k2^{-L})$, $1\le k\le 2^L$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor eloszl\'asa megegyezik egy
normaliz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny koordin\'at\'ainak az
egy\"uttes eloszl\'as\'aval a $t=k2^{-L}$, $k=1,\dots,2^L$ pontokban. A
megkonstru\'alt $V_{k,l}(n)$ \'es $\bar V_{k,l}(n)$ v\'eletlen vektorok
\'es $Z_n(t)$ folyamat (pontosabban annak megszor\'{\i}t\'asa
a $k2^{-L}$ alak\'u pontokba) teljes\'{\i}tik az (1)---(4)
rel\'aci\'okat, pontosabban teljes\'{\i}tik az (1b) formul\'at
$l\le L$ \'es a (4) formula $V$ v\'altoz\'okra vonatkoz\'o r\'esz\'et
az $l\le L-1$ indexekre. Tov\'abb\'a teljes\"ul a $\Cal G_l(n)\subset
\Cal F_l$ a rel\'aci\'o is minden $l\le L$ sz\'amra.
\item{5b.)} Tekints\"uk az el\H{o}bb konstru\'alt $Z_n(k2^{-L})$, $0\le
k\le 2^L$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
($Z_n(0)\equiv0$), \'es legyen $m_k=\sqrt
n\(Z_n(k2^{-L})-Z_n((k-1)2^{-L})\)+n2^{-L}$, $1\le k\le 2^L$.
Konstru\'aljunk minden $k=1,\dots,2^L$ sz\'amra egy f\"uggetlen, a
$[(k-1)2^{-L},k2^{-L}]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol \'all\'o
$\zeta_1^{(k)},\dots,\zeta_{m_k}^{(k)}$ $m_k$ elem\H{u} sorozatot,
melyek k\"ul\"onb\"oz\H{o} $k$-ra f\"uggetlenek. Tekints\"uk
ezeknek a v\'eletlen sorozatoknak az egyes\'{\i}t\'es\'et, \'es az
\'{\i}gy kapott $n$ elem\H{u} v\'eletlen sorozat elemeit rakjuk
nagys\'ag szerinti sorrendbe. Az \'{\i}gy kapott $0\le \zeta^*_1\le
\zeta^*_2\le\dots\le\zeta^*_n$ egy f\"uggetlen \'es a $[0,1]$
intervallumban f\"uggetlen eloszl\'as\'u egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol
elk\'esz\'{\i}tett rendezett minta eloszl\'asa. Azaz ha az
$\{1,\dots,n\}$ halmaz  $(\pi(1),\dots,\pi(n))$ permut\'aci\'oi
k\"oz\"ul kiv\'alasztjuk az egyiket v\'eletlen\"ul \'es a $0\le
\zeta^*_1\le \zeta^*_2\le\dots\le\zeta^*_n$ sorozatt\'ol
f\"uggetlen\"ul $\frac1{n!}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor a
$(\zeta_1,\dots,\zeta_n)=(\zeta^*_{\pi(1)},\dots,\zeta^*_{\pi(n)})$
vektor koordin\'at\'ai f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok.
A $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol
elk\'esz\'{\i}tett normaliz\'alt empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny a $t=k2^{-L}$, $0\le k\le 2^L$,
pontokban meg\-egye\-zik a konst\-ruk\-ci\'o\-juk\-ban felhaszn\'alt
$Z_n(k2^{-L})$, $1\le k\le 2^L$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okkal. \medskip
Be akarjuk l\'atni, hogy a kiindul\'o $B(t)$ Brown bridge \'es az
5a---5b feladatban konstru\'alt f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u $\zeta_1,\dots,\zeta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett
$Z_n(t)$, $0\le t\le1$, standardiz\'alt empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az approxim\'aci\'os t\'etel
\'all\'{\i}t\'as\'at, ha a konstrukci\'oban elv\'egett felez\'esek
sz\'am\'at, az $L=L(n)$ sz\'amot el\'eg nagynak v\'alasztjuk.
P\'eld\'aul $L(n)=n$ al\-kal\-mas v\'alaszt\'as. Feltessz\"uk
tov\'abb\'a, hogy $n\ge n_0$ valamely el\'eg nagy fix $n_0$ sz\'amra.
A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben becs\"ulni fogjuk
minden $x>C_0\log n$, alkalmas $C_0>0$, $l=l(x)$ \'es minden $1\le k\le
2^l$ sz\'amra a
$$   \allowdisplaybreaks
\align
&P\(\sup_{1\le k\le 2^l}\sqrt n |Z_n(k2^{-l})-B(k2^{-l})|>\frac x2\)
\tag6a\\
&P\(\sqrt n\supp_{(k-1)2^{-l}\le t\le k2^{-l}}
\left|Z_n(t)-Z_n\(\frac{k-1}{2^l}\)\right|>\frac x4\)    \tag6b \\
\intertext{\'es}
& P\(\sqrt n\supp_{(k-1)2^{-l}\le t\le k2^{-l}}
\left|B(t)-B\(\frac{k-1}{2^l}\)\right|>\frac x4\)        \tag6c
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. A legnehezebb \'es legfontosabb az (6a)
kifejez\'es j\'o becsl\'ese. Megjegyezz\"uk, hogy csak ez f\"ugg a
konstrukci\'ot\'ol. Az (6a) kifejez\'es becsl\'es\'enek \'erdek\'eben
bizony\'{\i}tsunk be el\H{o}sz\"or egy \'all\'{\i}t\'ast,  mely a 2.
feladat eredm\'eny\'enek \'es a konstrukci\'o szerkezet\'enek a
k\"ovetkezm\'enye. \medskip
\item{6.)} Legyenek az $U_{k,l}$, $V_{k,l}(n)$ $\bar U_{k,l}$ \'es
$\bar V_{k,l}(n)$ az (1)---(4) formul\'ak \'altal defini\'alt
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Tegy\"uk fel, hogy
$l\le L$, ahol $L$ a $Z_n(t)$ normaliz\'alt empirikus folyamat
konstrukci\'oj\'aban szerepl\H{o} param\'eter, ``a felez\'esek
sz\'ama". Mutassuk meg, hogy l\'eteznek olyan $K>0$ \'es
$A>0$ konstansok, hogy tetsz\H{o}leges $1\le k\le 2^l$-re
teljes\"ulnek az
$$
\aligned
2^{-(l+2)/2}|\bar U_{2k-1,l+1}-\bar V_{2k-1,l+1}(n)|&=
2^{-(l+2)/2}|\bar U_{2k,l+1}-\bar V_{2k,l+1}(n)|\\
&<\frac{K}{\sqrt n}(\bar U_{2k-1,l+1}^2+V_{k,l}^2(n)+1)\\
&=\frac{K}{\sqrt n}(\bar U_{2k,l+1}^2+V_{k,l}^2(n)+1),
\endaligned  \tag7a
$$
\'es
$$
\aligned
&\max\(2^{-(l+2)/2}\left|U_{2k-1,l+1}-V_{2k-1,l+1}(n)\right|,\;
2^{-(l+2)/2}\left|U_{2k,l+1}-V_{2k,l+1}(n)\right|\) \\
&\qquad <\frac K{\sqrt n}(\bar U_{2k-1,l+1}^2+V_{k,l}^2(n)+1)
+\frac{2^{-(l+1)/2}}2 |U_{k,l}-V_{k,l}(n)|\\
&\qquad =\frac{K}{\sqrt n}(\bar U_{2k,l+1}^2+V_{k,l}^2(n)+1)
+\frac{2^{-(l+1)/2}}2 |U_{k,l}-V_{k,l}(n)|
\endaligned  \tag7b
$$
egyenl\H{o}tlens\'egek, ha $|\bar U_{2k-1,l+1}|<A\sqrt n2^{-l/2}$ \'es
$|V_{k,l}(n)|<A\sqrt n2^{-l/2}$.
\medskip
 
A 6. feladat eredm\'enye j\'o becsl\'est ad a konst\-ruk\-ci\'o\-ban
haszn\'alt kvantilis transz\-for\-m\'a\-ci\'o j\'os\'ag\'ara.
Jegyezz\"uk meg, hogy a becsl\'es jobb oldal\'an szerepl\H{o} $(\bar
U_{2k,l+1}^2+V_{k,l}^2(n)+1)$ kifejez\'es eloszl\'asa j\'ol
becs\"ulhet\H{o}, \'es a v\'egtelenben exponenci\'alisan lecseng\H{o}
korl\'atot lehet adni annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy ez a kifejez\'es nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am. A
6.~feladatban megfogalmazott egyenl\H{o}tlens\'egek hasznosabbak
sz\'amunkra, mint egy \'eles becsl\'es a benne baloldalon szerepl\H{o}
kifejez\'esek eloszl\'asf\"uggv\'enyeire. A minket \'erdekl\H{o}
$Z_n(k2^{-l})-B(k2^{-l})$ alak\'u k\"ul\"onbs\'egekre ugyanis olyan
kifejez\'esek line\'aris kombin\'aci\'oj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tudunk j\'o fels\H{o} korl\'atot adni, mint amilyenek a 6.~feladat
becsl\'eseinek jobb oldal\'an szerepelnek. Egy ilyen line\'aris
kombin\'aci\'ora,  \'es ez\'altal az approxim\'aci\'os t\'etelben
vizsg\'alt kifejez\'esre is jobb becsl\'est kapunk, ha az egyes tagok
eloszl\'as\'ara ismert korl\'atokon k\'{\i}v\"ul kihaszn\'aljuk a
line\'aris kombin\'aci\'oban szerepl\H{o} tagok statisztikai
tulajdons\'agaib\'ol ad\'od\'o kiejt\'eseket is.
 
A tov\'abbi vizsg\'alatok \'erdek\'eben bevezetj\"uk  egy diadikus
t\"ort rangj\'anak a de\-fi\-ni\-ci\-\'o\-j\'at. Azt mondjuk, hogy a
$t=k2^{-l}$, $0\le t\le1$, sz\'am diadikus rangja $l$, ha $k$
p\'aratlan sz\'am. Tekints\"unk egy $t=k2^{-l}$ sz\'amot,
melynek a diadikus rangja $l$. Ekkor l\'etezik  $I_j$,
$0\le j\le l$ intervallumoknak olyan sorozata, melyre $I_0=[0,1]$,
$I_0\supset I_1\supset \cdots \supset I_l\owns t$, \'es
$I_j=[u_j,v_j]=[u_j(t),v_j(t)]=[k_j(t)2^{-j}, (k_j(t)+1)2^{-j}]$, ahol
$k_j(t)$ eg\'esz sz\'am, azaz $I_j$ $2^{-j}$ hossz\'us\'ag\'u
intervallum, \'es ezek v\'egpontjai olyan diadikus racion\'alis
sz\'amok, melyek diadikus rangja nem nagyobb, mint $j$. Val\'oban,
legyen $I_0=[0,1]$, $I_1$ a $[0,\frac12]$ \'es $[\frac12,1]$
intervallumok k\"oz\"ul az, amelyik tartalmazza a $t$ pontot, \'es ha
$I_j=[u_j,u_j+2^{-j}]$ m\'ar defini\'alva van $j<l$-re, akkor legyen
$I_{j+1}$ az $[u_j,u_j+2^{-j-1}]$ \'es $[u_j+2^{-j-1},u_j+2^{-j}]$
intervallumok k\"oz\"ul az, amelyik tartalmazza a $t$ pontot. Ez a
definici\'o $j+1<l$-re egy\'ertelm\H{u}, $j+1=l$-re mind a k\'et
intervallumot tekinthetn\'enk. K\'enyelmi szempontok miatt az $I_l$
intervallumot az $I_l=[t,t+2^{-l}]$ k\'eplettel defini\'aljuk.
El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy a $Z_n(t)$ \'es $B(t)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kifejezhet\H{o}ek a fent
konstru\'alt $I_j$ intervallumokhoz tartoz\'o $V_{k,j}(n)$ illetve
$U_{k,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmas line\'aris
kombin\'aci\'oj\'aval. \medskip
\item{7.)} Legyen $t=k2^{-l}$ olyan diadikus racion\'alis sz\'am,
melynek diadikus rangja $l$. Legye\-nek $I_j=I_j(t)=[u_j,v_j]$, $0\le
j\le l$, a fent defini\'alt intervallumok, \'es defini\'aljuk az
$\e(j)=\e(j,t)$, $1\le j\le l$, mennyis\'egeket az $\e(j)=0$,
ha $u_{j-1}=u_j$, \'es $\e(j)=1$, ha $u_j>u_{j-1}$, $1\le j\le l$,
formul\'aval. Vezess\"uk be a $k_j=u_j2^j$, $0\le j\le l$, jel\"ol\'est.
Legyenek tov\'abb\'a $U_{k,l}$, $V_{k,l}(n)$ \'es $\bar U_{k,l}$, $\bar
V_{k,l}(n)$ az (1)---(4) formul\'akban defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ekkor
$$
\aligned
Z_n(t)=Z_n\(k2^{-l}\)&
=\sum_{j=1}^{l}\e(j)2^{-(j+1)/2}\(\sqrt2 V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)
-V_{k_{j}+1,j}(n)\) \\
B(t)=B\(k2^{-l}\)&=\sum_{j=1}^{l}\e(j)2^{-(j+1)/2}
\(\sqrt2U_{k_{j-1}+1,j-1}-U_{k_{j}+1,j}\).
\endaligned \tag8a
$$
\item{} Tov\'abb\'a,
$$
\aligned
&2^{-(j+1)/2}\left|V_{k_j+1,j}(n)-U_{k_j+1,j}\right|\\
&\qquad \le \frac{K}{\sqrt n}\(\sum_{s=0}^{j-1} 2^{-s}\(\bar
U^2_{k_{j-s}+1,j-s}+V^2_{k_{j-s-1}+1,j-s-1}(n)+1\)\),
\endaligned \tag8b
$$
\'es
$$
\aligned
&\sqrt n|Z_n(t)-B(t)|=\sqrt n\left|Z_n (k2^{-l})-B(k(2^{-l})\right| \\
&\qquad \le 4K\(\sum_{j=1}^l\(\bar U^2_{k_{j}+1,j}
+V^2_{k_{j-1}+1,j-1}(n)+1\)\)
\endaligned \tag8c
$$
a
$$
\align
\bold B&=\bold B(t)=\bold B(k2^{-l}) \\
&=\bigcap_{j=1}^{l}\(\left\{\oo\:|\bar
U_{2k_{j-1}+1,j}(\oo)|<\frac{A\sqrt n}{2^{j/2}}\right\}\cap
\left\{\oo\:|V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)(\oo)|<\frac{A\sqrt n}
{2^{j/2}}\right\}\)
\endalign
$$
halmazon, ahol $K>0$ \'es $A>0$ megegyezik a 6. feladatban szerepl\H{o}
$K$ \'es $A$ konstansokkal.
\medskip
A (6a) formul\'aban szerepl\H{o}
kifejez\'esre a k\"ovetkez\H{o} becsl\'est fogjuk bizony\'{\i}tani.
$$
\aligned
P&\(\sup_{1\le k\le 2^n}\sqrt n
\left|Z_n\(k2^{-l}\)-B\(k2^{-l}\)\right|>\frac x2\)<e^{-Dx}\\
&\quad\qquad\text{alkalmas }D>0 \text{ sz\'ammal, ha } C_0\log n\le x\le
C^{-1}n \text{ \'es } 2^{-l}\ge C xn^{-1},
\endaligned \tag9
$$
ahol $C_0>0$ \'es $C>0$ el\'eg nagy poz\'{\i}tiv sz\'amok, $n\ge
n_0$, \'es $n_0=n_0(C_0,C)$ alkalmas k\"usz\"obindex.
 
A (9) becsl\'esben szerepl\H{o} $x>C_0\log n$ megszor\'{\i}t\'as nem
okoz probl\'em\'at az App\-roxim\'aci\'os T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban, mert az ott bizony\'{\i}tand\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg csak $x\ge \const \log n$ eset\'eben tartalmaz
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast. Az $x\le C^{-1}n$ felt\'etel sem
jelent komoly megszor\'{\i}t\'ast, mert $x\ge C^{-1}n$ eset\'eben, mint
azt l\'atni fogjuk, az App\-roxim\'aci\'os T\'etelben szerepl\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg k\"onnyen bizony\'{\i}that\'o. Az $l=l(x)$
sz\'amra el\H{o}\'{\i}rt $2^{-l}\le Cxn^{-1}$ egyenl\H{o}tlens\'eg azt
biztos\'{\i}tja, hogy a (9) formul\'aban szerepl\H{o} becsl\'es el\'eg
egy el\'eg s\H{u}r\H{u} $t_k=k2^{-l}$, $1\le k\le 2^l$, halmazon
\'erv\'enyes. Ezt az $l=l(x)$ sz\'amot igyekezt\"unk min\'el jobban
megv\'alasztani. A (9) formul\'aban megadott becsl\'es \'es a (6b) \'es
(6c) formul\'aban defini\'alt esem\'enyek j\'o becsl\'ese
szolg\'altatj\'ak az Approxim\'aci\'os T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at.
 
A (9) formul\'at a (8c) k\'eplet \'es a k\"ovetkez\H{o} 8.--12.
feladatok eredm\'enyei seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk bel\'atni. Ezeknek
a feladatokonak a felt\'etelei k\"oz\"ott megjelennek az $x$ \'es $l$
sz\'amokra a (9) formul\'aban el\H{o}\'{\i}rt felt\'etelek.  \medskip
\item{8.)} A (8c) egyenl\H{o}tlens\'egben szerepl\H{o} $\bar
U_{2k_{j-1}+1,j}$, $1\le j\le l$, \'es a $\bar U_{1,j}$, $1\le j\le
l$, illetve a $V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$, $1\le j\le l$, \'es
$V_{1,j-1}(n)$, $1\le j\le l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozat\'anak az eloszl\'asa megegyezik. Tov\'abb\'a az $\bar
U_{1,j}$, $1\le j\le l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek \'es standard norm\'alis eloszl\'as\'uak.
\item{} Legyen $C_0\log n\le x\le C^{-1}n$ \'es $2^{-l}\ge
C\dfrac{x}n$ valamilyen el\'eg nagy $C_0>0$ \'es $C>0$ sz\'ammal.
Ekkor a 7. feladatban szerepl\H{o} $\bold B$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege teljes\'{\i}ti az $1-P(\bold B)\le
e^{-D_1x}$ egyenl\H{o}tlens\'eget alkalmas $D_1=D_1(C)>0$ sz\'ammal.
Ha az el\H{o}bb tekintett $C>0$ sz\'am el\'eg nagy, \'es $n\ge n_0$,
ahol $n_0$ alkalmas k\"usz\"obindex, akkor
$$
P\(18K\sum_{j=1}^l \bar U_{1,j}^2>x\)\le e^{-D_2x}
$$
alkalmas $D_2>0$ sz\'ammal. (Itt $K$ ugyanaz a konstans, mint amelyik
6. \'es 7. feladatban szerepel.)
\medskip
Megjegyezz\"uk, hogy a  utols\'o becsl\'es a benne szerepl\H{o}
konstansokt\'ol eltekintve \'eles. Ugyanis ak\'ar az \"osszeg egyetlen
tagja is, l\'ev\'en standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzete, t\"obb mint $e^{-\const
x}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel $x$-n\'el nagyobb \'ert\'eket.
Ez azt jelenti, hogy a kitev\H{o}ben szerepl\H{o} konstanstt\'ol
eltekintve ugyanolyan j\'o becsl\'est tudunk adni annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a vizsg\'alt $l$ tag\'u \"osszeg
nagyobb, mint $x$, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy
az \"osszeg egyetlen tagja nagyobb enn\'el a korl\'atn\'al. Ez olyan
tagsz\'am\'u \"osszegekre igaz, melyek v\'arhat\'o \'ert\'eke kisebb,
mint $\alpha x$ valamilyen $0\le\alpha<1$ sz\'ammal.
 
 
A (9) formula bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben meg fogjuk mutatni, hogy
$$
\aligned
P&\(18K\sum_{j=1}^l V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)^2>x\)=
P\(18K\sum_{j=1}^l V_{1,j-1}(n)^2>x\)\\
&\qquad=P\(18K\sum_{j=1}^l 2^jZ_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)\le
e^{-D_3x} \endaligned
\tag10
$$
alkalmas $D_3>0$ sz\'ammal, ha $C_0\log n\le x\le C^{-1}n$ \'es
$2^{-l}\ge C xn^{-1}$ alkalmas $C_0>0$ \'es $C>0$ konstansokkal.
(A (10) formul\'aban szerepl\H{o} els\H{o} k\'et azonoss\'ag egyr\'eszt a 8. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l m\'asr\'eszt a $V_{1,j}$ v\'altoz\'ok definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik.)
El\H{o}sz\"or tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot. \medskip
\item{9.)} Bizony\'{\i}tsuk be a 7.) \'es 8.) feladat eredm\'enye
valamint a (10) becsl\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel  a (9) formul\'at.
\medskip
 
Megjegyezz\"uk, hogy a (10) k\'eplet hasonl\'o a 8. feladat utols\'o
becsl\'es\'ehez. Tov\'abb\'a, a $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
folyamat hasonl\'oan viselkedik, mint a $B(t)$ Brown bridge, \'es
nem neh\'ez a (10) formula olyan analogonj\'at bebizony\'{\i}tani,
amelyikben a $V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat az $U_{k_{j-1}+1,j-1}$ v\'altoz\'okkal
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ez\'ert term\'eszetes azt v\'arni, hogy a (10)
becsl\'es \'erv\'enyes. A becsl\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban az a
technikai neh\'ezs\'eg mer\"ul fel, hogy a $Z_n(t)$ normaliz\'alt
empirikus folyamat nem f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u}, \'es a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as klasszikus m\'odszerei
els\H{o}sorban f\"uggetlen fo\-lya\-ma\-tok becs\-l\'e\-s\'e\-re
alkalmasak. Ezt a neh\'ezs\'eget egy szint\'en klasszikus m\'odszerrel,
a Poisson app\-roxi\-m\'a\-ci\'o\-val gy\H{o}zhetj\"uk le.
 
El\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogyan lehet egyszer\H{u}s\'{\i}teni a (10)
formula bizony\'{\i}t\'as\'at Poisson approxim\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Legyen $\zeta_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen,
a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es $\kappa_n$ $n$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, mely f\"uggetlen a $\zeta_n$, $n=1,2,\dots$, sorozatt\'ol.
Defini\'aljuk a
$$
\align
Z_n(t)&=\dfrac1{\sqrt n}\(\summ_{k=1}^nI(\{\zeta_k\le t\})-nt\)\tag11a\\
X_n(t)&=\dfrac1{\sqrt n}\(\summ_{k=1}^{\kappa_n}I(\{\zeta_k\le t\})-nt\)
\tag11b\\
\intertext{\'es}
Y_n(t)&=\dfrac1{\sqrt n}\summ_{k=n}^{\kappa_n}I(\{\zeta_k\le t\}),
\quad 0\le t\le 1, \tag11c
\endalign
$$
sztochasztikus folyamatokat, ahol $I(A)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli, \'es  $\kappa_n<n$ eset\'en az
$Y_n(t)$ \"osszegben szerepl\H{o} \"osszeg \'ugy \'ertend\H{o}, hogy
$\summ_{k=n}^{\kappa_n}=-\summ_{k=\kappa_n}^n$. Ekkor $Z_n(t)$, $0\le
t\le1$, egy standardiz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es
$Z_n(t)=X_n(t)-Y_n(t)$. Ez\'ert nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\aligned
P\(18K\sum_{j=1}^l 2^jZ_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)&\le
P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)\\
&\qquad +P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jY_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\).
\endaligned \tag12
$$
A (12) egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa r\'esze lesz a 10. \'es
11. fel\-ada\-tok\-nak. A (12) egyen\-l\H{o}\-tlen\-s\'eg jobb
oldal\'anak m\'asodik tagj\'at az\'ert lesz egyszer\H{u} becs\"ulni,
mert az $Y_n(t)$ folyamatot defini\'al\'o \"osszeg viszonylag kev\'es
$|\kappa_n-n|$ tagb\'ol \'all, ez\'ert durva becsl\'eseket is
alkalmazhatunk. Ezt a kifejez\'est az al\'abb megfogalmazand\'o 10.
\'es 11. fel\-ada\-tok eredm\'enyeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk
megbecs\"ulni. Az els\H{o} tag becsl\'es\'et az k\"onny\'{\i}ti meg,
hogy az $X_n(t)$ folyamat standardiz\'alt Poisson folyamat $n$
param\'eterrel, azaz tetsz\H{o}leges $0\le t_0<t_1<\cdots<t_k\le1$
sz\'amokra az $X_n(t_j)-X_n(t_{j-1})$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es a
$\sqrt n\(X_n(t_j)-X_n(t_{j-1})\)+n(t_j-t_{j-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o Poisson eloszl\'as\'u
$n(t_j-t_{j-1})$ param\'eterrel. Az, hogy a fenti m\'odon
konstru\'alt $X_n(t)$ folyamat $n$ param\'eter\H{u} Poisson folyamat
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik j\'ol
ismert ered\-m\'e\-nye. Egy\'ebk\'ent ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa megtal\'alhat\'o a {\it Poisson folyamatok}\/
fel\-adat\-sor 2. fel\-ada\-t\'a\-nak megold\'as\'aban is.
\medskip\noindent
\item{10.)} Bizony\'{\i}tsuk be a (12) formul\'at. Tov\'abb\'a
mutassuk meg, hogy ha $\kappa_n$ $n$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
$y\le B_1 \sqrt n$ valamilyen $B_1>0$ sz\'ammal, akkor l\'etezik olyan
$B_2=B_2(B_1)>0$ sz\'am, melyre $P(|\kappa_n-n|\ge y)\le
e^{-B_2y^2/n}$. R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x>0$ val\'os \'es $l$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokat. Legyen $\zeta_k$, $k=1,2,\dots$,
f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyeneletes eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok egy sorozata,
\'es defini\'ajuk az
$$
\bar Y_{n,m}(t)=\dfrac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^mI(\{\zeta_k\le t\}),\quad
m=0,1,2,\dots
$$
\'es
$$
\xi_k=\xi_{k,l}=\sum_{j=1}^l 2^{j/2}I\(\zeta_k<\frac1{2^{j-1}}\),\quad
k=1,2,\dots,
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor tetsz\H{o}leges $B>0$
sz\'amra
$$  \allowdisplaybreaks
\align
&P\(72 K\sum_{j=1}^l 2^jY_n\(\frac1{2^{j-1}}\)^2>x\)
 \le P\(|\kappa_n-n|> B\sqrt {nx}\)\\
&\qquad\qquad +P\(\sqrt{72 K}\sum_{j=1}^l 2^{j/2}\bar Y_{n,B\sqrt{nx}}
\(\frac{1}{2^{j-1}}\)>\sqrt x \) \tag13  \\
&\qquad= P\(|\kappa_n-n|> B\sqrt {nx}\)
+P\(\frac{\sqrt{72 K}}{\sqrt n}\sum_{k=1}^{B\sqrt {nx}} \xi_k>\sqrt x\).
\endalign
$$
A $\xi_k=\xi_{k,l}$, $k=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak.
\medskip
A v\'egtelenben exponenci\'alisan cs\"okken\H{o} becsl\'est akarunk
kapni a (12) formula jobb\-olda\-l\'a\-nak m\'asodik tagj\'ara. Ehhez
el\'eg a 10. feladat becsl\'es\'enek jobboldal\'an szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o fels\H{o} korl\'atot adni. Itt azt
kell becs\"ulni, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszege nagyobb  mint egy adott korl\'at. A
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak egyszer\H{u}, standard
m\'odszerei vannak ilyen  probl\'em\'ak vizsg\'alat\'ara, \'es ezek
jelen esetben is al\-kal\-maz\-ha\-t\'oak.
 
Ha azt akarjuk bel\'atni, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egy $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamilyen $A$
\'ert\'ekn\'el nagyobb sz\'amot vesz fel kisebb, mint
 $e^{-\const x}$ gyakran hasznos a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es.
$P(S>A)=P\(\frac xA S>x\)\le e^{-x} E\exp\{\frac xA S\}$. Ha meg tudjuk
mutatni, hogy  $E\exp\{\frac xA S\}\le e^{\alpha x}$ valamilyen
$\alpha<1$ sz\'ammal, akkor k\'{\i}v\'ant alal\'u becsl\'est kapunk.
A k\"ovetkez\H{o} feladatban azt  akarjuk bel\'atni, hogy ez a
m\'odszer a minket \'erdekl\H{o} kifejez\'es becsl\'es\'eben is j\'o
eredm\'enyt ad. \medskip
\item{11.)} Haszn\'aljuk az el\H{o}z\H{o} feladatban bevezett fogalmakat
\'es jel\"ol\'eseket.  Tegy\"uk fel, hogy az ott tekintett  $x>0$
val\'os \'es $l$ sz\'amok teljes\'{\i}tik a $C_0\log n<x<C^{-1}n$ \'es
a $2^{-l}>Cxn^{-1}$ egyenl\H{o}tlens\'egeket valamilyen $C>0$ \'es
$C_1>0$ sz\'amokkal. L\'assuk be, hogy ebben az esetben l\'etezik olyan
$\bar K=\bar K(C)>0$ konstans, hogy minden el\'eg nagy $n$-re
$$
E\exp\left\{\frac{\sqrt x}{\sqrt n}\xi_k\right\}\le 1+\frac{\bar K\sqrt
x} {\sqrt n}.
$$
L\'assuk be ennek az egyenl\H{o}tlens\'egnek \'es a 10. feladat
eredm\'eny\'enek fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val (a $B>0$ konstanst
el\'eg kicsinek v\'alasztva), hogy a fenti felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $x$ \'es $L$ sz\'amokra teljes\"ul a
$$
P\(72 K\sum_{j=1}^l 2^jY_n\(\frac1{2^{j-1}}\)^2>x\)<e^{-D_4x} \tag14
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmas $D_4>0$ konstanssal minden el\'eg nagy
$n$-re. \medskip
J\'o becsl\'est akarunk adni a (12) formula jobboldal\'an szerepl\H{o}
els\H{o} \"osszeg eloszl\'as\'ara is. B\'ar az $X_n(t)$ standardiz\'alt
Poisson folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u}, a kifejez\'esben
szerepl\H{o} $X_n\(2^{-j-1}\)^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, mert e tagok az $X_n(t)$ folyamat $[0,2^{-j-1}]$
nem diszjunkt intervallumokba es\H{o} megv\'altoz\'asainak a
f\"ugg\-v\'e\-nyei. Ezen a k\'enyelmetlens\'egen azonban k\"onnyen
seg\'{\i}thet\"unk, ha az $X_n\(2^{-j-1}\)^2$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot fel\'{\i}rjuk, mint
az $X_n(t)$ folyamatnak alkalmas intervallumokon vett
meg\-v\'al\-to\-z\'a\-sai\-nak az \"osszeg\'et, alkalmazzuk a
Cauchy--Schwarz egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eget, \'es az \'{\i}gy
kapott egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-ge\-ket \"osszegezz\"uk.
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$   \allowdisplaybreaks
\align
2^jX_n\(\frac1{2^{j-1}}\)^2&=2^j\Biggl(
\sum_{k=j}^{l} 2^{-(k-j)/4}\cdot 2^{(k-j)/4}
\[X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)-X_n\(\frac1{2^{k}}\)\]\\
&\qquad\qquad+2^{-(l-j)/4}\cdot 2^{(l-j)/4}
X_n\(\frac1{2^{l}}\)\biggr)^2         \tag15      \\
&\le 2^j B\(\sum_{k=j}^{l} 2^{(k-j)/2} \[X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)-X_n
\(\frac1{2^{k}}\)\]^2+2^{(l-j)/2} X_n^2\(\frac1{2^{l}}\)\)
\endalign
$$
minden $j=1,\dots,l$-re
$B=B_j=\summ_{k=j}^l2^{-(k-j)/2}+2^{-(l-j)/2}<5$ konstanssal. A
k\"ovetkez\H{o} feladat egyik \'all\'{\i}t\'asa az, hogy ezeket az
egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszegezve a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget fel\"ulr\H{o}l tudjuk becs\"ulni egy olyan
tipus\'u esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy f\"uggetlen
standardiz\'alt Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok n\'egyzeteinek alkalmas line\'aris kombin\'aci\'oja
nagyobb, mint valamilyen $x$ sz\'am. Ez a feladat nagyon hasonl\'o a 8.
feladat utols\'o becsl\'es\'ehez, \'es hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o. Egy technikai probl\'ema mer\"ul fel a most
vizsg\'aland\'o becsl\'es bizony\'{\i}t\'as\'aban. Az a neh\'ezs\'eg
jelenik meg, hogy (standardiz\'alt) Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok n\'egyzet\'enek, --- szemben
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
n\'egyzet\'evel --- nincs exponenci\'alis momentumuk. Ezt a
neh\'ezs\'eget a vizsg\'aland\'o \"osszeg tagjainak term\'eszetes
csonk\'{\i}t\'as\'aval gy\H{o}zhetj\"uk le. A t\'ul nagy \'ert\'ekeket
felvev\H{o} \"ossze\-adan\-d\'ok\-nak ugyanis elhanyagolhat\'o a
hozad\'eka a vizsg\'alt \"osszegben, a csonk\'{\i}tott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak pedig van j\'ol
becs\"ulhet\H{o} exponenci\'alis momentumuk. Megjegyezz\"uk, hogy ez a
m\'odszer az\'ert m\H{u}k\"odik j\'ol, mert egy nagy param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
--- l\'ev\'en f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszege, --- k\"ozel norm\'alis eloszl\'as\'u. Abban a
tartom\'anyban, ahol a csonk\'{\i}tott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'at tekintj\"uk a norm\'alis k\"ozel\'{\i}t\'es
el\'eg j\'o. Ez teszi lehet\H{o}v\'e, hogy a 8. feladat becsl\'es\'ehez
hasonl\'oan, j\'o becsl\'est kapunk ebben az esetben is. \medskip
\item{12.)} Mutassuk meg, hogy
$$
\aligned
&P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)\\
&\qquad\le P\(1500K\(\sum_{k=1}^{l} \frac{2^k}n (\eta_k-E\eta_k)^2+
\frac{2^l}n (\eta_{l+1}-E\eta_{l+1})^2\) >x\),
\endaligned \tag16
$$
ahol $\eta_k$, $k=1,\dots,l+1$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, tov\'abb\'a $\eta_k$ Poisson eloszl\'as\'u
$\lambda_k=\lambda_{k,n}=n2^{-k}$ param\'eterrel, ha $1\le k\le
l$, \'es $\eta_{l+1}$  Poisson eloszl\'as\'u
$\lambda_{l+1}=\lambda_{l+1,n}=\lambda_l$ param\'eterrel.
\item{} Defini\'aljuk az $\eta_k$, $1\le k\le l+1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\bar\eta_k=\bar\eta_k(n)$
csonk\'{\i}tottjait a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
\bar\eta_k=\left\{
\aligned
\eta_k-E\eta_k &\quad\text{ha }|\eta_k-E\eta_j|<n2^{-k}\\
0\;\,\, \hphantom{-E\eta_k} &\quad\text{ha }|\eta_k-E\eta_k|\ge n2^{-k}
\endaligned \right.
\qquad k=1,\dots,\l+1,
$$
\'Erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egek:
$P(|\eta_k-E\eta_k|>u)\le2\exp\left\{-\dfrac{u^2}{8n2^{-k}}\right\}$,
ha $u<n2^{-k}$, speci\'alisan $P(|\eta_k-E\eta_k|\ge
n2^{-k})\le2\exp\left\{-\dfrac n{2^{(k+3)}}\right\}$.
Tov\'abb\'a $E\exp\left\{\dfrac{2^{k-4}}n\bar\eta_k^2\right\}\le B$
alkalmas ($n$-t\H{o}l \'es $k$-t\'ol f\"uggetlen) $B>0$ konstanssal
minden $1\le k\le l+1$-re.
\item{} Tekints\"unk egy  $x>0$ val\'os \'es $l$ eg\'esz sz\'amot,
melyek teljes\'{\i}tik a $C_0\log n<x<C^{-1}n$ \'es a $2^{-l}>Cxn^{-1}$
egyenl\H{o}tlens\'egeket alkalmas $C>0$ \'es $C_0>0$ sz\'amokkal,
\'es legyen $n\ge n_0$, ahol $n_0=n_0(C,C_0)$ alkalmas
k\"usz\"obindex. L\'assuk be, hogy ebben az esetben
$$
P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)\le e^{-D_5x}
\tag17
$$
alkalmas $D_5>0$ sz\'ammal. Mutassuk meg, hogy az eddig bizony\'{\i}tott
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek\-b\H{o}l k\"ovetkeznek a (10) \'es (9)
formul\'ak. \medskip
Az approxim\'aci\'os t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'ese
\'erdek\'eben j\'o fels\H{o} korl\'atot aka\-runk adni olyan
kifejez\'esek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, mint amilyenek az (6b)
\'es (6c) ki\-fe\-je\-z\'e\-sek\-ben szerepelnek. Az al\'abbi {\it
\'All\'{\i}t\'as}\/-ban megfogalmazzuk azokat az
egyenl\H{o}tlens\'egeket, me\-lyek\-re sz\"uks\'eg\"unk
van a tov\'abbiakban. \medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as:} {\it Legyen $B(t)$, $0\le t\le1$,  egy Brown
bridge, $Z_n(t)$, $0\le t\le1$, pedig egy $n$ elem\H{u} mint\'ab\'ol
($n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol) k\'esz\'{\i}tett
standardiz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $0\le y\le n$ val\'os sz\'amot. Ekkor tetsz\H{o}leges $L>0$
val\'os sz\'amra megadhat\'o egy olyan $\alpha=\alpha(L)>0$ val\'os
sz\'am \'es $n_0=n_0(L)$ k\"usz\"obindex, melyre a $B(t)$
illetve $Z_n(t)$ folyamatok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'egeket:
$$
\align
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|B(t)|>y\)&\le 2e^{-\alpha y}, \tag18a
\\ P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|Z_n(t)|>y\)&\le 2e^{-\alpha y},
\tag18b
\endalign
$$
ha $n\ge n_0$. Ezekben az egyenl\H{o}tlens\'egekben az $\alpha>0$
konstans \'es az $n_0$ k\"usz\"obindex megadhat\'oak az $L$ sz\'am
f\"uggv\'eny\'eben, azaz az $n_0$ k\"usz\"obindex nem f\"ugg az $y$
sz\'amt\'ol, az $\alpha>0$ kitev\H{o} pedig nem f\"ugg sem az $y$
sz\'amt\'ol sem az $n_0$ k\"usz\"obindext\H{o}l.} \medskip
 
Nem t\"orekedt\"unk meghat\'arozni az optim\'alis konstansokat a (18a)
\'es (18b) formul\'akban, mert erre nincs sz\"uks\'eg\"unk. Ennek
meghat\'aroz\'asa a (18a) formul\'aban l\'enyegesen k\"onnyebb, mert a
Brown bridge Gauss folyamat, \'es az ilyen folyamatok vizsg\'alata
l\'enyegesen egyszer\H{u}bb. A (18b) becsl\'es szeml\'eletes tartalma
az, hogy mivel a $Z_n(t)$ nagy $n$-re hasonl\'oan viselkedik egy Brown
bridge-hez, ez\'ert hasonl\'o becsl\'esek \'erv\'enyesek r\'a. Az
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos az al\'abb kimondott
lemma, mely lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u} folyamatok maximum\'anak eloszl\'as\'ara j\'o
becsl\'est adjunk. Ennek a lemm\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at meg
fogjuk adni egy {\it Kieg\'esz\'{\i}t\'es}\/-ben.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek $\xi_1$,\dots, $\xi_n$
f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, melyekre
$E\xi_k\ge0$, $Ee^{s\xi_k}=e^{B_k(s)}$ valamilyen r\"ogz\'{\i}tett
$s>0$ \'es $B_k(s)$, $k=1,\dots,n$ sz\'amokkal. Legyen
$S_k=\sum\limits_{j=0}^k \xi_j$, $k=1,\dots,n$. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}S_k>x\)\le \exp\left\{-sx+\sum_{k=1}^n
B_k(s)\right\}
$$
minden $x>0$ sz\'amra.
 
Legyen $X(t)$, $a\le t \le b$, f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H u
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat valamilyen $[a,b]$ intervallumban, azaz
tegy\"uk fel, hogy az $X(t_1)-X(a)$, $X(t_2)-X(t_1)$,\dots,
$X(b)-X(t_k)$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\H ok f\"uggetlenek
tetsz\H oleges $a\le t_1\le t_2\le\cdots\le t_k\le b$ sz\'amokra.
Tegy\"uk fel azt is, hogy az $X(t)$ folyamat trajekt\'ori\'ai
folytonosak, vagy \'altal\'anosabban \'ugynevezet cadlag (continue \`a
droite, limite \`a gauche), azaz jobbr\'ol folytonos
f\"uggv\'enyek, melyeknek minden $a\le t<b$ pontban van baloldali
limesze. Legyen tov\'abb\'a az $m(t)=EX(t)$, $a\le t\le b$,
f\"uggv\'eny monoton n\"ovekv\H o. Ekkor a
$$
P\(\sup_{a\le t\le b} X(t)-X(a)>x\)\le e^{-sx}Ee ^{s(X(b)-X(a))}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ul tetsz\H oleges $s>0$ sz\'amra. (Ez
\'ugy \'ertend\H o, hogy az egyenl\H otlens\'eg jobboldala v\'egtelen,
ha az $Ee^{s(X(b)-X(a))}$ v\'arhat\'o \'ert\'ek nem l\'etezik.)}
 
\medskip\noindent{\it Megjegyz\'es:}\/ Az $E\xi_k\ge 0$ felt\'etel \'es
az $m(t)$ f\"uggv\'eny monotonit\'as\'anak megk\"ovetel\'ese
az\'ert kell, mert ez biztos\'{\i}tja azt, hogy az $S_k$,
$k=1,2,\dots,n$, illetve az $X(t)$, $a\le t\le b$, folyamatnak
pozit\'\i{}v a trendje.
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak sz\'amos olyan
eredm\'enye van, mely azt mondja ki, hogy f\"uggetlen nem negat\'{\i}v
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek a ma\-xi\-mu\-ma nem sokkal nagyobb, mint az
\"osszes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszege. A fent
megfogalmazott Lemma is ilyen tipus\'u eredm\'eny. Ez ugyanis azt
mondja ki, hogy egy az \"osszes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\"osszeg\'enek eloszl\'as\'ara adott term\'eszetes fels\H{o} korl\'at
egyben fels\H{o} korl\'at az \"osszes r\'eszlet\"osszeg maximum\'ara
is. \medskip
 
Az el\H{o}bbi lemm\'at nem alkalmazhatjuk k\"ozvetlen\"ul az {\it
\'All\'{\i}t\'as}\/ bizony\'{\i}t\'as\'ara, mert sem a Brown bridge sem
a standardiz\'alt empirikus folyamat nem f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u}
folyamat. Viszont megkaphatjuk a (18a) becsl\'es bizony\'{\i}t\'as\'at
alkalmazva azt az \'esz\-re\-v\'e\-telt, hogy ha $W(t)$, $0\le t\le1$,
Wiener folyamat, azaz olyan Gauss folyamat, melyre $EW(t)=0$,
$EW(s)W(t)=\min(s,t)$ minden $0\le s,t\le 1$ sz\'amra, akkor $W(t)$
f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} (\'es feltehetj\"uk, hogy folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u) \'es a $B(t)=W(t)-tW(t)$ sztochasztikus folyamat
Brown bridge. A (18b) becsl\'es bizony\'{\i}t\'as\'at pedig
megkaphatjuk a (11a)---(11c) k\'epletekben  defini\'alt
Poisson approxim\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip
 
\item{13.)} Bizony\'{\i}tsuk be a (18a) egyenl\H{o}tlens\'egnek azt a
m\'odos\'{\i}t\'as\'at, melyben a $B(t)$ Brown bridge-t egy $W(t)$
Wiener folyamattal helyettes\'{\i}tj\"uk. Bizony\'{\i}tsuk
be tov\'abb\'a a (18b) egyenl\H{o}tlens\'egnek azt a
m\'odos\'{\i}t\'as\'at, melyben a $Z_n(t)$ folyamatot egy $n$
param\'eter\H{u} $X_n(t)$ standardiz\'alt Poisson folyamattal
helyettes\'{\i}tj\"uk. (A (11b) k\'epletben defini\'altunk egy $n$
param\'eter\H{u} $X_n(t)$ standardiz\'alt Poisson folyamatot.)
\item{14.)} Bizony\'{\i}tsuk be az el\H{o}z\H{o} feladat
eredm\'enye \'es egy Brown bridge $B(t)=W(t)-tW(1)$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $W(t)$
Wiener folyamat, az {\it \'All\'{\i}t\'as}\/-ban szerepl\H{o} (18a)
egyenl\H{o}tlens\'eget.
\item{} Tekint\"uk a (11c) k\'epletben defini\'alt $Y_n(t)$, $0\le
t\le1$, folyamatot. L\'assuk be, hogy ez a folyamat
tetsz\H{o}leges  $L\ge0$-ra \'es minden $n>n_0$ indexre
teljes\'{\i}ti a
$$
P\(\sqrt n\sup_{0\le t\le L\tfrac yn}|Y_n(t)|\ge y\)\le 2e^{-\alpha y}
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget alkalmas $n_0$ k\"usz\"obindex \'es
$\alpha=\alpha(L)>0$ sz\'am v\'alaszt\'as\'aval. L\'assuk be a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg \'es az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az {\it \'All\'{\i}t\'as}\/-ban szerepl\H{o}
(18b) egyenl\H{o}tlens\'eget. \medskip
A fenti eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel m\'ar nem neh\'ez bel\'atni
az Approxim\'aci\'os T\'etelt. Adva egy olyan $x$, $C_0\log n<x
<2C^{-1}n$ sz\'am alkalmas $C>1$ konstanssal v\'alasszunk egy $l=l(x)$
konstanst \'ugy, hogy $C\dfrac xn\le 2^{-l}<2C\dfrac xn$. Ekkor a fenti
eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik mind azt, hogy a $P\(\supp_{1\le k\le
2^l}\sqrt n|Z_n(k2^{-l})-B(k2^{-l})|\ge \dfrac x2\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o fels\H{o} korl\'atot adjunk, mind azt,
hogy a $\sqrt n B(t)$ \'es  $\sqrt n Z_n(t)$ folyamatok
fluktu\'aci\'oj\'at megbecs\"ulj\"uk a $(k-1)2^{-l}\le t< k2^{-l}$,
$1\le k\le 2^l$, intervallumokban, ha a $C>0$ konstanst ($n$-t\H{o}l
f\"uggetlen\"ul) el\'eg nagyra v\'alasztjuk. Az $x>C^{-1}n$ eset\'eben
az Approxim\'aci\'os T\'etel \'All\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}bb, \'es az
a konstrukci\'ot\'ol f\"uggetlen\"ul a durva $\sqrt n|Z_n(t)-B(t)|\le
\sqrt n (|Z_n(t)|+|B(t)|)$ becsl\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel is
bebizony\'{\i}that\'o. \medskip
\item{15.)} Bizony\'{\i}tsuk be a fenti eredm\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az Approxim\'aci\'os T\'etelt. \bigskip
 
\vfill\eject
 
\beginsection N\'eh\'any megjegyz\'es a t\'argyalt probl\'em\'aval
kapcsolatban
 
A feladatsorban t\'argyalt eredm\'enyt Koml\'os J\'anos, Major P\'eter
\'es Tusn\'ady G\'abor {\it An approximation of partial sums of
independent RV's and the sample DF. ~I.}\/ dolgozata tartalmazza, mely
a Zeitschrift f\"ur Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete
{\bf32} (1975), foly\'oiratban jelent meg a 111--131. oldalakon. Az
eml\'{\i}tett cikk ennek az eredm\'enynek a bizony\'{\i}t\'as\'at csak
v\'azlatosan tartalmazza. Ez a cikk tartalmaz egy anal\'og
eredm\'enyt f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
approxim\'aci\'oj\'ar\'ol Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Mivel a k\'et approxim\'aci\'o ugyanazon a konstrukci\'on alapul,
az eml\'{\i}tett cikk csak a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'eszlet\"osszegeinek approxim\'aci\'oj\'at
t\'argyalja r\'eszletesen.
 
A l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az eml\'{\i}tett cikk \'es az itt
le\'{\i}rt t\'argyal\'asm\'od k\"oz\"ott az, hogy ebben a feladatsorban
kidolgoztuk azon becsl\'esek r\'eszleteit, melyeket term\'eszetes
el\-v\'ar\-ni f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegeinek viselked\'ese miatt, de a prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'as kiss\'e k\'enyelmetlen. Ugyanis a becsl\'esekben
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak ``majdnem",
de nem teljesen f\"uggetlenek. Tov\'abb\'a, \'ugy gondoltam, hogy
\"onmag\'aban is \'erdekes \'es tanuls\'agos lehet azon standard \'es
t\"obb\'e--kev\'esb\'e klasszikus val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'odszerek, technik\'ak ismertet\'ese \'es r\'eszletesebb
t\'argyal\'asa, melyek lehet\H{o}v\'e teszik a bizony\'{\i}t\'as
sor\'an felmer\"ul\H{o} technikai probl\'em\'ak megold\'as\'at. Ennek
\'erdek\'eben azt a k\'enyelmetlens\'eget is v\'allaltam, hogy a
feladatsor hosszabb lett.
 
E feladatsor folytat\'as\'aban t\'argyalni fogom a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek
approxim\'aci\'oj\'aval kapcsolatos probl\'emak\"ort. Ebben a
folytat\'asban vi\-szont nem fogom minden \'all\'{\i}t\'as
r\'eszletes bizony\'{\i}t\'as\'at kidolgozni. Ehelyett ink\'abb arra
fogok t\"orekedni, hogy \'erthet\H{o} m\'odon elmagyar\'azzam, melyek
az alapvet\H{o} megoldand\'o probl\'em\'ak ebben a
prob\-l\'e\-ma\-k\"or\-ben. Tov\'abb\'a megpr\'ob\'alok
n\'eh\'any p\'eld\'aval r\'a\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-ta\-ni arra, hogy mely
r\'eszletekre kell k\"u\-l\"o\-n\"os\-k\'ep\-pen odafigyelni.
 
Az Approxim\'aci\'os T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at k\'es\H{o}bbi
dolgozatok is tartalmazz\'ak. Az \'er\-dek\-l\H{o}\-d\H{o}k
Tusn\'ady G\'abor, Jean Bretagnolle, \'es Pierre Massart dolgozatait
ta\-nul\-m\'a\-nyoz\-hat\-j\'ak. Ezek a dolgozatok t\"obbek k\"oz\"ott
azt is vizsg\'alj\'ak, hogy az Approxim\'aci\'os T\'etel milyen
viszonylag kis konstansokkal \'erv\'enyes. Mi ezzel a k\'erd\'essel itt
nem foglalkoztunk.
 
\'Erdemes megjegyezni, hogy bizonyos dolgozatok Haar-f\"uggv\'enyek
szerinti sor\-fej\-t\'es\-re alap\'{\i}tj\'ak az
Aproxim\'aci\'os T\'etelt kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'ot, illetve
annak bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy ez a konstrukci\'o teljes\'{\i}ti az
Approxim\'aci\'os T\'etelt. B\'ar az itteni t\'argyal\'asban a Haar
f\"uggv\'enyek nem jelentek meg, a k\'et t\'argyal\'asm\'od
l\'enyegegesen nem k\"ul\"onb\"ozik, csak m\'as nyelven magyar\'azza el
ugyanazt a konstrukci\'ot. Le\'{\i}rom r\"oviden a Haar f\"uggv\'enyek
szerinti sorfejt\'esen alapul\'o m\'odszer gondolatmenet\'et.
 
Legyen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$, \dots, tetsz\H{o}leges teljes
ortonorm\'alt rendszer az $L_2([0,1],\lambda)$ t\'erben, ahol
$\lambda$ jel\"oli a Lebesgue m\'ert\'eket, \'es legyen
$\eta_1,\eta_2,\dots$, f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Ekkor a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik nem nehezen
bizony\'{\i}that\'o eredm\'enye alapj\'an a
$$
W(t)=\sum_{l=1}^\infty\eta_l \int_0^t \varphi_l(s)\,ds,\quad 0\le t\le 1
$$
folyamat Wiener folyamat. Val\'oban a fel\'{\i}rt folyamat Gauss
folyamat, (a fel\'{\i}rt \"osszegek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'alnak minden $0\le t\le1$ sz\'amra), $EW(t)=0$, \'es a
folyamat kovarianciaf\"uggv\'enye
$$
EW(s)W(t)=\sum_{l=1}^\infty \int_0^s \varphi_l(u)\,du
\int_0^t \varphi_l(u)\,du=\min(s,t)\quad\text{minden }0\le s,t\le 1
\text{ sz\'amra.}
$$
Az utols\'o azonoss\'ag ebben a k\'epletben a Parseval formula
k\"ovetkezm\'enye, mely sze\-rint $\min(s,t)=\int_0^1
I_{[0,s]}I_{[0,t]}(u)\,du=\summ_{l=1}^\infty a_lb_l$, ahol
$I_{[a,b]}(\cdot)$ az $[a,b]$ intervallum indik\'atorf\"uggv\'enye,
\'es $a_l=\int_0^1 I_{[0,s]}(u)\varphi_l(u)\,du$,
$b_l=\int_0^1 I_{[0,t]}(u)\varphi_l(u)\,du$. Egy teljes
bizony\'{\i}t\'asban azt is be kellene l\'atni, hogy az \'{\i}gy
defini\'alt folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, de a tov\'abbiakban egy Wiener folyamat
fent le\'{\i}rt rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-j\'at csak egy speci\'alis
esetben fogjuk alkalmazni, \'es arra az \'all\'{\i}t\'asra, hogy
a defini\'alt folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u nem
lesz sz\"uks\'eg\"unk. (Egy\'ebk\'ent a trajekt\'ori\'ak
foly\-to\-nos\-s\'a\-g\'a\-nak bizony\'{\i}t\'asa az al\'abb
t\'argyalt speci\'alis esetben nem neh\'ez.)
 
Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\chi_{k,l}(u)$, $0\le l<\infty$,
$1\le k\le 2^l$, f\"uggv\'enyeket a $[0,1]$ intervallumon.
$\chi_{0,1}(u)\equiv1$, $\chi_{k,l}(u)=2^{l/2}$, ha $(k-1)2^{-l}\le
u<(2k-1)2^{-l}$, $\chi_{k,l}(u)=-2^{l/2}$, ha $(2k-1)2^{-l}\le
u<k2^{-l}$  \'es $\chi_{k,l}(u)=0$ egy\'ebk\'ent, $0\le l<\infty$,
$1\le k\le 2^k$. Ezeket a $\chi_{k,l}$ f\"uggv\'enyeket h\'{\i}vj\'ak
az irodalomban Haar f\"uggv\'enyeknek, \'es nem neh\'ez bel\'atni,
hogy a Haar f\"ugv\'enyek teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak az
$L_2([0,1],\lambda)$  t\'erben. Ez\'ert az el\H{o}bbiek alapj\'an
$$
W(t)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{k=1}^{2^l}\eta_{k,l} \int_0^t
\chi_{k,l}(s)\,ds, \quad 0\le t\le 1,
$$
ahol az $\eta_{k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek \'es standard norm\'alis eloszl\'as\'uak. To\-v\'ab\-b\'a,
$B(t)=Wt)-tW(1))=W(t)-\int_0^t\chi_{[0,1]}(u)\,du\,W(1)$ Brown
bridge, \'es $W(1)=\eta_{1,0}$, mert a $W(1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o fenti reprezent\'aci\'oj\'aban az \"osszes t\"obbi
$\eta_{k,l}$ egy\"utthat\'oja 0, \'es az $\eta_{1,0}$ v\'altoz\'o
egy\"utthat\'oja pedig 1. Ez\'ert a
$$
B(t)=\sum_{l=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^l}\eta_{k,l} \int_0^t
\chi_{k,l}(s)\,ds, \quad 0\le t\le 1,
$$
sztochasztikus folyamat Brown bridge. Vegy\"uk \'eszre, hogy a Haar
f\"uggv\'enyek speci\'alis alakja miatt
$$
\align
\eta_{k,l}&=\int \chi_{k,l}(s)B(s)\,ds \\
&=2^{l/2}\([B(k2^{-l})-B((2k-1)2^{-l-1})]
-[B(2k-1)2^{-l-1})-B((k-1)2^{-l})]\),
\endalign
$$
\'es ez meg\-egye\-zik a feladatsor fent le\'{\i}rt
konstrukci\'oj\'aban defini\'alt $\bar U_{k,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-val.
 
M\'asr\'eszt, nem neh\'ez $l$ szerinti teljes indukci\'oval bel\'atni,
hogy defini\'alva egy $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\bar V_{k,l}(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az (1b) illetve (4) k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel (felhaszn\'alva a 3. feladat eredm\'eny\'et is,
mely lehet\H{o}v\'e teszi a (4) k\'epletben szerepl\H{o} felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek egyszer\H{u} kisz\'amol\'as\'at) kapjuk, hogy a
$$
\bar Z_n(t)=\sum_{l=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^l} \bar V_{k,l}(n)
\int_0^t \chi_{k,l}(s)\,ds, \quad 0\le t\le 1,
$$
sztochasztikus folyamatra, $\bar Z_n(k2^{-l})=Z_n(k2^{-l})$ minden
$l=1,2,\dots$, $1\le k\le 2^l$ sz\'amra. Ez\'ert $\bar Z_n(t)\equiv
Z_n(t)$ minden $0\le t\le1$ param\'eterre. Ha siker\"ul a $B(t)$ Brown
bridge illetve a $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
eloszl\'asf\"uggv\'eny fenti konst\-ruk\-ci\'o\-j\'at \'ugy megadni,
hogy a benne szerepl\H{o} $\bar U_{k,l}$, illetve $\bar
V_{k,l}(n)$ Fourier egy\"utthat\'ok k\"ozel vannak egym\'ashoz, akkor
egy az Approxim\'aci\'os T\'etelt kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konstrukci\'ot
kapunk. A bizony\'{\i}t\'as r\'eszleteinek kidolgoz\'asa hasonl\'o
a feladatsorban r\'esz\-le\-te\-sen t\'argyalt gondolatmenethez.
 
 
\parskip=3pt plus 2pt
 
\vfill\eject
 
\beginsection 2. Megold\'asok
 
\item{1.)} A k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg j\'ol ismert a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, \'es egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o parci\'alis integr\'al\'assal. (Egy\'ebk\'ent  ez
az \'all\'{\i}t\'as szerepel a {\it Norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 7. feladat\'aban.)
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x),
\quad\text{minden }x>0-ra.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $C_1(x+2)<\dfrac
{\varphi(x)}{1-\Phi(x)}<C_2(x+2)$ ha $x\ge 2$ alkalmas $C_1>0$  \'es
$C_2>0$ konstansokkal. Tov\'abb\'a, mivel a $\varphi(x)$ \'es
$1-\Phi(x)$ f\"uggv\'enyek szepar\'alva vannak mind null\'at\'ol
mind v\'egtelent\H{o}l, ha $x$ egy v\'eges tartom\'anyban van, ez\'ert
a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes minden $x>-1$ eset\'en is. A
$\varphi(-x)=\varphi(x)$ \'es $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ azonoss\'agok
alapj\'an a m\'asodik egyenl\H{o}tlens\'eg ekvivalens az els\H{o}vel.
\itemitem{b.)}
$$
\log\frac {1-\Phi(x+h)}{1-\Phi(x)}=h
\left.\frac d{dx}\log\(1-\Phi(x)\)\right|_{x=u}= -h
\frac{\varphi(u)}{1-\Phi(u)},
$$
ahol $u$ alkalmas sz\'am az $[x,x+h]$ intervallumban. Ez\'ert, a
$|h|<|x|+1$ felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en
$$
C_1(x+2)<\dfrac{\varphi(u)}{1-\Phi(u)}<C_2(x+2),\quad\text{ha }x>-1
$$
a feladat m\'ar bizony\'{\i}tott r\'esze alapj\'an. Ezt
behelyettes\'{\i}tve a fenti azonoss\'agba megkapjuk a feladat els\H{o}
azonoss\'ag\'at $h>0$ (\'es $x>-1$) eset\'en. A m\'asodik azonoss\'ag
innen k\"ovetkezik a $\Phi(-u) =1-\Phi(u)$ azonoss\'ag alapj\'an. A
$h<0$ eset hasonl\'oan t\'argyalhat\'o vagy visszavezethet\H{o} a $h>0$
esetre.
\item{2.} El\H{o}sz\"or bebizony\'{\i}tjuk az $F_{m,n}(x)$
f\"uggv\'eny k\"ovetkez\H{o} approxim\'aci\'oj\'at a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$$
\align
1-F_{m,n}(x)&=(1-\Phi(x))\exp\left\{O\(\frac{x^3+\frac{|n-m|}{\sqrt
n}(x^2+x)+1} {\sqrt n}\)\right\}\\
F_{m,n}(-x)&=\Phi(-x)\exp\left\{O\(\frac{x^3+\frac{|n-m|}{\sqrt
n}(x^2+x)+1} {\sqrt n}\)\right\}
\endalign
$$
ha $0\le x\le \bar A\sqrt n$ \'es $|n-m|<Bn$ alkalmas $\bar A>0$ \'es
$B>0$ sz\'amokkal. Az $O(\cdot)$ egyenletes a fenti formul\'aban.
\item{} Val\'oban, a feladatsor elej\'en kimondott (nagy elt\'er\'es)
t\'etel \'es az els\H{o} feladat ered\-m\'e\-nye alapj\'an
$$   \allowdisplaybreaks
\align
1-F_{m,n}(x)&=\(1-\Phi\(\sqrt{\frac nm} x\)\)
\exp\left\{O\(\frac{x^3+1} {\sqrt n}\)\right\}\\
&=\(1-\Phi(x)\)
\exp\left\{O\(\left|\sqrt{\frac nm} -1\right|(x^2+2x)+\frac{x^3+1}
{\sqrt n}\)\right\}\\
&=(1-\Phi(x))\exp\left\{O\(\frac{x^3+\frac{|n-m|}{\sqrt n}(x^2+x)+1}
{\sqrt n}\)\right\}
\endalign
$$
ha $0\le x\le\bar A\sqrt nx$, mert $\left|\sqrt{\dfrac nm}
-1\right|(x^2+2x)\le \const \dfrac{|n-m|}n(x^2+2x)$ a feladat
felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en. A m\'asik
egyenl\H{o}tlens\'eg hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o.
\item{} Az al\'abbi egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megmutatjuk, hogy l\'etezik olyan $K>0$ kons\-tans, melyre
$$
\aligned
&1-F_{m,n}(x+h(x))\le 1-\Phi(x)\le1-F_{m,n}(x-h(x)),\\
&\qquad\text{ahol }h(x)=h_{m,n}(x)=K\frac{x^2+\frac{|n-m|}{\sqrt
n}(|x|+1)+1} {\sqrt n},
\endaligned \tag2.1
$$
ha $0\le x\le A\sqrt n$ alkalmas $A>0$-val. Val\'oban, ekkor
$$
\align
&\log\dfrac{1-F_{m,n}(x+h(x))}{1-\Phi(x)}=
\log\dfrac{1-F_{m,n}(x+h(x))}{1-\Phi(x+h(x))}+
\log\dfrac{1-\Phi(x+h(x))}{1-\Phi(x)}\\
&\quad\le \frac {K_1}{\sqrt
n}\((x+h(x))^3+\dfrac{|n-m|}{\sqrt n}\((x+h(x))^2+x
+h(x)\)+1\)-C_1h(x)(x+2) \endalign
$$
alkalmas $K_1>0$ \'es a $C_1>0$ konstansokkal felt\'eve, hogy
teljes\"ulnek
az $|x+h(x)|<\bar A\sqrt n$ \'es $|h(x)|\le x+1$ egyenl\H{o}tlens\'egek,
mert ezek a felt\'etelek biztos\'{\i}tj\'ak, hogy az 1. feladat
eredm\'enye, illetve a 2. feladatban bebizony\'{\i}tott
egyenl\H{o}tlens\'eg felhaszn\'alhat\'o. E formul\'aban
a $K_1$ konstans a feladat elej\'en m\'ar bebizony\'{\i}tott becsl\'es
$O(\cdot)$ konstansa, a $C_1$ konstans pedig az els\H{o} feladat b)
r\'esz\'eben jelent meg. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy megv\'alaszthat\'oak
alkalmas $A>0$, $B>0$ \'es $K>0$ konstansok \'ugy, hogy ha az $x<A\sqrt
n$, $|n-m|<Bn$, $n\ge n_0$ felt\'etelek teljes\"ulnek, ahol $n_0$
alkalmas k\"usz\"obindex, akkor \'erv\'enyesek az al\'abbi
egyenl\H{o}tlens\'egek : $|x+h_{m,n}(x)|<\bar A\sqrt n$, $|h(x)|\ge
x+1$, \'es
$$
\frac{K_1}{\sqrt n}\((x+h(x))^3+\dfrac{|n-m|}{\sqrt n}
\((x+h(x))^2+x+h(x)\)+1\)-C_1h(x)(x+2)\le0.
$$
Ezekb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l, illetve az el\H{o}z\H{o}
formul\'akb\'ol k\"ovetkezik az $1-F_{m,n}(x+h(x))\le 1-\Phi(x)$
egyenl\H{o}tlens\'eg, azaz a (2.1) formula bal oldala.
\item{} Legyen $K=\dfrac {100 K_1}{C_1}$. Ha az $A>0$ \'es $B>0$
sz\'amokat ($K$-t\'ol f\"ugg\H{o}en) el\'eg kicsinek v\'alasztjuk,
akkor teljes\"ulnek az $|x+h_{m,n}(x)|<\bar A\sqrt n$ \'es $|h(x)|\le
x+1$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-gek. Ekkor
$$   \allowdisplaybreaks
\align
&\frac{K_1}{\sqrt n}\((x+h(x))^3+\dfrac{|n-m|}{\sqrt
n}\((x+h(x))^2+x+h(x)\)+1\)\\
&\qquad \le\frac{K_1}{\sqrt n}\((2x+1)^3+\dfrac{|n-m|}{\sqrt
n}\((2x+1)^2+2x+1\)+1\)\\
&\qquad \le\frac{100K_1}{\sqrt n}\(x^3+\dfrac{|n-m|}{\sqrt
n}(x^2+1)+1\)\\
&\qquad \le\frac{100K_1}{\sqrt n}(x+2)\(x^2+\frac{|n-m|}{\sqrt
n}(x+1)+1\)=\frac{100K_1}K(x+2)h(x)\\
&\qquad\le C_1(x+2)h(x).
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik a (2.1) egyenl\H{o}tlens\'eg baloldala. A jobboldal
hasonl\'oan bi\-zo\-ny\'{\i}t\-ha\-t\'o. A (2.1) formul\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$$
F_{m,n}(x-h(x))\le \Phi(x)\le F_{m,n}(x+h(x)),\quad \text{ha }0\le x\le
A\sqrt n, \text{ \'es } |n-m|<Bn.
$$
Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes \'es hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o abban az esetben, ha a $0\le x\le A\sqrt n$
felt\'etelt a $0\ge x\ge -A\sqrt n$  felt\'etellel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ebb\H{o}l az egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy
$$
x-h_{m,n}(x)\le F_{n,m}^{-1}(\Phi(x))\le x+h_{m,n}(x), \quad\text{ha
}|x|\le A\sqrt n\text{ \'es } |n-m|\le Bn.
$$
\'es
$$
|F_{m,n}^{-1}(\Phi((\eta))-\eta|\le h_{m,n}(\eta)=K
\dfrac{\eta^2+\frac{|n-m|}
{\sqrt n}(|\eta|+1)+1}{\sqrt n}\le \bar
K\dfrac{\eta^2+\frac{(n-m)^2}n+1}{\sqrt n},
$$
alkalmas $\bar K>0$ sz\'ammal, ha $|\eta|\le A\sqrt n$ \'es $|n-m|\le
Bn$. (Az utols\'o becsl\'esben felhaszn\'altuk azt, hogy $\dfrac{|n-m|}{\sqrt
n}(|\eta|+1)\le \dfrac12\(\dfrac{(n-m)^2}n+\eta^2+1\)$.) Ezzel a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at bel\'attuk.
\smallskip \item{}{\it Megjegyz\'es:}\/ Val\'oj\'aban a k\"ovetkez\H{o},
a m\'asodik feladat \'all\'{\i}t\'as\'an\'al n\'emileg \'elesebb
becsl\'est l\'attuk be:
$$
|F_{m,n}^{-1}(\Phi(\eta))-\eta|\le K\dfrac{\eta^2+\frac{|n-m|}
{\sqrt n}(|\eta|+1)+1}{\sqrt n}
$$
A feladatban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as viszont a
k\'es\H{o}bbiekben jobban haszn\'alhat\'o.
\smallskip
\item{3.)} A $V_{k,l}(n)$, $k=1,\dots,2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazt a $\sigma$-algebr\'at gener\'alj\'ak, mint az
$m_k=\dfrac{\sqrt n}{2^{(l+1)/2}}V_{k,l}(n)+\dfrac n{2^l}$,
$k=1,\dots,2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Az $m_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke megegyezik a $Z_n(t)$,
$0\le t\le1$, standardiz\'alt empirikus folyamatot defini\'al\'o
$\zeta_1,\dots,\zeta_n$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ul azon
$\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'am\'aval, melyek
\'ert\'eke a $[(k-1)2^{-l},k2^{-l}]$ intervallumba esik. Ugyanis
$m_k=n[P_n(k2^{-l})-P_n((k-1)2^{-l})]$, ahol $P_n(t)$ a feladatsor
elej\'en defini\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny.
\item{} R\"ogz\'{\i}ts\"uk az $m_k$, $1\le k\le 2^l$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit, azaz a $\Cal
G_l(n)$ $\sigma$-algebra $B(m_1,\dots,m_{2^l})$ atomj\'at, \'es
jel\"olje $Y_k$,  $k=1,\dots,2^l$, a $[(k-1)2^{-l},(2k-1)2^{-l-1}]$
intervallumba es\H{o} $\zeta_j$ pontok sz\'am\'at. Ekkor az $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felt\'etelesen f\"uggetlenek
felt\'eve a $\Cal G_l(n)$ $\sigma$-algebr\'at, \'es $Y_k$  felt\'eteles
eloszl\'asa a $B(m_1,\dots,m_{2^l})$ atomon a $B(m_k,\frac12)$
binomi\'alis eloszl\'as $m_k$ \'es $\frac12$ param\'eterekkel. Innen
kapjuk, hogy
$$
\align
V_{2k-1,l+1}(n)&=\dfrac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt n}Y_k-\dfrac{\sqrt n}
{2^{l/2}},\\
E\(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n)\)&=\dfrac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt n}
E(Y_k|\Cal G_l(n))-\dfrac{\sqrt n}{2^{l/2}}=\dfrac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt n}
\dfrac{m_k}2-\dfrac{\sqrt n}{2^{l/2}} \\
&=\frac1{\sqrt2}V_{k,l}(n)
\intertext {\'es}
\bar V_{2k-1,l+1}(n)&=\dfrac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt n}Y_k-
\dfrac{2^{(l+2)/2}}{\sqrt n}\dfrac{m_k}2
\endalign
$$
a $G_l(n)$ $\sigma$-algebra $B(m_1,\dots,m_{2^l})$ atomj\'an.
Tov\'abb\'a
$$
\bar V_{2k-1,l+1}(n)+\bar V_{2k,l+1}(n)=V_{k,l}(n)-E(V_{k,l}(n)|\Cal
G_{l}(n))=V_{k,l}(n)-V_{k,l}(n)=0,
$$
\'es
$$
\align
E\(V_{2k,l+1}(n)|\Cal G_l(n)\)&=\sqrt2E\(V_{k,l}(n)|\Cal G_l(n)\)-
E\(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n)\)\\
&=\(\sqrt2-\dfrac1{\sqrt 2}\) V_{k,l}(n) =\dfrac1{\sqrt 2}V_{k,l}(n).
\endalign
$$
A fenti rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa
($Y_k=X_{2k-1}$ sze\-rep\-osz\-t\'as\-sal).
\item{4.)} Mivel a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttesen norm\'alis eloszl\'as\'uak, a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'asokat bebizony\'{\i}thatjuk egyszer\H{u}en a
kovarinciaf\"uggv\'eny vizsg\'alat\'aval. Ezt a sz\'am\'{\i}t\'ast
egyszer\H{u}s\'{\i}thetj\"uk, ha a $B(t)$ Brown bridge
$B(t)=W(t)-tW(1)$ rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-j\'at haszn\'aljuk, ahol
$W(t)$, $0\le t\le1$, $EW(t)=0$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$ Wiener folyamat.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'assal kapjuk, hogy
$$
E\(U_{2k-1,l+1}-\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l}\)U_{j,l}=
E\(U_{2k,l+1}-\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l}\)U_{j,l}=0.
$$
Innen, illetve a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttes Gauss eloszl\'as\'ab\'ol k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az
$\left\{U_{2k-1,l+1}-\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l},
U_{2k,l+1}-\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l},\;k=1,\dots,2^l\right\}$ v\'eletlen
vektor f\"ug\-get\-len az $\Cal F_l$ $\sigma$-algebr\'at\'ol, \'es
koordin\'at\'ai nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} Ez\'ert $E\left.\(U_{2k-1,l+1}-\dfrac1{\sqrt2}
U_{k,l}\right|\Cal F_l\)=0$, \'es $E(U_{2k-1,l+1}|\Cal F_l)=
\dfrac1{\sqrt2}E(U_{k,l}|\Cal F_l)=\dfrac1{\sqrt2}U_{k,l}$. Hasonl\'oan
$E(U_{2k,l+1}|\Cal F_l)=\dfrac1{\sqrt2}U_{k,l}$, $1\le k\le 2^l$.
Ez\'ert, $\bar U_{2k-1,l+1}=U_{2k-1,l+1}-\dfrac1{\sqrt2} U_{k,l}$,
$\bar U_{2k,l+1}=U_{2k,l+1}-\dfrac1{\sqrt2}
U_{k,l}$, $k=1,\dots,2^l$.
\item{} Egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy $\bar
U_{2k-1,l+1}=\frac1{\sqrt 2}(U_{2k-1,l+1}-U_{2k,l+1})=-\bar
U_{2k,l+1}$, \'es $E\bar U_{2j-1,l+1}\bar U_{2k-1,l+1}=\delta_{j,k}$,
$1\le k\le 2^l$, ahol $\delta_{j,k}=0$, ha $j\neq k$, \'es
$\delta_{j,k}=1$, ha $j=k$. Ez azt jelenti, hogy az $\Cal F_l$
$\sigma$-algebr\'at\'ol f\"uggetlen $\bar U_{2k-1,l+1}$,
$k=1,\dots,2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
\'es standard norm\'alis eloszl\'as\'uak. Tov\'abb\'a tel\-je\-s\"ul az
$\bar U_{2k-1,l+1}=-\bar U_{2k,l+1}$ azonoss\'ag. A 4. feladat
\'all\'{\i}t\'asait bel\'attuk.
\item{5a.)} A feladat \'all\'{\i}t\'as\'at bel\'athatjuk $l$ szerinti
teljes indukci\'oval. Tegy\"uk fel, hogy az \'all\'{\i}t\'ast m\'ar
bebizony\'{\i}totuk $l$-re. Defini\'aljuk az $M_k=\dfrac{\sqrt
n}{2^{(l+1)/2}}V_{k,l}(n)+\dfrac n{2^l}$, $k=1,\dots,2^l$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Megjegyezz\"uk,
hogy az $M_k$ sz\'amok azt adj\'ak meg, hogy  azon
(k\'es\H{o}bb m\'eg megkonstru\'aland\'o) f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u $\zeta_1,\dots,\zeta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ul,
melyek a $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt defini\'alj\'ak  h\'any $\zeta_j$
v\'altoz\'o esik a $[(k-1)2^{-l},k2^{-l}]$, $1\le k\le 2^l$,
intervallumba. Az (5a) formul\'aban defini\'alt  $\bar
V_{2k-1,l+1}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok a standard
norm\'alis eloszl\'as\'u $\bar U_{2k-1,l+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok f\"uggv\'enyei, melyek a 4. feladat eredm\'enye
alapj\'an f\"uggetlenek egym\'ast\'ol, tov\'abb\'a f\"uggetlenek a
$\Cal G_l(n)$  $\sigma$-algebr\'at\'ol is, mert az $\Cal F_l\supset
\Cal G_l(n)$  $\sigma$-algebr\'at\'ol is f\"uggetlenek. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $\bar V_{2k-1,l+1}$
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok felt\'etelesen
f\"uggetlenek, felt\'eve az $M_k$, $1\le k\le 2^l$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, melyek a $\Cal G_l(n)$
$\sigma$-algebr\'at gener\'alj\'ak. Felt\'eteles
eloszl\'asaik pedig az $M_k=m_k$, $1\le k\le 2^l$, felt\'etelek mellett
megegyeznek az (5a) formula el\H{o}tt defini\'alt $F_{m_k,l}(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyekkel.
 
\item{} A 3. feladat eredm\'enye alapj\'an az (1)---(4) formul\'aban
egy $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'alt $\bar V_{2k-1,l+1}(n)$,
$1\le k\le 2^l$, v\'eletlen vektor felt\'eteles eloszl\'asa
felt\'eve a kiindul\'o $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
defini\'alt $G_l(n)$ $\sigma$-algebr\'at megadhat\'o a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Defini\'aljuk az $M_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat azzal a formul\'aval, melyet e feladat megold\'as\'anak
elej\'en fel\'{\i}rtunk, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy most a
$Z_n(t)$ folyamat \'altal defini\'alt $V_{k,l}(n)$ v\'altoz\'okat
helyettes\'{\i}tj\"uk be ebbe a formul\'aba. A $\bar V_{2k-1,l+1}(n)$,
$1\le k\le 2^l$, v\'eletlen vektor felt\'eteles eloszl\'asa
az $M_k=m_k$, $1\le k\le 2^l$, felt\'etelek mellett, azaz a $\Cal
G_l(n)$ $\sigma$-algebra $B(m_1,\dots, m_{2^l})$ atomj\'an
megegyezik az el\H{o}bb te\-kin\-tett $\bar V_{2k-1,l}(n)$ v\'altoz\'ok
felt\'eteles eloszl\'as\'aval az $M_k=m_k$, $1\le k\le2^l$, felt\'etelek
mellett az eredeti $M_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal.
To\-v\'ab\-b\'a, mivel a most te\-kin\-tett esetben
$E(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n))=\frac1{\sqrt 2}V_{k,l}(n)$
a 3. feladat eredm\'enye alapj\'an, ez\'ert
\"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-va az (1)---(4) formul\'akat az (5b)
\'es (5c) formul\'akkal, kapjuk, hogy az \'altalunk konstru\'alt
$Z_n((2k-1)2^{-(l+1)})$, $1\le k\le 2^l$, v\'eletlen vektor
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve a m\'ar megkonstru\'alt
$Z_n(k2^{-l})$, $1\le k\le2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'ert\'ekeit, megegyezik az anal\'og felt\'eteles
eloszl\'assal, ha a $Z_n((2k-1)2^{-(l+1)})$ \'es $Z_n(k2^{-l})$,
$1\le k\le2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat egy
$Z_n(t)$, $0\le t\le 1$, standardiz\'alt empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny megfelel\H{o} pontokban felvett
\'ert\'ekeivel helyettes\'{\i}tj\"uk.
\item{} A $Z_n(k2^{-(l+1)})$, $1\le k\le 2^{l+1}$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes
eloszl\'as\'at egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozza a a
$Z_n(k2^{-l})$, $1\le k\le 2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa \'es a $Z_n((2k-1)2^{-(l+1)})$,
$1\le k\le 2^l$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor felt\'eteles
eloszl\'asa, felt\'eve a $Z_n(k2^{-l})$, $1\le k\le 2^l$, v\'altoz\'ok
\'ert\'ekeit. Ez\'ert a $Z_n((2k-1)2^{-(l+1)})$, $1\le k\le 2^l$,
v\'eletlen vektor felt\'eteles eloszl\'asair\'ol kapott
eredm\'enyb\H{o}l \'es az indukci\'os feltev\'esb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy a $Z_n(k2^{-(l+1)})$, $1\le k\le 2^{l+1}$, v\'eletlen vektor
eloszl\'asa megegyezik egy $Z_n(t)$ standardiz\'alt empirikus
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'ert\'ekeinek az egy\"uttes
eloszl\'as\'aval $t=k2^{-(l+1)}$, $1\le k\le 2^{+1}$, pontokban.
\item{} Bel\'atjuk, hogy a most defini\'alt $Z_n(k2^{-(l+1)})$,
$V_{k,l+1}(n)$ \'es $\bar V_{k,l+1}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (1)---(4) formul\'akat. Az (5a)
k\'epletben defini\'alt $\bar V_{2k-1,l}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az $E(\bar V_{2k-1,l}(n)|\Cal G_l(n))=0$
azonoss\'agot, mert a $\bar V_{2k-1,l}(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve a $\Cal G_l(n)$
$\sigma$-algebr\'at az $F_{m_k,l}(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
a $\Cal G_l(n)$ $\sigma$-algebra azon atomj\'an, melyen
$$
m_k=\dfrac{\sqrt n} {2^{(l+1)/2}}V_{k,l}(n)+\dfrac n{2^l},\quad
k=1,\dots,2^l,
$$
\'es egy $F_{m_k,l}(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla. Ez\'ert az (5b) formula
alapj\'an $E(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n))=\frac1{\sqrt 2}V_{k,l}(n)$,
\'es
$$
\bar V_{2k-1,l+1}(n)=V_{2k-1,l+1}(n)-E(V_{2k-1,l+1}(n)|\Cal G_l(n)).
$$
Az (5c) formula alapj\'an
$$
V_{2k-1,l+1}(n)=2^{(l+2)/2}
\(Z_n\(\frac{2k-1}{2^{l+1}}\)-Z_n\(\frac{2k-2}{2^{l+1}}\)\).
$$
A fenti azonoss\'agok tartalmazz\'ak az (1)---(4) formul\'anak az
indukci\'o $l+1$-ik l\'ep\'esben bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'asait p\'aratlan $k$ sz\'amokra. A megfelel\H{o}
azonoss\'agok bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben p\'aros $k$
sz\'amokra vegy\"uk el\H{o}sz\"or \'eszre, hogy az utols\'o
egyen\-l\H{o}\-s\'eg\-b\H{o}l, az (5d) formul\'ab\'ol,
valamint az (1b) k\'eplet $l-1$ indexre m\'ar bizony\'{\i}tott
alakj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
V_{2k,l+1}(n)&=2^{(l+2)/2}\(Z_n\(\frac
k{2^l}\)-Z_n\(\frac{k-1}{2^l}\)\)\\
&\qquad -2^{(l+2)/2}\(Z_n\(\frac{2k-1}{2^{l+1}}\)
-Z_n\(\frac{2k-2}{2^{l+1}}\)\)\\
&=2^{(l+2)/2}\(Z_n\(\frac {2k}{2^{l+1}}\)-
Z_n\(\frac{2k-1}{2^{l+1}}\) \).
\endalign
$$
Ism\'et haszn\'alva az (5d) formul\'at, illetve a $V_{2k-1,l+1}(n)$
v\'altoz\'ora bizony\'{\i}tott formul\'akat kapjuk, hogy
$E(V_{2k,l+1}(n)|\Cal G_l(n))=\sqrt2
V_{k,l}(n)-\frac1{\sqrt2}V_{k,l}(n)=\frac1{\sqrt2}V_{k,l}(n)$,
tov\'abb\'a
$$
V_{2k,l+1}(n)=\sqrt2V_{k,l}(n)-\bar
V_{2k-1,l+1}(n)-\frac1{\sqrt2}V_{k,l}(n)=\frac1{\sqrt2}V_{k,l}(n)-
\bar V_{2k-1,l+1}(n).
$$
E formul\'akb\'ol, illetve az (5e) k\'epletb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy teljes\"ul a $\bar
V_{2k,l+1}(n)=V_{2k,l+1}(n)-E(V_{2k,l+1}(n)|\Cal G_l(n))$ azonoss\'ag
is. Ezzel az (1)---(4) formul\'akat az $l+1$-ik l\'ep\'esben
is bel\'attuk.
\item{} V\'eg\"ul vegy\"uk \'eszre, hogy a $\Cal G_{l+1}(n)\subset \Cal
F_{l+1}$ rel\'aci\'o is teljes\"ul, mert a $\Cal G_{l+1}(n)$
$\sigma$-algebr\'at gener\'al\'o $V_{k,l+1}(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a $\Cal F_{l+1}$ m\'erhet\H{o}
$U_{k,l+1}$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
m\'er\-he\-t\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nyei.
\item{5b.)} A $\zeta_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok 5b.) feladatban megadott konstrukci\'oj\'ab\'ol azonnal
k\"ovetkezik, hogy a bel\H{o}l\"uk k\'esz\'{\i}tett standardiz\'alt
empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'ert\'ekei a $t=k2^{-L}$
pontokban megegyeznek a $Z_n(k2^{-L})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-kal minden $1\le k\le 2^L$ sz\'amra. Be kell m\'eg
l\'atnunk, hogy ezek f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} Ennek \'erdek\'eben be fogjuk l\'atni a k\"ovetkez\H{o}
\'all\'{\i}t\'ast. Ha $\bar\zeta_1,\dots,\bar\zeta_n$ f\"uggetlen, a
$[0,1]$ intervallumban egyeneletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$\bar\zeta_1^*\le\cdots\le\bar\zeta_n^*$ az ebb\H{o}l a
sorozatb\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta, \'es $M_k$ jel\"oli a
$\bar\zeta_j^*$, $1\le j\le n$ sorozatnak a $[(k-1)2^{-L},k2^{-L}]$
intervallumba es\H{o} pontjainak sz\'am\'at, $1\le k\le 2^L$, akkor
$P(M_1=m_1,\dots,M_{2^L}=m_{2^L})=\dfrac{n!}{m_1!\cdots
m_{2^L}!}2^{-Ln}$, ha $m_k\ge0$ minden $1\le k\le2^L$ indexre, \'es
$\summ_{k=1}^{2^L}m_k=n$. Tov\'abb\'a a
$\bar\zeta_1^*\le\cdots\le\bar\zeta_n^*$ v\'eletlen sorozat
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az
$\{M_1=m_1,\dots,M_{2^L}=m_{2^L}\}$ esem\'enyt megegyezik
olyan $\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+1},\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+2},\dots,
\xi_{m_0+\cdots+m_k}$, $1\le k\le 2^L$, ($m_0=0$), egym\'ast\'ol
f\"ug\-get\-len, v\'eletlen sorozatok egyes\'{\i}t\'es\'enek az
eloszl\'as\'aval, amelyekre a
$\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+1},\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+2},\dots,
\xi_{m_0+\cdots+m_k}$ v\'eletlen sorozat $m_k$ sz\'am\'u
f\"ug\-get\-len, a $[(k-1)2^{-l},k2^{-L}]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Val\'oban, k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o} a
$$
P(M_1=m_1,\dots,M_{2^L}=m_{2^L})=\dfrac{n!}{m_1!\cdots
m_{2^L}!}2^{-Ln}
$$
azonoss\'ag. M\'as\-r\'eszt, ha mindegyik
$\bar\zeta_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eset\'en el\H{o}\'{\i}rjuk, hogy melyik $[m(j)2^{-L}, (m(j)+1)2^{-L}]$
intervallumba esik, \'es ezt \'ugy tessz\"uk, hogy az
$[(k-1)1^{-L},k2^{-L}]$ intervallumba $m_k$ $\bar\zeta_j$
v\'altoz\'o esik, $1\le k\le 2^L$, akkor a $\bar\zeta_j$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok felt\'etelesen f\"uggetlenek
ezen felt\'etelek mellett, \'es $\zeta_j$ egyenletes eloszl\'as\'u a
$[m(j)2^{-L}, (m(j)+1)2^{-L}]$ intervallumban. Innen k\"ovetkezik, hogy
a $\bar\zeta_1^*\le\cdots\le\bar\zeta_n^*$ rendezett minta felt\'eteles
eloszl\'asa egy ilyen felt\'etel mellett, \'es ez\'ert ezen
felt\'etelek uni\'oj\'ara, azaz az $M_1=m_1,\dots,M_{2^L}=m_{2^L}$
felt\'etelek mellett is az el\H{o}bb le\'{\i}rt felt\'eteles eloszl\'as.
\item{} Tekints\"uk az 5b.) feladatban konstru\'alt
$\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ v\'eletlen sorozatot, \'es
defini\'aljuk az  $M'_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
\'ugy, hogy $M'_k$ egyenl\H{o} a $\zeta_j^*$, $1\le j\le n$, sorozatnak
a $[(k-1)2^{-L},k2^{-L}]$ intervallumba es\H{o} pontjainak
sz\'am\'aval. Ekkor
$P(M_1'=m_1,\dots,M'_{2^L}=m_{2^L})=\dfrac{n!}{m_1!\cdots
m_{2^L}!}2^{-Ln}$, ha $m_k\ge0$ minden $1\le k\le2^L$ indexre, \'es
$\summ_{k=1}^{2^L}m_k=n$. Tov\'abb\'a a
$\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ v\'eletlen sorozat felt\'eteles
eloszl\'asa felt\'eve az $\{M'_1=m_1,\dots,M'_{2^L}=m_{2^L}\}$
esem\'enyt megegyezik olyan
$\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+1},\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+2},\dots,
\xi_{m_0+\cdots+m_k}$, $1\le k\le 2^L$, ($m_0=0$), egym\'ast\'ol
f\"uggetlen, v\'eletlen  sorozatok egyes\'{\i}t\'es\'enek az
eloszl\'as\'aval, ahol a
$$
\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+1},\xi_{m_0+\cdots+m_{k-1}+2},\dots,
\xi_{m_0+\cdots+m_k}
$$
sorozat $m_k$ sz\'am\'u
f\"uggetlen, a $[(k-1)2^{-l},k2^{-L}]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol
k\'esz\'{\i}tett rendezett minta. Mivel az $M'_1,\dots,M'_{2^L}$
eloszl\'asa, illetve a $\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ v\'eletlen
sorozat felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve az
$\{M'_1=m_1,\dots,M'_{2^L}=m_{2^L}\}$ esem\'enyt meghat\'arozza a
$\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ v\'e\-let\-len sorozat eloszl\'as\'at,
a fenti \'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik, hogy a
$\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ \'es
$\bar\zeta_1^*\le\cdots\le\bar\zeta_n^*$ v\'e\-let\-len sorozatok
eloszl\'asa megegyezik, azaz $\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ egy
f\"uggetlen, \'es a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett
rendezett minta.
\item{} V\'eg\"ul tegy\"uk a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt. Ha
$\bar\zeta_1,\dots,\bar\zeta_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumban
egyeneletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, akkor defini\'alva az $\{1,\dots,n\}$, halmaznak azt a
v\'eletlen permut\'aci\'oj\'at, melyre
$\bar\zeta_j=\bar\zeta_{\pi(j)}$, $j=1,\dots,n$, ahol
$\bar\zeta_1^*\le\cdots\le\bar\zeta_n^*$ a
$\bar\zeta_1,\dots,\bar\zeta_n$  sorozatb\'ol k\'esz\'{\i}tett
rendezett minta, akkor a
$(\pi(1),\dots,\pi(n))$, \'es $(\bar\zeta_1^*,\dots,\bar\zeta_n^*)$
vektorok f\"uggetlenek, \'es a $(\pi(1),\dots,\pi(n))$ vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az $\{1,\dots,n\}$ halmaz permut\'aci\'oin.
Ebb\H{o}l a t\'enyb\H{o}l, illetve abb\'ol, hogy
$\zeta_1^*\le\cdots\le\zeta_n^*$ egy f\"uggetlen, \'es a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett rendezett minta, k\"ovetkezik,
hogy az 5b.) feladatban defini\'alt $\zeta_1,\dots,\zeta_n$ sorozat
f\"uggetlen \'es a $[0,1]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol \'all.
\item{6.)} A 6.) feladat f\H{o} \'all\'{\i}t\'asa a 2. feladat
eredm\'eny\'enek k\"ovetkezm\'enye. Annak \'erde\-k\'e\-ben, hogy
elker\"ulj\"uk k\"ul\"onb\"oz\H{o} mennyis\'egeknek ugyanazzal a
bet\H{u}vel val\'o jel\"ol\'es\'et, alkalmazzuk a m\'asodik feladat
eredm\'eny\'et $\bar m$ \'es $\bar n$ jel\"ol\'essel az $m$ \'es $n$
bet\H{u}k helyett.
\item{} Alkalmazzuk a m\'asodik feladat eredm\'eny\'et $\bar m=\dfrac
n{2^l}$, $\bar n=m_k=\dfrac{\sqrt n}{2^{(l+1)/2}}V_{k,l}(n)+\dfrac
n{2^l}$ \'es $\eta=\bar U_{2k-1,l+1}$ szereposzt\'assal. Ekkor $|\bar
n-\bar m|=\dfrac{\sqrt n}{2^{(l+1)/2}}|V_{k,l}(n)|=\dfrac{\sqrt {\bar
n}}{\sqrt 2}|V_{k,l}(n)|$. Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy a 2.
Lemma $|\eta|<A\sqrt{\bar n}$ \'es $|\bar n-\bar m|<B\bar n$
felt\'etelei teljes\"ulnek, ha az $A>0$ konstanst a 6. feladat
v\'eg\'en megfogalmazott felt\'etelben el\'eg kicsinek v\'alasztjuk.
M\'asr\'eszt $\dfrac{(\bar n-\bar m)^2}{\bar n}=\dfrac{V_{k,l}(n)^2}2$,
ez\'ert a 2. feladat eredm\'enye megadja (7a) rel\'aci\'o
els\H{o} fel\'et. A (7a) rel\'aci\'o m\'asodik fele nyilv\'anval\'o,
mert $\bar U_{2k-1,l+1}=-\bar U_{2k-1,l+1}$. A (7b)
egyenl\H{o}tlens\'eg a (7a) formula egyszer\H{u}
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye, mert
$$
\align
|U_{2k-1,l+1}-V_{2k-1,l+1}(n)|\le|&\bar U_{2k-1,l+1}-\bar
V_{2k-1,l+1}(n)|+\dfrac{|U_{k,l}-V_{k,l}(n)|}{\sqrt 2},
\intertext{\'es}
|U_{2k,l+1}-V_{2k,l+1}(n)|\le|&\bar U_{2k-1,l+1}-\bar
V_{2k-1,l+1}(n)|+\dfrac{|U_{k,l}-V_{k,l}(n)|}{\sqrt 2},
\endalign
$$
mivel $V_{2k-1,l}(n)=\bar V_{2k-1,l}(n)+\dfrac{V_{k,l}(n)}{\sqrt2}$,
$U_{2k-1,l}=\bar U_{2k-1,l}+\dfrac{U_{k,l}}{\sqrt2}$
a harmadik \'es negyedik feladatban bizony\'{\i}tott
$E(V_{2k-1,l}(n)|\Cal G_l(n))=\dfrac{V_{k,l}(n)}{\sqrt2}$ \'es
$E(U_{2k-1,l}(n)|\Cal F_l)=\dfrac{U_{k,l}}{\sqrt2}$ azonoss\'agok
alapj\'an. Ezenk\'{\i}v\"ul hasonl\'o rel\'aci\'o \'erv\'enyes a
$V_{2k,l}(n)$ \'es $U_{2k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra
is.
\item{7.)} A $V_{k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, az
$\e(j)$ illetve $k(j)$ sz\'amok definici\'oja alapj\'an az
$$
\align
\e(j)2^{-(j+1)/2}&\(\sqrt2 V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)
-V_{k_{j}+1,j}(n)\)\\
&\qquad=\e(j)\(Z_n(k_j2^{-j})-Z_n(k_{j-1}2^{-(j-1)}\)
\endalign
$$
azonoss\'ag \'erv\'enyes minden $1\le j\le l$ sz\'amra. Ugyanis vagy
$\e(j)=0$, amikor ez az \'all\'{\i}t\'as nyilv\'anval\'o vagy
$\e(j)=1$, amikor $k_j=2k_{j-1}+1$, \'es a $V_{k,l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as. Ezeket az azonoss\'agokat
\"osszegezve \'es felhaszn\'alva a $Z_n(k_l2^{-l})=Z_n(t)$ \'es
$Z_n(k_0)=Z_n(0)=0$ rel\'aci\'okat kapjuk (8a) formula els\H{o} sor\'at
a $Z_n(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
reprezent\'aci\'oj\'ar\'ol. A $B(t)$ kifejez\'esre fel\'{\i}rt formula
hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o.
 
\item{} A (8b) k\'eplet bizony\'{\i}t\'as\'aban alkalmazzuk a (7b) formul\'at
$l=j-s-1$ \'es $k=k_{j-s-1}+1$ v\'alaszt\'assal. Ha
$u_{j-s-1}=k_{j-s-1}2^{-j-s-1} =u_{j-s}=k_{j-s}2^{-j-s}$, akkor
$k_{j-s}+1=2(k_{j-s-1}+1)-1$, \'es tekints\"uk az egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldal\'an szerepl\H{o} maximum els\H{o} tagj\'at, \'es az
egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an az els\H{o} kifejez\'est.
Ha $u_{j-s-1}=k_{j-s-1}2^{-j-s-1}<u_{j-s}=k_{j-s}2^{-j-s}$, akkor
$k_{j-s}+1=2(k_{j-s-1}+1)$, \'es ekkor tekints\"uk az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg baloldal\'an szerepl\H{o} maximum m\'asodik
tagj\'at, \'es az egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg jobboldal\'an a m\'asodik
kifejez\'est. E v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
&2^{-s}\cdot 2^{-(j-s+1)/2}|U_{k_{j-s}+1,j-s}-V_{k_{j-s}+1,j-s}(n)|\\
&\qquad<2^{-s}\cdot \frac K{\sqrt n}(\bar U_{k_{j-s}+1,j-s}^2+
V_{k_{j-s-1}+1,j-s-1}^2(n)+1)\\
&\qquad\quad+2^{-(s+1)}\cdot2\cdot\frac{2^{-(j-(s+1)+1)/2}}2
|U_{k_{j-(s+1)}+1,j-(s+1)}-V_{k_{j-(s+1)}+1,j-(s+1)}(n)|
\endalign
$$
minden $1\le j\le l$ \'es $0\le s\le j-1$ sz\'amp\'arra. Ezeket az
egyenl\H{o}tlens\'egeket \"osszeadva minden $0\le s\le j-1$ sz\'amokra,
\'es \"osszehasonl\'{\i}tva a k\'et oldalt megkapjuk a (8b)
egyenl\H{o}tlens\'eget. Azt kell \'eszrevenni, hogy minden $1\le j-s
\le j-1$ indexre az $|U_{k_{j-s}+1,j-s}-V_{k_{j-s}+1,j-s}(n)|$
kifejez\'esek ugyanazzal az egy\"utthat\'oval szerepelnek az
\"osszegz\'es ut\'an kapott egyenl\H{o}tlens\'eg mindk\'et oldal\'an.
Tov\'abb\'a jegyezz\"uk meg, hogy ha $\oo\in\bold B$, ahol $\bold B$ a
7. feladatban defini\'alt halmaz, akkor az el\H{o}bbi
egyenl\H{o}tlens\'egek \'erv\'enyesek, azaz a $\bar
U_{k_{j-s}+1,j-s}(\oo)$ \'es $V_{k{j-s}+1,j-s}(\oo)$ teljes\'{\i}tik
a 6. feladat felt\'eteleit.
\item{} A $Z_n(k2^{-l})-B(k2^{-l})$ a (8a) formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kifejezhet\H{o} mint a
$V_{k_j+1,j}(n)-U_{k_j+1,j}$ kifejez\'esek line\'aris
kombin\'aci\'oja. Ezen tagok mindegyik\'ere becsl\'est ad a (8b)
formula. Behelyettes\'{\i}tve ezeket a becsl\'eseket ebbe a
kifejez\'esbe, kapjuk a k\"ovetkez\H{o} becsl\'est:
$$
\align
|Z_n(k2^{-l})-B(k2^{-l})|&\le2\sum_{j=1}^l
2^{-(j+1)/2}|V_{k_j+1,j}(n)-U_{k_j+1,j}| \\
&\le\frac{2K}{\sqrt n} \sum_{j=1}^l \sum_{s=0}^{j-1} 2^{-s}\(\bar
U^2_{k_{j-s}+1,j-s}+V^2_{k_{j-s-1}+1,j-s-1}(n)+1\)\\
&=\frac{2K}{\sqrt n} \sum_{j=1}^l \sum_{s=1}^{j} 2^{-(j-s)}\(\bar
U^2_{k_s+1,s}+V^2_{k_{s-1}+1,s-1}(n)+1\)\\
&=\frac{2K}{\sqrt n} \sum_{s=1}^l
\(\bar U^2_{k_s+1,s}+V^2_{k_{s-1}+1,s-1}(n)+1\)
\sum_{j=s}^l 2^{-(j-s)}.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik a (8c) formula.
\item{8.)} A negyedik feladat eredm\'enye alapj\'an a $\bar U_{k,j}$,
$1\le j\le l$, $1\le k\le 2^j$, f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, innen
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as az $\bar U_{k_j+1,j}$, $1\le j\le l$,
egy\"uttes eloszl\'as\'ar\'ol. Az anal\'og \'all\'{\i}t\'as a
$V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$, $1\le j\le l$, sorozat eloszl\'as\'ara $j$
szerinti teljes indukci\'oval k\"ovetkezik az al\'abbi
\'all\'{\i}t\'asb\'ol.
\item{} Az $V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$, illetve ami ezzel ekvivalens, az
$M_{j-1}=\frac{\sqrt n}{2^{j/2}}V_{k_{j-1}+1}-\frac n{2^{j-1}}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok felt\'eteles
eloszl\'asa felt\'eve az $M_s=\frac{\sqrt n}
{2^{(s+1)/2}}V_{k_s+1,s}-\frac n{2^s}=m_s$, $1\le s\le j-2$,
felt\'eteleket megegyezik az $V_{1,j-1}(n)$, illetve az
$\bar M_{j-1}=\frac{\sqrt n}{2^{j/2}}V_{1,j-1}-\frac n{2^{(j-1)}}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o felt\'eteles
eloszl\'as\'aval felt\'eve az $\bar M_s=\frac{\sqrt
n}{2^{(s+1)/2}}V_{1,s}-\frac n{2^s}=m_s$,
$1\le s\le j-2$, felt\'eteleket, ahol $m_1,\dots,m_{s-2}$,
tetsz\H{o}leges nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok. Ez az
\'all\'{\i}t\'as igaz, mert mind az $M_{j-1}$ mind a $\bar M_{j-1}$
felt\'eteles eloszl\'asa az adott felt\'etelek mellett a
$B(m_{j-2},\frac12)$ binomi\'alis eloszl\'as
$m_{j-2}$ \'es $\frac12$ param\'eterrel.
\item{} Az $1-P(\bold B)\le e^{-D_1x}$ egyenl\H{o}tlens\'eget
a k\"ovetkez\H{o} becsl\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutatjuk meg.
Tetsz\H{o}leges $1\le j\le l$ sz\'amra
$$
\align
P\(|V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)|>\frac{A\sqrt n}{2^{j/2}}\)
&=P\(\frac{2^{j/2}}{\sqrt n}\left|\sum_{k=1}^n(\chi_k-E\chi_k)\right|>
\frac{A\sqrt n}{2^{j/2}}\)\\
&=P\(\left|\sum_{k=1}^n(\chi_k-E\chi_k)\right|>\frac{A n}{2^{j}}\),
\endalign
$$
ahol $\chi_k$, $1\le k\le n$, f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, \'es $P(\chi_k=1)=1-P(\chi_k=0)=2^{-(j-1)}$. Innen
kapjuk, hogy $Ee^{t(\chi_k-E\chi_k)}=\(1-\dfrac1{2^{j-1}}
+\dfrac{e^t}{2^{j-1}}\)e^{-t/2^{j-1}}$, ahonnan $|t|<1$ eset\'en
$Ee^{t(\chi_k-E\chi_k)}\le\exp\left\{\dfrac{e^t-1}{2^{j-1}}-\dfrac
t{2^{j-1}}\right\}\le\exp\left\{\dfrac{10t^2}{2^j}\right\}$. Az ut\'obbi
becsl\'esekben azt haszn\'altuk ki, hogy $t+1\le e^t$, \'es
$e^t-1-t<5t^2$, ha $|t|\le1$. Az el\H{o}z\H{o} becsl\'esek alapj\'an
$E\(\exp\left\{t\summ_{k=1}^n(\chi_k-E\chi_k)\right|\right\}\le
e^{10t^2n}$, ha $|t|<1$, \'es
$$
\aligned
&P\(V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)>\frac{A\sqrt n}{2^{j/2}}\)
=P\(\exp\left\{t\sum_{k=1}^n(\chi_k-E\chi_k)\right\}
>e^{Ant/2^j}\) \\
&\qquad\le e^{n2^{-j}(10t^2-At)}\le e^{-\bar D2^{l-j}x} \quad
\text{minden }1\le j\le l\text { sz\'amra.}
\endaligned \tag2.2a
$$
alkalmas $\bar D>0$ sz\'ammal, ha $j\le l$. Az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'egben azt haszn\'altuk ki, hogy egyr\'eszt
$10t^2-At<-D'$ alkalmas $D'>0$ sz\'ammal, ha a $t>0$ sz\'amot el\'eg
kicsire v\'alasztjuk, m\'asr\'eszt $-n2^{-j}=-2^{l-j}2^{-l}n\le
-C_0x2^{l-j}$.
\item{} Mivel $\bar U_{k_{j-1}+1,j-1}$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ez\'ert
egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy
$$
\aligned
P\(|U_{k_{j-1}+1,j-1}(\oo)|<\frac{A\sqrt n}{2^{j/2}}\)&\le
e^{-A^2n2^{j-1}}\le e^{-D''2^{l-j}x} \\
\quad \text{minden }1\le j\le l \text{ sz\'amra.}
\endaligned \tag2.2b
$$
A (2.2a) becsl\'es akkor is \'erv\'enyes marad, ha benne a
$V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$ v\'altoz\'ot $-V_{k_{j-1}+1,j-1}(n)$ a
v\'altoz\'oval helyettes\'{\i}tj\"uk. Ha a (2.2a)
egyenl\H{o}tlens\'egeket, azok el\H{o}bb eml\'{\i}tett
analogonjait valamint a (2.2b) egyenl\H{o}tlens\'egeket
\"osszegezz\"uk minden $1\le j\le n$ sz\'amra, akkor megkapjuk a
$1-P(\bold B)\le e^{-D_1x}$ egyenl\H{o}tlens\'eget.
\item{} A 8. feladat utols\'o becsl\'es\'enek bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben tekints\"uk egy nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o n\'egyzet\'et, \'es
sz\'am\'{\i}tsuk ki e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standardiz\'altj\'anak a momentumgener\'al\'o f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
Ha $\eta$ standard norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{t(\eta^2-E\eta^2)}=Ee^{t(\eta^2-1)}=\frac{e^{-t}}{\sqrt {2\pi}}
\int e^{tx^2-x^2/2}\,dx=\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{1-2t}},\quad\text{ha
}t<\frac12.
$$
Innen $\log Ee^{t(\eta^2-E\eta^2)}=-t-\frac12\log(1-2t)<t^2$,
ha $0<t\le\frac14$. (Egy ilyen tipus\'u becsl\'es
\'erv\'enyess\'eg\'enek m\'elyebb oka az, hogy egy 0 v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumgener\'al\'o f\"uggv\'enye \'ugy viselkedik, mint $e^{\const
t^2}$ az orig\'o k\"o\-ze\-l\'e\-ben.) Ez\'ert
$$
\align
&P\(18K\sum_{j=1}^l \bar U_{1,j-1}^2>x\)=P\(\exp\left\{\frac14
\sum_{j=1}^l (\bar U_{1,j-1}^2-E\bar U_{1,j-1}^2)\right\}
>e^{x/72K-l}\)\\
&\qquad\le e^{2l-x/72K}\le e^{-x/144K} =e^{-D_2x},
\endalign
$$
amint azt a feladatban \'all\'{\i}tottuk, felt\'eve, hogy $l\le\frac
x{288K}$. Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg az\'ert teljes\"ul,
mert $l=\log C+\log n-\log x\le 2\log n\le \frac{2x}{C_0}\le\frac
x{288K}$ a 8. feladat felt\'eteteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en, ha
ezekben a felt\'etelekben a $C_0$ konstanst el\'eg nagyra v\'alasztjuk,
\'es $n\ge n_0$, ahol $n_0$ alkalmas k\"usz\"obindex.
\item{9.)} A (8c) egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes minden $t=k2^{-l}$,
$k=1,\dots,2^l$, a $\bold B_0=\bigcapp_{k=1}^{2^l}\bold B(k2^{-l})$
halmazon. A 8. feladat becsl\'ese alapj\'an $1-P(\bold B_0)\le 2^l
e^{-D_1x}\le \dfrac n{Cx} e^{-D_1x}\le ne^{-D_1x}\le e^{
x/C_0-D_1x}\le e^{-D_1x/2}$, ha a 9. feladat felt\'eteleiben
szerepl\H{o} $x\ge C_0\log n$ egyenl\H{o}tlens\'egben a $C_0$ konstanst
\'es az $n_0$ k\"usz\"obindexet el\'eg nagyra v\'alasztjuk.
\item{} Ez\'ert a (8c) egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l, illetve 8. feladat
els\H{o} fel\'enek az eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
P&\(\sup_{1\le k\le 2^n}\sqrt n |Z_n(k(2^{-l})-B(k2^{-l})|>\frac x2\) \\
&\qquad \le e^{-D_1x/2}+2^l  P\(4K\sum_{j=1}^l\(\bar U^2_{1,j}
+V^2_{1,j-1}(n)+1\)\ge\frac x2\)\\
&\qquad \le e^{-D_1x/2}+2^l  P\(18K\sum_{j=1}^l \bar U^2_{1,j-1}>x\)
+2^l P\(18K\sum_{j=1}^l V^2_{1,j-1}>x\).
\endalign
$$
Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egben kihaszn\'altuk hogy
$4K\summ_{j=1}^l1=4Kl\le\dfrac x{18}$, mert $l\le \log n\le \dfrac
x{C_0}\le \dfrac x{72K}$, ha a $C_0>0$ konstanst \'es az $n_0$
k\"usz\"obindexet, melyre $n\ge n_0$ a (9) rel\'aci\'o felt\'etel\'eben
el\'eg nagyra v\'alasztjuk. Ez\'ert a (10) formula eredm\'enye, a
8. feladat utols\'o egyenl\H{o}tlens\'ege \'es az el\H{o}z\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an a (9) kifejez\'es baloldala
fel\"ulr\H{o}l becs\"ulhet\H{o} a
$e^{D_1x/2}+2^l\(e^{-D_2x}+e^{-D_3x}\)$ kifejez\'essel. Mivel $2^l\le
n\le e^{\min (D_2,D_3)x/2}$, ha a $C_0>0$ \'es $n_0$ k\"usz\"obindexet
alkalmasan v\'alasztjuk a (9) formul\'aban, innen k\"ovetkezik a 9.
feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{10.)} Mivel $Z_n(t)=X_n(t)-Y_n(t)$,
$Z_n(t)^2\le 2X_n(t)^2+2Y_n(t)^2$, \'es
$$
\align
&P\(18\sum_{j=1}^l 2^jZ_n^2\(\frac{1}{2^{j-1}}\)>x\)\\
&\qquad \le P\(36\sum_{j=1}^l 2^j\(X^2_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)
+Y^2_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)\)>x\)  \\
&\qquad\le P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)
+P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jY_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\).
\endalign
$$
Ez a (12) formula.
\item{} Ha $\kappa_n$ $n$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\kappa_n-n$
momentumgener\'al\'o f\"uggv\'enye
$Ee^{t(\kappa_n-n)}=e^{-tn}\summ_{k=0}^\infty \dfrac{n^k}{k!}e^{-n+tk}=
e^{n(e^t-1-t)}$. Innen kapjuk, hogy mivel $n(e^t-t-1)
\le t^2$, ha $|t|\le1$, $Ee^{t(\kappa_n-n)}\le e^{nt^2}$, ha $|t|\le1$.
Ez\'ert $P(\kappa_n-n>y)\le e^{nt^2-ty}\le e^{-y^2/4n}$ $t=\frac
y{2n}$  v\'alaszt\'assal, ha $y\le 2n$. Hasonl\'oan,
$P(\kappa_n-n<-y)\le e^{-y^2/4n}$. A $\kappa_n-n$ eloszl\'as\'ar\'ol a
feladatban kiss\'e \'altal\'anosabban megfogalmazott
egyenl\H{o}tlens\'eg is \'erv\'enyes.
Ugyanis, ha az $|y|\le 2n$ felt\'etelt helyettes\'{\i}tj\"uk a $|y|\le
B_1n$ felt\'etellel, akkor az el\H{o}z\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg
\'erv\'enyben marad amennyiben a $-y^2/4n$ kitev\H{o}t a $-B_2y^2/n$
kitev\H{o}vel helyettes\'{\i}tj\"uk alkalmas $B_2>0$ konstanssal.
\item{} A (13) formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben jegyezz\"uk
meg, hogy mivel a (11c) formul\'aban defini\'alt $Y_n(t)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem negat\'{\i}vak, ez\'ert
$$
P\(72 K\sum_{j=1}^l 2^jY_n\(\frac1{2^{j-1}}\)^2>x\)\le  P\(
\(\sqrt{72K}\sum_{j=1}^l 2^{j/2} Y_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)\)^2>x\),
$$
\'es v\'eve a $\kappa_n-n=m$, $-\infty<m<\infty$ felt\'eteleket,
\'es felhaszn\'alva a (13) k\'eplet el\H{o}tt defini\'alt $\bar Y_{n,m}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oj\'at, kapjuk, hogy
$$
\aligned
&P\(\sqrt{72K}\sum_{j=1}^l
2^{j/2}\left|Y_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)\right|>\sqrt x\)\\
&\qquad=\sum_{m=-\infty}^\infty P\(\sqrt{72 K} \sum_{j=1}^l 2^{j/2}
\bar Y_{n,|m|} \(\frac{1}{2^{j-1}}\)>\sqrt x \)P(\kappa_n-n=m)\\
&\qquad\le P\(\sqrt{72 K} \sum_{j=1}^l 2^{j/2}
\bar Y_{n,B\sqrt {nx}} \(\frac{1}{2^{j-1}}\)>\sqrt x \)
P(|\kappa_n-n|\le B\sqrt {nx})\\
&\qquad \qquad +P(|\kappa_n-n|> B\sqrt {nx}).
\endaligned \tag2.3
$$
A (2.3) k\'eplet utols\'o rel\'aci\'oj\'at annak  \'eszrev\'etel\'evel
l\'athatjuk be, hogy a (2.3) formula m\'asodik sor\'aban szerepl\H{o}
szorzatban az els\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg az
$|m|=|\kappa_n-n|$ param\'eter monoton f\"uggv\'enye. Ha
r\"ogz\'{\i}tj\"uk az $M=B\sqrt{nx}$ sz\'amot, \'es az el\H{o}bb
tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre \'ugy adunk fels\H{o} becsl\'est,
hogy $|m|\le M$ eset\'en az $m$ param\'etert az $M$ sz\'ammal
helyettes\'{\i}tj\"uk, $|m|>M$ eset\'en pedig a trivi\'alis 1 fels\H{o}
becsl\'est adjuk, akkor megkapjuk a (2.3) rel\'aci\'o utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg\'et. A (13) k\'epletben fel\'{\i}rt els\H{o}
rel\'aci\'o a a (2.3) formula \'es az azt megel\H{o}z\H{o} rel\'aci\'o
egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye. V\'eg\"ul a (13) formula v\'eg\'en
fel\'{\i}rt azonoss\'ag egyszer\H{u} sz\'amol\'assal ad\'odik, ha a
(13) formul\'aba be\'{\i}rjuk az $\bar Y_{n,B\sqrt{nx}}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o definici\'oj\'at, az \'{\i}gy
kapott kett\H{o}s \"osszegben az \"osszegez\'est felcser\'elj\"uk,
\'es ebben a kifejez\'esben a $\zeta_k$, $1\le k\le B\sqrt{nx}$,
v\'altoz\'ot\'ol f\"ugg\H{o} tagok \"osszeg\'et egy $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oban egyes\'{\i}tj\"uk.
\item{} A $\xi_k=\xi_{k,l}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok a
f\"uggetlen $\zeta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggv\'enyei. Innen, illetve a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy ezek
f\"ug\-get\-le\-nek \'es egyforma eloszl\'as\'uak.
\item{11.)} A feladat felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$2^{l/2}\le\sqrt{\dfrac n{Cx}}$, \'es $\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}{\xi_k}
\le \dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}\dfrac{2^{(l+1)/2}}{\sqrt2-1}\le
\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n} \sqrt{\dfrac n{Cx}}\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2-1}
=\dfrac{\sqrt2}{(\sqrt2-1)\sqrt C}$. Ez\'ert
$\exp\left\{\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}{\xi_k}\right\}\le 1+\bar C
\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}{\xi_k}$ alkalmas $\bar C=\bar C(C)>0$ sz\'ammal,
\'es $E\exp\left\{\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}{\xi_k}\right\}\le 1+\bar C
\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}E{\xi_k}\le 1+\bar K \dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}$
alkalmas $\bar K=\bar K(C)$ sz\'ammal, amint ezt \'all\'{\i}tottuk,
mert $E\xi_k=\summ_{j=1}^l 2^{-j/2-1}\le \sqrt2+1$.
\item{} Innen kapjuk, hogy
$$
\align
P\(\frac{\sqrt{72 K}}{\sqrt n}\sum_{k=1}^{B\sqrt {nx}} \xi_k>\sqrt x\)
&=P\(\exp\left\{\frac{\sqrt x}{\sqrt n}\sum_{k=1}^{B\sqrt
{nx}}\xi_k\right\} >\exp\left\{\frac x{\sqrt{72 K}}\right\}\)\\
&\le\(1+\bar K\dfrac{\sqrt x}{\sqrt n}\)^{B\sqrt{nx}}\!\!
\exp\left\{-\frac x{\sqrt{72 K}}\right\}\le e^{B\bar Kx-x/{\sqrt{72
K}}}.
\endalign
$$
V\'alasszunk a fenti egyenl\H{o}tlens\'egben $B=\dfrac1{12\bar K\sqrt
K}$ sz\'amot. Ekkor az itt szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egr\H{o}l bel\'attuk, hogy kisebb, mint
$e^{-\const x}$. M\'asr\'eszt, a 10. feladat els\H{o}
\'all\'{\i}t\'asa alapj\'an a
$P(|\kappa_n-E\kappa_n|>B\sqrt{nx})<e^{-\const x}$ egyenl\H{o}tlens\'eg
is \'erv\'enyes. Ezekb\H{o}l a becsl\'esekb\H{o}l \'es a (13)
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a (14) formula.
\item{12.)} \"Osszegezve a (15) formul\'aban fel\'{\i}rt
egyenl\H{o}tlens\'egeket ($B=5$ egy\"utthat\'oval) kap\-juk, hogy
$$
\align
&72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2\\
&\qquad\le360K\sum_{j=1}^l 2^j \biggl(\sum_{k=j}^{l} 2^{(k-j)/2}
\[X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)-X_n\(\frac1{2^{k}}\)\]^2
+2^{(l-j)/2} X_n^2\(\frac1{2^{l}}\)\biggr)\\
&\qquad=360K\sum_{k=1}^l 2^k \[X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)
-X_n\(\frac1{2^{k}}\)\]^2\sum_{j=1}^k 2^{(j-k)/2}\\
&\qquad\qquad\hskip3truecm +360K\sum_{j=1}^{l} 2^{(l+j)/2}
X_n^2\(\frac1{2^{l}}\)\\
&\qquad \le 1500K\(\sum_{k=1}^l 2^k
\[X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)-X_n\(\frac1{2^{k}}\)\]^2
+2^l X_n^2\(\frac1{2^{l}}\)\).
\endalign
$$
A $2^k X_n\(\frac1{2^{k-1}}\)-X_n\(\frac1{2^{k}}\)$, $1\le k\le l$,
\'es a $2^lX_n\(\frac1{2^{l}}\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es egy\"uttes eloszl\'asuk
megegyezik a (16) k\'epletben szerepl\H{o} f\"uggetlen, ott megadott
param\'eter\H{u}  $\eta_k$, $1\le k\le l$, Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol defini\'alt
$\dfrac{\eta_k-E\eta_k}{\sqrt n}$, $\le k\le l+1$, kifejez\'esek
egy\"uttes eloszl\'as\'aval. Ez\'ert az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik a (16) formula.
\item{} A $P(|\eta_k-E\eta_k|>u)\le2\exp2\left\{-\dfrac{u^2}
{8n2^{-k}}\right\}$ egyenl\H{o}tlens\'eget
$u<n2^{-k}$ esetben m\'ar bebizony\'{\i}tottuk a 10. feladatban. Az
ott bizony\'{\i}tott becsl\'es egy $\kappa_n$ $n$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'er\H{o}l ugyan\-is tetsz\H{o}leges
val\'os $n>0$ sz\'amra is \'erv\'enyes. (Ebben az
egyenl\H{o}tlens\'egben nem t\"orekedt\"unk \'eles becsl\'est adni.
Tov\'abb\'a ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget \'ugy fogalmaztuk meg, hogy
a $k=l+1$ esetet ne kelljen k\"ul\"on tekinteni.) Speci\'alisan,
$u=n2^{-k}$ v\'alaszt\'assal megkapjuk a  $P(|\eta_k-E\eta_k|\ge
n2^{-k})\le2\exp\left\{-\dfrac n{2^{(k+3)}}\right\}$ becsl\'est.
Az $E\exp\left\{n2^{-(k+4)}\bar\eta_k^2\right\} \le B$
egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk be
az $F_k(y)=F_{n,k}(y)=P(|\bar\eta_k|<y)$, $1\le k\le l+1$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, \'es jegyezz\"uk meg, hogy az eddig
bizony\'{\i}tottak alapj\'an $1-F_k(y)\le 2e^{-2^ky^2/8n}$. Ez\'ert
parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
E\exp\left\{\frac{2^{k-4}}n\bar\eta_k^2\right\}&=
\int\limits_0^{2^{-k}n}e^{2^ky^2/16n}F_k(\,dy)\\
&=\int\limits_0^{2^{-k}n}(1-F_k(y))\,de^{2^{k}y^2/16n}
-\[(1-F_k(y))e^{2^{k}y^2/16n}\]_0^{2^{-k}n}\\
&=\int\limits_0^{2^{-k}n}(1-F_k(y))\frac{2^ky}{8n}e^{2^ky^2/16n}\,dy
+1-(1-F_k({2^{-k}n}))e^{2^{-k}n/16}\\
&\le 2\int\limits_0^{2^{-k}n}\frac{2^ky}{8n}e^{-2^ky^2/16n}\,dy
+1-e^{-2^{-k}n/16}\\
&=2\int\limits_0^{2^{-k/2}n^{1/2}/4}2y e^{-y^2}\,dy
+1-e^{-2^{-k}n/16} \le B,
\endalign
$$
amint azt \'all\'{\i}tottuk.
\item{} A (17) formula bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'aljuk a (16)
formul\'at, az $\eta_k-E\eta_k$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok el\H{o}bb bevezetett csonk\'{\i}t\'as\'at, a $\bar\eta_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o definici\'oj\'at \'es az
$\eta_k-E\eta_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol
bebizony\'{\i}tott egyenl\H{o}tlens\'egeket. \'Igy kapjuk, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P\(72K\sum_{j=1}^l 2^jX_n\(\frac{1}{2^{j-1}}\)^2>x\)
\le P\(1500K\(\sum_{k=1}^{l} \frac{2^k}n\bar\eta_k^2+
\frac{2^l}n \bar\eta_{l+1}^2\)>x\)\\
&\hskip7truecm +\sum_{k=1}^{l+1}P\(|\eta_k-E\eta_k|>2^{-k}n\)\\
&\qquad \le P\(\exp\left\{\sum_{k=1}^{l} \frac{2^{(k-4)}}n\bar\eta_k^2+
\frac{2^{(l-4)}}n \bar\eta_{l+1}^2\right\}>\exp
\left\{\frac{x}{24000K}\right\} \)\\
&\qquad\qquad\qquad +2\sum_{k=1}^{l+1}e^{-n2^{-(k+3)}}\le
e^{Bl-x/24000K}+\const e^{-n2^{-(l+4)}}.
\endalign
$$
Ha $x>C_0\log n$ el\'eg nagy $C_0>0$ konstanssal, akkor $Bl-\dfrac
x{24000K}\le -\dfrac x{30000K}$ \'es $n 2^{-(l+4)}\ge\const x$, mert
ezen felt\'etelek mellett $Bl\le B\log n+\const\le
\dfrac{B}{C_0}x+\const\le\dfrac x{120000}$, ha a $C_0$ konstans el\'eg
nagy, \'es mivel $n2^{-l}\ge Cx$, ez\'ert $n 2^{-(l+4)}\ge\const x$. E
rel\'aci\'okb\'ol \'es az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
k\"ovetkezik a (17) formula.
\item{}  A (10) egyenl\H{o}tlens\'eg egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye a
(12), (14) \'es (17) formul\'aknak, a (9) rel\'aci\'o pedig a 9. feladat
eredm\'enye alapj\'an k\"ovetkezik a (10) egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l
\'es a 7. \'es 8. feladat eredm\'enyeib\H{o}l.
\item{13.)} Mind egy $W(t)$ Wiener folyamat mind egy $X_n(t)$
standardiz\'alt Poisson folyamat f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u}
folyamat, \'es teljes\"ulnek az $EW(t)=0$ \'es $EX_n(t)=0$
azonoss\'agok minden $0\le t\le1$ sz\'amra. Tov\'abb\'a
a Wiener folyamat trajekt\'ori\'ai folytonos a standardiz\'alt
Poisson folyamat trajekt\'ori\'ai pedig cadlag (jobbr\'ol foly\-to\-nos
baloldali hat\'ar\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}) f\"uggv\'enyek.
Ez\'ert a feladatsorban megfogalmazott Lemma
alkalmazhat\'o mind a $\pm B(t)$ mind a $\pm X_n(t)$ folyamatokra.
\item{} Mivel $W(t)$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $t$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ez\'ert $Ee^{\pm
sW(t)}=e^{ts^2/2}$, \'es a Lemma utols\'o egyenl\H{o}tlens\'ege
alapj\'an
$$
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\pm\sqrt nW(t)>y\)\le
\exp\left\{ns^2L\frac y{2n}-sy\right\}
$$
tetsz\H{o}leges $s>0$ sz\'ammal. Ebb\H{o}l az
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l $s=\frac 1L$ v\'alaszt\'assal
meg\-kap\-juk a (18a) egyenl\H{o}tlens\'eg analogonj\'at a Wiener
folyamatra $\alpha=\frac1{2L}$ param\'eterrel.
\item{} A (18b) egyenl\H{o}tlens\'eg analogonj\'anak a
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa hasonl\'o. Az $X_n(t)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o egy $\sqrt nt$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o minusz annak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke. Ez\'ert, mint azt p\'eld\'aul a 10. feladat
megold\'as\'aban megmutattuk $e^{\pm sX_n(t)}\le e^{s^2\sqrt nt}$, ha
$0\le s\le 1$. Ez\'ert a Lemma alkalmaz\'as\'aval kapjuk, hogy
$$
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\pm\sqrt nX_n(t)>y\)\le
e^{s^2L y-sy}=e^{-y/4L}
$$
$s=\frac1{2L}$ v\'alaszt\'assal, ha $L\le\frac12$, \'es \'{\i}gy $s\le
1$. Ha $L\le\frac12$ akkor, felhaszn\'alva azt, hogy a (18b)
k\'eplet baloldal\'an lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az $L$
param\'eter monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'enye kapjuk, hogy a (18b)
becsl\'es ebben az esetben is \'erv\'enyes ugyanazzal az $\alpha$
egy\"utthat\'oval mint $L=\frac12$ esetben. (Val\'oj\'aban, ebben
az esetben a becsl\'est jav\'{\i}tani lehet, de erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk.)
\item{14.)} A (18a) formula bizony\'{\i}t\'as\'at megkapjuk a Brown
bridge-nek a feladatban megfogalmazott rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-ja
\'es a 13. feladat eredm\'enye alapj\'an a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
\align
&P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|B(t)|>y\)\le
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|W(t)|>\frac y2\)\\
&\quad\; +P\(\sqrt n L\frac yn|W(1)|\ge \frac y2\)
\le 2e^{-\alpha y}+P\(|W(1)|\ge \frac{\sqrt n}{2L}\)\le
2e^{-\alpha y}+2e^{-n/8L^2}.
\endalign
$$
A (18a) formula innen k\"ovetkezik a $0<y\le n$  felt\'etel miatt.
\item{} A (18b) formula hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o a (11a)---(11c)
formul\'akban defini\'alt Poisson approxim\'aci\'o \'es a 13. feladat
eredm\'enye alapj\'an. Ezek alapj\'an kapjuk, hogy
$$
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|Z_n(t)|>y\)\le 2e^{-\alpha y}+
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|Y_n(t)|>\frac y2\), \tag2.4
$$
ahol az $Y_n(t)$ sorozatot a (11c) formula defini\'alja. A (2.4)
egyenl\H{o}tlens\'eg jobb\-ol\-da\-l\'a\-nak m\'asodik tagj\'at a 11.
feladat m\'odszer\'ehez hasonl\'oan becs\"ulhetj\"uk. Tekints\"uk az
$Y_n(t)$ folyamat felt\'eteles
eloszl\'as\'at a $\kappa_n=m$, $m=0,\pm1,\pm2,\dots$, felt\'etelek
mellett. Ekkor a
 (2.3) formula bizony\'{\i}t\'as\'anak \'ervel\'es\'ehez hasonl\'oan kapjuk,
hogy
$$
\aligned
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|Y_n(t)|>\frac y2\)&\le
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|\bar Y_{n,B\sqrt{ny}} (t)|>\frac
y2\) \\
&\qquad +P\(|\kappa_n-n|>B\sqrt {ny}\),
\endaligned \tag2.5
$$
ahol az $\bar Y_{n,m}(t)$ folyamatot a 10. feladat
megfogalmaz\'as\'aban a (13) formula el\H{o}tt defini\'altuk,
$\kappa_n$ az $Y_{n}(t)$ folyamatnak a (11) formul\'aban megadott
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $n$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $B>0$
tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v sz\'am. A (2.5) formula jobboldala
j\'ol becs\"ulhet\H{o} a k\"ovetkez\H{o} \'atalak\'{\i}t\'asok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$$
\align
&P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|\bar Y_{n,B\sqrt{ny}} (t)|>\frac
y2\) =P\(\sqrt n\bar Y_{n,B\sqrt{ny}}\(\frac{Ly}n\)\ge \frac y2\)\\
&\qquad =P\(\sum_{j=1}^{B\sqrt ny}\chi_j>\frac y2\)\le
\(Ee^{\chi_1}\)^{B\sqrt{ny}}e^{-y/2},
\endalign
$$
ahol $\chi_1,\chi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$P(\chi_1=1)=1-P(\chi_1=0)=L\dfrac yn$. Ez\'ert felhaszn\'alva az
$y\le n$ felt\'etelt kapjuk, hogy $Ee^{\chi_1}=1+\dfrac{Ly}n(e-1)\le
\exp\left\{(e-1)\dfrac{Ly}n\right\}\le
\exp\left\{L(e-1)\sqrt{\dfrac{y}n}\right\}$.
\item{} Alkalmazzuk az az el\H{o}z\H{o} becsl\'eseket $B=\dfrac1{6L}$
v\'alaszt\'assal \'es a 10. feladat meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ban adott
becsl\'est a $\kappa_n-n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'er\H{o}l. Ezekb\H{o}l
az eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
P\(\sup_{0\le t<L\tfrac yn}\sqrt n|\bar Y_{n,B\sqrt{ny}} (t)|>\frac
y2\)\le \(Ee^{\chi_1}\)^{\sqrt{ny}/6L}e^{-y/2}\le e^{(e-1)y/6-y/2}\le
e^{-y/6},
$$
\'es $P\(|\kappa_n-n|>\dfrac1{6L}\sqrt{yn}\)\le e^{-\const y}$. Ezek a
becsl\'esek fels\H{o} korl\'atot szol\-g\'al\-tat\-nak a (2.5)
formul\'aban szerepl\H{o} kifejez\'esre $B=\dfrac1{6L}$
v\'alaszt\'assal, \'es innen k\"ovetkezik, hogy a (2.4) formul\'aban
szerepl\H{o} kifejez\'es kisebb, mint $2e^{-\alpha y}$ alkalmas
$\alpha>0$ konstanssal. A 14. feladat \'all\'{\i}t\'as\'at ezzel
bel\'attuk.
\item{15.)} V\'alasszunk olyan $C_0>0$, $C>0$ \'es $D>0$ sz\'amokat
\'es $n_0$ k\"usz\"obindexet, melyekre minden a $C_0\log n\le x\le
C^{-1}n$ \'es  $2^{-l}\ge C xn^{-1}$ felt\'eteleket
kiel\'eg\'{\i}t\H{o} $x>0$ val\'os \'es $l>0$  eg\'esz sz\'amra
teljes\"ul a (9) rel\'aci\'o, ha $n\ge n_0$. El\H{o}sz\"or azt a
kiss\'e gyeng\'ebb \'all\'{\i}t\'ast l\'atjuk be, hogy  az
Approxim\'aci\'os t\'etel felt\'etelben megadott becsl\'es teljes\"ul
minden $C_0\log n\le x\le C^{-1}n$ sz\'amra, ha $n\ge n_0$ \'es $0<x\ge
C^{-1}n$ ezekkel az $n_0$ \'es $C$ sz\'ammal.
\item{} Defini\'aljuk azt az $l=l(x)$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot,
melyre $2Cxn^{-1}>2^{-l}\ge C xn^{-1}$ az el\H{o}bb tekintett $C>0$
sz\'ammal. A 14. feladatban bebizony\'{\i}tott (18a) \'es (18b)
rel\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel megmutatjuk, hogy
$$
\aligned
P\(\sup_{1\le k\le 2^l}\sup_{(k-1)2^{-l}\le t<k2^{-l}}\sqrt n
\left|B(t)-B\(\frac {(k-1)}{2^l}\) \right|>\frac x4\)&\le
e^{-\alpha x},\\
P\(\sup_{1\le k\le 2^l}\sup_{(k-1)2^{-l}\le t<k2^{-l}}\sqrt
n\left|Z_n(t)-Z_n\(\frac {(k-1)}{2^l}\)\right|>\frac x4\)&\le
e^{-\alpha x}
\endaligned \tag2.6
$$
alkalmas $\alpha>0$ \'es az el\H{o}bb defini\'alt $l=l(x)$ sz\'amokkal,
ha $x\ge C_0\log n$ alkal\-mas $C_0>0$ sz\'ammal. A (2.6) rel\'aci\'o
bel\'at\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy a (18a) \'es (18b)
formula baloldal\'an szerepl\H{o} szupr\'emumban a $0\le t\le L\dfrac
yn$ tartom\'any helyettes\'{\i}thet\H{o} egy $u\le t\le u+L\dfrac yn$
tartom\'annyal, ha $0\le u\le 1-\dfrac yn$, mert az ezzel a
helyettes\'{\i}t\'essel kapott kifejez\'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
megegyezik az eredeti kifejez\'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel.
Megmutatjuk, alkalmazva a (18a) \'es (18b) formul\'anak ezt a
m\'odos\'{\i}t\'as\'at $y=\dfrac x4$, $L=\dfrac 8C$ \'es
$u=(k-1)2^{-l}$, $1\le k\le 2^l$ v\'alaszt\'assal, hogy a (2.6)
kifejez\'es baloldal\'an szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisebbek mint $2^{l+1}e^{-\alpha x}$. Ehhez elegend\H{o} azt
ellen\H{o}rizni, hogy az ottani kifejez\'esekben szerepl\H{o}
bels\H{o} szupr\'emumot $2^{-l}\le 2\dfrac x{Cn}=L\dfrac x{4n}$
hossz\'u intervallumokban vett\"uk, \'es a k\"uls\H{o}
szupr\'emum $2^l$ tagb\'ol \'all. V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy
$2^{l+1}\le \dfrac{2n}{Cx}\le n\le e^{\alpha x/2}$, ha $x\ge C_0\log n$,
azaz $n\le e^{x/C_0}$ el\'eg nagy $C_0$ sz\'ammal. Innen
k\"ovetkezik a (2.6) formula ($\alpha/2>0$ param\'eterrel az
$\alpha>0$ param\'eter helyett.)
\item{} Az approxim\'aci\'os t\'etel \'all\'{\i}t\'asa (ebben a
n\'emileg gyeng\'{\i}tett form\'aban) egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye a
(9) \'es (2.6) formul\'aknak. Ugyanis adva egy $0\le t\le1$ sz\'am,
tekints\"uk azt a $k=k(t)$, $1\le k\le 2^l$ sz\'amot, melyre
$(k-1)2^{-l}\le t<k2^{-l}$. Ekkor a (9) \'es (2.6) formula alapj\'an
$x\le C_0\log n$ eset\'en
$$
\align
&\sqrt n\left|Z_n(t)-B(t)\right|\le \sqrt
n\left|Z_n\((k-1)2^{-l}\)-B\((k-1)2^{l}\)\right|\\
&\qquad+\sqrt n\left|B(t)-B\((k-1)2^{-l}\)\right|
+\sqrt n\left|Z_n(t)-Z_n\((k-1)2^{-l}\)\right|\le x
\endalign
$$
kiv\'eve egy a $0\le t\le1$ sz\'amt\'ol f\"uggetlen $e^{-Dx}+2e^{-\alpha
x}$ m\'ert\'ek\H{u} halmazt, teh\'at
az approxim\'aci\'os t\'etel igaz $C_0\log n <x\le C^{-1}n$ eset\'en.
Az $x\le C_0\log n$ esetben az \'all\'{\i}t\'as teljes\"ul, ha az
Approxim\'aci\'os t\'etelben szerepl\H{o} $C_1$ konstanst el\'eg nagyra
v\'alasztjuk.
\item{} Az $x\ge C^{-1}n$  esetben a (18a) \'es (18b) k\'epletek
alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\aligned
&P\(\sqrt n\sup_{0\le t\le 1}|Z_n(t)-B(t)|>x\)\\
&\qquad\le P\(\sqrt n\sup_{0\le t\le 1}|B(t))|>\frac x2\)+
P\(\sqrt n\sup_{0\le t\le 1}|Z_n(t))|>\frac x2\) \\
&\qquad \le e^{-Cx^2/n}\le
e^{-\bar Cx}
\endaligned \tag2.7
$$
alkalmas $C>0$ \'es $\bar C>0$ konstansokkal. Megjegyezz\"uk, hogy
a (18a) \'es (18b)  k\'epletekben szerepel a $0\le\frac x2\le n$
felt\'etel. (A $C^{-1}n\le x\le n$ felt\'etel miatt ugyanaz az ott
megadott fels\H{o} becsl\'es nagys\'agrendje, ha a kitev\H{o}ben $x$-t
vagy $\frac{x^2}n$-et \'{\i}runk. Az itt megadott formula a becsl\'es
term\'eszetes alakja az \'altal\'anos esetben.) A (2.7) k\'eplet
m\'asodik sor\'anak els\H{o} tagja hasonl\'oan becs\"ulhet\H{o} minden
$x>C^{-1}n$ sz\'amra, mint a (18a) k\'epletben szerepl\H{o} kifejez\'es,
mely a Brown bridge szupr\'emum\'ara ad becsl\'est. (Ennek a
becsl\'esnek a bizony\'{\i}t\'as\'aban a Brown bridge-nek a Wiener
folyamattal val\'o reprezent\'aci\'oj\'at haszn\'altuk, \'es nem
haszn\'altuk ki az $x\le n$ felt\'etelt.) A (18b) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'aban haszn\'alt Poisson approxim\'aci\'o az
$x\gg n$ esetben nem ad j\'o becsl\'est, de az $\frac x2>n$
esetben erre az approxim\'aci\'ora nincsen sz\"uks\'eg\"unk.
Ugyanis a trivi\'alis
$$
P\(\sqrt n\supp_{0\le t\le 1}|Z_n(t))|>n\)=0
$$
azonoss\'ag \'erv\'enyes, \'es ebbben az esetben ez haszn\'alhat\'o.
Ez\'ert a (2.7) formula igaz, \'es az Approxim\'aci\'os T\'etel az
$x\ge C^{-1}n$ esetben is \'erv\'enyes.
\item{} B\'ar az $n\le n_0$ eset k\"ul\"on vizsg\'alat\'anak nincs
jelent\H{o}s\'ege, megjegyezz\"uk, hogy az Approxim\'aci\'os T\'etel
ebben az esetben is igaz. Ehhez el\'eg azt \'eszrevenni, hogy amiatt,
hogy $n$ korl\'atos, a (2.7) egyenl\H{o}tlens\'eg m\'asodik \'es
ez\'ert els\H{o} sora is kisebb, mint $C_1e^{-C_2x}$ minden $x\ge0$
sz\'amra alkalmas $C_1>0$ \'es $C_2>0$ konstansokkal.
 
\vfill\eject
 
\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es
 
{\bf A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}
 
Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\tau$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot (meg\'all\'asi szab\'alyt), mely azt sz\'a\-mol\-ja, hogy
az $S_k=\summ_{j=1}^k\xi_k$, $k=1,\dots,n$ r\'eszlet\"osszegek sorozata
mely indexre lesz el\H{o}sz\"or nagyobb, mint a kijel\"olt $x>0$ sz\'am.
$$
\tau=\tau(x,n)=\cases \min\{k\: S_k> x\} &\text{ha }\supp_{1\le k\le
n}S_k> x\\
n &\text{ha }\supp_{1\le k\le n}S_k\le x
\endcases \quad .
$$
Mivel $P\(\supp_{1\le k\le n}S_k> x\)=P\(S_\tau> x\)$ ez\'ert a
Lemma els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg\'et term\'eszetes \'es lehets\'eges
\'ugy bizony\'{\i}tani, hogy j\'o becsl\'est adunk az $S_\tau$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{sS_\tau}$
exponenci\'alis momentum\'ara.
 
A marting\'alelm\'elet standard eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$Ee^{sS_\tau}\le Ee^{sS_n}$ tet\-sz\H{o}\-le\-ges $s\ge0$ sz\'amra.
Ehhez c\'elszer\H{u} bel\'atni, hogy minden $s\ge0$ sz\'amra az
$(e^{sS_k},\Cal F_k)$, $k=1,\dots,n$, sorozat, ahol $\Cal
F_k=\sigma(\xi_1,\dots,\xi_k)$ a $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebra szuper-marting\'al, azaz $E\(e^{sS_{k+1}}|\Cal F_k\)\ge
e^{sS_k}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ezt az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get nem neh\'ez bel\'atni felhaszn\'alva a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait valamint azt, hogy
$e^{sS_{k+1}}=e^{sS_k}e^{s\xi_{k+1}}$, \'es a $\xi_{k+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az $\Cal F_k$
$\sigma$-algebr\'at\'ol. Innen k\"ovetkezik, hogy $E\(e^{sS_{k+1}}|\Cal
F_k\)=e^{sS_k} Ee^{s\xi_{k+1}}\ge e^{sS_k}$, mert
$Ee^{s\xi_{k+1}}\ge e^{Es\xi_{k+1}}\ge1$ a Jensen
egyenl\H{o}tlens\'eg \'es az $E\xi_{k+1}\ge0$ felt\'etel alapj\'an.
 
A marting\'alelm\'elet egy alapvet\H{o} (\'es egyszer\H{u})
eredm\'enye alapj\'an abb\'ol, hogy az $(e^{sS_k},\Cal F_k)$,
$k=1,\dots,n$, sorozat szupermarting\'al \'es a $\tau$ (meg\'all\'asi
szab\'aly) teljes\'{\i}ti a $\tau\le n$ egyenl\H{o}tlens\'eget egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik, hogy $Ee^{sS_\tau}\le
Ee^{sS_n}$. Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget nem neh\'ez bel\'atni, de
mivel az itt haszn\'alt \'ervel\'es l\'enyegesen k\"ul\"onb\"ozik a
feladatsorban t\'argyalt m\'odszerekt\H{o}l, ezt elhagyjuk.
\'Erdemes meg\-je\-gyez\-ni, hogy ennek az egyenl\H{o}tlens\'egnek a
szeml\'eletes tartalma az, hogy egy el\H{o}ny\"os j\'at\'ekban min\'el
tov\'abb j\'atszunk ann\'al nagyobb a v\'arhat\'o nyerem\'eny\"unk.
 
A exponenci\'alis momentumra adott \'es (r\'eszben) bizony\'{\i}tott
becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\align
P\(\supp_{1\le k\le n}S_k> x\)&=P\(S_\tau> x\)=P\(e^{sS_\tau}>e^{sx}\)
\le Ee^{sS_\tau}e^{-sx} \\
&\le E e^{sS_n}e^{-sx}=\exp\left\{-sx+\sum_{k=1}^n B_k(s)\right\},
\endalign
$$
\'es ez a Lemma els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa.
 
A feladat m\'asodik \'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra a
$t_{k,n}=a+(b-a)k2^{-n}$, $0\le k\le 2^n$, sz\'amokat, \'es a
$\xi_{k,n}=X(t_{k,n})-X(t_{k-1,n})$, $1\le k\le 2^n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor r\"ogz\'{\i}tett $n$
sz\'amra a $\xi_{k,n}$, $1\le k\le 2^n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, mivel az $X(t)$ folyamat f\"uggetlen
n\"ovekm\'eny\H{u}, \'es $X(t_{k,n})-X(a)=\summ_{j=1}^k\xi_{j,n}$,
$1\le k\le n$. Tov\'abb\'a $E\xi_{k,n}\ge0$ minden $1\le k\le n$-re,
\'es mivel az $X(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat trajekt\'ori\'ai folytonos vagy cadlag (jobbr\'ol folytonos
\'es baloldali hat\'ar\'ert\'ekkel rendelkez\H{o}) f\"uggv\'enyek,
ez\'ert tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
\left\{\oo\:\supp_{a\le t\le b}\(X(t,\oo)-X(a,\oo)\)>x\right\}
=\bigcupp_{n=1}^\infty\left\{\oo\: \supp_{1\le k\le
2^n}\(X(t_{k,n},\oo)-X(a,\oo)\)>x\right\}.
$$
Ezenk\'{\i}v\"ul az utols\'o rel\'aci\'o jobboldal\'an az uni\'oban
szerepl\H{o} halmazok egy az $n$ pa\-ra\-m\'e\-ter szerint
n\"ovekv\H{o} halmazsorozatot alkotnak. Innen \'es a Lemma m\'ar
bizony\'{\i}tott r\'esze alapj\'an
$$
\align
P\(\sup_{a\le t\le b} (X(t)-X(a))>x\)&=\lim_{n\to\infty}
P\(\supp_{1\le k\le 2^n}\(X(t_{k,n})-X(a)\) >x\) \\
&\le\lim_{n\to\infty}  e^{-sx}\prod_{k=1}^{2^n}Ee^{s\xi_{k,n}}
=e^{-sx}Ee ^{s(X(b)-X(a))}.
\endalign
$$
Ezzel a lemma mindk\'et \'all\'{\i}t\'as\'at bel\'attuk.
 
 \bye