\magnification=\magstep1 \hsize=16truecm \input amstex \TagsOnRight \parindent=20pt \parskip=3pt plus 1pt \define\A{{\bold A}} \define\BB{{\bold B}} \define\DD{{\bold D}} \define\T{{\bold T}} \define\U{{\bold U}} \define\({\left(} \define\){\right)} \define\[{\left[} \define\]{\right]} \define\e{\varepsilon} \define\oo{\omega} \define\const{\text{\rm const.}\,} \define\supp {\sup\limits} \define\inff{\inf\limits} \define\summ{\sum\limits} \define\prodd{\prod\limits} \define\limm{\lim\limits} \define\limsupp{\limsup\limits} \define\liminff{\liminf\limits} \define\bigcapp{\bigcap\limits} \define\bigcupp{\bigcup\limits} \beginsection Nagy elt\'er\'esek elm\'elete. A Szanov t\'etel. Egy el\H oz\H o feladatsorban, a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban annak az esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'altuk, hogy f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'oszin\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga egy a v\'arhat\'o \'ert\'ekn\'el nagyobb sz\'amot vesz fel. Az ottani eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ha $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, akkor az $\frac{S_n}n$ \'atlag $F_n(y|x)=P\left.\(\frac{S_n}n\ge y\right|\frac{S_n}n\ge x\)$ felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-sa $y>x>E\xi_1$ eset\'en teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}F_n(y|x)=0$ tulajdons\'agot. Ezt \'ugy is interpret\'alhatjuk, hogy ha az \'atlag nagyobb mint $x$, akkor az ezen felt\'etel mellett majdnem egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel az $x$ pont kis k\"ornyezet\'ebe van koncentr\'alva. Teh\'at eme felt\'etel mellett az \'atlag eloszl\'asa er\H osen lokaliz\'alt. Egy enn\'el er\H{o}sebb lokaliz\'aci\'os tulajdons\'agot k\'{\i}v\'anunk megfogalmazni \'es be\-bi\-zo\-ny\'{\i}\-ta\-ni. Ez azt a t\'enyt fejezi ki, hogy alkalmas \'es nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett nemcsak az \'atlag, hanem az \"osszeadand\'ok, azaz a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor egy\"uttes felt\'eteles eloszl\'asa is er\H{o}sen lokaliz\'alt az adott felt\'etelek mellett. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast akarjuk pontosan megfogalmazni, \'es annak n\'eh\'any \'erdekes k\"ovetkezm\'eny\'et levezetni. Ennek \'erdek\'eben bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} fogalmat. Ha $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy v\'eges sorozata, akkor defini\'aljuk ezek $\mu_n$ empirikus eloszl\'as\'at a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: A $(\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal meghat\'arozott $\mu_n=\mu_n(\oo)$ empririkus eloszl\'as (v\'eletlen) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen. Tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $\A\subset R^1$ halmazra $\mu_n(\A)=\frac1n\cdot\#\{j\colon\; 1\le j\le n,\;\xi_j\in\A\}$. Tekints\"uk a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ vektor empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a felt\'eteles el\-osz\-l\'a\-s\'at bizonyos felt\'etelek mellett. (P\'eld\'aul az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k>nx$ felt\'etel mellett.) ``Tipikus esetekben" ez a (v\'eletlen) felt\'eteles eloszl\'as egy el\H o\'{\i}rt eloszl\'asf\"uggv\'eny k\"ozel\'eben koncentr\'al\'odik nagy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel. Ezt az eloszl\'ast annak az \'eszrev\'etelnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel tal\'alhatjuk meg, hogy az adott felt\'etel mellett az empirikus eloszl\'as ennek az eloszl\'asnak a k\"ozel\'ebe esik a legnagyobb va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. \'Igy azt meg lehet hat\'arozni egy vari\'aci\'os probl\'ema megold\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ilyen m\'odon is lehet vizsg\'alni a nagy elt\'er\'esek elm\'elet\'et, s\H ot bizonyos probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban ez a m\'odszer hat\'asosabb mint a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor m\'odszere. Viszont e m\'odszer alkalmaz\'as\'ahoz sz\"uks\'eg van a (bizony\'{\i}tand\'o) nagy elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'as\'ara \'altal\'anosabb terekben. A nagy elt\'er\'es t\'etelt csak olyan t\'erben tudjuk megfogalmazni, ahol van \'ertelme k\"ozels\'egr\H ol besz\'elni. Ez\'ert term\'eszetes lenne metrikus terekben dolgozni. De mivel fontos esetekben ilyen m\'odon sokkal tartalmasabb ered\-m\'enyt kapunk, ez\'ert \'erdemes a nagy elt\'er\'es t\'etelt topol\'ogikus terekben megfogalmazni \'es vizsg\'alni. \medskip \noindent {\bf Nagy elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'asa topol\'ogikus terekben.} {\it Legyen adva egy $(X,\Cal X)$ topol\'ogikus t\'er, \'es legyen $\Cal A$ a topol\'ogia \'altal defini\'alt $\sigma$-algebra. Tegy\"uk fel, hogy az $(X,\Cal X)$ t\'er \'ugynevezett $T_3$ t\'er, azaz tetsz\H oleges $x\in X$ pontra \'es olyan z\'art $\bold F$ halmazra, amelyre $x\notin\bold F$ l\'eteznek olyan diszjunkt ny\'{\i}lt $\bold G_1$ \'es $\bold G_2$ halmazok, amelyekre $x\in \bold G_1$ \'es $\bold F\subset \bold G_2$. Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren. Azt mondjuk, hogy az $(X,\Cal X)$ t\'eren \'ertelmezett $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etelt egy $I(x)$, $x\in X$, f\"uggv\'ennyel, amely\-re $I(x)\ge0$, (\'es $I(x)$ felveheti a $\infty$ \'ert\'eket is), ha \item{i.)} Az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos, azaz minden $\e>0$ sz\'amra \'es $x\in X$ pontra az $\{y\colon\;I(y)>I(x)-\e\}$ halmaz az $x$ pont ny\'{\i}lt k\"ornyezete. \item{ii.)} $\limsup\limits_{n\to\infty}-\frac1n \log \mu_n(\bold G)\le \inff_{x\in \bold G} I(x)$ minden ny\'{\i}lt $\bold G\subset X$ halmazra. \item{iii.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\frac1n \log \mu_n(\bold F)\ge \inff_{x\in \bold F} I(x)$ minden z\'art $\bold F\subset X$ halmazra.} \medskip B\'ar a nagy elt\'er\'es t\'etelt \'altal\'anos topol\'ogikus terekben fogalmaztuk meg, r\'esz\-le\-te\-seb\-ben csak azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a tekintett t\'er egy m\'erhet\H o t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tere al\-kal\-mas topol\'ogi\'aval. A minket legink\'abb \'erdekl\H{o} eset az, amikor valamilyen t\'eren (p\'eld\'aul a sz\'amegyenesen) defini\'alt f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'esz\'{\i}tett empirikus eloszl\'asokat tekintj\"uk, az adott t\'eren lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeket ell\'atjuk alkalmas topol\'ogi\'aval, \'es azt akarjuk bel\'atni, hogy az empirikus eloszl\'asok, mint ezen t\'er val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekein \'er\-tel\-me\-zett v\'eletlen m\'ert\'ekek, (azaz megadjuk annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az empirikus eloszl\'as val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek egy csal\'adj\'aba esik) teljes\'{\i}tik a fent defini\'alt nagy elt\'er\'es t\'etelt. Ezenk\'{\i}v\"ul bizonyos feladatok arr\'ol sz\'olnak, hogy f\"uggetlen val\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-gei teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etelt az ebben a feladatsorban defini\'alt \'er\-te\-lem\-ben is. Az els\H o feladatban megmutatjuk, hogy a nagy elt\'er\'es t\'etelben szerepl\H o $I(x)$ f\"ugg\-v\'enyt a $\mu_n$ m\'ert\'ekek egy\'ertelm\H uen meghat\'arozz\'ak. \medskip \item{1.)} Teljes\'{\i}ts\'ek a $\mu_n$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek a nagy elt\'er\'es t\'etelt valamilyen $I(x)$ alulr\'ol folytonos f\"ugg\-v\'ennyel egy $(X,\Cal X)$ $T_3$ tulajdons\'ag\'u topol\'ogikus t\'erben. Minden $x\in X$-re teljes\"ulnek a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'ok: $$ \allowdisplaybreaks \align I(x)&=\sup\Sb \bold G\colon\; \bold G\text{ ny\'{\i}lt halmaz}\\ x\in\bold G\endSb \limsup_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(\bold G)\\ I(x)&=\sup\Sb \bold F\colon\; \bold F\text{ z\'art halmaz}\\ x\in \text{Int}\,\bold F \endSb \liminf_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(\bold F). \endalign $$ \medskip A k\"ovetkez\H o k\'et feladat, illetve az el\H ott\"uk megfogalmazott megjegyz\'es nem kap\-cso\-l\'o\-dik szorosan a feladatsorhoz. Viszont az elm\'elet tov\'abbi, itt nem t\'argyalt fi\-no\-m\'\i{}\-t\'a\-s\'a\-ban nagyon hasznos. A nagy elt\'er\'es t\'etel megfogalmaz\'as\'aban term\'eszetes, hogy a z\'art halmazok eset\'eben a iii.) tulajdons\'agban $\limsup$ \'es nem $\lim$ a ny\'\i{}lt halmazok eset\'en pedig a ii.) tulajdons\'agban $\liminf$ \'es nem $\lim$ szerepel. Z\'art halmazok eset\'en p\'eld\'aul az egy pontb\'ol \'all\'o halmazok \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlagainak eloszl\'asai mutatnak p\'eld\'at arra, hogy mi\'ert csak a iii.)-ban megfogalmazott gyeng\'ebb \'all\'\i{}t\'ast \'erdemes megk\"ovetelni. Az, hogy a nagy elt\'er\'es t\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en ii.) tulajdons\'agban nem mindig \'\i{}rhat\'o limesz p\'eld\'aul a feladatsor 8. feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik. A nagy elt\'er\'es t\'etel ii.) \'es iii.) tulajdons\'ag\'aban az\'ert nem \'\i{}rhatunk limeszt, mert egy halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a hat\'ara er\H osen befoly\'asolhatja a halmaz $\mu_n$ m\'ert\'ekeinek a viselked\'es\'et. Ilyen jelleg\H u probl\'em\'ak az anal\'\i{}zis m\'as ter\"ulet\'en is megjelennek. Ilyenkor term\'eszetes az \'all\'\i{}t\'as \'atfogalmaz\'asa halmazok indik\'atorf\"uggv\'enyei helyett folytonos f\"uggv\'enyek seg\'\i{}ts\'eg\'evel. Ez t\"ort\'enik a k\"ovetkez\H o, az irodalomban Varadhan lemm\'anak nevezett \'all\'\i{}t\'asban. Az\-ut\'an bel\'atjuk ennek az \'all\'{\i}t\'asnak egy megford\'{\i}t\'as\'at. De ebben a megford\'{\i}t\'asban a nagy elt\'er\'es t\'etelnek csak egy gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at l\'atjuk be, ahol a iii.) tulajdons\'agot z\'art halmazok helyett csak kompakt halmazokra fogalmazzuk meg. Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy konkr\'et esetekben a nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'aga z\'art nem kompakt halmazokra is \'erv\'enyes tov\'abbi finom \'ervel\'est ig\'enyel. \'Igy p\'eld\'aul az ebben a feladatsorban t\'argyalt Szanov t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban ez az egyik f\H o neh\'ezs\'eg. \medskip \item{2.)} Teljes\'\i{}tse egy $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eksorozat egy $(X,\Cal X)$ topol\'ogikus t\'er Borel $\sigma$-algebr\'aj\'an a nagy elt\'er\'es t\'etelt egy $I(x)$, $x\in X$, alulr\'ol f\'elig folytonos f\"uggv\'ennyel. Ekkor tetsz\H oleges folytonos, korl\'atos $g(x)$ f\"uggv\'enyre $$ \lim_{n\to\infty}\frac 1n\log\int e^{ng(x)}\mu_n(dx)=\sup_{x\in X} \{g(x)-I(x)\} $$ \item{3.)} Teljes\'{\i}tse egy $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'eksorozat a 2. feladatban fel\'{\i}rt azonoss\'agot valamilyen alulr\'ol folytonos, nem negat\'{\i}v $I(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel minden folytonos \'es kor\-l\'a\-tos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre egy $(X,\Cal X)$ topol\'ogikus t\'erben. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a, hogy az $(X,\Cal X)$ t\'er \'ugynevezett $T_{\rho}$ t\'er, azaz tetsz\H oleges $x\in X$ pontra \'es $\bold F\subset X$ z\'art halmazra, amelyre $x\notin\bold F$ l\'etezik olyan folytonos, kor\-l\'a\-tos $h(\cdot)$ f\"uggv\'eny, amelyre $h(x)=1$, \'es $h(u)=0$ $u\in \bold F$-re. Ekkor a $\mu_n$ m\'ert\'eksorozat teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etel ii.) \'es k\"ovetkez\H o iii$'$.) tulajdons\'ag\'at: \item{iii$'$.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\frac1n \log \mu_n(\bold K)\ge \inff_{x\in \bold K} I(x)$ minden kompakt $\bold K\subset X$ halmazra. \medskip A k\"ovetkez\H{o} 4.--8. feladatokban megmutatjuk, hogy a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban vizsg\'alt f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlagainak eloszl\'asai teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etelnek azt a form\'aj\'at is, amelyet ennek a feladatsornak az elej\'en fogalmaztunk meg. \medskip \item{4.)} Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o, amelyre $R(t)=Ee^{t\xi}<\infty$ el\'eg kis $t>0$-ra, \'es defini\'aljuk az $I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$ f\"uggv\'enyt minden $x\ge E\xi$ sz\'amra. ($R(t)=\infty$, ha $e^{t\xi}$ nem integr\'alhat\'o.) Az $I(x)$ f\"uggv\'eny monoton n\H{o}, \'es ha $E\xi0$-ra $\limm_{y>x,\,y\to x} I(y)=I(x)$. \medskip\noindent {\it Megjegyz\'es:}\/ Defini\'aljuk az $L=\sup\{x\colon\; I(x)<\infty\}$ sz\'amot. ($L=\infty$ lehets\'eges.) Az el\H{o}z\H{o} feladat szerint az $I(x)$ f\"uggv\'eny az $[E\xi,L)$ intervallumon folytonos, konvex \'es szigor\'uan monoton n\H{o}, s\H{o}t mint az al\'abbi \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel l\'athat\'o, ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes ennek az intervallumnak $[E\xi,L]$ lez\'artj\'an is. Tov\'abb\'a, ha $x>L$, akkor $I(x)=\infty$. K\"onnyen bizony\'{\i}that\'o az is, hogy $L<\infty$ akkor \'es csak akkor, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel fel\"ulr\H{o}l korl\'atos. Ha ugyanis $P(\xi>x)=A(x)>0$ minden $x>0$ sz\'amra, akkor $$ P\(\summ_{k=1}^n \xi_k>nx\)\ge e^{n\log A(x)}\quad\text{minden $n$-re,} $$ ahol $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlenek \'es a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okkal azonos el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak. Innen az erre az \"osszegre kapott fels\H{o} becsl\'es alapj\'an $I(x)\le-\log A(x)<\infty$. Ha viszont a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\"ulr\H{o}l korl\'atos, akkor az $R(t)=Ee^{t\xi}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges minden $t\ge0$-ra, \'es $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'<\infty$. Ekkor azonban (ld.\ p\'eld\'aul a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 12. feladat\'anak eredm\'eny\'et) $I(x)=\infty$ el\'eg nagy $x$-re. \medskip \item{5.)} Legyenek $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok a sz\'amegyenesen $R(t)=Ee^{t\xi_1}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'ennyel ($R(t)=\infty$, ha $e^{t\xi_1}$ nem integr\'alhat\'o), \'es jel\"olje $\mu_n$ a $\frac {S_n}n=\frac{\summ_{k=1}^n \xi_k}n$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at. Az egyszer\H us\'eg kedv\'e\'ert ebben a feladatban csak azt az esetet tekints\"uk, amikor az $Ee^{t\xi_1}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben. A $\mu_n$ m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etelt az $I(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel, ahol $I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\ge E\xi_1$, \'es $I(x)=\supp_{t\le 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\le E\xi_1$. \item{6.)} L\'assuk be a nagy elt\'er\'es t\'etelnek az ebben a feladatsorban megfogalmazott alakj\'at f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egek \'at\-la\-g\'a\-nak eloszl\'asaira az \'altal\'anos eset\-ben. Az \'altal\'anos esetben $I(x)=\supp_{t\ge 0}(tx-\log R(t))$ ha $x\ge E\xi_1$, \'es $I(x)=\supp_{t\le 0}(tx-\log R(t))$, ha $x\le E\xi_1$. Ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'onak nincs v\'arhat\'o \'ert\'eke (azaz a pozit\'{\i}v r\'esz v\'arhat\'o \'ert\'eke v\'egtelen, a negat\'{\i}v r\'esz v\'arhat\'o \'ert\'eke minusz v\'egtelen), akkor $I(x)=0\;(=\supp_t (R(t)-tx)=R(0))$ minden~$x$-re. \item{7.)} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o $R(t)=Ee^{t\xi}$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'enye el\'eg kis $t>0$-ra v\'eges, \'es $E\xi_1=-\infty$, akkor $\limm_{x\to-\infty}I(x)=\limm_{x\to-\infty}\supp_{t\ge 0}(tx-R(t))=0$. \item{8.)} F\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'anak az eloszl\'asa teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etel ii) tulajdons\'ag\'anak k\"ovetkez\H o \'elesebb form\'aj\'at is: \itemitem{ii$'$.)} $\limm_{n\to\infty}-\frac1n \log \mu_n(G)=\inff_{x\in G} I(x)$ minden ny\'{\i}lt halmazra. \item{} Adjunk p\'eld\'at val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$ sorozat\'ara a sz\'amegyenesen, amely teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etelt, de nem teljes\'{\i}ti a ii$'$.) tulajdons\'agot. A k\"ovetkez\H o feladatokban az empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny viselked\'es\'er\H ol adunk nagy elt\'er\'es tipus\'u becsl\'eseket, \'es ezekb\H ol vezetj\"uk le a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsorban bebizony\'{\i}tott nagy elt\'er\'es t\'etel (nehezebben bizony\'{\i}that\'o) als\'o becsl\'es\'et f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok \'atlag\'ara. Annak val\'osz\'{\i}n\H us\'ag\'ere adunk j\'o becsl\'est, hogy f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enye egy $G$, $G\neq F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny k\"ozel\'eben van, \'es ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel adunk becsl\'est a $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'anak eloszl\'as\'ara. Ennek a m\'odszernek az az el\H onye, hogy nem k\"ot\H odik er\H osen a sz\'amegyenes geometri\'aj\'ahoz. Ez\'ert \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb esetekben is al\-kal\-maz\-hat\'o, p\'eld\'aul olyankor, amikor az \"osszeadand\'ok egy az Euklideszi t\'ern\'el sokkal gazdagabb t\'erben veszik fel \'ert\'ekeiket. Ezekben a vizsg\'alatokban nagyon fontos az al\'abbiakban bevezetett $I$-divergencia fogalma. \medskip\noindent {\bf Az $I$-divergencia definici\'oja.} {\it Legyen $F$ \'es $G$ k\'et eloszl\'as a sz\'amegyenesen. (Az \'altal\'anos esetben legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek ugyanazon az $(Y,\Cal B)$ t\'eren.) A $G$ eloszl\'asnak az $F$ eloszl\'as szerinti $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at a k\"ovetkez\H o m\'odon defini\'aljuk: $$ I(G\|F)=\int_{\left\{u\colon\;\frac{dG}{dF}(u)>0\right\}} \log\frac {dG}{dF}(u) \,dG(u), $$ ha az $G$ eloszl\'as \'altal induk\'alt m\'ert\'ek abszolut folytonos az $F(x)$ \'altal induk\'alt m\'ert\'ekre, \'es $I(G\|F)=\infty$, ha az nem abszolut folytonos. \'Altal\'anosabban, egy $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti $I(\nu\|\mu)$ $I$-divergenci\'aj\'at az $$ I(\nu\|\mu)=\int \log \frac{d\nu}{d\mu}(y) \,d\nu(y) $$ k\'eplettel defini\'aljuk, ha $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es $I(\nu\|\mu)=\infty$ ha $\nu$ nem abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. A fenti integr\'al \'ugy \'ertend\H o, hogy a $\BB=\left\{y\colon\; \frac{d\nu}{d\mu}(y)=0\right\}$ halmazon, ahol $\log \frac{d\nu}{d\mu}(y)=-\infty$ \'es $\nu(\BB)=0$, $\nu(\BB)\cdot (-\infty)=0\cdot(-\infty)=0$.} \medskip A k\'es\H{o}bbiekben tekinteni fogunk egy r\"ogz\'{\i}tett $\mu$ m\'ert\'eket valamilyen m\'ert\'ekt\'eren vagy abban a speci\'alis esetben, ha a sz\'amegyenesen dolgozunk egy r\"ogz\'{\i}tett $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt a sz\'amegyenesen. Ha adva van egy $\xi_k(\oo)$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen $\mu$ eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozat, akkor elk\'esz\'{\i}tj\"uk e sorozat \'altal meghat\'arozott $\mu_n=\mu_n(\oo)$ empirikus m\'ert\'ekek sorozatat\'at. Be fogjuk l\'atni, hogy (ha alkalmas topol\'ogi\'at vezet\"unk be a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek ter\'en), akkor az empirikus m\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a nagy elt\'er\'es t\'etelt az $I(\cdot)=I(\cdot\|\mu)$ vari\'aci\'os f\"uggv\'ennyel. Tekints\"uk azt az esetet, amikor egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny van adva a sz\'amegyenesen, \'es $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $S_n(\oo)=\summ_{k=1}^n\xi_k(\oo)$, \'es $F_n(\oo,u)$ a $\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo))$ sorozat empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enye. Vegy\"uk \'eszre, hogy $\frac {S_n(\oo)}n=\int u\,F_n(\oo\,du)$, teh\'at az $$ A_n(x)=\left\{\oo\colon\; \frac{S_n(\oo)}n>x\right\} \quad \text{\'es} \quad \bar A_n(x)=\left\{\oo\colon\; \int u\,F_n(\oo,du)>x\right\} $$ halmazok megegyeznek. Mivel $x>E\xi_1$ esetben az $A_n(x)$ illetve $\bar A_n(x)$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere a nagy elt\'er\'esek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere az $I(\cdot)=\supp_{t\ge0}(tx-R(t))$, ahol $R(t)=E^{t\xi_1}$, illetve $\bar I(\cdot)=I(\cdot\|F)$ vari\'aci\'os f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel fejezhetj\"uk ki, ez\'ert a fenti \'ervel\'es sugallja az al\'abbi (a) formul\'aban megfogalmazott azonoss\'agot. A k\"ovetkez\H{o} 9. \'es 10. feladatban ezt az azonoss\'agot l\'atjuk be. A 9. feladatban azt az egyszer\H{u}bb esetet tekintj\"uk, amikor a $[\log R(t)]'=x$ egyenlet megoldhat\'o. Ekkor explicit m\'odon megadhat\'o az, hogy az azonoss\'ag k\'et oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es hol veszi fel a sz\'els\H{o}\'ert\'ek\'et. A 10.\ feladat az \'altal\'anos esettel foglalkozik. Ekkor az $I$-divergencia kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban hasonl\'o probl\'em\'ak \'es gondolatok jelennek meg, mint a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'ele: F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor megfelel\H{o} r\'esz\'eben. \medskip \item{9.)} Legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek egy $(Y,\Cal B)$ t\'eren. Ekkor $I(\nu\|\mu)\ge0$, \'es egyenl\H os\'eg csak $\mu=\nu$ eset\'en lehets\'eges. \item{} Legyen adva egy $F$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, \'es legyen $x\ge m=\int u\,dF(u)$. (Nincs ilyen $x$~sz\'am, ha $\int u\,dF(u)=\infty$, \'es tetsz\H oleges $x$ sz\'amot tekinthet\"unk, ha az $\int u\,dF(u)$ nem l\'etezik. Legyen $G$ egy m\'asik m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen. Ha az $R(t)=\int e^{tu}F(\,du)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny v\'eges valamely $t>0$-ra, \'es $\int uG(\,du)=x$, akkor $I(G\|F)\ge tx-\log R(t)$. L\'assuk be ennek az egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg\-nek egy b\'{\i}zonyos \'ertelm\H u megford\'{\i}t\'as\'at el\H osz\"or abban a speci\'alis esetben, amikor a $[\log R(t)]'=x$ egyenlet megoldhat\'o, \'es a megold\'as az $R(t)$ f\"uggv\'eny \'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak belsej\'eben van, ahol $R(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{tu} F(\,du)$. Azaz, mutassuk meg, hogy e felt\'etelek mellett $$ \inf_{G\colon\;\int u\,dG(u)\ge x} I(G\|F)=\sup_{t\ge0}\( tx-\log R(t)\),\quad \text{ahol } R(t)=\int e^{tu}F(\,du) \tag a $$ Ebben az esetben az (a) formula baloldal\'an az infimum, a jobboldal\'an pedig az az szupr\'emum felv\'etetik. A baloldalon az infimum a $G(du)=F_t(u)=\frac{e^{tu}\,dF(u)}{R(t)}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekn\'el, a baloldalon a szupr\'emum a $[\log R(t)]'=x$ megold\'as\'an\'al \'eretik el. \item{10.)} L\'assuk be a 9. feladat (a) formul\'aj\'at tetsz\H{o}leges $F$ eloszl\'asra \'es $x\ge m=\int u\,dF(u)$ sz\'amra. Azt a speci\'alis esetet kiv\'eve, amikor az $R(t)$ f\"uggv\'eny minden $t\ge0$-ra \'ertelmezve van \'es $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=x$, minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan $G$ eloszl\'as, amelyre $x<\int u\, dG(u)0$ minden $1\le l\le k$-ra. Adva egy $\{y_1,\dots,y_n\}$ sorozat, amelyre az $y_s$, $1\le s\le n$ elemek mindegyike az $(x_1,\dots,x_k)$ pontok valamelyike, defini\'aljuk a $\chi_n(l)=\chi_n(l,y_1,\dots, y_n)=\frac1n\times\#\{s\colon\; 1\le s\le n,\; y_s=x_l\}$, $l=1,\dots,k$ sz\'amokat, azaz legyen $\chi_n(l)$ az $x_l$ sz\'amok relat\'{\i}v gyakoris\'aga az $y_1,\dots,y_n$ sorozatban. Jel\"olje $\mu^{(n)}$ a $\mu$ m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzat\'at az $\{x_1,\dots,x_k\}^n$ halmazon, azaz az $\{x_1,\dots,x_k\}$ halmaz $n$-szeres direkt szorzat\'an \"onmag\'aval. Ekkor tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra \'es $n>n(\e)$-ra $$ \aligned \exp&\left\{-n\(\sum_{l=1}^k q_l\log\frac{q_l}{p_l}+C(\e)\)\right\}\\ &\qquad\le \quad\mu^{(n)}\( |\chi_n(l)-q_l|<\e\;\text {minden } 1\le l\le k\text{ indexre}\)\\ &\qquad\qquad\quad\le \exp\left\{-n\(\sum_{l=1}^k q_l\log\frac {q_l}{p_l}-C(\e)\)\right\} \endaligned \tag3 $$ alkalmas $C(\e)>0$-val, amelyre $C(\e)\to0$, ha $\e\to0$. A fenti formula \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a benne szerepl\H{o} $q_l\log\frac{q_l}{p_l}$ \"osszeadand\'o null\'aval egyenl\H o, ha $q_l=0$. Bizony\'{\i}tsuk be ennek az egyenl\H otlens\'egnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'ast abban a speci\'alis esetben, ha az $F$ \'es $G$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott m\'ert\'ekek v\'eges sok pontba vannak koncentr\'alva. \medskip Be akarjuk l\'atni a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'asokat tetsz\H oleges $F$ \'es $G$ eloszl\'asokra. Ehhez el\H osz\"or bel\'atjuk, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asok el\'eg finom v\'eges $F'$ \'es $G'$ diszkretiz\'aci\'oj\'aval el\'erhet\H o, hogy $I(G'\|F')$ j\'ol k\"ozel\'{\i}ti az $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast is k\'et r\'eszletben fogjuk bizony\'{\i}tani. El\H osz\"or egy speci\'alis partici\'ot tekint\"unk, azt\'an ennek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel bebizony\'{\i}tjuk az \'all\'{\i}t\'ast tetsz\H oleges finom partici\'ora. Ezeket az \'all\'{\i}t\'asokat \'altal\'anosabb m\'ert\'ekterekben fogjuk bebizony\'{\i}tani. Azt mondjuk, hogy halmazoknak egy $\Cal C=(\bold C_1,\dots,\bold C_k)$ rendszere, ahol $\bold C_r$ az $Y$ halmaz m\'erhet\H o r\'eszhalmaza, $1\le r\le k$, egy $(Y,\Cal B)$ t\'er (v\'eges) partici\'oja, ha $\bold C_1,\dots,\bold C_k$ diszjunkt halmazok, \'es $\bigcup\limits_{r=1}^k\bold C_r=Y$. Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, \'es annak v\'eges $\Cal C$ partici\'oja. A $\Cal C$ partici\'ohoz v\'alasszunk egy $(x_1,\dots,x_k)$, $x_r\in \bold C_r$, $r=1,\dots,k$, (csak a $\Cal C$ partici\'ot\'ol f\"ugg\H o) pont\-rend\-szert. Egy az $(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek $\mu_{\Cal C}$ vet\"ulet\'et a $\Cal C$ partici\'ora defini\'aljuk mint azt a $\mu_{\Cal C}$ m\'ert\'eket, amely az $x_r$, $1\le r\le k$, pontokba van koncentr\'alva, \'es $\mu_{\Cal C}(\{x_r\})=\mu(\bold C_r)$, $r=1,\dots,k$. \medskip \item{12.)} Legyen adva k\'et $\mu$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek egy $(Y,\Cal B)$ t\'eren, valamint az $(Y,\Cal B)$ t\'er egy $\Cal C$ v\'eges partici\'oja. Mutassuk meg, hogy $I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\le I(\nu\|\mu)$. Adva egy $\e>0$ konstru\'aljunk olyan $\Cal C$ partici\'ot, amelyre $I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge I(\nu\|\mu)-\e$, ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es $I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge \e^{-1}$, ha $I(\nu\|\mu)=\infty$. \medskip \'Erdemes megfogalmazni a 12. feladat eredm\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o} t\"om\"or form\'aban: $$ I(\nu\|\mu)=\supp_{\Cal C\text{ az } (Y,\Cal B) \text{ t\'er v\'eges partici\'oja}} I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\) $$ Be akarjuk l\'atni, hogy az $I(\nu\|\mu)$ $I$-divergenci\'at nemcsak egy speci\'alis hanem minden el\'eg finom partici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'ol lehet approxim\'alni. Ehhez azonban bizonyos megszor\'{\i}t\'ast kell tenni, nevezetesen azt, hogy a tekintett t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aja j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H o v\'eges partici\'okkal. El\H osz\"or bizony\'{\i}tsunk be egy technikai jelleg\H{u} m\'ert\'ekelm\'eleti app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\-\'os lemm\'at, amely hasznos a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'aban. \medskip \item{13.)} Legyen $(X,\Cal A)$ egy m\'erhet\H o t\'er, legyenek azon adva $\mu_1,\dots,\mu_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek, \'es legyen $\Cal A_1\subset \Cal A_2\subset\cdots$ egym\'asba skatuly\'azott $\sigma$-algebr\'ak sorozata, amely\-re $\Cal A=\sigma\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty \Cal A_l\)$, azaz $\Cal A$ az $\Cal A_l$ $\sigma$-algebr\'ak uni\'oja \'altal gener\'alt legsz\"ukebb $\sigma$-algebra. Ekkor minden $\A\in \Cal A$ \'es $\e>0$-ra l\'etezik olyan $n=n(\e)\ge1$, \'es $\BB=\BB(\e)\in \Cal A_n$, amelyre $\mu_j(\A\Delta\BB)\le \e$, minden $j=1,\dots,k$-ra, ahol $\A\Delta\BB=(\A\setminus\BB)\cup(\BB\setminus\A)$. \item{14.)} Legyen adva egy $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er \'es azon egym\'asba skatuly\'azott partici\'ok $\Cal A_1\subset\Cal A_2\subset\cdots$ sorozata. Az $(Y,\Cal B)$ t\'er $\Cal A_l$ par\-ti\-ci\'oj\'at azo\-no\-s\'{\i}t\-suk azzal a (v\'eges elem\-sz\'am\'u) $\sigma$-algebr\'aval amelynek ele\-mei az $\Cal A_l$ partici\'o ele\-me\-i\-nek az uni\'oi. Teljes\"ulj\"on a $\Cal B=\sigma\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty\Cal A_l\)$ felt\'etel. (Teh\'at feltessz\"uk azt is, hogy az $(Y,\Cal B)$ t\'er $\Cal B$ $\sigma$-algebr\'aj\'at megsz\'aml\'alhat\'o sok halmazzal lehet gener\'alni.) Ekkor tetsz\H oleges az $(Y,\Cal B)$ t\'eren defini\'alt $\mu$ \'es $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekp\'arra $\limm_{l\to\infty}I(\nu_{\Cal A_l}\|\mu_{\Cal A_l})=I(\nu\|\mu)$. \item{15.)} L\'assuk be a 14. feladat eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (+1) \'es (+2) \'all\'{\i}t\'asokat tet\-sz\H o\-le\-ges $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyekre. \medskip Be szeretn\'enk l\'atni a 9. --- 15. feladatok eredm\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az e fel\-adat\-sorban megfogalmazott nagy elt\'er\'es t\'etel fels\H o becsl\'es\'et, (azaz, a $P\(\frac{S_n}n\in [a,b]\)$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egre akarunk \'eles als\'o becsl\'est adni), \'es ez tu\-laj\-don\-k\'eppen a nagy elt\'er\'es t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak neh\'ez fele. A gondolat a k\"ovetkez\H o: Ha a $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enye $F_n(x)$, \"osszege $S_n$, akkor $\frac{S_n}n=\int u\,dF_n(u)$. Azt v\'arjuk, hogy ez az \'atlag k\"ozel van az $\int u\,dG(u)$ integr\'alhoz, ha az $F_n$ empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny k\"ozel van a $G$ eloszl\'ashoz, \'es ennek esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'et j\'ol tudjuk becs\"ulni. \'Ily m\'odon a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny alkalmas v\'alaszt\'as\'aval j\'o als\'o becsl\'est kapunk. E becsl\'esben az $I(G\|F)$ $I$-divergencia jelenik meg, de a 10.~fel\-adat eredm\'eny\'enek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel meg tudjuk adni a $\supp_{t\ge0}(tx-\log R(t))$ kifejez\'est\H{o}l f\"ugg\H{o} als\'o becsl\'est a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ez az \'erv alkalmazhat\'o, de csak bizonyos finom\'{\i}t\'assal. A probl\'ema a k\"ovetkez\H o: Ha n\'eh\'any $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o abszolut \'ert\'eke rendk\'{\i}v\"ul nagy, akkor ezek alig m\'odos\'{\i}tj\'ak az $F_n$ empirikus eloszl\'asf\"uggv\'enyt, de nagyon befoly\'asolhatj\'ak az $\frac{S_n}n$ \'atlag \'ert\'ek\'et. E neh\'ezs\'eg lek\"uzd\'ese \'erdek\'eben olyan $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny kis k\"ornyezet\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere adunk als\'o becsl\'est, amely egy v\'eges intervallumba koncentr\'alt m\'ert\'eket hat\'aroz meg. L\'atni fogjuk, hogy a $G$ eloszl\'as v\'alaszt\'as\'ara tett megszor\'{\i}t\'as nem okoz komoly probl\'em\'at. A k\"ovetkez\H o feladatban bebizony\'{\i}tjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast a fent v\'azolt \'ervel\'es r\'eszletesebb kidolgoz\'as\'aval. \medskip \item{16.)} Legyenek $\xi_1(\omega),\xi_2(\omega),\dots$ f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, \'es $G \neq F$ egy m\'asik eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelyik egy v\'eges intervallumba van koncentr\'alva, azaz l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am, amelyre $G(K)=1$, $G(-K)=0$. L\'assuk be, hogy tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan $L=L(\e)>0$ sz\'am, amelyre $L(\e)\to\infty$, ha $\e\to0$, \'es a $\bar F(x)=\bar F_{L(\e)}(x)=P(\xi_10$-ra, \'es $$ \allowdisplaybreaks \align P\(\left.\omega\colon\;\sup_x |F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right| |\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)&\ge e^{-nI(G\|\bar F) -nC(\eta,\e)}\\ \ge &e^{-n(I(G\|F)+C(\eta,\e)+\e)}, \endalign $$ ha $I(G\|F)<\infty$. L\'assuk be e t\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel a nagy elt\'er\'es t\'etel fels\H o becsl\'es\'et, azaz azt az \'all\'{\i}t\'ast, hogy $E\xi_1\le a0$ pozit\'{\i}v val\'os sz\'am. Ekkor a $\{\nu\colon\;\nu\in X,\,I(\nu\|\mu)\le R\}$ halmaz kompakt. \item{21.)} Az $(X,\Cal X)$ t\'er a $\tau$ topol\'ogi\'aval $T_{\rho}$ t\'er. (E fogalom definici\'oj\'at felid\'ezt\"uk a 3. feladat definici\'oj\'aban. E feladat \'all\'{\i}t\'as\'ara nem lesz a tov\'abbiakban sz\"uks\'eg\"unk. C\'elja megmutatni, hogy eset\"unkben is alkalmazhat\'o a 3. feladat eredm\'enye. A bizony\'{\i}t\'as n\'eh\'any alapvet\H o topol\'ogiai eredm\'enyb\H ol \'es egy az el\H oz\H o feladatban is alkalmazott konstrukci\'ob\'ol k\"ovetkezik.) \item{22.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ egy m\'erhet\H o t\'er, $(X, \Cal X)$ az $(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval, $\Cal A$ az $\Cal X$ topol\'ogia \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra az $X$ t\'eren. Legyen $\bold Q_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek egy sorozata az $(X,\Cal A)$ t\'eren, \'es $I(\cdot)$ alulr\'ol folytonos f\"uggv\'eny $(X,\Cal X)$-en. Tegy\"uk fel, hogy minden $\nu\in X$-re \'es $\e>0$-ra l\'etezik a $\nu$ pontnak olyan $\bold G(\nu,\e)$ ny\'{\i}lt k\"ornyezete, amelyre $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \bold Q_n(\bold G(\nu,\e))>I(\nu)-\e$, ha $I(\nu)<\infty$ \'es $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \bold Q_n(\bold G(\nu,\e))>\frac1\e$, ha $I(\nu)=\infty$. Ekkor a $\bold Q_n$ m\'ert\'eksorozat \'es az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'ag\'anak k\"ovetkez\H o gyeng\'{\i}tett alakj\'at: \itemitem{iii$'$.)} $\liminf\limits_{n\to\infty}-\frac1n \log \bold Q _n(\bold K)\ge \inff_{\nu\in \bold K} I(\nu)$ minden kompakt $\bold K\subset X$ halmazra. \item{} Legyen $\bold Q_n$ $n$ f\"uggetlen $\mu$ eloszl\'as\'u val\'oszin\H us\'egi v\'altoz\'ob\'ol k\'esz\'{\i}tett $\mu_n=\mu_n(\oo)$ empirikus m\'er\-t\'ek eloszl\'asa az $(X,\Cal A)$ t\'eren, \'es $I(\cdot)=I(\cdot\|\mu)$. Ezzel a v\'alaszt\'assal teljes\"ulnek a fel\-adat els\H{o} \'all\'{\i}t\'as\'anak a felt\'etelei. \medskip A nagy elt\'er\'es t\'etel bizony\'{\i}t\'asa z\'art, de nem kompakt halmazokra nehezebb. Ez a probl\'ema a nagy elt\'er\'es t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak egyik legnehezebb pontja az \'altal\'anos (nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen minta empirikus eloszl\'as\'at vizsg\'al\'o) esetben is. A k\"ovetkez\H o k\'et feladat c\'elja ennek a probl\'em\'anak a megold\'asa. Az els\H{o} feladat egy viszonylag egyszer\H{u}, term\'eszetes m\'odon bizony\'{\i}that\'o becsl\'est ad a minket \'erdekl\H{o} kifejez\'esre al\-kal\-mas ``diszkretiz\'aci\'o" seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\"ozvetlen\"ul nem annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et vizsg\'aljuk, hogy a tekintett empirikus eloszl\'as beleesik-e egy (esetleg bonyolult) z\'art halmazba. Ehelyett az empirikus m\'ert\'ek vet\"uleteit tekintj\"uk v\'eges partici\'okra, \'es azt becs\"ulj\"uk, hogy ezek a vet\"uletek milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esnek bizonyos a feladat jelleg\'eb\H{o}l kifoly\'olag term\'eszetes m\'odon defini\'alt halmazokba. Ez l\'enyegesen egyszer\H{u}bb fel\-adat, (val\'oj\'aban a 12. fel\-adat eredm\'eny\'et kell alkalmaznunk), \'es ez az elj\'ar\'as vezet a 23. fel\-adat\-ban megadott becsl\'eshez. Annak megmutat\'asa, hogy az \'{\i}gy kapott becsl\'es lehet\H{o}v\'e teszi a nagy elt\'er\'es t\'etelben szerepl\H{o} iii.) tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'at l\'enyegesen nehezebb probl\'ema. Ez egy minimax jelleg\H{u} eredm\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik, amelyiket a 24. feladat megold\'as\'aban bizony\'{\i}tunk be. \medskip \item{23.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$ az $(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval, $\Cal A$ az ezen topol\'ogia \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra az $X$ t\'eren. Legyen $\mu\in X$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, $\mu^{(n)}$ e m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzata \"on\-ma\-g\'a\-val, $\mu_n=\mu_n(\oo)\in X$, $n=1,2,\dots$, $n$ darab f\"uggetlen $\mu$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'al\-to\-z\'o empirikus eloszl\'asa, $\bold F\subset X$ az $(X,\Cal A)$ t\'er z\'art r\'eszhalmaza. Ekkor $$ \liminf_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\ge \sup_{\Cal C\in\Cal C^*}\inf_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]}I\(\nu_{\Cal C} \|\mu_{\Cal C}\), $$ ahol $\Cal C^*$ jel\"oli az $(Y,\Cal B)$ t\'er \"osszes $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$ v\'eges (m\'erhet\H o) partici\'oj\'at. A $\nu_{\Cal C}$ illetve a $\mu_{\Cal C}$ m\'ert\'ek egy $\nu\in X$ illetve a kezdetben r\"ogz\'{\i}tett $\mu\in X$ m\'ert\'ek \'es egy $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}\in\Cal C^*$ partici\'o eset\'en az a m\'ert\'ek (egy v\'eges $\{x_1\dots,x_k\}$ halmazon), amelyre $\nu_{\Cal C}(\{x_j\})=\nu(\bold C_j)$, illetve $\mu_{\Cal C}(\{x_j\})=\mu(\bold C_j)$, \'es $x_j\in \bold C_j$, $j=1,\dots,k$, egy a $\Cal C$ partici\'ohoz r\"ogz\'{\i}tett pontrendszer. Egy $\bold F\subset X$ halmaz $\bold F_{\Cal C}$ vet\"ulete egy $\Cal C$ partici\'ora a $\nu_{\Cal C}$ m\'ert\'ekekekb\H ol \'all\'o halmaz az $Y_{\Cal C}=\{x_1,\dots,x_k\}$ (v\'eges) halmazon, ahol $\nu\in \bold F$, \'es $x_j\in \bold C_j$, $j=1,\dots,k$, a $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$ halmazhoz kijel\"olt pontrendszer. Az $\[\bold F_{\Cal C}\]$ halmaz az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz lez\'artja az $(X_{\Cal C},\Cal X_{\Cal C})$ t\'eren. Ez a t\'er az $(Y_{\Cal C},\Cal B_{\Cal C})$, ($\Cal B_{\Cal C}$ jel\"oli a diszkr\'et topol\'ogi\'at) m\'erhet\H o t\'eren \'ertelmezett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval. \item{24.)} Az el\"oz\H o feladat jel\"ol\'es\'evel $$ \sup_{\Cal C\in\Cal C^*}\inf_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]}I\(\nu_{\Cal C} \|\mu_{\Cal C}\)\ge \inf_{\nu\in \bold F}\sup_{\Cal C\in\Cal C^*}I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)=\inf_{\nu\in \bold F}I(\nu\|\mu). \tag4 $$ Bizony\'{\i}tsuk be a Szanov t\'etelben megfogalmazott nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at. \medskip Az el\H oz\H o feladatokban egy z\'art $\bold F$ halmaz $\bold F_{\Cal C}$ vet\"ulet\'et vett\"uk egy $\Cal C$ partici\'ora, majd annak $\[\bold F_{\Cal C}\]$ lez\'artj\'at tekintett\"uk. B\'ar erre a bizony\'{\i}t\'as helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz nincs sz\"uks\'eg, \'erdemes p\'eld\'at l\'atni arra, hogy ez a lez\'ar\'as val\'odi oper\'aci\'o, azaz $\bold F_{\Cal C}$ nem felt\'etlen\"ul z\'art halmaz. \item{25.)} Konstru\'aljunk $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o teret, az $(Y,\Cal B)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek $(X,\Cal X)$ ter\'en a $\tau$ topol\'ogi\'aval egy z\'art $\bold F$ halmazt \'es egy $\Cal C$ v\'eges partici\'ot az $(Y,\Cal B)$ t\'eren, amelyre az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz nem z\'art. (A 23. feladatban bevezetett fogalmakat haszn\'aljuk.) Mutassuk meg, hogy a k\"ovetkez\H o p\'elda teljes\'{\i}ti ezeket a felt\'eteleket: $(Y,\Cal B)$ a $[0,1]$ intervallum a Borel $\sigma$-algebr\'aval, $\bold F=\{\mu_n,\;n=2,3,\dots\}$, ahol a $\mu_n$ m\'ert\'ek a k\"ovetkez\H o: $\mu_n\(\left\{\frac1n\right\}\)=1-\frac1n$, $\mu_n\(\left\{\frac34\right\}\)=\frac1n$; $\Cal C=\{\bold C_1,\bold C_2\}$, $\bold C_1=\[0,\frac12\]$, $\bold C_2=\(\frac12,1\]$. \item{26.)} Legyen $(Y,\Cal B)$ m\'erhet\H o t\'er, $(X,\Cal X)$ az ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'er\-t\'e\-kek tere a $\tau$ topol\'ogi\'aval. Legyenek $\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u $Y$ \'er\-t\'e\-k\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal D,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg mez\H{o}n. Ha $$ \{\xi_1(\oo),\dots,\xi_n(\oo)\}=\{y_1,\dots,y_n\}\in Y^n, $$ akkor jel\"olje $\mu_n(\oo)=\mu_n(y_1,\dots,y_n)$ ezeknek a val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'oknak az empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et az $\oo\in \Omega$ pontban. Tetsz\H{o}leges $\BB\subset Y$ (nem felt\'etlen\"ul m\'erhet\H o) halmaz \'es $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'am eset\'en lehet defini\'alni olyan $\bold G=\bold G(\BB,n)$ ny\'{\i}lt halmazt az $(X,\Cal X)$ t\'erben, amelyre az $\{\oo\colon\;\mu_n(\oo)\in \bold G\}$ \'es az $$ \{\oo\colon\;\xi_k(\oo)\in \BB,\text{ minden }k=1,\dots,n\} $$ esem\'enyek megegyeznek. Ennek az \'eszrev\'etelnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel mutassunk p\'eld\'at arra, hogy az $\{\oo\colon\; \mu_n(\oo)\in \bold G\}$ esem\'enynek nem minden ny\'{\i}lt $\bold G$ halmazra van va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-ge. \beginsection Megold\'asok. \item{1.)} Tekints\"unk el\H osz\"or egy olyan $x\in X$ pontot, amelyre $I(x)<\infty$. Az $I(\cdot)$ alulr\'ol f\'elig folytonoss\'aga miatt $\supp_{\bold G\colon\; x\in \bold G,\; \bold G\text { ny\'{\i}lt}} \inff_{y\in \bold G}I(y)=I(x)$. Tov\'abb\'a azt \'all\'{\i}tom, hogy mivel a topol\'ogia $T_3$ tipus\'u, ez\'ert $\supp_{\bold F\colon\; x\in \text{Int}\,\bold F,\; \bold F\text{z\'art}}\inff_{y\in \bold F}I(y)=I(x)$. Val\'oban, tet\-sz\H o\-le\-ges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan ny\'{\i}lt $\bold G$, $x\in\bold G$ halmaz, amelyre $\inff_{y\in \bold G}I(y)\ge I(x)-\e$. Tov\'abb\'a a topol\'ogia $T_3$ tulajdons\'aga miatt l\'etezik olyan z\'art $\bold F_0$ halmaz, amelyre $x\in \text{Int\,}\bold F_0\subset \bold F_0\subset \bold G$. Val\'oban, a $T_3$ tulajdons\'ag miatt l\'eteznek olyan diszjunkt, ny\'{\i}lt $\bold G_1$ \'es $\bold G_2$ halmazok, amelyekre $x\in \bold G_1$, \'es $X\setminus \bold G\subset \bold G_2$. Ekkor $\bold F_0=X\setminus \bold G_2$ teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokat. Ez\'ert $\supp_{\bold F\colon\; x\in \text{Int}\,\bold F,\;\bold F\text{ z\'art}}\inff_{y\in \bold F}I(y)\ge \inff_{y\in \bold F_0}I(x)\ge I(x)-\e$. A m\'asik \'{\i}r\'any\'u becsl\'es ny\'{\i}lv\'anval\'o. \item{} Ezekb\H ol a rel\'aci\'okb\'ol \'es a nagy elt\'er\'es t\'etelb\H ol k\"ovetkezik, hogy $$ \align \sup\Sb \bold G\colon\; \bold G\text{ ny\'{\i}lt halmaz}\\ x\in\bold G\endSb \limsup_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(\bold G)&\le I(x)\\ \sup\Sb \bold F\colon\; \bold F\text{ z\'art halmaz}\\ x\in \text{Int}\,\bold F \endSb \liminf_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(\bold F)&\ge I(x). \endalign $$ R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\e>0$ sz\'amot. Legyen $\bold F$, $x\in\text{Int}\,\bold F$ olyan z\'art halmaz, amelyre $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log\mu_n(\bold F)\ge I(x)-\e$. Ekkor egy $x\in\bold G\subset\text{int}\,\bold F$ halmazra $\limsupp_{n\to\infty}-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\ge \liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\ge I(x)-\e$. Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\e>0$-ra igaz alkalmas $\bold G$ ny\'{\i}lt halmazra, a fenti becsl\'esekb\H ol k\"ovetkezik a bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'asok els\H o fele. Az \'all\'{\i}t\'as m\'asik fele hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o. L\'etezik olyan $\bold G$, $x\in \bold G$ ny\'{\i}lt halmaz, amelyre $\limsupp_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(\bold G)\le I(x)+\e$. Legyen $\bold F$ a $\bold G$ halmaz lez\'artja. Ekkor $$ \liminff_{n\to\infty} -\frac1n\log \mu_n(\bold F)\le \limsupp_{n\to\infty} -\frac1n\log\mu_n(\bold F)\le I(x)+\e. $$ Innen k\"ovetkezik a feladat m\'asik \'all\'{\i}t\'asa. \item{} Az $I(x)=\infty$ eset az el\H oz\H o esethez hasonl\'oan n\'eh\'any term\'eszetes v\'altoztat\'assal bizony\'{\i}that\'o. \item{2.)} L\'assuk be el\H osz\"or az als\'o becsl\'est. R\"ogz\'\i{}tett $\e>0$ sz\'amhoz v\'alasszunk olyan $x_0\in X$ pontot, amelyre $g(x_0)-I(x_0)>\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}-\e$. Mivel az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos, a $g(x)$ f\"uggv\'eny pedig folytonos, l\'etezik az $x_0$ pontnak olyan $\bold G\subset X$ ny\'\i{}lt k\"ornyezete, amelyre $g(x)>g(x_0)-\e$ \'es $I(x)>I(x_0)-\e$, ha $x\in \bold G$. Ez\'ert minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $n_0=n_0(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre $\mu_n(\bold G)>\supp_{x\in \bold G}e^{-nI(x)-e}>e^{-n(I(x_0)-\e)}$, \'es $$ \allowdisplaybreaks \align \int e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)&\ge \int_{\bold G} e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)\ge e^{n(g(x_0)-\e)}\mu_n(\bold G)\\ &\ge e^{n(g(x_0)-I(x_0)-2\e)}\ge\sup_{x\in X} e^{n(g(x)-I(x)-3\e)}, \endalign $$ ha $n\ge n_0(\e)$. Mivel $\e>0$ tetsz\H oleges, innen k\"ovetkezik, hogy $$ \liminf\frac1n \log\int e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)\ge \supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}. $$ A fels\H o becsl\'es bizony\'\i{}t\'asa \'erdek\'eben r\"ogz\'\i{}ts\"unk egy el\'eg kis $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk az $\bold F(k)=\bold F(k,\e)$ $$ \bold F(k)=\{x\colon\; x\in X,\; k\e\le g(x)\le (k+1)\e\} $$ halmazokat, $-\frac1\e\sup|g(x)|\le k<\frac1\e\sup|g(x)|$. Az $\bold F(k)$ halmazok z\'artak, az $x\in\bold F_k$ eset\'en $I(x)\ge k\e-\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}$. Ez\'ert el\'eg nagy $n$-re $$ \align \int_{\bold F(k)} e^{ng(x)}\,d\mu_n(x)&\le \exp\left\{n\[(k+1)\e- k\e+\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}\]\right\}\\ &=\exp\left\{n\[\e+\supp_{x\in X}\{g(x)-I(x)\}\]\right\}. \endalign $$ Ezeket az egyenl\H otlens\'egeket \"osszeadva az \"osszes (v\'eges sok) $k$-ra, \'es kihaszn\'alva, hogy $\e>0$ tetsz\H oleges, megkapjuk a k\'\i{}v\'ant fels\H o becsl\'est. \item{3.)} A ii.) tulajdons\'ag bel\'at\'asa \'erdek\'eben egy $\bold G\subset X$ ny\'{\i}lt halmaz eset\'eben tetsz\H oleges $\e>0$-hoz tekints\"unk olyan $x\in \bold G$ pontot, amelyre $I(x)<\inff_{u\in\bold G}I(u)+\e$, \'es legyen $g(\cdot)$ olyan folytonos f\"uggv\'eny az $X$ t\'eren, amelyre $g(x)=0$, $g(u)=-\frac1\e$, ha $u\notin \bold G$, \'es $g(u)\le 0$ minden $u\in X$-re. Ilyen $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban l\'etezik, mert v\'eve egy $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, amelyre $h(x)=0$, $h(u)=1$, ha $u\notin \bold G$, akkor defini\'aljuk a $h_1(u)=\min\{h(u),1\}$, $g(u)=-\frac1\e h_1(u)$ f\"uggv\'enyeket. Ez a $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket. Ekkor $$ -\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le-\frac1n\log\[\int e^{ng(u)}\,\mu_n(du) -e^{-n/\e}\]. $$ Legyen $A=\inff_{u\in G}I(u)$. Ha $A=\infty$, akkor %$\supp_{u\in X}(g(u)-I(u))\le-\frac3\e$, %$$ %-\frac1n\log\int e^{ng(u)}\,\mu_n(du)\le -\frac2{\e}, %$$ %$-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le-\frac1{\e}$, el\'eg nagy $n$-re, \'es %mivel $\e>0$ tetsz\H oleges, $ \limsup-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le\infty=\inff_{x\in G}I(x). $ %ebben az esetben. Ha $A<\infty$, akkor $$ \int e^{ng(u)}\,\mu_n(du)\ge\exp\left\{n\(\supp_{u\in \bold G} (g(u)-I(u))-\e\)\right\}\ge e^{n(g(x)-I(x)-\e)}\ge e^{-n(A+2\e)} $$ el\'eg nagy $n$-re. Ez\'ert $$ \limsup-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le\limsup -\frac1n\log \{e^{-n(A+2\e)}-e^{n/\e}\} $$ minden $\e>0$-ra, ahonnan $\limsup-\frac1n\log\mu_n(\bold G)\le A=\inff_{x\in G}I(x)$. \item{} A iii$'$.) tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben minden $x\in \bold K$ ponthoz \'es $\e>0$ sz\'amhoz defini\'alunk egy alkalmas $g_{x,\e}=g_{x,\e}(u)$ folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyt az $(X,\Cal X)$ t\'eren. Minden $x\in \bold K$ pontra defini\'aljuk az $\bold F(x)=\{z\colon\; I(z)\le I(x)-\e\}$, ha $I(x)<\infty$, \'es $\bold F(x)=\{z\colon\; I(z)\le \e^{-1}\}$, ha $I(x)=\infty$ halmazokat. Mivel az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos, ez\'ert az $F(x)$ halmazok z\'artak. Ez\'ert l\'etezik olyan folytonos $g_{x,\e}$ f\"uggv\'eny az $(X,\,\Cal X)$ t\'eren, amelyre $g_{x,\e}(x)=\e$, $g_{x,\e}(u)=-I(x)$ az $u\in \bold F(x)$ pontokban, ha $I(x)<\infty$, \'es az $I(x)=\infty$ esetben $g_{x,\e}(x)=\e$, $g_{x,\e}(u)=-\frac2\e$, ha $u\in \bold F(x)$. Tov\'abb\'a $g_{x,\e}(u)\le \e$ minden $u\in X$-re. (Ilyen f\"uggv\'enyek konstrukci\'oja az\'ert lehets\'eges, mert az $(X,\Cal X)$ t\'er $T_\rho$ t\'er.) Defini\'aljuk az $x$ pont $\bold U(x)=\bold U(x,\e)=\{z\colon\; g_{x,\e}(z)>0\}$ ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et. Mivel az $\bold U(x)$ halmazok a $\bold K$ kompakt halmaz fed\'es\'et adj\'ak, l\'etezik v\'eges sok $x_1,\dots,x_k$ pont, amelyekre a $\bold U(x_j)$, $j=1,\dots,k$ halmazok lefedik a $\bold K$ halmazt. Legyen $g_j(u)=g_{x_j,\e}(u)$, $j=1,\dots,k$. Ekkor $$ \mu_n(\bold K)\le\sum_{j=1}^k \int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du). $$ Tov\'abb\'a el\'eg nagy $n$-re $$ \align \int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du) \le \exp\left\{n\(\sup_{u\in X} g_j(u)-\inf_{u\notin \bold F(x_j)} I(u)+\e\)\right\}&\le e^{n(3\e-I(x_j))}\\ &\qquad\text{ha } I(x_j)<\infty, \endalign $$ \'es $$ \int e^{ng_j(u)}\,\mu_n(du) \le e^{n(2\e-1/\e)},\quad\text{ha } I(x_j)=\infty. $$ Ez\'ert $$ \frac1n\log\mu_n(\bold K)\le\frac{\const}n- \min\(\frac1\e,\min_{I(x_j)<\infty}I(x_j)\)+3\e\le-\min\(\frac1\e, \inf_{u\in \bold K} I(u)\)+4\e $$ el\'eg nagy $n$-re. Innen k\"ovetkezik a iii$'$.) tulajdons\'ag. \item{4.)} Az $I(x)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy az monoton n\H o. Tov\'abb\'a, ha $I(z)<\infty$, $E\xi0$-ra l\'etezik olyan $t>0$, amelyre $I(z)\delta$. Val\'oban, mivel $z>E\xi_1$, $I(z)>\eta$ alkalmas $\eta>0$-ra, \'es ha $\e<\frac\eta2$, akkor a $tz-\log R(t)>\frac\eta2$ felt\'etelnek teljes\"ulnie kell. De mivel $\limm_{t\to0}(tz-\log R(t))=0$ ez csak \'ugy lehets\'eges, ha $t>\delta$ alkalmas $\delta=\delta(z)$ sz\'ammal. Adva egy $(y,x)$ p\'ar, amelyre $E\xi\delta$, hogy $I(y)E\xi$ egy el\'eg kis $\e>0$-ra v\'alasszunk olyan $t$ sz\'amot, melyre $I(x)\limm_{\e\to0}\frac{I(x)+I(x+2\e)}2$ egyenl\H otlens\'eg teljes\"ulne, \'es ez ellentmond az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny konkvexit\'as\'anak. \item{5.)} A nagy elt\'er\'es t\'etel i.) tulajdons\'aga, az hogy az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos k\"ozvetlen\"ul kiolvashat\'o az el\H oz\H o feladat eredm\'eny\'eb\H ol. \item{} Ha $G$ ny\'{\i}lt halmaz, v\'alasszunk tetsz\H oleges $\e>0$-ra olyan $z\in G$ pontot, amelyre $I(z)<\inff_{x\in G} I(x)+\e$, \'es legyen $h>0$ olyan sz\'am, amelyre $[z,z+h]\in G$ ha $z\ge E\xi_1$, \'es $[z-h,z]\in G$, ha $zE\xi_1$ bel\'attuk a 4. feladatban. Az $x0$-val, akkor a 4. feladat eredm\'eny\'eb\H ol k\"ovetkezik ez az \'all\'{\i}t\'as $x\ge E\xi_1$-re. Tov\'abb\'a $\limm_{x\to E\xi_1}I(x)=0$. Alkalmazva ezt az eredm\'enyt a $-\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ora, kapjuk az anal\'og \'all\'{\i}t\'ast $x\le E\xi_1$ eset\'en, ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$ alkalmas $t<0$-ra. Mivel a t\"obbi esetben $I(x)=0$, ezekb\H ol az \'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik a nagy elt\'er\'es t\'etel i.) tulajdons\'aga. \item{} Tekints\"uk a ii.) tulajdons\'agot el\H osz\"or olyan $G$ ny\'{\i}lt halmazokra, amelyek tartalmazz\'ak a (v\'eges) $E\xi_1$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ebben az esetben a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an $P\(\frac{S_n}n\in G\)\to1$, ez\'ert a ii.) tulajdons\'ag teljes\"ul. Ha $E\xi\notin G$, akkor $\e>0$-ra l\'etezik olyan $u\in G$ \'es $[a,b]\subset G$ intervallum, amelyre $I(u)\le \inff_{x\in G} I(x)+\e$, $u\in [a,b]$ \'es $[a,b]\subset (E\xi_1,\infty)$ vagy $[a,b]\subset (-\infty,E\xi_1)$. El\'eg az els\H o esetet vizsg\'alni, mert a m\'asodik eset a $-\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok bevezet\'es\'evel visszavezethet\H o erre az esetre. Ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$ alkalmas $t>0$-ra, akkor ez k\"ovetkezik az $I(x)$ f\"uggv\'eny 4. feladatban bel\'atott szigor\'u monoton\'{\i}t\'as\'ab\'ol. Ha pedig ez a tulajdons\'ag nem teljes\"ul, akkor a a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 15. feladat\'anak eredm\'enye alapj\'an $\frac 1n\log P\(\frac{S_n}n\in [a,b]\)\to0$, ha $n\to\infty$, \'es innen k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as az adott esetben. \item{} Hasonl\'oan az el\H oz\H o feladat \'ervel\'es\'ehez, el\'eg a iii.) tulajdons\'agot abban az esetben bel\'atni, ha az $F$ z\'art halmaz teljes\'{\i}ti az $F\subset [E\xi_1, \infty)$ vagy az anal\'og m\'odon t\'argyalhat\'o $F\subset (-\infty, E\xi_1]$ tulajdons\'agot. Ha $Ee^{t\xi_1}<\infty$ alkalmas $t>0$-ra, akkor ez az \'all\'{\i}t\'as az el\H oz\H o feladat bizony\'{\i}t\'as\'ab\'ol kiolvashat\'o, viszont ha ez a tulajdons\'ag nem teljes\"ul, akkor az \'all\'{\i}t\'as ny\'{\i}lv\'anval\'o, mert ekkor $I(x)=0$ minden $x\ge E\xi_1$-re. \item{} V\'eg\"ul, ha a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'onak nincs v\'arhat\'o \'ert\'eke, akkor $I(x)=0$ minden $x$-re. Ez\'ert a i.) \'es iii.) tulajdons\'ag ebben az esetben ny\'{\i}lv\'anval\'o. A ii.) tulajdons\'ag pedig k\"ovetkezik a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 15. feladat\'anak eredm\'eny\'eb\H ol. \item{7.)} Az adott felt\'etelek mellett a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 8. feladata alapj\'an $[\log R(0)]'=-\infty$. Tov\'abb\'a a $\log R(t)$ konvexit\'asa \'es folytonoss\'aga valamint a $\log R(0)=0$ rel\'aci\'o miatt minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan $K=K(\e)>0$, amelyre $\log R(t)>-\e-Kt$ minden $t\ge0$-ra. Val\'oban, $\log R(t)-\e<0$, ha $t\le \delta(\e)$, \'es $[\log R(t)]'\le-K(\e)$, ha $00$-ra, \'es $\log R(0)=0$ innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{8.)} Azt kell bel\'atni, hogy $\liminff_{n\to\infty} -\frac1n\log\mu_n(G)\ge\inff_{x\in G}I(x)$ minden ny\'{\i}lt $G$ halmazra, ahol $\mu_n$ egy $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozat els\H{o} $n$ elem\'b\H{o}l k\'esz\'{\i}tett \'atlag eloszl\'asa, \'es $I(\cdot)$ a $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, m\'ert\'eksorozatra \'erv\'enyes nagy elt\'er\'es t\'etel $I(\cdot)$ f\"uggv\'enye. Ha $E\xi_1\in G$, akkor a bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyes, mert ekkor $\inff_{x\in G}I(x)=0$. Ez\'ert el\'eg azt a k\'et esetet n\'ezni, amikor $G\in (-\infty, E\xi_1)$ vagy $G\in (\xi_1,\infty)$. Mivel az $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny mind a k\'et f\'elegyenesen monoton f\"uggv\'eny, ez\'ert mind a k\'et esetben teljes\"ulnek a $G\subset G'=(x',x'')$ \'es $\inff_{x\in G}I(x)=\inff_{x\in G'}I(x)$ rel\'aci\'ok, ahol $x'=\inf\{x\colon\; x\in G\}$ \'es $x''=\sup\{x\colon\;x\in G\}$. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast el\'eg ilyen $G'$ ny\'{\i}lt intervallumra bel\'atni (esetleg $\pm\infty$ v\'egpontokkal). Ez viszont kiolvashat\'o a nagy elt\'er\'es t\'etel alakj\'ab\'ol f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere. \item{} Defini\'aljuk az ellenp\'eld\'at a k\"ovetkez\H o m\'odon: $$ \mu_n{(0)}=2^{-1},\qquad \mu_n\( j{2^{-n^2}}\)=2^{-(n+1)},\quad j=1,2\dots,2^n, $$ \'es legyen $I(0)=0$, \'es $I(x)=\infty$, ha $x\neq0$. Ekkor $I(x)$ alulr\'ol f\'elig folytonos f\"uggv\'eny, teh\'at teljes\"ul az i.) rel\'aci\'o. A iii.) rel\'aci\'o is teljes\"ul, mert egy z\'art $F$ halmazra vagy $0\in F$, amely esetben $\limsupp_{n\to\infty}-\frac1n\log\mu_n(F)=0$ vagy $F$ nem tartalmazza a 0 egy kis k\"ornyezet\'et, \'es ekkor $\mu_n(F)=0$ el\'eg nagy $n$-re. A ii) rel\'aci\'o teljes\"ul tetsz\H oleges (nem felt\'etlen\"ul ny\'{\i}lt) $G$ halmazra, mert vagy $0\in G$, amely esetben $\mu_n(G)\ge\frac12$ minden $n$-re vagy $0\notin G$, \'es ekkor $\inff_{x\in G}I(x)=\infty$. V\'eg\"ul a ii.) rel\'aci\'oban nem lehet azonoss\'agot \'{\i}rni, mert a ny\'{\i}lt $G=R^1-\{0\}$ halmazra $\mu_n(G)=\frac12$, teh\'at $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \mu_n(G)=0$. \item{9.)} Mivel $\log(1+v)\le v$, $0\le v\le 1$ esetben, \'es egyenl\H os\'eg csak $v=0$ eset\'en van, $$ \align I(\nu\|\mu)&=-\int\log \frac{d\mu}{d\nu}(u)\,d\nu(u)\ge -\int\frac{d(\mu-\nu)}{d\nu}(u)\,d\nu(u) \\ &=\int d\mu(u)-\int d\nu(u)=0, \endalign $$ ha $\nu$ abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve, \'es egyenl\H os\'eg csak $\nu=\mu$ esetben \'all fenn. Ha $\nu$ nem abszolut folytonos, akkor ez az \'all\'\i{}t\'as ny\'\i{}lv\'anval\'o. \item{} Ha az $R(t)=\int e^{tu}\,dF(u)$ integr\'al v\'eges, akkor defini\'aljuk az $F_t(du)=\frac{e^{tu}F(du)}{R(t)}$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'eket. Ekkor $\int u\,dG(u)=x$ eset\'en $$ I(G\|F)=\int \log \frac{dF_t(u)}{dF(u)}\,dG(u)+\int \frac{dG(u)}{dF_t(u)}\,dG(u)=tx-\log R(t)+I(G\|F_t), $$ ahonnan $I(G\|F)\ge tx-\log R(t)$, \'es egyenl\H os\'eg csak $G=F_t$ eset\'en \'all fenn. Innen k\"ovetkezik, hogy a bizony\'\i{}tand\'o (a) azonoss\'ag bal\-ol\-dala mindig nagyobb vagy egyenl\H o mint a jobboldal. Tov\'abb\'a, mivel $\int u\,dF_t(u)=[\log R(t)]'$ a $[\log R(t)]'=x$ megoldhat\'os\'aga eset\'en mind a bal mind a jobboldal felveszi a sz\'els\H o\'ert\'eket a fel\-adat\-ban le\'{\i}rt esetben \'es a k\'et kifejez\'es egyenl\H o. \item{10.)} Be kell l\'atni az (a) azonoss\'ag m\'eg hi\'anyz\'o fel\'et, azaz az $\inff_{G\colon\; \int u\,dG(u)\ge x}I(G\|F)\le\supp_{t\ge0} (tx-\log R(t))+\e$ egyenl\H otlens\'eget minden $\e>0$ sz\'amra abban az esetben, ha a $[\log R(t)]'=x$ egyenlet nem oldhat\'o meg. Az $R(t)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny vizsg\'alat\'aban, (a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor (8., 12., 14. \'es 15. feladatainak) eredm\'enyeib\H ol k\"ovetkezik, hogy a k\"ovetkez\H o eseteket kell vizsg\'alni: a.) Az $R(t)$ momentumgener\'al\'o f\"uggv\'eny egy v\'eges jobbr\'ol z\'art $[0,T]$ intervallumban van defini\'alva, \'es $[\log R(T)]'=m_T\le x$, b.) Az $R(t)$ f\"uggv\'eny \'ertelmezve van az eg\'esz $[0,\infty]$ f\'elegyenesen, de $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=m\le x$. c.) Minden $t>0$ eset\'en $R(t)=\infty$. \item{} Az a.) esetben az (a) azonoss\'ag jobboldala $t=T$ pontban veszi fel a szupr\'emum\'at. El\'eg bel\'atni, hogy ha $x>m_T$, akkor tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan $G$ eloszl\'as, amelyre $x+\e\ge \int u\,dG(u)\ge x$, \'es $I(G\|F_T)<\e$, ahol $m_T=\int u\,dF_T(u)$. Ekkor ugyan\-is $I(G\|F)=T\int u\,dG(u)-\log R(T) +I(G\|F_T)\le T(x+\e)-\log R(T)+\e$. Teljes\"ul tov\'abb\'a az $\int e^{tu}dF_T(u)=\infty$ felt\'etel minden $t>0$ eset\'en, \'es a $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny konstrukci\'oj\'aban az $F_T$ eloszl\'asnak ezt a tulajdons\'ag\'at fogjuk haszn\'alni. Ez\'ert az a.) \'es c.) esetet, ahol ugyanezt az egyenl\H{o}tlens\'eget kell bizony\'{\i}tani $T=0$ v\'alaszt\'assal, egyszerre vizsg\'alhatjuk. Feltehetj\"uk, hogy a szigor\'u egyenl\H otlens\'eg $x>m_T$, illetve $x>m$ teljes\"ul, ($m_T=\int u\,dF_T(u)$, $m=\int u\,dF(u)$,) mert $x=m_T$, illetve $x=m$ eset\'en $G=F_T$ \'es $G=F$ kiel\'eg\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. A konstrukci\'o megad\'asa \'erdek\'eben az $x>m_T$ \'es $x>m$ esetben vegy\"uk \'eszre, hogy az a.) esetben minden el\'eg kis $\e'>0$ sz\'amra l\'eteznek olyan $K_1>0$ \'es $K_2>0$ sz\'amok, amelyekre $\mu_1=\mu([-K_1,K_2])=F_T(K_2)-F_T(-K_1)>1-\e'$, $\int_{-K_1}^{K_2} u\,dF_T(u)0$-t \'es $K_2>0$-t el\'eg nagynak v\'alasztva teljes\'{\i}thetj\"uk az els\H o felt\'etelt, \'es mivel $1-F_T(K_2)>0$, a $K_1>0$ konstansot m\'eg nagyobbra v\'alasztva, ha sz\"uks\'eges az $\int u\,dF_T(u)=m_T0$ eset\'en, tetsz\H oleges $\delta>0$ sz\'amhoz v\'egtelen sok pozit\'{\i}v $p$ eg\'esz sz\'am van, amelyekre, $\mu_2=\mu_2^{(p)}=F_T(2^{p+1})-F_T(2^p)>e^{-\delta 2^p}$. Hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes a c.) esetben is. \item{} Defini\'aljuk a $\bar\mu_1$ \'es $\bar\mu_2$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekeket, mint $$ \align \bar\mu_1(\A)&=\frac1{\mu_1}\int _{\A\cap [-K_1,K_2]} \,dF_T(u),\\ \bar\mu_2(\A)&=\bar\mu_2^{(p)}(\A)=\frac1{\mu_2^{(p)}}\int _{\A\cap [2^p,2^{p+1}]} \,dF_T(u), \endalign $$ ahol $\mu_1$, $K_1$, $K_2$ $\mu_2^{(p)}$ az el\H oz\H o megjegyz\'esben szerepl\H o mennyis\'egek, \'es a $p$ pa\-ra\-m\'e\-tert a $\mu_2^{(p)}$ m\'ert\'ek definici\'oj\'aban alkalmasan v\'alasztjuk. Defini\'aljuk a $ G= G^{(p)}$ m\'er\-t\'e\-ket, mint az $G=\alpha \bar \mu_1+(1-\alpha)\bar\mu_2^{(p)}$ line\'aris kombin\'aci\'ot, ahol az $\alpha$ sz\'amot az $\int u\,dG(u)=x$ felt\'etel hat\'arozza meg. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy el\'eg kis $\e'>0$, $\delta=\delta(\e')>0$ \'es el\'eg nagy $p=p(\delta)>0$ v\'alaszt\'as eset\'en $G$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, \'es $I(G\|F_T)<\e$. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre, hogy $$ I(G\|F_T)=\alpha I(\bar \mu_1\|F_T) +(1-\alpha) I(\bar \mu_2\|F_T)=-\alpha\log \mu_1-(1-\alpha)\log \mu_2^{(p)}, $$ \'es mivel $\int u \,d\bar\mu_1(u)\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'$ eset\'en $\supp_{t\ge0}(tx-\log R(t))=\infty$. A vizsg\'aland\'o esetben v\'alasszuk a $G$ m\'ert\'eket, mint az $x$ pontba koncentr\'alt m\'ert\'eket. Ekkor $I(G\|F)=-\log\mu_F({x})$, ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ m\'ert\'ek \'altal induk\'alt m\'ert\'eket, azaz a jobboldalon az $x$ pont $\mu_F$ m\'ert\'eke van. Az eml\'{\i}tett feladatsor 13. feladat\'anak eredm\'enye alapj\'an ez meg\-egye\-zik az (a) formula baloldal\'an szerepl\H o szupr\'emummal. \item{} A feladat utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'at, azt hogy $I(G\|F)<\supp_{t\ge0}(tx-\log R(t))+\e$ el\'erhet\H o szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel, ha az $x$ sz\'amot kiss\'e n\"ovelj\"uk, kiolvashat\'o a konstrukci\'ok ellen\H{o}rz\'es\'evel. De ez k\"ovetkezik a 4. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l \'es az ut\'ana k\"ovetkez\H{o} megjegyz\'esb\H ol is. Ezek szerint ugyanis $I(x)<\infty$ a tekintett esetben, \'es az $I(x)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi tulajdons\'agai alapj\'an megkapjuk a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt, ha az ebben a feladatban bebizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokat $x$ helyett $x+\e$-ra alkalmazzuk el\'eg kis $\e>0$ sz\'ammal. \item{11.)} Tegy\"uk fel el\H osz\"or, hogy $q_l>0$ minden $1\le l \le k$-ra. R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk egy $x_{j_1},\dots,x_{j_n}$ sorozatot, $x_{j_s}\in X$, $1\le s\le n$, \'es legyen $m(l)=m(l,x_{j_1},\dots, x_{j_n})=\#\{s\colon\; 1\le s\le n,\; x_{j_s}=x_l\}$, $1\le l\le k$. Ekkor $\chi_n(l)=\chi_n(l,x_{j_1},\dots,x_{j_n})=\frac {m(l)}n$, \'es $$ \mu^{(n)}\(x_{j_1},\dots,x_{j_n}\)=\prod_{s=1}^n p_{j_s} =\prod_{l=1}^kp_l^{m(l)} =\prod_{l=1}^k\frac{p_l^{m(l)}}{q^{m(l)}}\cdot\prod_{l=1}^k q_l^{m(l)}. $$ Jel\"olje $\nu^{(n)}$ a $\nu$ m\'ert\'ek $n$-szeres direkt szorzat\'at \"onmag\'aval az $\{x_1,\dots,x_k\}^n$ szor\-zat\-t\'e\-ren. Ekkor \"ossze\-gez\-ve az utols\'o formul\'at az \"osszes olyan $x_{j_1},\dots,x_{j_n}$ sorozatra, amelyre $n\chi(l)=m(l)$, $l=1,\dots,k$, valamilyen el\H{o}\'{\i}rt $m(l)$, $l=1,\dots,k$, sz\'amokkal, azt kapjuk, hogy $$ \frac{\mu^{(n)}\(n\chi(1)=m(1),\dots,n\chi(k)=m(k)\)} {\nu^{(n)}\(n\chi(1)=m(1),\dots,n\chi(k)=m(k)\)} =\prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{m(l)}. $$ Ez\'ert, $$ \allowdisplaybreaks \align &\prod_{l=1}^k \frac{p_l^{n(1+\e)q_l}}{q_l^{n(1-\e)q_l}} \\ &\qquad \le \frac{\mu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,(1-\e)q_k<\chi(k) <(1+\e)q_k\)} {\nu^{(n)} \((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots, (1-\e)q_k<\chi(k)<(1+\e)q_k\)} \\ &\qquad\qquad\qquad\le \prod_{l=1}^k \frac{p_l^{n(1-\e)q_l}}{q_l^{n(1+\e)q_l}}. \endalign $$ Mivel a nagy sz\'amok t\"orv\'enye alapj\'an $$ \frac12\le \nu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots,(1-\e)q_k <\chi(k) <(1+\e)q_k\)\le 1 $$ el\'eg nagy $n$-re, az el\H{o}z\H{o} becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $$ \align &\frac12\prod_{l=1}^k\frac{p_l^{\e q_ln}}{q_l^{-\e q_ln}} \prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{nq_l} \\ &\qquad=\mu^{(n)}\( |\chi_n(l)-q_l|<\e\;\text {minden } 1\le l\le k\text{ indexre}\)\\ &\qquad\le \mu^{(n)}\((1-\e)q_1<\chi(1)<(1+\e)q_1,\dots, (1-\e)q_k<\chi(k)<(1+\e)q_k\) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\le \prod_{l=1}^k\frac{p_l^{-\e q_ln}}{q_l^{\e q_ln}} \prod_{l=1}^k\(\frac{p_l}{q_l}\)^{nq_l} \endalign $$ el\'eg nagy $n$-re. Az utols\'o egyenl\H otlens\'egben logaritmust v\'eve \'es $n$-nel osztva megkapjuk a feladatban megfogalmazott egyenl\H otlens\'eg\'et, ha $q_l>0$ minden $l$-re. \item{} Ha $q_l=0$ valamilyen $l$-re, akkor a fenti becsl\'es v\'egrehajthat\'o azzal a m\'odos\'{\i}t\'assal, hogy csak olyan $l$ indexet vesz\"unk figyelembe a fenti sz\'amol\'asban, amelyekre $q_l\neq0$. Mivel $\chi(l)=0$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az olyan $l$ indexekre, amelyekre $q_l=0$, a figyelembe vett indexeknek ez a megszor\'{\i}t\'ase nem okoz probl\'em\'at. \item{} Ha $F$ \'es $G$ k\'et v\'eges sok pontba koncentr\'alt eloszl\'as eloszl\'asf\"uggv\'enye, akkor legyen $X=\{x_1,\dots,x_k\}\subset R^1$ az a legkisebb halmaz, amelyre mind az $F$ \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ mind a $G$ \'altal meghat\'arozott $\mu_G$ m\'ert\'ekre $\mu_F(X)=1$, $\mu_G(X)=1$. Legyen $\mu_F(\{x_l\})=p_l$, $\nu_l(\{x_l\})=q_l$, $1\le l\le k$. Ha l\'etezik olyan $l$, amelyre $p_l=0$ (\'es $q_l>0$), akkor $I(G\|F)=\infty$ \'es el\'eg kis $\e>0$-ra $P(\supp_x|F_n(x)-G(x)|<\e)=0$, mert $P(\supp_x|F_n(x)-G(x)|<\e)\le P(F_n(x+0)-F_n(x-0)-q>-\e)$. Ha $p_l>0$ minden $1\le l\le k$-ra, akkor vegy\"uk \'eszre, hogy a feladatban bizony\'\i{}tott egyenl\H otlens\'eg bal \'es jobboldal\'an $e^{-n(I(G\|F)\pm C(\e))}$ szerepel. Ez\'ert $$ \align e^{-n(I(G\|F)+C(\e/k))}&\le P\(|\chi(l)-q_l|<\frac\e k,\;\text{minden }1\le l\le k\text{-ra}\) \\ &\le P\(\sup_{-\infty1>K_2>0$ \'es $N$ param\'eterek seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_{N+2}\}$ partici\'ot: $$ \bold C_l=\left\{u\colon\;K_1+\frac{(K_2-K_1)(l-1)}N\le\frac{d\nu}{d\mu}(u) 1$-t el\'eg nagynak, $1>K_2>0$-t el\'eg kicsinek v\'alasztjuk az $I(\nu\|\mu)$ v\'egess\'ege miatt el\'erhetj\"uk, hogy $\left|\int_{\bold C_{N+i}}\log\frac {d\nu}{d\mu}(u)\nu(\,du)\right|\le\frac \e4$ legyen, $i=1,2$. Ve\-gy\"uk \'eszre, hogy ha a $\bold C\subset Y$ halmaz olyan, hogy $a\le \frac{d\nu}{d\mu}(u)\le b$ minden $u\in \bold C$ pontban, $-\infty\le a0$-t el\'eg kicsinek, \'es $K_2>0$-t el\'eg nagynak v\'alasztjuk. Ez\'ert a bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez ebben az esetben azt kell megmutatni, hogy el\'eg nagy $N=N(K_1,K_2)$ sz\'amra $$ \sum_{l=1}^N\int_{\bold C_l}\left|\log\frac {d\mu}{d\nu}(u)-\log\frac{\mu(\bold C_l)}{\nu(\bold C_l)}\right|\,d\nu(u)\le \frac\e2. $$ Ez viszont k\"ovetkezik abb\'ol a t\'enyb\H ol, hogy el\'eg nagy $N$-re $$ \left|\log\frac{d\mu}{d\nu}(u)-\log\frac{\mu(\bold C_l)}{\nu(\bold C_l)}\right|\le \frac\e2, \quad\text{ha } u\in \bold C_l. $$ V\'eg\"ul tekints\"uk azt az esetet, amikor $I(\nu\|\mu)=\infty$, de a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre. Ez az eset hasonl\'oan t\'argyalhat\'o az el\H oz\H o esethez. Mivel $I(\nu\|\mu)=\infty$ v\'alaszthatunk olyan $\bold C_1$, $\bold C_2$, $\bold C_3$ halmazokat, $\bold C_1=\left\{u\colon\;\frac{d\nu}{d\mu}(u)K_2\right\}$ alkalmas $K_i=K_i(\e)$-nal, $i=1,2,3$, amelyekre $\nu(\bold C_1)\ge\frac12$, $\int_{\bold C_2}\frac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\nu(u) \ge\frac2\e$, \'es $\frac{d\nu}{d\mu}(u)>1$, ha $u\in \bold C_3$. Ekkor $\int_{\bold C_1\cup\bold C_3}\log \frac{d\nu}{d\mu}(u)\,d\nu(u)>-\log 2$. Az $I(\nu\|\mu)<\infty$ esetben t\'argyalt konstrukci\'o \'ervel\'es\'ehez hasonl\'oan kapjuk, hogy a $\bold C_2$ halmaznak l\'etezik olyan $\bold C_2=\bigcup\limits_{l=1}^N \BB_l$ partici\'oja, amelyre $$ \summ_{l=1}^N\log\frac{\nu(\BB_l)}{\mu(\BB_l)}\nu(\BB_l) \ge\frac1\e+\log2. $$ Ez\'ert az $\Cal C=\{\bold C_1,\bold C_3,\BB_1,\dots,\BB_N\}$ rendszer az $(Y,\Cal B)$ t\'er olyan partici\'oja, amelyre $I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\ge\frac1\e$. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa ebben az esetben is. \item{13.)} Tekints\"uk az \"osszes olyan $\A$ halmazt, amelyre teljes\"ul a fenti approxim\'aci\'os \'all\'{\i}t\'as. Ny\'{\i}lv\'an az $\Cal A^0=\bigcup\limits_{l=1}^{\infty}\Cal A_l$ uni\'o elemei ilyen halmazok. Tov\'abb\'a $\Cal A^0$ halmazalgebra. Ez\'ert el\'eg azt bel\'atni, hogy az adott tulajdons\'ag\'u halmazok $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast k\"ozvetlen\"ul is lehet ellen\H or\'{\i}zni. P\'eld\'aul, ha az $\A_l$, $l=1,2,\dots$, halmazok mindegyike teljes\'{\i}ti ezt a tulajdons\'agot, akkor az $\A=\bigcup\limits_{l=1}^\infty\A_l$ uni\'o is teljes\'{\i}ti azt. Ugyanis, minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $N=N(\e)$, amelyre $\mu_j\(\bigcup\limits_{l=1}^\infty\A_l\setminus \bigcup\limits_{l=1}^N\A_l\)\le \frac\e2$, $j=1,\dots,k$, \'es minden $\A_l$, $l=1,\dots,N$ halmazhoz l\'etezik olyan $\BB_l\in\Cal A^0$ halmaz, amelyre $\mu_j(\A_l\Delta\BB_l)\le\frac\e{2N}$, $j=1,\dots,k$. Ekkor a $\BB=\bigcup\limits_{l=1}^N \BB_l\in\Cal A^0$ halmazra $\mu_j(\A\Delta\BB)\le\e$ minden $j=1,\dots,k$-ra. Tov\'abb\'a az is nyilv\'anval\'o, hogy ha egy $\A$ halmazra teljes\"ul az approxim\'aci\'os tulajdons\'ag, akkor az $X\setminus\A$ halmazra is teljes\"ul. \item{14.)} Tekints\"uk el\H osz\"or azt az esetet, amikor a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. A 12.~feladat eredm\'enyei alapj\'an tetsz\H oleges $\e>0$-ra l\'etezik olyan $\Cal B$ v\'eges partici\'o, amelyre $$ I(\nu\|\mu)\ge I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B}) >I(\nu\|\mu)-\e,\;\quad\text {ha } I(\nu\|\mu)<\infty, $$ \'es $$ I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})\ge \frac1\e,\;\quad\text {ha } I(\nu\|\mu)=\infty. $$ Tov\'abb\'a az $I(\nu_{\Cal A_n}\|\mu_{\Cal A_n})$ sorozat monoton n\H o, \'es a limesze kisebb vagy egyenl\H o mint $I(\nu\|\mu)$. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy el\'eg nagy $n$-re \'es egy az $Y$ halmaz egy v\'eges m\'erhet\H{o} $\Cal B=\{\BB_1,\dots,\BB_r\}$ partici\'oj\'ara $$ I\(\nu_{\Cal A_n}\|\mu_{\Cal A_n}\)\ge I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})-\frac\e2. $$ Legyen $\Cal B=\{\BB_1,\dots,\BB_r\}$ az $Y$ halmaz olyan v\'eges m\'erhet\H{o} partici\'oja, amelyre $\mu(\BB_l)>0$ minden $1\le l\le r$ indexre. A 13. feladat eredm\'enye seg\'{\i}ts\'eg\'evel be fogjuk l\'atni, hogy tetsz\H oleges $\delta>0$-ra \'es $n>n(\delta)$-ra az $\Cal A_n=\{\A_1,\dots,\A_{p(n)}\}$ partici\'o ele\-meit $r$ oszt\'alyba lehet sorolni \'ugy, hogy a $j$-ik $j=1,\dots,r$ oszt\'alyba tartoz\'o $\A^{(j)}_{j(1)},\dots,\A^{(j)}_{j(s))}$, $s=s(n,j)$ halmazok $\A_{(j)}=\A_{n,(j)}=\bigcup\limits_{l=1}^{s}\A^{(j)}_{j(l)}$ uni\'oja teljes\'{\i}ti a $\mu(\A_{(j)}\Delta \BB_j)\le \delta$ \'es $\nu(\A_{(j)}\Delta \BB_j)\le \delta$, $j=1,\dots,r$, egyenl\H otlens\'egeket. El\'eg kis $\delta$ sz\'am v\'alaszt\'as\'aval e t\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk bizony\'{\i}tani a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eget. \item{} A 13. feladat eredm\'enye alapj\'an minden el\'eg nagy $n$-re \'es $\BB_j\in\Cal B$-re l\'etezik olyan $\bar{\A}_{(j)}\in \Cal A_n$ halmaz, ($\Cal A_n$-val jel\"olj\"uk az $\Cal A_n$ partici\'o elemeinek uni\'ojaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebr\'at is,) amelyre $\mu(\bar{\A}_j\Delta\BB_j)\le\frac\delta{4r}$, $\nu(\bar{\A}_j\Delta\BB_j)\le\frac\delta{4r}$, $j=1,\dots,r$. Ezek az $\bar{\A}_{(j)}$ halmazok nem felt\'etlen\"ul diszjunktak, \'es az uni\'ojuk nem mindig adja ki az eg\'esz teret, de mivel a $\BB_j$, $j=1,\dots,r$, halmazok diszjunktak, \'es az uni\'ojuk az eg\'esz $Y$ t\'er, ez\'ert $\mu\(\bigcup\limits_{j=1}^r\bar{\A}_{(j)}\)\ge1-\frac\delta4$, $\nu\(\bigcup\limits_{j=1}^r\bar{\A}_{(j)}\)\ge1-\frac\delta4$, $\mu(\bar{\A}_{(j)}\Delta\bar{\A}_{(j')})\le\frac \delta{2r}$ \'es $\nu(\bar{\A}_{(j)}\Delta\bar{\A}_{(j')})\le\frac \delta{2r}$, ha $j\neq j'$. Defini\'aljuk az $\A_{(j)}=\bar{\A}_{(j)}\setminus \bigcup\limits_{l=1}^{j-1}\bar{\A}_{(l)}$, $j=1,\dots,r-1$, \'es $\A_r=Y\setminus \bigcupp_{l=1}^{r-1}\A_l$ halmazokat. Ezek az $\A_{(j)}$ halmazok teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket. \item{} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy el\'eg kis $\delta>0$ sz\'amot, \'es el\'eg nagy $n$-re vezess\"uk be a $\Cal A_n$ partici\'o $\bar{\Cal A}_n =\{\A_{(1)},\dots,\A_{(s)}\} =\{\A_{n,(1)},\dots,\A_{n,(s)}\}$ durv\'{\i}t\'as\'at, ahol az $\A_{(j)}$ halmazok a $\BB_j$ halmazok el\H oz\H oekben defini\'alt approxim\'aci\'oi. Ekkor $I(\nu_{\bar{\Cal A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal A}_n})\le I(\nu_{\Cal A}\|\mu_{\Cal A})$, \'es mivel az $\A_{(j)}$ \'es $\BB_{(j)}$, $j=1,\dots,r$ halmazok $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'eke csak $\delta$-val t\'erhet el, ez\'ert $\left|I(\nu_{\bar{\Cal A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal A}_n})-I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})\right| \le\frac\e2$, ha $\delta$-t el\'eg kicsinek v\'alasztjuk. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa abban az esetben, ha a $\nu$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre. \item{} Az az eset, amikor a $\nu$ m\'ert\'ek nem abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre hasonl\'oan t\'argyalhat\'o, de egyszer\H ubb. Defini\'aljuk a $\Cal B=(\BB_1,\BB_2)$ partici\'ot, ahol $$ \BB_1=\left\{u\colon\; \frac{d\mu}{d\nu}(u)=0\right\},\quad \BB_2=\left\{u\colon\; \frac{d\mu}{d\nu}(u)>0\right\}. $$ Ekkor tetsz\H oleges $\delta>0$-ra \'es $n\ge n(\delta)$-ra az $\Cal A_n$ partici\'onak van olyan $\bar{\Cal A}=\{\bar{\A}_1,\bar{\A}_2\}$ durv\'{\i}t\'asa, amelyre $\nu(\bar{\A}_1)\ge\nu(\BB_1)-\delta$ \'es $\mu(\bar{\A}_1)\le\delta$. Innen k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy $I(\nu_{\Cal A}\|\mu_{\Cal A})\ge I(\nu_{\bar{\Cal A}_n}\|\mu_{\bar{\Cal A}_n})$, \'es $$ I(\nu_{\bar{\Cal A}}\|\mu_{\bar{\Cal A}})= \log\frac{\nu(\bar{\A}_1)}{\mu(\bar{\A}_1)}\nu(\bar{\A}_1)+ \log\frac{1-\nu(\bar{\A}_1)}{1-\mu(\bar{\A}_1)} (1-\nu(\bar{\A}_1))\ge\frac1\e, $$ ha $\delta>0$ el\'eg kicsi. Innen ad\'odik a feladat \'all\'{\i}t\'asa ebben az esetben is. \item{15.)} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\delta_n\to0$ sorozatot. Az $R^1$ sz\'amegyenes olyan egym\'asba skatuly\'azott (ny\'{\i}lt) intervallumokb\'ol, egyelem\H u halmazokb\'ol \'es k\'et f\'elegyenesb\H ol \'all\'o egym\'asba skatuly\'azott v\'eges $\Cal A_n$ partici\'oit tekintj\"uk, amelyekre az $\Cal A_n$ partici\'oban tartalmazott intervallumoknak \'es f\'elegyeneseknek a $G$ eloszl\'as \'altal meghat\'aroztott m\'ert\'eke kisebb mint $\delta_n$. \item{} L\'assuk be el\H osz\"or, hogy ilyen partici\'ok val\'oban l\'eteznek. Az $\Cal A_n$ partici\'o meg\-konst\-ru\'a\-l\'a\-sa \'erdek\'eben tekints\"unk egy $(-\infty, a)$, \'es $(b,\infty)$ f\'elegyenest, amelyeknek a $G$ eloszl\'as \'altal induk\'alt $\mu_G$ m\'ert\'eke kisebb mint $\delta_n$, \'es legyenek $y_1,\dots,y_k$ azok a pontok amelyekre $\mu_G(y_j)\ge \delta$. Defini\'aljuk a a $\bar \mu_G$ m\'ert\'eket a $\bar \mu_G(\A)=\mu_G((\A\cap[a,b])\setminus\{y_1,\dots,y_k\})$ k\'eplettel. Ekkor minden $x\in R^1$ pontnak van olyan $(x-\eta(x), x+\eta(x))$ k\"ornyezete, amelyre $\bar\mu_G\((x-\eta(x), x+\eta(x))\)<\delta$. Ezek lefedik a (kompakt) $[a,b]$ intervallumot, ez\'ert kiv\'alaszthat\'o ezen intervallumok k\"oz\"ul v\'eges sok, amelyek szint\'en lefedik az $[a,b]$ intervallumot. Tekints\"uk a sz\'amegyenesnek azt a partici\'oj\'at v\'eges szakaszokra, azok v\'egpontjaira (mint egyelem\H u halmazra) \'es k\'et f\'elegyenesre, amelyet ezen intervallumok v\'egpontjai \'es az $y_1,\dots,y_k$ pontok hat\'aroznak meg. Az \'{\i}gy defini\'alt $\bar{\Cal A}_n$ partici\'o nem egy pontb\'ol \'all\'o elemeinek a $\mu_G$ m\'ert\'ekes kisebb mint $\delta$. Legyen $\Cal A_n$ a $\bar{\Cal A}_k$, $k=1,\dots n$, partici\'ok k\"oz\"os finom\'{\i}t\'asa. Ez teljes\'{\i}ti a k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket. \item{} A 14. feladat eredm\'enye alapj\'an teh\'at tetsz\H oleges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik a sz\'am\-egye\-nes\-nek olyan egyelem\H u halmazokb\'ol, ny\'{\i}lt intervallumokb\'ol \'es k\'et f\'elegyenesb\H ol \'all\'o $\Cal A$ partici\'oja, amelyre $$ \align &\left|I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})-I(G\|F)\right|\le\frac\e2 \quad\text {ha } I(G\|F)<\infty \\ &I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})>\frac2{\e}\quad \text{ha } I(G\|F)=\infty, \endalign $$ \'es $\mu_G(A)\le\frac\e2$, ha $\A\in\Cal A$, \'es $\A$ nem egy pontb\'ol \'all. (Eml\'ekeztet\H o\"ul, ha $\Cal A=\{\A_1,\dots,\A_k\}$, akkor minden minden $\A_l\in \Cal A$, $l=1,\dots,k$, elemnek kijel\"olj\"uk egy $x_l$ pontj\'at, \'es az $F_{\Cal A}$ illetve $G_{\Cal A}$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt azok az eloszl\'asok \'altal meghat\'arozott eloszl\'asf\"uggv\'enyek, amelyek az $x_l$ \'ert\'eket $p_l=\mu_F(\A_l)$ illetve $q_l=\mu_G(\A_l)$ val\'osz\'{\i}n\H us\'eggel veszik fel.) Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,$ f\"uggetlen $F$ eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'egi v\'altoz\'ok. Ezek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak az $F_n(x)=\frac1n\summ_{j=1}^n \xi_jI(\xi_j\le x)$ empirikus el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Defini\'aljuk a $\bar\xi_j$, $j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H o m\'odon: Ha $\xi_j\in \A_l\in\Cal A$, akkor $\bar\xi_j=x_l$. Ekkor $\bar\xi_1,\bar\xi_2,\dots$ f\"uggetlen $F_{\Cal A}$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok, \'es a $\bar\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy a bel\H ol\"uk elk\'esz\'{\i}tett $\bar F_n=\bar F_{n,\Cal A}$ empirikus eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az $F_n(x)=\bar F_n(x)$, $F_n(x-0)=\bar F_n(x-0)$ azonoss\'agot minden olyan $x$ pontban, amely az $\Cal A$ partici\'oban szerepl\H o intervallumok valamelyik\'enek v\'egpontja. Innen, \'es a $\Cal A$ elemeinek $\mu_G$ m\'ert\'ek\'ere adott becsl\'esb\H ol k\"ovetkezik, hogy $$ \sup_x|F_n(x)-G(x)|-\e\le \sup_x\left|\bar F_n(x)-G_{\Cal A}(x)\right| \le\sup_x|F_n(x)-G(x)|+\e. $$ Viszont a 12. feladat eredm\'enye alapj\'an $$ -I\(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A}\)-C(\e) \le\frac1n \log P\(\sup_x\left|\bar F_n(x)-G_{\Cal A}(x)\right|>\e\)\le -I\(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A}\)-C(\e), $$ alkalmas $C(\e)$ f\"uggv\'ennyel, ha $n>n(\e)$, amelyre $C(\e)\to0$, ha $\e\to0$. Az utols\'o k\'et egyenl\H otlens\'egb\H{o}l \'es abb\'ol a t\'enyb\H ol, hogy $I(G_{\Cal A}\|F_{\Cal A})$ j\'ol approxim\'alja az $I(G\|F)$ $I$-divergenci\'at, k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{16.)} Az $L=L(\e)$ sz\'amot el\'eg nagyra v\'alasztva el\'erhetj\"uk, hogy az $$ \bar F(x)=P(\xi_1\le x|\,\,|\xi_1|\le L) $$ eloszl\'asf\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse a $\supp_x|\bar F(x)-F(x)|\le\e$ \'es az $|I(G\|\bar F)-I(G\|F)|\le \e$ egyenl\H otlens\'egeket. (Az ut\'obbi egyenl\H otlens\'eg teljes\"ul\'es\'ehez kell az a felt\'etel, hogy a $G$ eloszl\'as egy v\'eges intervallumba van koncentr\'alva.) Ez\'ert a 15. fel\-adat eredm\'eny\'eb\H ol ezzel a $\bar F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny v\'alaszt\'as\'aval k\"ovetkezik az ebben a fel\-adat\-ban fel\'{\i}rt becsl\'es az $\supp_x|F_n(x)-G(x)|\le\eta$ esem\'eny felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H us\'eg\'ere a $\{|\xi_k|\le L,\;1\le k\le n\}$ felt\'etel mellett. \item{} A 10. feladat eredm\'enye alapj\'an a nagy elt\'er\'es t\'etel fels\H o becsl\'es\'enek a bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz el\'eg megmutatni, hogy minden $\e>0$-ra \'es olyan $G$ eloszl\'asra, amelyre $a<\int u\,dG(u)0$ sz\'amot v\'alasztva \'es a $G$ f\"uggv\'enyt a $\bar G(x)=\frac{G(x)-G(-K)}{G(K)-G(-K)}$, $-k\le x\le K$, helyettes\'{\i}tve olyan f\"uggv\'enyt kapunk, amelyik szint\'en teljes\'{\i}ti a fenti egyen\-l\H ot\-len\-s\'e\-ge\-ket. (Pontosabban, a 10. fel\-adat\-ban felhaszn\'alt eredm\'eny nem alkalmazhat\'o abban a speci\'alis (elfajult) esetben, amikor az $R(t)=Ee^{t\xi_1}$ minden $t\ge0$-ra \'ertelmezve van, \'es $\limm_{t\to\infty}[\log R(t)]'=a$. De ezt az esetet, amikor $P(\xi_1\le a)=1$ re\-l\'a\-ci\'o is teljes\"ul, a {\it Nagy elt\'er\'esek elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok}\/ feladatsor 13. fel\-adat\'anak eredm\'enye le\'{\i}rja, \'es ezzel itt nem foglalkozunk. Feltehetj\"uk tov\'abb\'a, hogy $I(G\|F)<\infty$, mert k\"ul\"onben az \'all\'{\i}t\'as ny\'{\i}lv\'anval\'o.) Alkalmazzuk a fel\-adat els\H o \'all\'{\i}t\'as\'at ezt az \'all\'{\i}t\'ast kiel\'eg\'{\i}t\H o $G$ \'es $\bar F$ eloszl\'assal, $\e$ helyett $\e'=\frac12\(\int u\,dG(u)-a\)$ param\'eter v\'alaszt\'assal. Ekkor $\e'\le \e$, \'es ha $\e>0$ el\'eg kicsi, akkor az $\e'\le\frac 12\(b-\int u\,dG(u)\)$ egyenl\H otlens\'eg is teljes\"ul. Azt kapjuk, hogy $$ P\(\left.\omega\colon\; |F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta\right| |\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)\ge e^{-nI(G\|\bar F) -nC(\eta,\e')}, $$ $|IG(\|F)-I(G\|\bar F)|\le\e'$. Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni azt, hogy el\'eg kis $\eta=\eta(L)>0$-ra $$ \left\{\omega\colon\; \supp_x |F_n(x,\omega)- G(x)|\le \eta,\right\}\cap \A_n \subset\left\{\omega\colon\; \frac{S_n(\omega)}n\in [a,b]\right\}, $$ ahol $\A_n=\A_n(L)=\{\omega\colon\;|\xi_k(\omega)| \le L,\;1\le k\le n\}$, \'es $L>0$ ugyanaz a sz\'am, amely az el\H obb tekintett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H us\'eg felt\'etel\'eben szerepel. Innen ugyanis k\"ovetkezik, hogy $$ \align P\(\frac{S_n(\omega)}n\in [a,b]\)&\ge P\(\left.|F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right| |\xi_k(\omega)|\le L,\;1\le k\le n\)P(\A_n)\\ &\ge e^{-nI(G\|\bar F)-nC(\eta,\e')}P(|\xi_1|\le L)^n \ge e^{-nI(G\|\bar F)-n \bar C(\eta,\e)}, \endalign $$ ahol $\bar C(\e)\to0$, ha $\e\to\infty$. Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy $\omega\in A_n$ \'es $\left\{\omega\colon\;\supp_x |F_n(x,\omega)-G(x)|\le \eta,\right\}$ eset\'en $$ \align \left|\frac{S_n(\omega)}n-\int u\,dG(u)\right|&=\left|\int u\,dF_n(u,\omega)-\,dG(u)\right| \\ &\le \int_{-L}^L |F_n(u,\omega)-G(u)|\, du\le L\eta. \endalign $$ Viszont el\'eg kis $\eta>0$-ra $L\eta\le\int u\,dG(u)-a$ \'es $L\eta\le b-\int u\,dG(u)$. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{17.)} Mivel $\mu\notin\bold F$, \'es $\bold F$ z\'art, azaz $X\setminus \bold F$ ny\'{\i}lt halmaz, ez\'ert l\'etezik az $\mu\in X$ pontnak az $\bold F$ halmazt\'ol diszjunkt $\bold U=\{\nu\colon\;|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|<\e,\;1\le l\le k\}$ ny\'{\i}lt k\"ornyezete, ahol $\BB_l$ az $(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o r\'eszhalmazai. Legyen Defini\'aljuk a $\bold G_1=\{\nu\colon\;|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|<\e/4,\;1\le l\le k\}$ \'es $\bold G_2=X\setminus\{\nu\colon\;|\nu(\BB_l)-\mu(\BB_l)|\le\e/2, \;1\le l\le k\}$ halmazokat. Ezek a $\bold G_1$, $\bold G_2$ ny\'{\i}lt halmazok teljes\'{\i}tik a $T_3$ tulajdons\'agban szerepl\H o felt\'eteleket. \item{} A $\bold K=\bold K(\BB,\e)=\{\nu\colon\;|\nu(\BB)-\mu(\BB)|\le\e\}$ halmaz, ahol $\BB$ az $(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o r\'eszhalmaza, a $\mu$ pontot tartalmaz\'o z\'art halmaz. Az \"osszes ilyen halmaz metszete szint\'en z\'art, \'es egyed\"ul a $\mu$ pontot tartalmazza. Ez\'ert a $\{\mu\}$ halmaz z\'art. \item{18.)} Tekints\"uk az $Y$ t\'er v\'eges $\Cal D=\{\bold D_1,\dots,\bold D_k\}$ v\'eges partici\'oj\'at, \'es adva k\'et $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ek az $(X,\Cal X)$ t\'eren, legyen $I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal D})=\summ_{l=1}^k\log\frac{\nu(\bold D_l)}{\mu(\bold D_l)} \nu(\bold D_l)$ az $I(\nu\|\mu)$ m\'ert\'ek vet\"ulete a $\Cal D$ partici\'ora. A $I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal D})$ f\"uggv\'eny r\"ogz\'{\i}tett $\mu$ m\'ert\'ekkel mint a $\nu$ m\'ert\'ek f\"uggv\'enye folytonos, ha a partici\'ot \'ugy v\'alasztjuk, hogy $\mu(\bold D_l)>0$ minden $l=1,\dots,k$-ra. Viszont a 12. feladat eredm\'enye alapj\'an v\'alaszthatunk $\Cal D_n$ partici\'oknak olyan sorozat\'at, amelyekre $\limm_{n\to\infty}I(\nu_{\Cal D_n}\|\mu_{\Cal D_n})= \supp_n I(\nu_{\Cal D_n}\|\mu_{\Cal D_n})= I(\nu_{\Cal D}\|\mu_{\Cal D})$. Mivel (alulr\'ol f\'elig) folytonos f\"uggv\'enyek szupr\'emuma alulr\'ol f\'elig folytonos, innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{19.)} Tekints\"unk egy olyan $\nu\in \bold G$ m\'ert\'eket, amelyre $I(\nu\|\mu)\le\inff_{\chi\in \bold G}I(\chi\|\mu)+\e$, \'es te\-kint\-s\"uk ennek olyan $\bold U$ k\"ornyezet\'et, amelyre $\bold U\subset\bold G$, \'es $\bold U$ a k\"ovetkez\H o alak\'u: $\bold U=\{\chi\colon\;\chi\in X, |\chi(\BB_1)-\nu(\BB_l)|<\e, \;l=1,2,\dots,k\}$ alkalmas $\e>0$ sz\'ammal \'es $\Cal B=\{\BB_1,\dots,\BB_l\}$ az $Y$ t\'er alkalmas partici\'oja. Tekints\"uk a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekek vet\"ulet\'et ezekre a partici\'okra. Jel\"olj\"uk ezeket $\mu_{\Cal B}$ \'es $\nu_{\Cal B}$-vel, \'es vizsg\'aljuk ezek $I$-divergenci\'aj\'at. A 12. feladat eredm\'enye alapj\'an $I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})=\summ_{l=1}^p \log \frac{\nu(\bold B_l)}{\mu(\bold B_l)}\nu(\bold B_l)\le I(\nu\|\mu)$. Ez\'ert a 11. feladat eredm\'eny\'et felhaszn\'alva kapjuk, hogy $I(\mu_{\Cal B}\|\nu_{\Cal B})\le\inff_{\chi\in\bold G} I(\chi\|\mu)+\e$, \'es $\mu_n(\bold G)\ge\mu_n(\bold U)\ge e^{-n(I(\nu_{\Cal B}\|\mu_{\Cal B})-C(\e))}$, alkalmas $C(\e)$ sz\'ammal, ha $n\ge n(\e)$. Tov\'abb\'a, $C(\e)\to0$, ha $\e\to0$. Ez\'ert $$ \mu_n(\bold G)\ge \inff_{\chi\in\bold G} e^{-n(I(\chi\|\mu)-\e-C(\e))},\quad\text{ha }n\ge n(\e). $$ Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa. \item{20.)} A feladat \'all\'{\i}t\'asa kapcsol\'odik a funkcion\'alanal\'{\i}zis egyik klasszikus eredm\'eny\'ehez, amely szerint egy Banach t\'er du\'alis ter\'enek z\'art egys\'egg\"ombje a gyenge to\-po\-l\'o\-gi\'a\-ban kompakt. Term\'eszetesebbnek t\H unik viszont e t\'etelre val\'o hivatkoz\'as helyett a bizony\'{\i}t\'as m\'odszer\'et adapt\'alni. Ez a Tyihonov t\'etel alkalmaz\'asa, a topol\'ogikus t\'er ter\-m\'e\-sze\-tes be\'agyaz\'asa a $[0,1]$ intervallum (a szok\'asos topol\'ogi\'aval) nagy sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'u p\'el\-d\'a\-ny\'a\-nak direkt szorzat\'aba. Ez ut\'obbi t\'er kompakt a Tyihonov t\'etel szerint. \item{} Tekints\"unk az $(Y,\Cal B)$ minden m\'erhet\H o $\BB\subset \Cal B$ r\'eszhalmaz\'ara egy $(Z_{\BB}, \Cal C_{\BB})$ teret, amely a $[0,1]$ intervallum a szok\'asos topol\'ogi\'aval. Legyen ezek direkt szorzata a szorzattopol\'ogi\'aval $(\bold Z,\Cal C)=\prodd_{\BB\in \Cal B}(Z_{\BB},\Cal C_{\BB})$. A $\bold Z$ t\'er felfoghat\'o mint azokb\'ol a f\"uggv\'enyekb\H ol \'all\'o halmaz, amelyek az $Y$ t\'er $\Cal B$ m\'erhet\H o halmazait k\'epezik le a $[0,1]$ intervallumra. A $\Cal C$ topol\'ogia ny\'{\i}lt halmazait pedig ezen a t\'eren a $\{z_{\BB_1}\in \bold G_1,\dots,z_{\BB_k}\in\bold G_k\}$ halmazok gener\'alj\'ak, ahol $k=1,2,\dots,$, $\BB_1,\dots,\BB_k$ az $Y$ halmaz m\'erhet\H o halmazai, $\bold G_1,\dots,\bold G_k$ pedig a $[0,1]$ intervallum ny\'{\i}lt r\'eszhalmazai. Vegy\"uk \'eszre, hogy $X\subset \bold Z$, \'es az $X$ t\'eren bevezetett $\Cal X$ $\tau$ topol\'ogia a $\bold Z$ t\'eren defini\'alt $\Cal C$ topol\'ogia megszor\'{\i}t\'asa az $X$ t\'erre. \'Igy az $(X,\Cal X)$ teret be\'agyaztuk egy kompakt topol\'ogikus t\'erbe. Tudjuk, hogy egy kompakt halmaz z\'art r\'eszhalmazai szint\'en kompaktak. Ezenk\'{\i}v\"ul azt is tudjuk (a 18. feladat eredm\'enye), hogy minden $\mu\in X$-re az $I(\cdot\|\mu)$ $I$-divergencia alulr\'ol f\'elig folytonos f\"uggv\'eny az $(X,\Cal X)$ t\'eren. Egy alulr\'ol f\'elig folytonos $I(\cdot)$ f\"uggv\'eny $\{x\colon\; I(x)\le R\}$ tipus\'u n\'{\i}v\'ohalmazai z\'artak. Ezen t\'enyek alapj\'an pr\'ob\'aljuk meg bebizony\'{\i}tani a feladat \'all\'{\i}t\'as\'at. A probl\'em\'at az okozza, hogy az $I$-divergencia a $(\bold Z,\Cal C)$ kompakt t\'ernek csak egy $X$ r\'eszhalmaz\'an van \'ertelmezve, \'es ennek topol\'ogiai tulajdons\'agair\'ol semmit sem tudunk. E neh\'ezs\'egen \'ugy seg\'{\i}t\"unk, hogy az $X$ teret begy\'azzuk a $\bold Z$ egy $\bold Z_0$ z\'art r\'eszhalmaz\'aba (ez a $\bold Z_0$ halmaz val\'oj\'aban az $X$ t\'er lez\'artja, de erre a t\'enyre nincs sz\"uks\'eg\"unk), \'es az $I$-divergencia f\"uggv\'enyt kiterjesztj\"uk az $X$ halmazr\'ol a kompakt $\bold Z_0$ halmazra \'ugy, hogy a kiterjesztett f\"uggv\'eny is alulr\'ol f\'elig folytonos. R\'aad\'asul a kiterjesztett f\"uggv\'eny \'ert\'eke a $\bold Z_0\setminus X$ halmazon $\infty$. E t\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel nem lesz neh\'ez bizony\'{\i}tani a feladat \'all\'{\i}t\'as\'at. \item{} Defini\'aljuk a $\bold Z_0\subset \bold Z$ halmazt mint a k\"ovetkez\H{o} metszetet: $\bold Z_0=\bigcapp_{\Cal U} \bold Z_{\Cal U}$, ahol az $\Cal U$ indexhalmaz jel\"oli az $Y$ halmaz \"osszes v\'eges partici\'oj\'at m\'erhet\H o halmazokra, \'es az $Y$ t\'er egy $\Cal U=\{\BB_1,\dots,\BB_k\}$, $\BB_l\in \Cal B$, $l=1,\dots, k$ v\'eges partici\'oj\'ara legyen $$ \bold Z_{\Cal U}=\left\{z\colon\; z\in \bold Z,\;\summ_{l=1}^k z_{\bold B_l}=1\right\}. $$ Ekkor $\bold Z_0$ a $\bold Z$ halmaz z\'art r\'eszhalmaza, mivel a z\'art $\bold Z_{\Cal U}$ halmazok metszete. A $\bold Z_0$ halmaz az $(Y,\Cal B)$ t\'er m\'erhet\H o halmazain \'ertelmezett v\'egesen additiv nem negat\'{\i}v \'ert\'ek\H u 1-re norm\'alt halmazf\"uggv\'enyeib\H ol \'all, ez\'ert $X\subset \bold Z_0$. \item{} Az $I$-divergencia kiterjeszt\'es\'enek \'es tulajdons\'againak bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben jegyezz\"uk meg, hogy ha $\nu$ \'es $\mu$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ek, akkor $$ I(\nu\|\mu)=\sup_{\Cal U} I(\nu_{\Cal U}\|\mu_{\Cal U})=\supp_{\{\BB_1,\dots,\BB_k\}}\summ_{l=1}^k\log \frac{\nu(\BB_l)}{\mu(\BB_l)}\nu(\BB_l), \quad\Cal U=\{\BB_1,\dots,\BB_k\} $$ ahol a szupr\'emum az $Y$ t\'er $\Cal U=\{\BB_1,\dots,\BB_l\}$ v\'eges (m\'erhet\H o) partici\'oj\'ara v\'etetik. (Ez k\"ovetkezik a 12. feladat eredm\'eny\'eb\H ol.) Defini\'aljuk az $I(\nu\|\mu)$ f\"uggv\'enyt (r\"ogz\'{\i}tett $\mu$ m\'ert\'ekkel) minden $\nu\in \bold Z_0$-re, azaz akkor is, ha $\nu$ addit\'{\i}v, de nem $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny az el\H obb fel\'{\i}rt szupr\'emum seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor $I(\cdot\|\mu)$ alulr\'ol f\'elig folytonos, mert (alulr\'ol f\'elig) folytonos f\"uggv\'enyek szupr\'emuma. Be\-l\'at\-juk, hogy az \'{\i}gy kiterjesztett $I$-divergenci\'ara $I(\nu\|\mu)=\infty$, ha $\nu\in \bold Z_0\setminus X$ (\'es $\mu\in X$). Ugyanis az, hogy a pozit\'{\i}v \'ert\'ek\H u, addit\'{\i}v $\mu$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v azzal ekvivalens, hogy tetsz\H oleges $\bold B_n\in \bold B$ halmazsorozatra, amelyre $\BB_n\supset \BB_{n+1}$, $n=1,2,\dots$, \'es $\bigcapp_{n=1}^\infty \BB_n=\emptyset$, $\limm_{n\to\infty}\mu(\BB_n)=0$. Mivel $\mu\in X$, \'es $\nu\in \bold Z_0\setminus X$, l\'etezik olyan lesz\'all\'o $\BB_n\in \Cal B$ az \"ures halmazhoz tart\'o $\BB_n$ halmazsorozat, amelyre $\limm_{n\to\infty}\mu(\BB_n)=0$ \'es $\limm_{n\to\infty}\nu(\BB_n)=\alpha>0$. Ez\'ert tekintve az $\Cal U_n=\{\BB_n,Y\setminus\BB_m\}$ partici\'okat $I(\nu\|\mu)\ge\limm_{n\to\infty}I(\nu_{\Cal U_n}\|\mu_{\Cal U_n})=\infty$. \item{} A fentiek alapj\'an k\"onnyen bizony\'{\i}that\'o a feladat \'all\'{\i}t\'asa. Mivel $\bold Z_0$ a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'er z\'art r\'esz\-hal\-ma\-za, a $\bold Z_0$-ra kiterjesztett $I(\cdot\|\mu)$ halmaz alulr\'ol f\'elig folytonos, ez\'ert az $\A(R)=\{\nu\colon\; \nu\in \bold Z_0,\,I(\nu\|\mu)\le R\}$ halmaz minden $0\le R<\infty$ sz\'amra a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'er z\'art, ez\'ert kompakt r\'eszhalmaza. Viszont $\A(R)\subset X$. Innen nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\A(R)$ nemcsak a $(\bold Z,\Cal C)$ t\'eren, hanem annak megszor\'{\i}t\'as\'an az $(X,\Cal X)$ t\'eren is kompakt. \item{21.)} Mint az el\H oz\H o feladatban l\'attuk, az $(X,\Cal X)$ t\'er be\'agyazhat\'o egy kompakt $T_2$ t\'erbe. (A $[0,1]$ t\'er \"onmag\'aval vett nagy p\'eld\'anysz\'am\'u direkt szorzat\'aba.) A topol\'ogia standard eredm\'enyei alapj\'an egy kompakt $T_2$ t\'er $T_4$ t\'er. (Tetsz\H oleges k\'et diszjunkt z\'art halmaznak l\'etezik diszjunkt ny\'{\i}lt k\"ornyezete.) Egy $T_4$ t\'er egyben $T_\rho$ t\'er, \'es annak tetsz\H oleges altere, teh\'at p\'eld\'aul az $(X,\Cal X)$ t\'er is $T_\rho$ t\'er. \item{22.)} V\'alasszunk minden $\nu\in\bold K$ m\'ert\'ekre a $\nu$ m\'ert\'eknek egy olyan $\bold G(\nu,\e)$ ny\'{\i}lt k\"or\-nye\-ze\-t\'et, amelyre $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \bold Q_n((\bold G,\nu))>I(\nu)-\e$. Ezen halmazok lefedik a $\bold K$ halmazt. Vegy\"uk a $\bold K$ halmaznak egy ilyen halmazokb\'ol \'all\'o v\'eges $\bold G (\nu_1,\e)$,\dots, $\bold G(\nu_m,\e)$ fed\'es\'et. Ekkor el\'eg nagy $n$ indexre $$ \bold Q_n(\bold K)\le \summ_{l=1}^m\bold Q_n(\bold G_l)\le \const\supp_{1\le k\le m} e^{-n(I(\nu_k)-2\e)}\le \const \supp_{\nu\in \bold K}e^{-n(I(\nu)-2\e)}. $$ Innen k\"ovetkezik a (iii$'$) tulajdons\'ag. \item{} L\'assuk be, hogy az $I(\cdot\|\mu)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a feladat felt\'eteleit. Az $I(\cdot\|\mu)$ f\"uggv\'eny alulr\'ol f\'elig folytonos a 18. feladat eredm\'enye alapj\'an. Te\-kint\-s\"uk az $Y$ t\'er egy alkalmas v\'eges $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$ partici\'oj\'at, vegy\"unk egy kis $\delta>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk egy $\nu\in X$ pont alkalmas ny\'{\i}lt k\"ornyezet\'et a k\"ovetkez\H o m\'odon: $\bold G(\nu,\e)=\{\chi\colon\; \chi\in X, |\chi(\bold C_j)-\nu(\bold C_j)|<\delta,\;j=1,\dots k\}$, $\delta=\delta(\e)$. A 12. fel\-adat eredm\'enye alapj\'an alkalmas $\Cal C$ partici\'o v\'alaszt\'as\'aval el\'erhet\H{o}, hogy az $I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\ge I(\nu\|\mu)-\frac \e2$ ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es $I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})>\frac1\e$, ha $I\nu\|\mu)=\infty$ egyenl\H{o}tlens\'egek teljes\"uljenek. M\'asr\'eszt a 11. fel\-adat\-ban bizony\'{\i}tott (3) egyenl\H{o}tlens\'eg jobb\-ol\-da\-la alapj\'an $\bold Q_n(\bold G(\nu,\e)) 0$ sz\'amot el\'eg kicsinek v\'alasztjuk, \'es $n\ge n(\delta)$. (Jelen esetben a (3) formul\'at\'ol elt\'er\H{o} jel\"ol\'est haszn\'alunk. A $\bold Q_n(\bold G(\nu,\e))$ kifejez\'es j\'atssza a (3) formul\'aban szerepl\H{o} $\mu^{(n)}(\cdot)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg sze\-re\-p\'et, \'es ott $\delta=\delta(\e)$-t \'{\i}runk $\e$ helyett. Tov\'abb\'a a $\mu^{(n)}(\cdot)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre a (3) formul\'aban adott fels\H{o} becsl\'es a mostani jel\"ol\'esben a $e^{-nI(\nu\|\mu)-nC(\delta)}$ kifejez\'essel egyenl\H{o}.) Ez\'ert $\liminff_{n\to\infty}-\frac1n\log \bold Q_n(\bold G(\nu,\e))\ge I(\nu\|\mu)-\e$, ha $I(\nu\|\mu)<\infty$, \'es na\-gyobb mint $\frac1\e$, ha $I(\nu\|\mu)=\infty$. \item{23.)} Tetsz\H oleges $\Cal C\in \Cal C^*$-ra, $\e\ge0$-ra $$ \mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\le \mu^{(n)}\({\mu_n}_{\Cal C}\in \bold F_{\Cal C}\)\le \mu^{(n)}\({\mu_n}_{\Cal C}\in\[\bold F_{\Cal C}\]\) \le\sup_{\nu\in \[\bold F_{\Cal C}\]} e^{-n(I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})-\e)}, $$ ha $n>n(\e,\Cal C)$. Ez p\'eld\'aul k\"ovetkezik a 22. feladat eredm\'eny\'eb\H ol, \'es abb\'ol a t\'enyb\H ol, hogy $\[\bold F_{\Cal C}\]$ kompakt halmaz az $(X_{\Cal C},\Cal A_{\Cal C})$ t\'eren. (Egy\'ebk\'ent ez az egyen\-l\H ot\-len\-s\'eg elemien is levezethet\H o.) Innen logaritmust v\'eve kapjuk, hogy $$ \liminf_{n\to\infty}-\frac1n \log\mu^{(n)}(\mu_n\in \bold F)\ge \inf_{\nu\in \[\bold F_{\Cal C}\]} I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\). $$ Szupr\'emumot v\'eve $\Cal C\in \Cal C^*$-re kapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast. \item{24.)} Tekints\"unk egy $L> \supp_{\Cal C\in\Cal C^*}\inff_{\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]}I\(\nu_{\Cal C} \|\mu_{\Cal C}\)$ sz\'amot. A (4) formul\'aban szerepl\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell bel\'atni, hogy ez az $L$ sz\'am fels\H o becsl\'es az egyenl\H otlens\'eg jobboldal\'ara is. Ennek \'erdek\'eben el\H osz\"or l\'assuk be azt, hogy l\'etezik olyan $\nu\in (X,\Cal A)$, amelyre $\nu_{\Cal C}\in\[\bold F_{\Cal C}\]$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$-re, \'es $I(\nu\|\mu)\le L$. Viszont nem \'all\'{\i}tjuk, --- legal\'abbis egyel\H{o}re, --- hogy a $\nu\in\bold F$ rel\'aci\'o is teljes\"ul. \item{} A $\bold D_{\Cal C}=\left\{\nu\colon\; \nu\in X,\; \nu_{\Cal C}\in\[\bold F_{\Cal C}\],\; I(\nu \|\mu)\le L\right\}$ halmaz kompakt minden $\Cal C\in\Cal C^*$-ra, mivel a 20. feladat alapj\'an egy kompakt \'es egy z\'art halmaz metszete. (A $\{\nu\colon\;\nu\in X, \nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]\}$ halmaz z\'art. Ez k\"ovetkezik abb\'ol, hogy a $\nu\to\nu_{\Cal C}$ lek\'epez\'es folytonos.) Tov\'abb\'a a $\bold D_{\Cal C}$ halmaz nem \"ures, mivel l\'etezik olyan $\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]$, amelyre $I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\le L$, \'es arra a $\nu\in X$ m\'ert\'ekre, amelyet a $\nu(\bold D)=\frac{\mu(\bold D)}{\mu(\bold C_l)}\nu_{\Cal C}(x_l)$, $l=1,\dots,k$, k\'eplet defini\'al, ha $\bold D\subset \bold C_l$, ahol $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}$, \'es $x_l$ a $\bold C_l$-hez rendelt pont, $I(\nu\|\mu)=I(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C})\le L$. Tov\'abb\'a az \'{\i}gy defini\'alt $\nu$ m\'ert\'ek ,,vet\"ulete" a $\Cal C$ partici\'ora a fenti $\nu_{\Cal C}$ m\'ert\'ek, amely eleme az $\[\bold F_{\Cal C}\]$ halmaznak. Azt akarjuk bel\'atni, hogy $\bigcapp_{\Cal C\in \Cal C^*} \bold D_{\Cal C}\neq \emptyset$. A $\bold D_{\Cal C}$ halmazok kompakts\'aga miatt el\'eg azt bel\'atni, hogy v\'eges sok $\bold D_{\Cal C_1}$,\dots, $\bold D_{\Cal C_p}$ halmaz metszete nem \"ures. Legyen $\bar {\Cal C}$ olyan v\'eges partici\'o, amely finomabb mint a $\Cal C_1,\dots,\Cal C_p$ partici\'ok mindegyike, \'es legyen $\nu\in\bold D_{\bar{\Cal C}}$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ekkor $\nu\in\bold D_{\Cal C_l}$ minden $l=1,\dots,p$-re. Ehhez azt kell bel\'atni, hogy mivel $\Cal C_l$ durv\'{\i}t\'asa a $\bar {\Cal C}$ partici\'onak, ha $\nu_{\bar{\Cal C}}\in\[\bold F_{\bar{\Cal C}}\]$, akkor $\nu_{\Cal C_l}\in\[\bold F_{\Cal C_l}\]$. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy ha $\nu_{\bar{\Cal C}}\in\[\bold F_{\bar{\Cal C}}\]$, akkor l\'etezik olyan $\nu^{(n)}\in X$, $n=1,2,\dots$, m\'ert\'eksorozat, amelyre $\nu^{(n)}_{\bar{\Cal C}} \in \bold F_{\bar{\Cal C}}$, azaz $\nu^{(n)}_{\bar{\Cal C}}$ eleme a $\bold F_{\bar{\Cal C}}$ halmaznak \'es nemcsak annak lez\'artj\'anak, \'es $\limm_{n\to\infty}\nu^{(n)}_{\bar{\Cal C}}(x_m) =\nu_{\bar{\Cal C}}(x_m)$ minden $m=1,\dots,p$-re, ahol $\bar{\Cal C}=\{\bar{\bold C}_1,\dots,\bar{\bold C}_p\}$, \'es $x_m$ a $\bar{\bold C}_m$ halmazhoz rendelt pont. Mivel a $\Cal C_l$ partici\'o elemei ilyen (diszjunkt) $\bar{\bold C}_m$ halmazok uni\'oi, innen k\"ovetkezik, hogy $\nu^{(n)}_{\Cal C_l}\in \bold F_{\Cal C_l}$, \'es $\limm_{n\to\infty}\nu^{(n)}_{\Cal C_l}=\nu_{\Cal C_l}$. Ez\'ert $\nu_{\Cal C_l}\in\[\bold F_{\Cal C_l}\]$. \item{} Legyen $\nu\in \bold D_{\Cal C}$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$ partici\'ora. Ekkor, mivel $\nu_{\Cal C}\in\[\bold F_{\Cal C}\]$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$ partici\'ora, \'es $\bold F$ z\'art halmaz, ez\'ert $\nu\in \bold F$. Val\'oban, ha $\nu\notin \bold F$ lenne, akkor az $(X,\Cal X)$ t\'er $T_3$ tulajdons\'aga miatt l\'etezne olyan $\Cal C=\{\bold C_1,\dots,\bold C_k\}\in\Cal C^*$ partici\'o, \'es $\e>0$, amelyre az $\bold U=\{\chi\colon\;\chi\in X,\,|\chi(\bold C_l)-\nu(\bold C_l)|<\e\text { minden }1\le l\le k\text{-ra}\}$ halmaz a $\nu\in X$ pontnak, a $\bold V=\{\chi\colon\;\chi\in X,\,|\chi(\bold C_l)-\nu(\bold C_l)|>2\e\text { valamely }1\le l\le k\text{-ra}\}$ halmaz az $\bold F$ z\'art halmaznak a ny\'{\i}lt k\"ornyezete, \'es $\bold U\cap\bold V=\emptyset$. Ez viszont ellentmond a $\nu_{\Cal C}\in \[\bold F_{\Cal C}\]$ rel\'aci\'onak. \item{}A bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H otlens\'eg jobboldala fel\"ulr\H ol becs\"ulhet\H o a $\supp_{\Cal C\in \Cal C^*}I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)$ kifejez\'essel egy olyan $\nu\in X$ m\'ert\'ekkel, amelyre $\nu\in \bold D_{\Cal C}$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$ partici\'ora. Mivel erre a $\nu$ m\'ert\'ekre $\supp_{\Cal C\in \Cal C^*}I\(\nu_{\Cal C}\|\mu_{\Cal C}\)\le I(\nu\|\mu)\le L$ minden $\Cal C\in \Cal C^*$ partici\'ora, innen k\"ovetkezik a (4) formul\'aban fel\'{\i}rt egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg. V\'eg\"ul a (4) formul\'aban fel\'{\i}rt azonoss\'ag a 12. feladat k\"ovetkezm\'enye. \item{} A 23. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l \'es a 24. feladatban m\'ar bebizony\'{\i}tott (4) formul\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik a nagy elt\'er\'es t\'etel iii.) tulajdons\'aga a Szanov t\'etel felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en. \item{25.)} Mutassuk meg el\H osz\"or azt, hogy a feladatban defini\'alt $\bold F$ halmaz z\'art, azaz, ha $\nu\notin \bold F$, akkor l\'etezik a $\nu$ pontnak olyan $\bold U(\nu)$ k\"ornyezete, amelyre $\bold U(\nu)\cap \bold F=\emptyset$. Minden $\nu\in X$-re l\'etezik olyan $\e>0$, amelyre $\nu(\{(0,\e)\})\le\frac13$. Ez\'ert az $\bold F$ halmaz \'es a $\nu\in X$ pont $\bold U_1(\nu)=\left\{\chi\colon\; \left|\chi(\{(0,\e)\})-\nu(\{(0,\e)\})\right|<\frac13\right\}$ k\"ornyezet\'enek a metszete v\'eges. Legyen $N=[\e^{-1}]$, ahol $[\cdot]$ eg\'esz r\'eszt jelent. Ekkor $n>N$ indexre $\mu_n\notin\bold U_1(\nu)$. Ha $\nu\notin F$ akkor v\'alasszunk minden $k\le N$ indexre olyan $\e_k>0$ sz\'amot, amelyre vagy $\left|\nu\(\left\{\frac1k\right\}\)- \mu_k\(\left\{\frac1k\right\}\)\right|>\e_k$ vagy $\left|\nu\(\left\{\frac34\right\}\)- \mu_k\(\left\{\frac34\right\}\)\right|>\e_k$. Mivel $\nu\neq\mu_k$ ez lehets\'eges. Legyen $\e=\min\limits_{k\le N}\e_k$, \'es defini\'aljuk az $$ \allowdisplaybreaks \align U_2(\nu)&=\left\{\chi\colon\; \left|\chi\(\left\{k^{-1}\right\}\)- \nu\(\left\{k^{-1}\right\}\)\right|>\e,\;\text {ha }k\le N\right\} \intertext {\'es} U_3(\nu)&=\left\{\chi\colon\;\left|\chi\(\left\{\frac34\right\}\)- \nu\(\left\{\frac34\right\}\)\right|>\e\right\} \endalign $$ halmazokat. Ekkor az $U(\nu)=U_1(\nu)\cap U_2(\nu)\cap U_3(\nu)$ halmaz a $\nu$ m\'ert\'eknek az $\bold F$ halmazt\'ol diszjunkt k\"ornyezete. Teh\'at az $\bold F$ halmaz z\'art. \item{} Az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz a k\"ovetkez\H o $\bar \mu_n$ m\'ert\'ekekb\H{o}l \'all: $\bar\mu_n(\{x_1\})=1-\frac1n$, $\bar\mu_n(\{x_2\})=\frac1n$. Ezek a m\'ert\'ekek konverg\'alnak a $\bar\mu$ m\'ert\'ekhez, $\bar\mu(\{x_1\})=1$, amely nem szerepel a $\bar\mu_n$ m\'ert\'ekek k\"oz\"ott. Innen k\"ovetkezik, hogy az $\bold F_{\Cal C}$ halmaz nem z\'art. \item{26.)} Tetsz\H oleges $y_1,\dots, y_k$, $y_j\in Y$, $j=1,\dots,k$ pontokra, $1\le k\le n$, \'es $j_1,\dots,j_k$, $\summ_{p=1}^k j_p=n$, pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokra defini\'aljuk a $$ \align \bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)&=\bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k,n)\\ &=\left\{\mu\colon\; \mu\in X, \; \left|\mu(\{y_p\}-\frac{j_p}n\right|<\frac1n\right\} \endalign $$ halmazokat. Adva egy $\BB\subset Y$ halmaz, defini\'aljuk a $$ \bold G=\cup_{k=1}^n\bigcupp_{((y_1,\dots,y_k),(j_1,\dots,j_k))\colon\; y_l\in \BB,\;1\le l\le k} \bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k) $$ halmazt. Ez a halmaz ny\'{\i}lt, mert minden $\bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)$ halmaz ny\'{\i}lt. Tov\'abb\'a a $\xi_1,\dots,\xi_n$ minta \'altal meghat\'arozott $\mu_n$ empirikus m\'ert\'ekre, $\mu_n\in\bold G$ akkor \'es csak akkor, ha az \"osszes $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke a $\BB$ halmazban van. Ugyanis $\mu_n(\{y\})=\frac jn$, $0\le j\le n$ minden $y\in Y$-ra, \'es az \"osszes $\xi_j$ akkor \'es csak akkor esik az $\A$ halmazba, ha az \'altala meghat\'arozott $\mu_n$ m\'ert\'ek eleme valamelyik a $\bold G$ definici\'oj\'aban szerepl\H o $\bold G(y_1,\dots,y_k,j_1,\dots,j_k)$ halmazban. \item{} Legyenek $\xi_1,\cdots,\xi_n$ f\"uggetlen, a $[0,1]$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Jel\"olje $\mu_n$ azt az empirikus m\'ert\'eket, amelyet ezek a val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'ok hat\'aroznak meg. Legyen $\BB\subset [0,1]$ nem m\'erhet\H o, 0 bels\H o \'es 1 k\"uls\H o m\'ert\'ek\H u halmaz. Ekkor az az esem\'eny, hogy mindegyik $\xi_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H us\'egi v\'altoz\'o ebbe a halmazba esik nem m\'erhet\H o, \'es ennek az esem\'enynek nincs va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H u\-s\'e\-ge. Viszont az el\H obbi \'ervel\'esben megmutattuk, hogy l\'etezik olyan ny\'{\i}lt $\bold G$ halmaz a val\'osz\'{\i}n\H us\'egi m\'ert\'ekek ter\'en, amelyre ez az esem\'eny megegyezik a $\{\mu_n\in\bold G\}$ esem\'ennyel. \bye