\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=2.5pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\rang{\text{\rm rang}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection A Cochran--Fisher t\'etelr\H{o}l

A matematikai statisztika egyik fontos eredm\'enye a Cochran--Fisher
t\'etel, amely a variancia anal\'{\i}zisben j\'atszik fontos
szerepet. Ugyanakkor ez a t\'etel l\'enyeg\'et tekintve val\'oj\'aban
egy line\'aris algebrai \'all\'{\i}t\'as. \'Erdemes megmutatni, hogy
hogyan lehet ezt az eredm\'enyt, illetve n\'eh\'any ehhez
kapcsol\'od\'o a matematikai statisztik\'aban szint\'en hasznos
\'all\'{\i}t\'ast a lin\'aris algebra m\'odszereivel
bebizony\'{\i}tani.

E jegyzet ezt a bizony\'{\i}t\'ast \'es a Cochran--Fisher t\'etel
n\'eh\'any alkalmaz\'as\'at tartalmazza. El\H{o}sz\"or megfogalmazom
mag\'at az eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf Cochran--Fisher t\'etel.}\/ {\it Legyen adva $n$ f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, $\xi_1,\dots,\xi_n$, \'es defini\'aljuk
seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel a
$Q=Q(\xi_1,\dots,\xi_n)=\summ_{j=1}^n\xi_j^2$ ki\-fe\-je\-z\'est.
Legyen adva ezenk\'{\i}v\"ul m\'eg $k$ darab
$Q_j=Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)$,
$Q_j=\summ_{i=1}^n\summ_{l=1}^n c_{i,l}^{(j)}\xi_i\xi_l$,
$1\le j\le k$, alak\'u (quadratikus) kifejez\'es a
$c_{i,l}^{(j)}=c_{l,i}^{(j)}$  azonoss\'agot  minden $1\le i,l\le n$,
$1\le j\le k$, indexre  teljes\'{\i}t\H{o} egy\"utthat\'okkal,
amelyekre \'erv\'enyes a
$$
Q=Q_1+Q_2+\cdots+Q_k \tag1
$$
azonoss\'ag. Jel\"olje $\rang(Q_j)$ a $Q_j$ kifejez\'es rangj\'at,
amelyet \'ugy defini\'alunk, mint a $Q_j$ kifejez\'es
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} egy\"utthat\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $(c_{i,l}^{(j)})$,
$1\le i,l\le n$, m\'atrix rangj\'at. Ekkor teljes\"ul az
$$
n\le \rang(Q_1)+\rang(Q_2)+\cdots+\rang(Q_k) \tag2
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ha a (2) formul\'aban egyenl\H{o}s\'eg
\'erv\'enyes, akkor a $Q_j$, $1\le j\le k$, kifejez\'esek
f\"uggetlen $\chi^2$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\rang(Q_j)$ sza\-bad\-s\'ag\-fok\-kal. S\H{o}t, ebben
az esetben l\'eteznek olyan f\"uggetlen
$\zeta_{j,1},\dots,\zeta_{j,r_j}$,
$r_j=\rang(Q_j)$, $1\le j\le k$, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $Q_j=\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$, $1\le j\le k$,
\'es $Q=\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$.}
\medskip
Fel fogom id\'ezni egy m\'atrix rangj\'anak a definici\'oj\'at \'es
legfontosabb tulajdons\'agait. Ezel\H{o}tt megfogalmazom azt a
line\'aris algebrai \'all\'{\i}t\'ast, amelyb\H{o}l a
Cochran-Fisher t\'etel k\"ovetkezik.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy Euklideszi t\'erbeli identit\'as
transzform\'aci\'o felbont\'as\'ar\'ol.} {\it Te\-kint\-s\"uk az
$I=I_n$ identit\'as transzform\'aci\'ot az $n$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'erben. Legyen adva ennek egy
$$
I=Q_1+Q_2+\cdots+Q_k \tag3
$$
alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa, ahol $Q_1,\dots,Q_k$
\"onadjung\'alt lek\'epez\'esek. Ekkor
$$
n\le \rang(Q_1)+\rang(Q_2)+\cdots+\rang(Q_k). \tag4
$$
Ha a (4) formul\'aban egyenl\H{o}s\'eg teljes\"ul, akkor
a $Q_1,\dots,Q_k$ lek\'epez\'esek egym\'asra
me\-r\H{o}\-le\-ges projekci\'ok.}
\medskip
Felid\'ezem, hogy egy m\'atrix rangj\'at \'ugy defini\'aljuk,
mint a m\'atrixb\'ol kiv\'alaszthat\'o maxim\'alis sz\'am\'u
line\'arisan f\"uggetlen sorok sz\'am\'at. Tekints\"unk egy
szimmetrikus biline\'aris f\"uggv\'enyt meghat\'aroz\'o
line\'aris transzform\'aci\'ot egy Euklideszi t\'erben. Egy
ilyen transzform\'aci\'o tetsz\H{o}leges ortonorm\'alt
koordin\'atarendszerben fel\'{\i}rt m\'atrix\'anak ugyanaz a
rangja, mert a transzform\'aci\'o k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
koordin\'atarendszerben fel\'{\i}rt $A$ \'es $B$ m\'atrix
reprezent\'aci\'oja k\"oz\"ott az $A=UBU^*$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes alkalmas $U$ unit\'er m\'atrix-szal. Innen
k\"ovetkezik, hogy besz\'elhet\"unk egy szimmetrikus
biline\'aris f\"uggv\'eny vagy az \H{o}t egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'aroz\'o kvadratikus alak rangj\'ar\'ol is. Egy (nem
felt\'etlen\"ul szimmetrikus) transzform\'aci\'o rangja megegyezik
a transzform\'aci\'o k\'epter\'enek dimenzi\'oj\'aval, \'es egy
kvadratikus alak rangja jellemezhet\H{o} \'ugy is, mint a
lek\'epez\'es f\H{o}tengely transzform\'aci\'os alak\-j\'a\-ban
szerepl\H{o} nem z\'er\'o saj\'at\'ert\'ekek sz\'ama.

Annak \'erdek\'eben, hogy az identit\'as transzform\'aci\'onak
egy Euklideszi t\'erben t\"or\-t\'e\-n\H{o} felbont\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o t\'etelt jobban meg\'erts\"uk, \'erdemes felid\'ezni
egy Euklideszi t\'er projekci\'oj\'anak fogalm\'at \'es legfontosabb
tulajdons\'agait. Geometriai m\'odon egy $E$ Euklideszi t\'er
(ortogon\'alis) projekci\'oj\'at egy $B\subset E$ alt\'erre \'ugy
defini\'aljuk, mint az Euklideszi t\'er $x\in E$ pontjainak azt
az $x\to Px$ transzform\'aci\'oj\'at, amely az $x$ pontnak e pont
orthogon\'alis vet\"ulet\'et felelteti meg a $B$ alt\'erre,
azaz $Px\in B$, \'es $x-Px$ mer\H{o}leges minden $y\in B$ vektorra,
azaz $(x-Px,y)=0$, ha $y\in B$. K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o
mer\H{o}leges egym\'asra, ha a $Px$ \'es $Qy$ vektorok
mer\H{o}legesek egym\'asra minden $x,y\in E$ vektorra, azaz
$(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$ \'es $y\in E$ vektorra. \'Erdemes a
projekci\'ok \'es projekci\'ok mer\H{o}legess\'eg\'enek
fogalm\'at algebrai nyelven is megfogalmazni. A k\"ovetkez\H{o}
lemma projekci\'ok ilyen jellemz\'es\'et tartalmazza.

\medskip\noindent
{\bf Lemma egy Euklideszi t\'er projekci\'oinak a
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Egy $E$ Euklideszi t\'er $P$
projekci\'oja \"onadjung\'alt oper\'ator, \'es a projekci\'o
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $B$ alt\'er, ahov\'a a 
projekci\'o vet\'{\i}t, megegyezik a $P$ transzform\'aci\'o
$B=\{Px\colon\; x\in E\}$ k\'epter\'evel. Egy $x\in B$ vektorra
$Px=x$, \'es egy a $B$ alt\'erre mer\H{o}leges $x$ vektorra $Px=0$.

Egy Euklideszi t\'er $P$ \"onadjung\'alt oper\'atora akkor \'es
csak akkor projekci\'o, ha teljes\'{\i}ti a $P=P^2$ azonoss\'agot.
K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o akkor \'es csak akkor mer\H{o}leges
egym\'asra, ha $PQ=0$. Ekkor a $QP=0$ azonoss\'ag is teljes\"ul.
Speci\'alisan, ha $P$ projekci\'o, akkor $I-P$ egy r\'a
mer\H{o}leges projekci\'o. Ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes a
$0\le P\le I$ azonoss\'ag, azaz $0\le (Px,x)\le (x,x)$ minden
$x\in E$ vektorra.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Legyen $P$ projekci\'o az
$E$ Euklideszi t\'er egy $B$ alter\'ere. L\'assuk be el\H{o}sz\"or,
hogy a $B$ alt\'er megegyezik a $P$ oper\'ator k\'epter\'evel.
Val\'oban, egyr\'eszt definici\'o szerint $Px\in B$ minden $x\in E$
vektorra. M\'asr\'eszt nincs olyan $y\in B$ vektor, amelyet nem
tartalmaz a $P$ oper\'ator k\'eptere. Ugyanis egy ilyen $y$ vektor
l\'etez\'ese eset\'en $y-Py$ olyan nem z\'er\'o vektor lenne,
amelyre $y-Py\in B$, ez\'ert mer\H{o}leges \"onmag\'ara, \'es ez
ellentmond\'as. Ha $x\in B$, akkor $z=Px=x$. Val\'oban, ekkor a
$z=x$ vektorra teljes\"ul mind a $z\in B$, mind a $(x-z,y)=0$
minden $y\in B$ vektorra. Hasonl\'oan $Px=0$, ha $x$ mer\H{o}leges
a $B$ alt\'erre, mert ekkor $(x-0,y)=0$ minden $y\in B$ vektorra,
\'es $0\in B$.

Mutassuk meg azt is, hogy egy $P$ projekci\'o
olyan \"onadjung\'alt oper\'ator, amelyre $P^2=P$. Val\'oban,
a $P=P^*$ rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni,
hogy $(Px,y)=(x,Py)$, ha $y\in B$ vagy ha $y$ mer\H{o}leges a $B$
alt\'erre. Ha $y\in B$, akkor $y=Py$, ez\'ert
$(Px,y)-(x,Py)=(Px,y)-(x,y)=(Px-x,y)=0$, \'es ha $y$ mer\H{o}leges
a $B$ alt\'erre, akkor $Py=0$, ez\'ert $(x,Py)=0$ \'es $(Px,y)=0$,
mert $Px\in B$. A $Px=P^2x$ bizony\'{\i}t\'as\'at is el\'eg
ellen\H{o}rizni akkor, ha $x\in B$ vagy ha $x$ mer\H{o}leges a $B$
alt\'erre. Az els\H{o} esetben viszont $x=Px=P^2x$, a m\'asodik
esetben pedig $0=Px=P^2x$.

L\'assuk be, hogy ha $P=P^*$, \'es $P=P^2$, akkor $P$ projekci\'o
a $P$ transzform\'aci\'o $B=\{Px\colon\; x\in E\}$ k\'epter\'ere.
Val\'oban, $Px\in B$ minden $x\in E$ vektorra, \'es mivel
$y=Pz=P^2z=Py$ valamely $z\in E$ vektorral, ha $y\in B$, ez\'ert
$(x-Px,y)=(x,y)-(Px,y)=(x,Py)-(x,P^*y)=0$ minden $x\in E$ \'es
$y\in B$ vektorra.

K\'et $P$ \'es $Q$ projekci\'o akkor \'es csak akkor mer\H{o}leges,
ha $(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$ \'es $y\in E$ vektorra. Viszont
$(Px,Qy)=(P^*x,Qy)=(x,PQy)$, ez\'ert $(Px,Qy)=0$ minden $x\in E$
\'es $y\in E$ vektorra akkor \'es csak akkor, ha $PQ=0$. Ha $PQ=0$,
akkor $0=(PQ)^*=Q^*P^*=QP$. Ha $P$ \"onadjung\'alt oper\'ator,
akkor $(I-P)^*=I^*-P^*=I-P$, $(I-P)^2=I-2P+P^2=I-P$, \'es
$P(I-P)=0$, azaz $I-P$ a $P$ projekci\'ora mer\H{o}leges
projekci\'o. V\'eg\"ul, ha $P$ projekci\'o, akkor
$(x,Px)=(x,P^2x)=(Px,Px)\ge0$, \'es alkalmazva ezt az
\"osszef\"ugg\'est az $I-P$ projekci\'ora azt kapjuk, hogy
$(x,(I-P)x)\ge0$, azaz $(x,Px)\le(x,x)$.
\medskip
F\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'eges sorozata t\"obbv\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u vektor, \'es egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen
vektor line\'aris transzform\'altja szint\'en norm\'alis
eloszl\'as\'u. Ezenk\'{\i}v\"ul tudjuk, hogy egy t\"obbv\'altoz\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor koordin\'at\'ai akkor \'es csak
akkor f\"uggetlenek, ha korrel\'atlanok. Megmutatom e t\'enyek
felhaszn\'al\'as\'aval, hogy az egy Euklideszi t\'erbeli
identit\'as transzform\'aci\'o felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a Cochran--Fisher t\'etel.

A k\'et t\'etel felt\'eteleinek \"osszehasonl\'{\i}t\'asa alapj\'an
azonnal l\'athat\'o, hogy a line\'aris algebrai t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik a (2) egyenl\H{o}tlens\'eg. Be kell l\'atni,
hogy amennyiben a (2) egyenl\H{o}tlens\'egben azonoss\'ag \'all,
akkor a $Q_j$ f\"uggv\'enyeknek a Cochran--Fisher t\'etelben
fel\'{\i}rt alakjuk van. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be az
al\'abb defini\'alt kvadratikus alakokat egy $n$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'erben.

Tekints\"uk az $n$-dimenzi\'os $E_n$ Euklideszi t\'ernek egy
$e_1,\dots,e_n$ b\'azis\'at, \'es \'{\i}rjunk fel minden
$x\in E_n$ vektort $x=\summ_{i=1}^n x_ie_i$ alakban.
Defini\'aljuk a $\bar Q_j(x)=\bar Q_j(x_1,\dots,x_n)
=\summ_{i=1}^n\summ_{l=1}^n c_{i,l}^{(j)}x_ix_l$,
$1\le j\le k$, kvadratikus alakokat az $E_n$ t\'eren, ahol a
$c^{(j)}_{i,l}$ sz\'amok meg\-egyez\-nek a Cochran--Fisher
t\'etelben bevezetett $Q_j$ kifejez\'eseket defini\'al\'o
k\'epletben sze\-rep\-l\H{o} megfelel\H{o} egy\"utthat\'okkal.
Ekkor az (1) k\'epletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{j=1}^k\bar Q_j=I$, ez\'ert, ha a (2) rel\'aci\'oban
egyenl\H{o}s\'eg van, akkor $\bar Q_j$ egy $\rang(Q_j)$ rang\'u
projekci\'o.

Vezess\"uk be ebben az esetben az $S_0=0$,
$S_j=\summ_{l=1}^j\rang(Q_l)$, $1\le j\le k$, sz\'amokat, \'es
v\'alasszunk olyan ortonorm\'alt $\bar e_1,\dots,\bar e_n$
b\'azist az $E_n$ t\'erben, amelyben az $S_{j-1}<i\le S_j$
index\H{u} $\bar e_i$ vektorok a $\bar Q_j$ projekci\'o
k\'epter\'eben vannak. \'Irjunk fel minden $x\in E_n$
vektort $x=\summ_{i=1}^n t_i\bar e_i$ alakban. Ekkor
$\bar Q_j(x)=\summ_{i=S_{j-1}+1}^{S_j}t_i^2$ minden $1\le j\le k$
indexre. Tov\'abb\'a, mivel mind az $e_1,\dots,e_n$ mind
$\bar e_1,\dots,\bar e_n$ vektorok az $E_n$ t\'er ortonorm\'alt
b\'azis\'at alkotj\'ak, ez\'ert
$\bar e_i=\summ_{l=1}^n u_{i,l}e_l$, $1\le i\le n$
alkalmas $u_{i,l}$ egy\"utthat\'okkal, amelyekre az $(u_{i,l})$,
$1\le i,l\le n$, m\'atrix unit\'er. Innen
$t_i=(x,\bar e_i)=\(\summ_{l=1}^nx_le_l,\summ_{l=1}^n u_{i,l}e_l\)
=\summ_{l=1}^nu_{i,l}x_l$, \'es
$$
\bar Q_j(x_1,\dots,x_n)=\summ_{i=S_{j-1}+1}^{S_j}
\(\summ_{l=1}^n u_{i,l}x_l\)^2 \quad
\text{minden } 1\le j\le k \text{ indexre}. \tag5
$$

Defini\'aljuk az $\zeta_{j,s}=\summ_{l=1}^n u_{i,l}\xi_l$,
$1\le j\le k$, $1\le s\le \rang(Q_j)$, $i=S_{j-1}+s$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a Cochran--Fisher
t\'etelben szerepl\H{o} $\xi_j$ standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'al\-to\-z\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor a standard norm\'alis eloszl\'as\'u
$\zeta_{j,s}$, $1\le j\le k$, $1\le s\le \rang(Q_j)$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi  v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
mert egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
korrel\'alatlan koordin\'at\'ai. Tov\'abb\'a a
$\bar Q_j(x_1,\dots,x_n)$ kvadratikus alak \'es a
$Q_j(\xi_1,\dots,\xi_n)$ f\"uggv\'eny
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ab\'ol valamint az (5) formul\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $Q_j=\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$ minden
$1\le j\le k$ indexre, ahol $r_j=\rang(Q_j)$. Ez\'ert az (1) 
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a
$Q=\summ_{j=1}^k\summ_{s=1}^{r_j}\zeta_{j,s}^2$, 
azonoss\'ag is. Teh\'at a Cochran--Fisher t\'etel k\"ovetkezik az
ut\'ana megfogalmazott line\'aris algebrai eredm\'enyb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it Egy Euklideszi t\'erbeli identit\'as transzform\'aci\'o
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Te\-kint\-s\"uk minden $1\le j\le k$ indexre a $Q_j$
lek\'epez\'es k\'epter\'enek egy $r_j=\rang(Q_j)$ elemb\H{o}l
\'all\'o $e_{j,1},\dots,e_{j,r_j}$ b\'azis\'at. Ha a
$\summ_{j=1}^kr_j<n$ rel\'aci\'o teljes\"ulne, akkor l\'etezne
olyan $e\in E_n$ nem z\'er\'o vektor, amelyre $(e,e_{j,s})=0$
minden $1\le j\le k$, $1\le s\le r_j$ indexre. Egy ilyen $e$
vektorra a $(e,Q_je)=0$ azonoss\'ag teljes\"ul minden $1\le j\le k$
indexre. Ez viszont ellentmond a (3) azonoss\'agnak, mivel innen azt
kapjuk, hogy $0<(e,Ie)=\summ_{j=1}^k(e,Q_je)=0$, ami ellentmond\'as.

Ha a $\summ_{j=1}^kr_j=n$ azonoss\'ag \'erv\'enyes, akkor
tekints\"uk a $Q_j$ lek\'epez\'esek egy $e_{j,1}$,\dots, $e_{j,r_j}$
b\'azis\'at minden $1\le j\le k-1$ indexre. Vezess\"uk be e
vektorok \'altal gener\'alt $B$ alteret, \'es annak $C$
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o} alter\'et az $E_n$  Euklideszi
t\'erben. Ekkor $(Q_kx,y)=(Ix,y)-\summ_{j=1}^{k-1}(Q_jx,y)=(x,y)$
minden $x\in C$ \'es $y\in E_n$ vektorra, ahonnan $Q_kx=x$ minden
$x\in C$ vektorra. Mivel mind a $Q_k$ m\'atrix rangja, mind a $C$
alt\'er dimenzi\'oja $n-\summ_{j=1}^{k-1}r_j$, innen k\"ovetkezik,
hogy a $Q_kx=0$, ha $x\in B$, \'es \'{\i}gy a $Q_k$
transzform\'aci\'o az $E_n$ Euklideszi t\'er  $C$ alter\'ere
vett projekci\'o. Hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, hogy az \"osszes
$Q_j$, $1\le j\le k$, oper\'ator projekci\'o. Tov\'abb\'a, mivel
$Q_jx\in B$ minden $x\in E_n$ vektorra, ha $1\le j\le k-1$, \'es
$Q_ky\in C$ minden $y\in E_n$ vektorra, ez\'ert $(Q_jx,Q_ky)=0$. Ez
azt jelenti, hogy a $Q_k$ projekci\'o mer\H{o}leges minden $Q_j$,
$j\neq k$ projekci\'ora. Hasonl\'oan l\'athat\'o a t\"obbi
projekci\'o ortogonalit\'asa is. A t\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.
\medskip

A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok
n\'eh\'any tov\'abbi a variancia anal\'{\i}zisben hasznos
\'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektorok
kvadratikus alakjainak n\'eh\'any hasznos tulajdons\'ag\'ar\'ol.}
{\it Legyen adva egy $n$-dimenzi\'os $X=(X_1,\dots,X_n)$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip
\item{a.)} Tekints\"unk egy $A$ szimmetrikus $n\times n$-es
m\'atrixot. Az $XAX^*$ kifejez\'es akkor \'es csak akkor
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, ha teljes\"ul az $A^2=A$ azonoss\'ag. Ha ez
teljes\"ul, akkor  $XAX$ eloszl\'asa $\rang(A)$
szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as.
\item{b.)} Ha $A$ \'es $B$ k\'et szimmetrikus m\'atrix, amelyre
$A^2=A$, $B^2=B$, \'es $AB=0$, akkor az $XAX^*$ \'es $XBX^*$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'uak $\rang(A)$ \'es $\rang(B)$
szabads\'agfokkal.
% akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek, ha $AB=0$.
\item{c.)} Ha $Q$, $Q_1$, $Q_2$ szimmetrikus $n\times n$
m\'eret\H{u} m\'atrixok,  $XQX^*$ \'es  $XQ_1X^*$ $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $Q=Q_1+Q_2$,
\'es $Q_2$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix, akkor $XQ_1X^*$
\'es $XQ_2X^*$ f\"uggetlen $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip\noindent}
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Ha az $A$ szimmetrikus
m\'atrix teljes\'{\i}ti az $A^2=A$ felt\'etelt, akkor projekci\'o,
\'es az $XAX^*$ kifejez\'est a f\H{o}tengelytranszform\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rhatjuk
$\summ_{j=1}^{\rang(A)}Y^2_j$ alakban, ahol $Y_j$,
$1\le j\le\rang(A)$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\'Altal\'anos szimmetrikus $A$ m\'atrix eset\'eben az $XAX^*$
kifejez\'est $\summ_{j=1}^n \lambda_j Y^2_j$ alakban \'{\i}rhatjuk
a f\H{o}tengelytranszform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol
$Y_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ az $A$ m\'atrix saj\'at\'ert\'ekei.
Ez a kifejez\'es akkor \'es csak akkor $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u, ha az \"osszes $\lambda_j$ saj\'at\'ert\'ek 0
vagy 1 \'ert\'eket vesz fel. (Ez p\'eld\'aul az eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek fel\'{\i}r\'as\'ab\'ol
l\'atszik.) Ez a tulajdons\'ag viszont akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha $A$ projekci\'o, azaz $A^2=A$.

A t\'etel b) pontj\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg azt
\'eszrevenni, hogy az adott felt\'etelek mellett $A$ \'es $B$
k\'et ortogon\'alis projekci\'o. Innen a Cochran--Fisher
t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak alkalmaz\'as\'aval be lehet
bizony\'{\i}tani a b) pont \'all\'{\i}t\'as\'at, de lehet
a Cochran--Fisher t\'etelt k\"ozvetlen\"ul is alkalmazni az
$n$-dimenzi\'os $E_n$ t\'er $I$ identit\'as
transzform\'aci\'oj\'anak al\-kal\-mas $I=C+B+A$ alak\'u
reprezent\'aci\'oj\'anak felhaszn\'al\'as\'aval. Ebben a
reprezent\'aci\'oban $C$ az $A+B$ projekci\'o k\'epter\'enek az
$E_n$ t\'er $n-\rang(A)-\rang(B)$ dimenzi\'os ortogon\'alis
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'ere vett projekci\'o.

A t\'etel c) pontj\'anak bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben mutassuk
meg el\H{o}sz\"or azt, hogy az adott felt\'etelek mellett a $Q$
projekci\'o $B$ k\'eptere tartalmazza a $Q_1$ projekci\'o $A$
k\'epter\'et. Val\'oban, ha l\'etezne egy $x\in A\setminus B$
vektor, akkor erre az $x$ vektorra teljes\"ulne a
$(Q_2x,x)=(Qx,x)-(Q_1x,x)=(y,x)-(x,x)=(y,y)-(x,x)<0$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ahol $y$ az $x$ vektornak (az $x$
vektorn\'al r\"ovidebb) $Qx$ vet\"ulete a $B$ alt\'erre. Ez az
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg vi\-szont ellentmond annak a
felt\'etelnek, hogy $Q_2$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix.
Innen k\"ovetkezik, hogy a $Q_2$ transzform\'aci\'o megegyezik a
$Q_1$ projekci\'o $A$ k\'epter\'enek a $Q$ transzform\'aci\'o $B$
k\'epter\'ere vett $C$ ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\'es\'ere
val\'o projekci\'oval. Ezut\'an a c) pont bizony\'{\i}t\'asa a
b) pont bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan fejezhet\H{o} be.
\medskip

A Cochran--Fisher t\'etel egy alkalmaz\'asak\'ent megmutatom,
hogy hogyan k\"ovetkezik ebb\H{o}l az eredm\'enyb\H{o}l \'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l a
matematikai statisztika egyik fontos hat\'areloszl\'ast\'etele,
amely a $\chi$-n\'egyzet m\'odszer alapj\'aul szolg\'al.
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at fogom ismertetni.
\medskip\noindent
{\bf Egy $\chi$-n\'egyzet hat\'areloszl\'ast\'etel.}\/ {\it Legyen
adva $r$ darab urna, \'es dobjunk ezekbe egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $n$ darab goly\'ot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
\'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
esik a $j$-ik urn\'aba, ahol $p_j\ge0$, $j=1,\dots,r$,
$\summ_{j=1}^rp_j=1$ el\H{o}\'{\i}rt sz\'amok. Jel\"olje
$\nu_n(j)$, $1\le j\le r$, a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok
sz\'am\'at. Ekkor a $\summ_{j=1}^r\frac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak az $r-1$ szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $n\to\infty$.}
\medskip

E t\'etelt a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l \'es a
t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
al\'abbi k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l fogjuk levezetni.

\medskip\noindent
{\bf A t\"obbv\'altoz\'os  centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
egy k\"ovetkezm\'enye.} {\it Tekints\"uk az el\H{o}bb
megfogalmazott $\chi$-n\'egyzet hat\'areloszl\'ast\'etelben
le\'{\i}rt modellt \'es az abban defini\'alt $\nu_n(j)$,
$1\le j\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Az
$\frac1{\sqrt n}(\nu_n(1)-np_1,\dots,\nu_n(r)-np_r)$ v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan norm\'alis
eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektorhoz, amelyre
$EZ_j=0$, $EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es
$EZ_iZ_j=-p_ip_j$, $1\le i<j\le r$, ha $n\to\infty$.}
\medskip

Az el\H{o}bb megfogalmazott $\chi$-n\'egyzet
hat\'areloszl\'ast\'etel k\"ovetkezik a fenti
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-b\H{o}l \'es abb\'ol az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol, hogy egy olyan norm\'alis eloszl\'as\'u
$(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektorra, amelyre $EZ_j=0$,
$EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, $1\le j\le r$, \'es $EZ_iZ_j=-p_ip_j$, ha
$1\le i<j\le r$, a $\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u $r-1$ szabads\'agfokkal. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as
a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l \'es egy a $(Z_1,\dots,Z_r)$
v\'eletlen vektorral megegyez\H{o} eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor
al\'abb ismertetett konstrukci\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik.

\medskip\noindent
{\bf Alkalmas kovarianci\'aj\'u v\'eletlen norm\'alis vektorok
konstrukci\'oja.} {\it Legyenek adva $Y_1,\dots,Y_n$  f\"uggetlen,
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es olyan nem negat\'{\i}v $p_j$, $1\le j\le r$, val\'os
sz\'amok, amelyekre $\summ_{j=1}^rp_j=1$. Defini\'aljuk az
$U=\sqrt p_1Y_1+\sqrt{p_2}Y_2+\cdots+\sqrt{p_r}Y_r$ \'es
$Z_j=\sqrt{p_j}Y_j-p_jU$, $1\le j\le r$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor $EZ_j=0$,
$EZ_j^2=p_j(1-p_j)$, \'es $EZ_iZ_j=-p_ip_j$, ha $1\le i<j\le r$.
Ezenk\'{\i}v\"ul teljes\"ul a
$$
\sum_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}+U^2=\sum_{j=1}^r Y_j^2 \tag6
$$
\'es $\summ_{j=1}^rZ_j=0$ azonoss\'ag.}
\medskip
A fenti eredm\'enyb\H{o}l \'es a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik az, hogy az el\H{o}bb fel\'{\i}rt
$\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$ \"osszeg $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as\'u $r-1$ szabads\'agfokkal. Val\'oban, a (6) \"osszegben
sze\-rep\-l\H{o} $Z_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
az el\H{o}\'{\i}rt eloszl\'asuk van, tov\'abb\'a a
$\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$
kifejez\'es a f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
$Y_1,\dots,Y_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kvadratikus
kifejez\'ese, amelynek rangja a $\summ_{j=1}^rZ_j=0$ azonoss\'ag
miatt legfeljebb $r-1$. Ezenk\'{\i}v\"ul $U^2$ egy olyan kvadratikus
kifejez\'ese az $Y_1,\dots,Y_r$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'alt\'oknak, amelynek rangja~1. Ez\'ert a (6) azonoss\'agb\'ol
\'es a Cochran--Fisher t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}$  kifejez\'es $r-1$ szabads\'agfok\'u
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. (Ezenk\'{\i}v\"ul azt is tudjuk, hogy ez f\"uggetlen az
$U^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. S\H{o}t a $Z_j$,
$1\le j\le r$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek
az $U$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol. De erre a
t\'enyre nincs sz\"uks\'eg\"unk).

Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy hogyan tal\'alhatjuk meg
a $(Z_1,\dots,Z_r)$ v\'eletlen vektor fenti, sz\'amunkra hasznos 
reprezent\'aci\'oj\'at term\'eszetes m\'odon. Ezt magyar\'azom el 
a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} megjegyz\'esben.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Tekints\"unk egy $B(t)$, $0\le t\le1$,
Brown bridge-t, \'es vezess\"uk be az $t_0=0$,
$t_j=\summ_{l=1}^jp_l$, $1\le j\le r$, sz\'amokat. E mennyis\'egek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a keresett eloszl\'as\'u $(Z_1,\dots,Z_r)$
vektort $Z_j=B(t_j)-B(t_{j-1})$, $1\le j\le r$, alakban
\'all\'{\i}thatjuk el\H{o}. Legyen adva a $B(t)$ Brown bridge-nek 
egy $B(t)=W(t)-tW(1)$, $0\le t\le1$, alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa egy $W(t)$, $0\le t\le1$, Wiener folyamat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor bevezetve az
$Y_j=p_j^{-1/2}(W(t_j)-W(t_{j-1}))$, $1\le j\le r$, f\"uggetlen,
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, fel\'{\i}rhatjuk az
$U=W(1)=\summ_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j$ \'es $Z_j=\sqrt {p_j}Y_j-p_jU$,
$1\le j\le r$ azonoss\'agokat. Ezt az elj\'ar\'ast k\"ovett\"uk a
fenti konstrukci\'oban.

\medskip\noindent
{\it Az alkalmas kovarianci\'aj\'u v\'eletlen norm\'alis vektorok
konstrukci\'oj\'aban megfogalmazott eredm\'enyek
bizony\'{\i}t\'asa.} Az $EZ_j=0$, $1\le j\le r$, rel\'aci\'o
nyilv\'anval\'o.
$$
\align
EZ_j^2&=(p_j^{1/2}-p_j^{3/2})^2EY_j^2
+\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq j}p_j^2p_lEY_l^2\\
&=p_j(1-p_j)^2+\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq j}
p_j^2p_l=p_j(1-p_j)^2+(1-p_j)p_j^2=p_j(1-p_j),
\endalign
$$
$$
\align
EZ_iZ_j&=p_ip_j
\sum_{l\colon\;1\le l\le r,\;l\neq i,j} p_l-p_ip_j(1-p_i)EY_i^2
-p_ip_j(1-p_j)EY_j^2 \\
&=p_ip_j(1-p_i-p_j)-p_ip_j(2-p_i-p_j)=-p_ip_j,
\endalign
$$
ha $i\neq j$, \'es
$$
\align
\sum_{j=1}^r\frac{Z_j^2}{p_j}+U^2&=\sum_{j=1}^r(Y_j-\sqrt{p_j}U)^2+U^2
=\sum_{j=1}^rY_j^2+\sum_{j=1}^rp_jU^2-2U\sum_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j+U^2\\
&=\sum_{j=1}^rY^2_j+U^2-2U^2+U^2=\sum_{j=1}^rY^2_j.
\endalign
$$
V\'eg\"ul
$$
\summ_{j=1}^rZ_j=\summ_{j=1}^r\sqrt{p_j}Y_j-\summ_{j=1}^r p_j U=U-U=0.
$$
A k\'{\i}v\'ant eredm\'enyeket bebizony\'{\i}tottuk.
\medskip

\bye