\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2pt plus 1.2pt
\parskip=2.5pt plus 1.2pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
 
\beginsection A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'asa \'es a Fourier anal\'{\i}zis I.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel a klasszikus
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik legfontosabb
ered\-m\'e\-nye. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy
m\'asik szint\'en klasszikus eredm\'enye szerint f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'atlaga enyhe
felt\'etelek mellett j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} ennek az
\'atlagnak v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\'e\-vel.
Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as a nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'eny\'enek
kiss\'e inform\'alis megfogalmaz\'asa. Ha pontosabb inform\'aci\'ot
szeretn\'enk kapni ennek a k\"ozel\'{\i}t\'esnek a pontoss\'ag\'ar\'ol,
azaz arr\'ol, hogy mekkora az \'atlag fluktu\'aci\'oja annak
v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul, akkor erre a k\'erd\'esre a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel ad tartalmas inform\'aci\'ot. Ez
az ered\-m\'eny azt mondja ki, hogy bizonyos nem t\'uls\'agosan
megszor\'{\i}t\'o felt\'etelek mellett ez a fluk\-tu\'a\-ci\'o
meg\-szo\-roz\-va $\sqrt n$-nel, ahol $n$ az \'atlagban r\'esztvev\H{o}
tagok sz\'ama, j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} egy az $n$ sz\'amt\'ol
f\"uggetlen eloszl\'assal. S\H{o}t, \'es ez k\"ul\"on figyelemre
m\'elt\'o t\'eny, ez a k\"ozel\'{\i}t\H{o} eloszl\'as nem f\"ugg az
egyes \"osszeadand\'ok eloszl\'as\'at\'ol, hanem bizonyos
``univerz\'alis" az \'atlagban r\'esztvev\H{o} tagok
eloszl\'as\'at\'ol f\"uggetlen eloszl\'as. Ezt az ``univerz\'alis"
k\"ozel\'{\i}t\H{o} eloszl\'ast
nevezik az irodalomban norm\'alis eloszl\'asnak. Term\'eszetesen az
el\H{o}bbi \'all\'{\i}t\'ast pontosabban meg kell fogalmaznunk.
 
Ezt az el\H{o}bbiekben csak durv\'an megfogalmazott eredm\'enyt
nevezik a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek. K\"ul\"on
figyelemre tarthat sz\'amot ennek az eredm\'enynek a klasszi\-kus
\'es ebben a feladatsorban is t\'argyalt bizony\'{\i}t\'asi m\'odszere.
Ez a m\'odszer, melyet az irodalomban karakterisztikus f\"uggv\'eny
m\'od\-szernek neveznek nem m\'as mint a Fourier anal\'{\i}zis
alkalmaz\'asa a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban. Ebben a feladatsorban azt is
meg szeretn\'enk mutatni, hogy ez a t\'argyal\'asm\'od
ter\-m\'e\-sze\-tes. A Fourier sorok elm\'elete
term\'eszetes m\'odszert ad a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'ugynevezett lok\'alis
v\'altozat\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'ara, azaz annak a k\'erd\'esnek
a vizsg\'alat\'ara amikor f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok al\-kal\-ma\-san normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeinek nem az eloszl\'as\'ara, hanem a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere vagyunk kiv\'ancsiak.
Tov\'abb\'a, ha meg\'ertj\"uk, hogy milyen k\'er\-d\'e\-se\-ket kell
megv\'alaszolni akkor, ha a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt eredeti
(\'es nem lok\'alis) alakj\'aban akarjuk bebizony\'{\i}tani,
tov\'abb\'a felhaszn\'aljuk azt, hogy ezekre a k\'erd\'esekre milyen
v\'a\-laszt adnak a Fourier anal\'{\i}zis klasszikus ered\-m\'e\-nyei,
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant eredm\'enyt. S\H{o}t, ily  m\'odon
term\'eszetes m\'odszert kapunk a centr\'alis
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel eredm\'eny\'enek
finom\'{\i}t\'as\'ara is. Azt a k\'erd\'est is vizsg\'alni tudjuk,
hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
mennyire j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est ad f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"ossze\-gei\-nek el\-osz\-l\'a\-s\'a\-ra, illetve ezen
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek eloszl\'as\'ara milyen a
centr\'alis hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben megadottn\'al
pontosabb k\"ozel\'{\i}t\'es lehets\'eges. Ez ut\'obbi probl\'em\'akat
azonban egy m\'asik feladatsorban fogjuk t\'argyalni.
 
\medskip\noindent
{\script A.) Lok\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelek.} \medskip
 
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at: Legyen
$\xi_j$, $j=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyek
eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel. Vezess\"uk be a $P(\xi_1=k)=p(k)$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, $\summ_{k=-\infty}^\infty p(k)=1$ jel\"ol\'est.
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{j=1}^n \xi_j$ r\'eszlet\"osszegeket, \'es
tekints\"uk a $p_n(k)=P(S_n=k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Pr\'ob\'aljunk meg j\'o aszimptotikus
k\"ozel\'{\i}t\'est adni a $p_n(k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre nagy
$n$ param\'eter eset\'en.
 
A k\"ovetkez\H{o} m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est
adhatunk a fenti $p_n(k)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re:
Defini\'aljuk a
$$
P_n(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty p_n(k)e^{ikt},\quad -\pi\le t\le \pi
\tag1
$$
Fourier sort. Ekkor a Fourier sorok egyik alapvet\H{o} formul\'aja
alapj\'an ennek a Fourier sornak az egy\"utthat\'oit ki lehet
sz\'am\'{\i}tani a
$$
p_n(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}P_n(t)\,dt,\quad
k=0,\pm1,\pm2,\dots \tag2
$$
formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez\'ert, ha j\'o aszimptotikus
formul\'at tudunk adni a $P_n(t)$ Fourier sorra, \'es j\'ol tudjuk
becs\"ulni a (2) formul\'aban szerepl\H{o} integr\'alt, akkor j\'o
becsl\'est kapunk a minket \'erdekl\H{o} $p_n(k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre is. Vegy\"uk \'eszre tov\'abb\'a, hogy
$P_n(t)=Ee^{itS_n}$, $-\pi\le t\le\pi$. M\'asr\'eszt, mivel $S_n$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege,
ez\'ert
$$
P_n(t)=Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}=\(Ee^{it\xi_1}\)^n=\(P_1(t)\)^n,
$$
ahol $P_1(t)=\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi_1=k)e^{ikt}$. Tov\'abb\'a,
$P_1(0)=1$, \'es mint l\'atni fogjuk al\-kal\-mas term\'eszetes
feltev\'esek mellett $|P_1(t)|<1$, ha $-\pi\le t\le\pi$, \'es $t\neq0$.
Ez\'ert a (2) k\'epletben olyan \'ugynevezett szingul\'aris integr\'al
jelenik meg, melyben l\'enyeges hozad\'ekot csak az orig\'o kis
k\"ornyezete ad, \'es amelyiket j\'ol tudunk becs\"ulni az anal\'{\i}zis
klasszikus m\'odszereinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. El\H{o}sz\"or
l\'assuk be a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat, melyekre k\'es\H{o}bb
sz\"uks\'eg\"unk lesz. \medskip
\item{1.)} L\'assuk be, hogy
$$
\frac1{\sqrt {2a\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2/2a}\,du=1
$$
minden val\'os $a>0$ sz\'amra. Tov\'abb\'a,
$$
\frac1{\sqrt {2a\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-(u-z)^2/2a}\,du=1
$$
minden val\'os $a>0$ \'es {\it komplex}\/ $z$ sz\'amra.
\medskip
A fent v\'azolt m\'odszert el\H{o}bb egy speci\'alis esetben
alkalmazzuk. Tekints\"uk a $\lambda=n$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'ast, azaz olyan $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as\'at, melyre $P(\eta=k)=P_n(k)=\dfrac{n^k}{k!}e^{-n}$,
$k=0,1,2,\dots$. Egy $n$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
v\'altoz\'o eloszl\'asa megegyezik $n$ darab f\"uggetlen 1
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'aval. Ez\'ert a
fenteml\'{\i}tett m\'odszer lehet\H{o}v\'e teszi a $P_n(k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at. Ez a m\'odszer
akkor ad igaz\'an j\'o becsl\'est, ha a $k$ sz\'am k\"ozel van a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'ehez,
azaz $k\sim n$. Speci\'alisan, a megfelel\H{o} Fourier sor
vizsg\'alat\'aval j\'o becsl\'est tudunk adni a $P_n(n)$ sz\'amra.
B\'ar ebben a sz\'a\-mo\-l\'as\-ban explicite nem haszn\'aljuk ki,
hogy az el\H{o}bb defini\'alt $P_n(k)$ egy\"utthat\'okkal
meghat\'arozott Fourier sor egy\"utthat\'oinak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi tartalma is van, m\'egis
ez jelzi milyen technikai probl\'em\'akat kell megoldani ahhoz, hogy a
$P_n(n)$ sz\'amra j\'o becsl\'est kapjunk. Ezt az\'ert is \'erdemes
megtenni, mert ilyen m\'odon megkapjuk az anal\'{\i}zis egyik fontos
eredm\'eny\'enek a Stirling formul\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at,
illetve annak egyfajta \'eles\'{\i}t\'es\'et is. Ez a k\"ovetkez\H{o}
feladat tartalma. \medskip
\item{2.)} Sz\'amoljuk ki az $n$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as
\'ert\'ek\'et az $n$ pontban a Poisson eloszl\'as \'altal a fent
t\'argyalt m\'odon meghat\'arozott Fourier sor seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Mutassuk meg ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}.
\tag3
$$
Bizony\'{\i}tsuk be, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt
n}\(1+O\(\frac1n\)\), \tag4a
$$
\'es
$$
n!=\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n\(1+O\(\frac 1n\)\). \tag4b
$$
Mutassuk meg, hogy igaz az el\H{o}z\H{o} k\'et \'all\'{\i}t\'asnak a
k\"ovetkez\H{o} \'elesebb form\'aja is:
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt
n}\(1+\frac {c_1}{n^{1/2}}+\frac{c_2}n+\cdots
+\frac{c_k}{n^{k/2}}+O\(\frac1{n^{(k+1)/2}}\)\) \tag4c
$$
tetsz\H{o}leges $k\ge1$ sz\'ammal \'es explicit m\'odon
ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-ha\-t\'o $c_1$,\dots,
$c_k$ egy\"utt\-ha\-t\'ok\-kal. Speci\'alisan $c_1=0$. Tov\'abb\'a,
$$
n!=\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n \(1+\frac {\bar c_1}{n^{1/2}}
+\frac{\bar c_2}n+\cdots+\frac{\bar
c_k}{n^{k/2}}+O\(\frac1{n^{(k+1)/2}}\)\) \tag4d
$$
tetsz\H{o}leges $k\ge1$ sz\'ammal \'es explicit m\'odon
ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-ha\-t\'o $\bar c_1$,\dots, $\bar c_k$
egy\"utt\-ha\-t\'ok\-kal. Speci\'alisan $\bar c_1=0$.
\medskip
A 2. feladat megold\'as\'ahoz hasonl\'oan j\'o aszimptotikus
formul\'at k\'{\i}v\'anunk adni arra, hogy f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel k\"ul\"onb\"oz\H{o}
\'ert\'ekeket. A (2) formula lehet\H{o}v\'e teszi ennek a
probl\'em\'anak a vizsg\'alat\'at. Ez a formula
felhaszn\'alja, hogy a vizsg\'alt eloszl\'as \'altal meghat\'arozott
Fourier sor $2\pi$ periodikus f\"uggv\'eny. Vizsg\'alhatunk azonban
olyan eseteket is, amikor olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeit tekintj\"uk, melyek csak p\'aros vagy csak p\'aratlan
sz\'amokat vesznek fel, \'es az ilyen eloszl\'asok \'altal defini\'alt
Fourier sorok peri\'odusa $\pi$ \'es nem $2\pi$. Ahhoz, hogy a Fourier
sorok m\'odszere az \'altalunk vizsg\'alt probl\'ema vizsg\'alat\'aban
j\'ol m\H{u}k\"odj\"on, meg kell hat\'aroznunk azt, hogy mi a
vizsg\'alatban tekintett Fourier sor legkisebb peri\'odusa. A
k\"ovetkez\H{o} definici\'o megadja annak sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy az \'altalunk vizsg\'alt Fourier
sor legkisebb peri\'odusa $2\pi$ legyen. El\H{o}sz\"or csak olyan
eloszl\'asokkal foglalkozunk, melyek teljes\'{\i}tik ezt a felt\'etelt.
Az \'altal\'anos r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'et k\"onny\H{u} visszavezetni erre a speci\'alis
esetre. \medskip\noindent
{\bf Definici\'o A.} {\it A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'ert\'ekei az eg\'esz sz\'amok r\'acs\'ara vannak
koncentr\'alva (mint legritk\'abb r\'acsra), ha
$\summ_{k=-\infty}^\infty
P(\xi=k)=1$, \'es tetsz\H{o}leges $A>1$ \'es $B$ eg\'esz sz\'amokra
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=Ak+B)<1$.
 
\'Altal\'anosabban, egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
r\'acsos eloszl\'as\'unak nevez\"unk, ha azok \'ert\'ekei egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\{b+kh,\: k=0,\pm1,\pm2,\dots\}$
alak\'u halmazra vannak koncentr\'alva valamilyen $h>0$ \'es $b$
val\'os sz\'amokkal. Azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei egy $h$, $h>0$,
sz\'eless\'eg\H{u} r\'acsra (mint legritk\'abb r\'acsra) vannak
koncentr\'alva, ha l\'etezik olyan $b$ val\'os sz\'am, melyre
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=kh+b)=1$, \'es
$\summ_{k=-\infty}^\infty P(\xi=Akh+B)<1$ tetsz\H{o}leges $A>1$ eg\'esz
\'es $B$ val\'os sz\'amokra.} \medskip
 
A k\'{\i}v\'ant becsl\'esek elv\'egz\'es\'ehez sz\"uks\'eg\"unk lesz
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyre. \medskip
\item{3.)} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy $h$ sz\'eless\'eg\H{u} r\'acsra (mint legritk\'abb r\'acsra)
koncentr\'alva. V\'alasszunk olyan $b$ val\'os sz\'amot, melyre
$\summ_{n=-\infty}^\infty P(\xi=nh+b)=1$, \'es tekints\"uk a $\xi-b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa \'altal
meghat\'arozott $P(t)=\summ_{n=-\infty}^\infty e^{inh}P(\xi-b=nh)$
Fourier sort. A $P(t)$ Fourier sor peri\'odusa $\dfrac{2\pi}h$,
$P(0)=1$, $|P(t)|\le1$ minden val\'os $t$ sz\'amra, \'es $|P(t)|<1$,
ha $|t|\le\dfrac\pi h$, \'es $t\neq0$. Ha a $\xi-b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
l\'etezik $k$-ik momentuma, azaz $E|\xi-b|^k<\infty$, akkor a $P(t)$
f\"uggv\'eny $k$-szor folytonosan differenci\'alhat\'o, \'es
$\left.\dfrac{dP^{k}(t)}{dt^k}\right|_{t=0}=i^kE(\xi-b)^k$,
(ahol $i=\sqrt{-1}$).
\item{4.)} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata, melyek \'ert\'ekei az eg\'esz sz\'amok r\'acs\'ara (mint
a legsz\H{u}kebb r\'acsra) vannak koncentr\'alva. Legyen $E\xi_1=m$,
$E\xi_1^2=m_2<\infty$, (teh\'at feltessz\"uk, hogy a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma v\'eges),
\'es legyen $\sigma^2=m_2-m_1^2$. (A $\sigma^2$ sz\'am jel\"oli a
$\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.) Tekints\"uk az $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Ekkor
$$
P(S_n=k)=\dfrac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}
{2n\sigma^2} \right\}+o\(\frac1{\sqrt n}\),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
$$
ahol $o(\cdot)$ egyenletes a $k$ v\'altoz\'oban.
\item{5.)} Tekints\"unk $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan
sorozat\'at, mely teljes\'{\i}ti az el\H{o}z\H{o} feladat
felt\'eteleit, \'es ezenk\'{\i}v\"ul teljes\"ul az
 $E|\xi_1|^3<\infty$ felt\'etel is. Ekkor az el\H{o}z\H{o}
feladat jel\"ol\'eseit haszn\'alva bizony\'{\i}tsuk be az ott megadott
aszimptotikus becsl\'es k\"ovetkez\H{o} \'elesebb alakj\'at, amelyik
kisebb ma\-ra\-d\'ek\-ta\-got tartalmaz:
$$
P(S_n=k)=\dfrac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}
{2n\sigma^2} \right\}+\e(n,k),\quad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
$$
ahol $|\e(n,k)|\le\dfrac Kn$, \'es a $K$ konstans csak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at\'ol f\"ugg.
\medskip
T\"ort\'enetileg el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis esetet tekintett\'ek,
amikor $\xi_1$ binomi\'alis eloszl\'as\'u, azaz
$P(\xi_1=1)=1-P(\xi_1=0)=p$, $0<p<1$. Ebben az esetben az $S_n$
\"osszeg eloszl\'asa explicit m\'odon fel\'{\i}rhat\'o a binomi\'alis
egy\"utthat\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es ezut\'an j\'ol
vizsg\'alhat\'o a Stirling formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Mivel ennek
a speci\'alis esetnek gyakran fontos szerepe van kombinatorikai
alkalmaz\'asokban, \'erdemes ezt k\"ul\"on elemi m\'odon is
t\'argyalni. Ez\'ert fogalmazzuk meg a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip
\item{5a.)} Bizony\'{\i}tsuk be az \"ot\"odik feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at abban a speci\'alis esetben, amikor $\xi_1$
binomi\'alis eloszl\'as\'u elemi m\'odon (Fourier
anal\'{\i}zis n\'elk\"ul) a Stirling formula
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.
\item{6.)} Teljes\'{\i}tse f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\xi_1,\xi_2,\dots$,
so\-ro\-za\-ta a 4. feladat felt\'eteleit azzal a k\"ul\"onbs\'eggel,
hogy a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei egy
$h$, $h>0$, s\H{u}r\H{u}s\'egi r\'acsra (mint legritk\'abb r\'acsra)
vannak koncentr\'alva. Legyenek ezek az \'ert\'ekek a $kh+b$,
$k=\pm1,\pm2,\dots$, sz\'amok valamely $b$ val\'os sz\'ammal. Ekkor
a 4. feladat jel\H{o}l\'eseivel
$$
\aligned
P(S_n=kh+nb)&=\frac h{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{
-\frac{(kh+nb-nm)^2} {2n\sigma^2} \right\}+o\(\frac1{\sqrt n}\),\\
&\qquad\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
\endaligned \tag5
$$
ahol $o(\cdot)$ egyenletes a $k$ v\'altoz\'oban. Ha teljes\"ul az
$E|\xi_1|^3<\infty$ felt\'etel is, akkor
$$
\align
P(S_n=kh+nb)&=\frac h{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp
\left\{-\frac{(kh+nb-nm)^2}{2n\sigma^2} \right\}+\e(k,n), \\
&\qquad\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots,
\endalign
$$
ahol $|\e(n,k)|\le\dfrac Kn$, \'es a $K$ konstans csak a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at\'ol f\"ugg.
\item{7.)} Ha egy $S_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sorozat teljes\'{\i}ti az (5) rel\'aci\'ot, (nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy hogyan konstru\'altuk ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat), akkor
$$
\lim_{n\to\infty}P\(\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<x\)
=\int_{-\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
$$
minden val\'os $x$ sz\'amra. A konvergencia egyenletes az $x$
param\'eter szerint.
\medskip
 
A fenti eredm\'enyek j\'o aszimptotik\'at adnak arra, hogy
f\"uggetlen, r\'acsos eloszl\'as\'u f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \H{o}sszege milyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel k\"ul\"onb\"oz\H{o}
\'ert\'ekeket, illetve ezen eredm\'enyeket ``kiintegr\'alva" a 7.
feladatban becsl\'est kapunk az \"osszegek alkalmas
normaliz\'altj\'anak aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l. Ezeket az
eredm\'enyeket lehet \'eles\'{\i}teni, de el\H{o}sz\"or foglalkozzunk
azzal a k\'erd\'essel hogyan lehet vizsg\'alni \'altal\'anosabb, nem
felt\'etlen\"ul r\'acsos eloszl\'as\'u f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  \"usszeg\'enek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, illetve s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et,
felt\'eve, hogy az \"osszegnek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
 
Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es tekints\"uk az
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Be
akarjuk l\'atni, hogy amennyiben a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak van sz\'ep s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor j\'o
aszimptotik\'at tudunk adni az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere, illetve \'altal\'anos
felt\'etelek mellett be akarjuk bizony\'{\i}tani, hogy az $S_n$
\"osszegek alkalmas normaliz\'altj\'anak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa, \'es ezt az eloszl\'ast explicit m\'odon meg
akarjuk adni. L\'attuk, hogy r\'acsos eloszl\'asok eset\'en a Fourier
sorok egy alapvet\H{o} \'es egyszer\H{u} eredm\'enye, a Fourier sor
egy\"utthat\'oinak kifejez\'ese a Fourier sor seg\'{\i}ts\'eg\'evel
lehet\H{o}v\'e tette hasonl\'o vizsg\'alatok elv\'egz\'es\'et.
Felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy lehet-e ezt a m\'odszert adapt\'alni
az \'altal\'anos esetre is. Ehhez egyszer\H{u}, j\'ol kezelhet\H{o}
inverzi\'os formul\'ara van sz\"uks\'eg\"unk, amelyik lehet\H{o}v\'e
teszi egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny vagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a f\"uggv\'eny vagy m\'ert\'ek
Fourier transzform\'altj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek eset\'eben l\'etezik ilyen
egyszer\H{u} inverzi\'os formula. El\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eset\'eben azonban csak komplik\'alt, nem igaz\'an j\'ol
haszn\'alhat\'o inverzi\'os formul\'ak l\'eteznek. Annak
\'erdek\'eben, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyekre
hat\'areloszl\'ast\'eteleket bizony\'{\i}tsunk
el\H{o}sz\"or  meg kell \'erten\"unk azt, hogy mit jelent eloszl\'asok
konvergenci\'aja. Ezut\'an le tudjuk \'{\i}rni normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek aszimptotikus viselked\'es\'et tov\'abbra is a
Fou\-rier anal\'{\i}zis alapvet\H{o} eredm\'enyeit haszn\'alva.
Fogalmazzuk meg el\H{o}sz\"or azt a sz\'amunkra fontos inverzi\'os
formul\'at, melyet j\'ol tudunk haszn\'alni
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek vizsg\'alat\'aban.
\medskip\noindent
{\bf Inverzi\'os formula Fourier transzform\'altra.} {\it Legyen
$f(u)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$. Tekints\"uk az
$f(\cdot)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'at, az $\tilde
f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}f(u)\,du$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyt. Ha az $\tilde f(t)$ f\"uggv\'eny szint\'en
integr\'alhat\'o, azaz $\int_{-\infty}^\infty|\tilde
f(t)|\,dt<\infty$, akkor $f(u)$ a Lebesgue m\'ert\'ek szerint majdnem
minden $u\in R^1$-re megegyezik az al\'abbi folytonos \'es korl\'atos
f\"uggv\'ennyel.
$$
f(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-itu}\tilde f(t)\,dt\quad
\tag6
$$
\'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as is. Legyen $\mu$
v\'eges m\'ert\'ek, azaz legyen $\mu(R^1)<\infty$. Jel\"olje $\tilde
f(t)=\int e^{itu}\,d\mu(u)$ e m\'ert\'ek Fourier transzform\'altj\'at.
Ha az $\tilde f(\cdot)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o, akkor a $\mu$
m\'ert\'eknek l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
egyenl\H{o} a fenti (6) formul\'aban defini\'alt $f(\cdot)$
f\"uggv\'ennyel. S\H{o}t, ez az \'all\'{\i}t\'as akkor is \'erv\'enyes,
ha $\mu$ korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek, azaz k\'et v\'eges
m\'ert\'ek k\"ul\"onbs\'ege.}
\medskip
A Fourier transzform\'alt fenti definici\'oja kiss\'e elt\'er az
anal\'{\i}zisben \'altal\'anosan hasz\-n\'alt definici\'ot\'ol, ahol
az \'altalunk fel\'{\i}rt integr\'alt el szokt\'ak osztani a
$\sqrt{2\pi}$ sz\'ammal. Ilyen norm\'al\'assal ugyanis a Fourier
transzform\'alt illetve annak inverz\'et megad\'o formul\'ak jobban
hasonl\'{\i}tanak egym\'asra. Sz\'a\-munk\-ra viszont az \'altalunk
megadott definici\'o a k\'enyelmesebb. A fenti formul\'at be fogjuk
bizony\'{\i}tani az Appendixben. Vegy\"uk \'eszre, hogy term\'eszetes
az a megszor\'{\i}t\'as, mely szerint a (6) formula csak a Lebesgue
m\'ert\'ek szerint majdnem minden $u$ sz\'amra \'erv\'enyes.
Ugyanis ha egy f\"uggv\'enyt megv\'altoztatunk nulla m\'ert\'ek\H{u}
halmazon, akkor annak Fourier transzform\'altja nem v\'altozik meg.
V\'eg\"ul megjegyezz\"uk, hogy a Fourier sorok egy\"utthat\'oir\'ol
sz\'ol\'o formula sugallja a (6) k\'epletben megadott inverzi\'os
formul\'at. Ugyanis, ha egy f\"uggv\'enyt term\'eszetes m\'odon
k\"ozel\'{\i}t\"unk egy a $k\e$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, pontokban
de\-fi\-ni\-\'alt sorozattal, fel\'{\i}rjuk az ezen sz\'amsorozat
\'altal meghat\'arozott Fourier sort (ebben az esetben a
$\[-\frac\pi\e,\frac\pi\e\]$ intervallumban tekintj\"uk ezt a Fourier
sort), kifejezz\"uk a Fourier sor egy\"utthat\'oit a Fourier sor
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'es alkalmazzuk az $\e\to0$ hat\'ar\'atmenetet,
akkor megkapjuk (legal\'abbis form\'alis szinten) a (6) formul\'at.
\medskip
\item{8.)} Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
$E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=\sigma^2<\infty$, (azaz nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} v\'eges sz\'or\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat tekint\"unk), \'es legyen $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$,
$n=1,2,\dots$. Tegy\"uk fel, hogy a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak van $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
tov\'abb\'a ennek az $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek a
$\varphi(t)$ Fourier transzform\'altja integr\'alhat\'o, illetve
ezt a felt\'etelt kiss\'e enyh\'{\i}thetj\"uk arra a felt\'etelre,
hogy l\'etezik olyan $k\ge1$ eg\'esz sz\'am, melyre $\varphi^k(t)$
integr\'alhat\'o. Ekkor az $\dfrac{S_n}{\sqrt n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f_n(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye teljes\'{\i}ti a
$$
\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \quad
\text{minden $x$ val\'os sz\'amra} \tag7
$$
rel\'aci\'ot, \'es a konvergencia egyenletes az $x$ param\'eter szerint.
\item{9.)} Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$
sorozat\'anak l\'etezik $f_n(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye, \'es ez teljes\'{\i}ti a (7)
formul\'at, akkor
$$
\lim_{n\to\infty}F_n(x)=\int_{-\infty}^x\frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}\,du \quad \text{minden $x$ val\'os sz\'amra,}
$$
\'es a konvergencia egyenletes az $x$ param\'eter szerint.
\item{10.)} Ha teljes\"ulnek a 8. feladat felt\'etelei, tov\'abb\'a
$E|\xi_1|^3<\infty$, akkor a (7) formula jobb marad\'ektaggal is
\'erv\'enyes, nevezetesen
$$
f_n(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}+O\(\frac1{\sqrt n}\),
$$
\'es $O(\cdot)$ egyenletes az $x$ param\'eter szerint.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 10.\ illetve a 6. feladatban bel\'attuk, hogy
amennyiben a vizsg\'alt \"ossze\-gek\-ben szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
l\'etezik harmadik momentuma, akkor a vizsg\'alt
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeket a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $\(n^{-1/2}\)$ pontoss\'aggal
k\"ozel\'{\i}ti. E feladatsor folytat\'as\'aban be
fogjuk l\'atni ennek az eredm\'enynek egy analogonj\'at, az
\'ugynevezett Berry--Esseen egyenl\H{o}tlens\'eget. Ez
f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeinek eloszl\'asf\"uggv\'enyeinek a
norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-t\H{o}l val\'o
elt\'er\'es\'ere ad fels\H{o} becsl\'est. A Berry--Esseen
egyenl\H{o}tlens\'eg is $n^{-1/2}$ nagy\-s\'ag\-ren\-d\H{u} fels\H{o}
becsl\'est ad az elt\'er\'esre. M\'egis van egy l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg a Berry--Esseen egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-ben az
eloszl\'asf\"uggv\'enyre \'es a jelen feladatsorban a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-re adott norm\'alis
k\"ozel\'{\i}t\'esre adott becsl\'esek k\"oz\"ott.  Ha $n$ f\"uggetlen
egyforma eloszl\'as\'u nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy
sz\'or\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'alt
\"osszeg\'enek el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek
a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'ennyel val\'o
k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\-\'e\-s\'et tekintj\"uk, akkor a Berry--Esseen
egyenl\H{o}tlens\'eg ezt a hib\'at egy
$\const \mu_3 n^{-1/2}$ alak\'u kifejez\'essel becs\"uli fel\"ul, ahol
$\const$ univerz\'alis konstans, $\mu_3$ pedig az \"osszeadand\'ok
abszol\'ut \'ert\'ek\'enek harmadik momentum\'at jel\"oli.
Hasonl\'o univerz\'alis becsl\'est a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny norm\'alis
k\"ozel\'{\i}t\'es\'ere nem lehet adni. Val\'oban, p\'eld\'aul, ha a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny az orig\'o kis k\"ornyezet\'eben nagyon
nagy \'ert\'ekeket vesz fel, \'es ennek a kis k\"ornyezetnek a
m\'ert\'eke viszonylag nagy, mondjuk nagyobb mint $\frac1{10}$, akkor
kis $n$ indexekre a r\'eszlet\"osszegek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et nem lehet j\'ol k\"ozel\'{\i}teni a
norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Teh\'at a Ber\-ry--Essen
t\'etelnek az analogonja a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyekre nem
\'erv\'enyes. Hasonl\'o ellenp\'elda adhat\'o r\'acsos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-re, ha az
\"ossze\-adan\-d\'ok eloszl\'as\'anak a r\'acssz\'eless\'ege nagyon
kicsi. Ez a k\"ul\"onbs\'eg normaliz\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
norm\'alis app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'o\-j\'a\-ra azzal f\"ugg \"ossze,
hogy az egyik esetben eloszl\'asf\"uggv\'enyeket a m\'asik esetben
pedig ezek deriv\'altjait vizsg\'aljuk. \medskip
A 8. illetve 9. feladatban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'asnak
az a sz\'eps\'eghib\'aja, hogy nem a tipikus konkr\'et
alkalmaz\'asokban megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyekre, hanem
annak Fourier transzform\'altj\'ara \'{\i}r el\H{o} bizonyos
felt\'etelt. Erre a k\'erd\'esre k\'es\H{o}bb visszat\'er\"unk. Be
fogjuk l\'atni, hogy a (7) rel\'aci\'o minden ``sz\'ep"
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszeg
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-re \'erv\'enyes.
\medskip\noindent
{\script B.) A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es a karakterisztikus
f\"uggv\'eny  de\-fi\-ni\-ci\-\'oja. N\'eh\'any fontos
e fogalmakhoz kapcsol\'od\'o \'all\'{\i}t\'as.} \medskip
Vezess\"uk be a (standard) normaliz\'alt eloszl\'as definici\'oj\'at.
Az el\H{o}z\H{o} feladatok ered\-m\'e\-nyei azt sugallj\'ak, hogy
hat\'areloszl\'ast\'etelekben a norm\'alis
eloszl\'as jelenik meg mint hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel.
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it A standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\Phi(x)$ az az eloszl\'asf\"uggv\'eny,
amelyiknek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ alak\'u, azaz
$$
\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du.
$$
\'Altal\'anosabban norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enynek a $\Phi(x)$
standard norm\'alis eloszl\'as line\'aris transzform\'altj\'at nevezik,
azaz egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny k\'et param\'eterrel egy
val\'os $m$ \'es pozit\'{\i}v val\'os $\sigma$ sz\'ammal
jellemezhet\H{o}, ez a $\Phi_{m,\sigma}=\Phi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, melynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\varphi_{m,\sigma}(x)=\dfrac1\sigma\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$. A
$\varphi_{m,\sigma}(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$
f\"uggv\'enyt norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek
nevezz\"uk $m$ \'es $\sigma$ param\'eterekkel.}
\medskip Az 1. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\Phi(x)$
val\'oban eloszl\'asf\"uggv\'eny. \medskip
\item{11.)} L\'assuk be, hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'or\'asa egy, \'es egy $\Phi_{m,\sigma}(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$,
sz\'or\'asn\'egyzete $\sigma^2$.
\medskip
L\'attuk, hogy sz\'ep s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt \"osszegeinek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez eloszl\'asa pedig a standard
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'al. Mint l\'attuk,
hasonl\'o eredm\'eny \'erv\'enyes r\'acsos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok r\'eszlet\"osszegeire. Azt
mondjuk, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmasan
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei $\bar S_n=\dfrac{S_n-a_n}{b_n}$,
$n=1,2,\dots$ teljes\'{\i}tik a lok\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-telt, ha az $\bar S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk, \'es ezek egyenletesen
konverg\'alnak a standard norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyhez
vagy l\'etezik olyan $kh_n+b_n$ $h_n$ sz\'eless\'eg\H{u} r\'acs a
sz\'amegyenesen, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, $h_n\to0$, ha $n\to\infty$
\'ugy. hogy a $\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ekeit ezen a r\'acson veszi fel, \'es
$P(S_n=kh_n+b_n)=h_n\varphi(kh_n+b_n)+o(h_n)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
ahol $\varphi(x)$ a standard norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny,
\'es $o(\cdot)$ egyenletes a $k$ v\'altoz\'oban.
 
L\'attuk, (l\'ast a 6. \'es 8. feladatot), hogy enyhe felt\'etelek
mellett igaz a lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u r\'acsos vagy
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt
\"osszegeire. A normaliz\'al\'as term\'eszetes m\'odon
v\'alaszthat\'o, az el\H{o}z\H{o} paragrafus jel\H{o}l\'es\'et
v\'alasztva $a_n=nE\xi_1=ES_n$, $b_n=\sqrt {n\,
\text{Var}\,\xi_n}=\sqrt {\,\text{Var}\,S_n}$,  teh\'at
\'ugy normaliz\'altunk, hogy a normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek
v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla sz\'or\'asa pedig egy legyen. L\'attuk
tov\'abb\'a, hogy a lok\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik a glob\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel is (l\'asd a 7. \'es 9.) feladatot. A
lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'erv\'enyess\'eg\'ehez
sz\"uks\'eges volt n\'eh\'any  extra felt\'etelt tenni arr\'ol, hogy
az \"osszeadand\'oknak l\'etezik
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\"uk vagy
azok r\'acsos eloszl\'as\'uak. Azt v\'arhatjuk, hogy a (nem lok\'alis)
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek
\'erv\'enyess\'eg\'ehez ezek a felt\'etelek nem sz\"uks\'egesek.
Ez val\'oban \'{\i}gy van. Be akarjuk l\'etni a centr\'alis
eloszl\'asfelt\'etelt min\'el \'altal\'anosabb fel\-t\'e\-te\-lek
mellett f\"uggetlen \'es nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'ere.
 
A lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'a\-nak
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tottuk. Meg
akarjuk mutatni, hogy ez a m\'odszer al\-kal\-maz\-ha\-t\'o a
(glob\'alis) centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'aban is. Felid\'ezz\"uk
\'al\-ta\-l\'a\-nos m\'ert\'ekek Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'a\-nak
a definici\'oj\'at, melyet a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
irodalom sz\'o\-hasz\-n\'a\-la\-t\'at k\"ovetve karakterisztikus
f\"uggv\'enynek fogunk nevezni. Mivel k\'e\-s\H{o}bb
vektor-\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszegeit is vizsg\'alni akarjuk, ez\'ert ---
is\-m\'et\-l\'e\-sek elker\"ul\'ese \'erdek\'eben --- a
karakterisztikus f\"uggv\'enyeket t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asokra
fog\-juk defini\'alni. \medskip\noindent
{\bf Karakterisztikus f\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen
$F(u)=F(u_1,\dots,u_k)$ egy $k$ v\'altoz\'os eloszl\'as f\"uggv\'eny.
Az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny vagy egy $F$ eloszl\'as\'u
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os, $k\ge1$, v\'eletlen vektor
$\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)$, $t=(t_1,\dots,t_k)$
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, ahol $t=(t_1,\dots,t_k)$ a
$k$-dimenzi\'os t\'er tetsz\H{o}leges pontja az al\'abbi
formula defini\'alja:
$$
\align
\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)&=Ee^{i(t,\xi)}=
Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}\\
&=\int e^{i(t,u)}F(\,du) =\int
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}F(\,du_1,\dots,\,du_k).
\endalign
$$
(Itt a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est haszn\'altuk. Ha
$u=(u_1,\dots,u_k)$, $v=(v_1,\dots,v_k)$ k\'et $k$-dimenzi\'os vektor,
akkor $(u,v)=u_1v_1+\cdots+u_kv_k$ az $u$ \'es $v$ vektor skal\'aris
szorzata.)} \medskip \noindent
\item{12.)} Egy $\varphi(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny
egyenletesen folytonos f\"uggv\'eny az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'erben, $\varphi(0,\dots,0)=1$, \'es
$$
|\varphi(t_1,\dots,t_k)|\le1\quad\text{minden }
(t_1,\dots,t_k)\in R^k \text{ pontban}.
$$
Legyen a
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)$,
$t=(t_1,\dots,t_k)$, $a$ val\'os sz\'am, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os vektor. Ekkor az $a\xi+m=(a\xi_1+m_1,\dots,a\xi_k+m_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
e^{i(m,t)}\varphi(at)
=e^{i(m_1t_1+\cdots+m_kt_k)}\varphi(at_1,\dots,at_k).
$$
\item{} Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektorok sorozata, a $\xi_j=(\xi_j^{(1)},\dots,\xi_j^{(k)})$, $1\le j\le
n$, vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi_j(t)=\varphi_j(t_1,\dots,t_k)$,
$j=1,\dots,n$, $t=(t_1,\dots,t_k)$, akkor a $\xi_1+\cdots+\xi_n$ vektor
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t_1,\dots,t_k)$.
\medskip
Sz\'am\'{\i}tsuk ki n\'eh\'any fontos eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et.
\item{13.)} Mutassuk meg, hogy ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o
\item{a.)} standard norm\'alis eloszl\'as\'u, azaz
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$,
akkor karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=e^{-t^2/2}$.
\item{b.)} egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,1]$ intervallumban, azaz
$f(u)=1$, ha $0\le u\le1$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent, akkor
karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=\dfrac{e^{it}-1}{it}$.
\item{c.)} exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$ param\'eterrel,
azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$, ha
$u\ge0$, $f(u)=0$, ha $u<0$, akkor karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\dfrac\lambda{\lambda-it}$.
\item{d.)} Cauchy eloszl\'as\'u, azaz s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(u)=\dfrac1\pi\dfrac1{1+u^2}$, akkor karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=e^{-|t|}$.
\item{e.)} Poisson eloszl\'as\'u $\lambda>0$ param\'eterrel, azaz
$P(\xi=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, $k=0,1,2,\dots$, akkor
karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\exp\left\{\lambda(e^{it}-1)\right\}$.
\item{f.)} binomi\'alis eloszl\'as\'u $n$, \'es $p$ param\'eterekkel,
ahol $n\ge1$ eg\'esz sz\'am \'es $0<p<1$, azaz $P(\xi=k)=\dbinom nk
p^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,1,\dots,n$, akkor karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=(1-p+pe^{it})^n$.
\item{g.)} negativ binomi\'alis eloszl\'as\'u $n$ \'es $p$
param\'eterrel, ahol $n\ge1$ eg\'esz sz\'am, $0<p<1$, azaz
$P(\xi=k)=\dbinom{n+k-1}{k}p^k(1-p)^n$, $k=0,1,2,\dots$, akkor
a karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=\(\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}\)^n$. \medskip \noindent
{\script C.) A  konvoluci\'o de\-fi\-ni\-ci\-\'oja \'es n\'eh\'any
fontos tulajdons\'aga.} \medskip
Ebben a feladatsorban f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-i\-nek eloszl\'as
\'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et vizsg\'aljuk. Ezeknek a
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeknek az eloszl\'as\'at vagy
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ki lehet fejezni az eredeti
eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeknek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel is. Ilyen m\'odon a feladatsorban kimondott
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-le\-ket meg lehet fogalmazni az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek nyelv\'en is, an\'elk\"ul hogy f\"ug\-get\-len
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszegeir\H{o}l
besz\'eln\'enk. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt megtehess\"uk
be\-ve\-zet\-j\"uk a konvoluci\'o oper\'ator definici\'oj\'at. Ezt
kiss\'e \'altal\'anosabban, integr\'alhat\'o (nem fel\-t\'et\-le\-n\"ul
s\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyekre \'es el\H{o}jeles m\'ert\'ekekre is
defini\'alni fogjuk. A konvoluci\'o fogalm\'at ebben a
feladatsorban nem fogjuk haszn\'alni, ez\'ert a k\"ovetkez\H{o}
definici\'o illetve az azt k\"ovet\H{o} 14.--17. feladatok
elhagyhat\'oak lenn\'enek ebb\H{o}l a feladatsorb\'ol. M\'egis
hat\'areloszl\'asok t\'argyal\'asa a konvol\'uci\'o fogalm\'anak
bevezet\'ese n\'elk\"ul hi\'anyos lenne, ez\'ert ezt a fogalmat
k\"ul\"on t\'argyaljuk. R\'aad\'asul ez a fogalom az anal\'{\i}zis \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as sz\'amos vizsg\'alat\'aban
term\'eszetes m\'odon megjelenik. Sok esetben a konvoluci\'o al\'abb
megadott kiss\'e \'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb nem puszt\'an
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyekre \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekekre bevezetett definici\'oj\'at \'erdemes hasz\-n\'al\-ni.
\medskip\noindent {\bf A konvoluci\'o oper\'ator definici\'oja.}  {\it
Ha $f(x_1,\dots,x_k)$ \'es $g(x_1,\dots,x_k)$ k\'et
$k$-di\-men\-zi\-\'os m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny,
azaz $\int |f(x_1,\dots,x_k)|\,dx_1\dots\,dx_k<\infty$, \'es
$\int |g(x_1,\dots,x_k)|\,dx_1\dots\,dx_k<\infty$,
akkor
az $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyek $f*g$ konvoluci\'oja a
k\"ovetkez\H{o} $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny:
$$
f*g(x_1,\dots,x_k)=\int
f(u_1,\dots,u_k)g(x_1-u_1,\dots,x_k-u_k)\,du_1\dots\,du_k \tag8
$$
minden olyan $(x_1,\dots,x_k)$ pontban, ahol a fenti integr\'al
\'ertelmes. (A t\"obbi pontban tetsz\H{o}leges m\'odon defini\'aljuk az
$f*g$ f\"uggv\'enyt.)
 
Legyen $\mu$ \'es $\nu$ k\'et v\'eges vari\'aci\'oj\'u m\'ert\'ek az
$R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain,
azaz tegy\"uk fel, hogy l\'etezik
$\mu=\mu_1-\mu_2$ illetve $\nu=\nu_1-\nu_2$ reprezent\'aci\'o, ahol
$\mu_i$ \'es $\nu_i$, $i=1,2$, v\'eges m\'ert\'ekek az $R^k$ t\'er
v\'eges r\'eszhalmazain, azaz $\mu_k(R^k)<\infty$, \'es
$\nu_k(R^k)<\infty$, $k=1,2$. Legyen $\mu\times\nu$ a $\mu$ \'es $\nu$
m\'ert\'ekek direkt szorzata az $R^k\times R^k=R^{2k}$ szorzatt\'eren.
Ekkor a $\mu*\nu$ konvoluci\'o a k\"ovetkez\H{o} halmazf\"uggv\'eny az
$R^k$ t\'er m\'erhet\H{o} halmazain:
$$
\mu*\nu(A)=\mu\times\nu \{(u,v)\: u+v\in A\}\quad\text{minden
m\'erhet\H{o} } A\subset R^k \text{ halmazra.}
$$
 
Legyen $f(x_1,\dots,x_k)$ m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o
$k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, $\nu$ v\'eges va\-ri\-\'a\-ci\'o\-j\'u
m\'ert\'ek az $R^k$ m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain. Ekkor ezek
konvuluci\'oja $f*\nu(x_1,\dots,x_k)$ a  k\"ovetkez\H{o}
$k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny:
$$
f*\nu(x_1,\dots,x_k)=\int
f(u_1,\dots,u_k)\nu(x_1-\,du_1,\dots,x_k-\,du_k)
$$
minden olyan $(x_1,\dots,x_k)$ pontban, ahol a fenti integr\'al
\'ertelmes. Azaz az $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyt azon
$\bar\nu_{x_1,\dots,x_k}$ m\'ert\'ek szerint integr\'aljuk, melynek
definici\'oja:
$$
\bar\nu_{x_1,\dots,x_k}(A)=\nu((x_1,\dots,x_k)-A).
$$
(A t\"obbi pontban tetsz\H{o}leges m\'odon defini\'aljuk az $f*\nu$
f\"uggv\'enyt.)} \medskip
\item{14.)} Ha $f(x_1,\dots,x_k)$ \'es $g(x_1,\dots,x_k)$ k\'et
m\'erhet\H{o} \'es integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny az $R^k$ t\'eren,
akkor a (8) k\'epletben defini\'alt $f*g(x_1,\dots,x_k)$ v\'eges, \'es
az $f*g$ konvoluci\'o is integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny.
\item{} Ha $\mu$ \'es $\nu$ k\'et korl\'atos v\'altoz\'as\'u
m\'ert\'ek az $R^k$ t\'eren, akkor a $\mu*\nu$  konvoluci\'o is az.
\item{} Ha $\mu$ \'es $\nu$ k\'et korl\'atos v\'altoz\'as\'u
m\'ert\'ek az $R^k$ t\'eren, \'es a $\mu$ m\'ert\'eknek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, azaz $\mu(A)=\int_A
f(u_1,\dots,u_k)\,du$ minden m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra,
akkor a $\mu*\nu$ konvoluci\'os m\'ert\'eknek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az $f*\nu$ f\"uggv\'eny. Ez
speci\'alisan azt is jelenti, hogy az $f*\nu(x)$ f\"uggv\'eny
integr\'alhat\'o. Ha a $\mu$ \'es $\nu$ m\'ert\'ekeknek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ illetve $g(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye akkor a $\mu*\nu$ konvoluci\'os
m\'ert\'eknek l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az
$f*g$ konvoluci\'o.
\item{15.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor az $R^k$ t\'eren, $\xi$ eloszl\'asa
$\mu$, $\eta$ eloszl\'asa $\nu$, akkor $\xi+\eta$ eloszl\'asa $\mu*\nu$.
Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektornak l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$\xi+\eta$-nak is l\'etezik s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye,
\'es ez $f*\nu$. Ha $\xi$-nek l\'etezik $f$ $\nu$-nek pedig $g$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, akkor $\xi+\eta$-nak is
l\'etezik s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es ez az $f*g$
f\"uggv\'eny.
\item{} K\"ovetkez\'eskeppen, ha $\xi_j$, $j=1,\dots,n$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok $F_j(x)=F_j(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, $j=1,\dots,n$, $\bar
S_n=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-A}B$ valamilyen $A=(A_1,\dots,A_k)$
\'es $B>0$ norm\'al\'asi t\'enyez\H{o}kkel, akkor $\bar S_n$
eloszl\'asa $F_1*\cdots*F_n(Bx+A)$. Ha a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektoroknak van $f_j$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk, $1\le j\le n$, akkor $\bar S_n$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye $Bf_1*\cdots*f_n(Bx+A)$.
\item{} $f*g=g*f$, $\mu*\nu=\nu*\mu$, $(f*g)*h=f*(g*h)$,
$(\mu_1*\mu_2)*\mu_3$, azaz a konvol\'uci\'o oper\'ator kommutativ
\'es asszociativ.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladatban megadjuk a konvoluci\'o \'es Fourier
transzform\'alt k\"oz\"otti kapcsolatot. \medskip
\item{16.)} Ha $f(u_1,\dots,u_k)$ \'es $g(u_1,\dots,u_k)$ k\'et
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny $R^k$-n
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
\'es
$$
\psi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}g(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k
$$
Fourier transzform\'altakkal, akkor az $f*g(u_1,\dots,u_k)$
konvoluci\'o Fourier transzform\'altja a
$\varphi(t_1,\dots,t_k)\psi(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny.
\item{} Ha $\mu$ \'es $\nu$ k\'et korl\'atos v\'altoz\'as\'u
m\'ert\'ek $R^k$-n
$$
\varphi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}\mu(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
\'es
$$
\psi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1u_1+\cdots+t_ku_k)}\nu(\,du_1,\dots,\,du_k)
$$
Fourier transzform\'altakkal (vagy m\'as terminol\'ogi\'aban
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel), akkor $\mu*\nu$ Fourier
transz\-for\-m\'alt\-ja a $\varphi(t_1,\dots,t_k)\psi(t_1,\dots,t_k)$
f\"uggv\'eny. \medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat c\'elja annak megmutat\'asa, hogy
inform\'alisan fogalmazva a konvoluci\'o oper\'ator sim\'{\i}t\'o
oper\'ator. Ha k\'et s\'{\i}ma f\"uggv\'enyt tekint\"unk, akkor azok
konvoluci\'oja m\'eg s\'{\i}m\'abb lesz. Az egyszer\H{u}s\'eg
\'erdek\'eben ebben a feladatban csak egyv\'altoz\'os f\"uggv\'enyeket
fogunk tekinteni.
\item{17.)} Legyen $f(u)$ \'es $g(u)$ k\'et integr\'alhat\'o
f\"uggv\'eny.  Tegy\"uk fel, hogy a $\dfrac{d^j f(u)}{du^j}$
deriv\'altak l\'eteznek, ezek is integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, \'es
$\limm_{u\to-\infty}\dfrac{d^j f(u)}{du^j}=0$ minden $0\le j\le k$
eg\'esszel valamilyen $k$ eg\'esz sz\'ammal. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a,
hogy a $\dfrac{d^j g(u)}{du^j}$ deriv\'altak is l\'eteznek, ezek is
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, \'es $\limm_{u\to-\infty}\dfrac{d^j
g(u)}{du^j}=0$ minden $0\le j\le l$ eg\'eszre valamilyen $l$ eg\'esz
sz\'ammal. Ekkor l\'etezik a $\dfrac{d^{k+l}f*g(u)}{du^{k+l}}$
deriv\'alt, amelyik integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, \'es
$\limm_{u\to-\infty}\dfrac{d^{k+l}f*g(u)}{du^{k+l}}=0$.
\item{} Legyen $f(u)$ \'es $g(u)$ k\'et integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny
\'ugy, hogy az $f(u)$ f\"uggv\'eny analitikus egy $\{z\: |\Im z|<A\}$
tartom\'anyban valamilyen $A>0$ sz\'ammal. Tegy\"uk fel tov\'abb\'a,
hogy $\int |f(u+ix)|\,du<\infty$ minden $|x|<A$ sz\'amra, \'es
tetsz\H{o}leges $\e>0$, $B>0$ sz\'amokra l\'etezik olyan $K=K(A,B,\e)$
sz\'am, melyre $\int_{|u|>K}|f(y-u+ix)g(u)|\,du<\e$. Ekkor az $f*g$
konvoluci\'o is analitikus f\"uggv\'eny.
 
\medskip\noindent
{\script D.) Eloszl\'asban val\'o konvergencia.}
\medskip
B\'ar nincs k\'enyelmesen haszn\'alhat\'o inverzi\'os formula, mely egy
eloszl\'asf\"uggv\'enyt kifejez annak karakterisztikus f\"uggv\'enye
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es lehet\H{o}v\'e teszi eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'anak vizsg\'alat\'at azok karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, m\'egis a lok\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa a
k\"ovetkez\H{o} k\'epet sugallja: Eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at be lehet bizony\'{\i}tani \'ugy, hogy az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye\-i\-nek
konvergenci\'aj\'at igazoljuk. Ilyen tipus\'u eredm\'enyt be lehet
bizony\'{\i}tani, \'es ez az eredm\'eny nagyon hasznos
hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban. De az \'all\'{\i}t\'as
megfogalmaz\'as\'aban \'es bizony\'{\i}t\'as\'aban
k\"ul\"on\"osk\'eppen figyelni kell bizonyos r\'eszletekre.
 
El\H{o}sz\"or meg kell pontosan fogalmazni azt, hogy mit \'ert\"unk
eloszl\'asf\"uggv\'enyek, illetve az ezen eloszl\'asf\"uggv\'enyek
\'altal meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'an. A definici\'o megad\'asa el\H{o}tt tekints\"uk
a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'eld\'at. Legyen $x_n$, $n=1,2,\dots$,
negat\'{\i}v sz\'amok olyan sorozata, melyre $\limm_{n\to\infty}x_n=0$,
\'es vezess\"uk be az $x_0=0$ jel\"ol\'est. Tekints\"uk azokat az
(elfajult) $\mu_n$, $n=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekeket a sz\'amegyenesen, melyek az $x_n$, $n=0,1,2,\dots$,
pontokba vannak koncentr\'alva, azaz $\mu_n(\{x_n\})=1$, $n=1,2,\dots$.
Term\'eszetes elv\'arni, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'at \'ugy defini\'aljuk, hogy e szerint a definici\'o
szerint az el\H{o}bb defini\'alt $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, m\'ert\'ekek
konverg\'alnak a $\mu_0$ m\'ert\'ekhez. M\'asr\'eszt a $\mu_n$,
$n=0,1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyeket az $F_n(u)=0$, ha $u\le
x_n$, \'es $F_n(u)=1$, ha $u>x_n$, $n=0,1,2,\dots$, defini\'alja, azaz
$\mu_n([a,b))=F_n(b)-F_n(a)$ tetsz\H{o}leges $a<b$ sz\'amp\'arra.
Jegyezz\"uk meg, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden
$x\neq0$ sz\'amra, de ez a rel\'aci\'o nem \'erv\'enyes $x=0$ eset\'en,
mert $F_0(0)=0$ \'es $F_n(0)=1$, ha $n\neq0$. Ez a p\'elda azt mutatja,
hogy az a na\'{\i}v elk\'epzel\'es, mely szerint
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aja egy hat\'areloszl\'ashoz
azt jelenten\'e, hogy ezek az eloszl\'asf\"uggv\'enyek minden pontban
konverg\'alnak a limesz eloszl\'asf\"uggv\'enyhez nem
volna szerencs\'es definici\'o. Az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
konvergenci\'aja a fenti p\'eld\'aban az orig\'oban nem teljes\"ul. Ez
az a pont, ahol a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny nem folytonos.
Az al\'abb megadott (alkalmas) definici\'oban nem k\'{\i}\-v\'an\-juk
meg az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aj\'at azokban a
pontokban, ahol a hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny nem folytonos. Ezt a
definici\'ot t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asok eset\'eben is meg fogjuk
adni. \medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak definici\'oja.}
{\it Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=0,1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os,
$k\ge1$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk, hogy
az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, vagy az $F_n$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asok \'altal meghat\'arozott $\mu_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott $\mu_0$
m\'ert\'ekhez, illetve az $F_n$ eloszl\'as\'u
$\xi_n=(\xi_n^{(1)},\dots,\xi_n^{(k)})$, $n=1,2,\dots$ v\'eletlen
vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'as\'u
$\xi_0=(\xi_0^{(1)},\dots,\xi_0^{(k)})$, $n=1,2,\dots$ v\'eletlen
vektorhoz $n\to\infty$ eset\'en, ha
$$
\lim_{n\to\infty} F_n(x_1,\dots,x_k)=F_0(x_1,\dots,x_k)
$$
az $F_0(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi
pontj\'aban. Ezt az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at id\H{on}k\'ent
gyenge konvergenci\'anak is nevezik az irodalomban.} \medskip
 
A tov\'abbi vizsg\'alatokban fontos szerepet j\'atszik az al\'abbi
t\'etel, mely ekvivalens definici\'ot ad eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'ara. A k\"ovetkez\H{o} feladat ennek a t\'etelnek a
bizony\'{\i}t\'asa, b\'ar ez a feladat megegyezik a {\it
Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aja metrikus
terekben}\/ feladatsor els\H{o} feladat\'aval. \medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Az $F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
akkor \'es csak akkor konverg\'alnak el\-osz\-l\'as\-ban az
$F_0(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha tetsz\H{o}leges
$f(x_1,\dots,x_k)$ a $k$-dimenzi\'os t\'erben folytonos \'es
kor\-l\'a\-tos f\"uggv\'enyre
$$
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)\to
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF_0(x_1,\dots,x_k),
\quad\text{ha }n\to\infty. \tag9
$$
}\medskip
\item{18.)} Bizony\'{\i}tsuk be a T\'etel A-t.
\medskip
Megjegyezz\"uk, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia T\'etel~A-ban
megadott jel\-lem\-z\'e\-se az\'ert is fontos, mert ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk defini\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'at \'altal\'anos topologikus terekben.
Ugyanis az eredeti definici\'o hasz\-n\'al\-ja az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek fogalm\'at, azaz bizonyos
t\'eglatestek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Ez olyan fogalom, amelyik
az euklideszi terek geometri\'aj\'ahoz k\"ot\H{o}dik, \'es nem
defini\'alhat\'o \'altal\'anos topol\'ogikus terekben. Ez\'ert
szerepel ez az eredm\'eny a fent eml\'{\i}tett feladatsorban is.
 
\'Erdemes megjegyezni, hogy a (9) formul\'aban megfogalmazott
felt\'etel in\-ter\-pre\-t\'al\-ha\-t\'o \'ugy is mint a
funkcion\'alanal\'{\i}zisben haszn\'alt gyenge konvergencia. Az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek felfoghat\'ok, mint az $R^k$ t\'er folytonos
f\"uggv\'enyeinek (a szok\'asos szupr\'emum norm\'aval ell\'atott)
(Banach) ter\'en \'ertelmezett korl\'atos (line\'aris) funkcion\'alok.
A (9) formul\'aban megadott rel\'aci\'o ekvivalens azzal, hogy az $F_n$
eloszl\'asok \'altal meghat\'arozott $\mu_n$ m\'ert\'ekek mint
korl\'atos funkcion\'alok gyeng\'en konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'as
\'altal meghat\'arozott $\mu_0$ m\'ert\'ekhez mint korl\'atos
funkcion\'alhoz. Itt a funkcion\'alis anal\'{\i}zis szok\'asos
terminol\'ogi\'aj\'at haszn\'altuk. Ez a t\'eny teszi
term\'eszetess\'e azt, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
id\H{o}nk\'ent gyenge konvergenci\'anak nevezik.
 
Az eloszl\'asban val\'o konvergencia (9) formul\'aban megadott
definici\'oja term\'eszetes m\'odszert ad arra, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek illetve a Fourier anal\'{\i}zis m\'odszer\'et hogyan
haszn\'aljuk hat\'areloszl\'ast\'etelek bizony\'{\i}t\'as\'aban.
Tetsz\H{o}leges $t=(t_1,\dots,t_k)$ $k$-dimenzi\'os vektor
eset\'en az $e_t(x)=e_{t_1,\dots,t_k}(x_1,\dots,x_k)
=e^{i(t,x)}=e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}$ f\"uggv\'enyek folytonos,
korl\'atos f\"uggv\'enyek a $k$-dimenzi\'os t\'erben, ez\'ert a (9)
rel\'aci\'o speci\'alisan azt is megk\"oveteli, hogy minden
$(t_1,\dots,t_k)$ vektorra teljes\"ulj\"on a
$$
\varphi_n(t_1,\dots,t_k)\to\varphi_0(t_1,\dots,t_k),\quad\text{ha }
n\to\infty
$$
rel\'aci\'o, ahol $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ az $F_n(t_1,\dots,t_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye, $n=0,1,2,\dots$.
 
Ahhoz, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol
az eloszl\'asok konvergeci\'aj\'ara tudjunk k\"ovetkeztetni,
sz\"uks\'eg van olyan eredm\'enyre, amelyik olyan t\'enyt fejez ki,
mely szerint az $e_{t_1,\dots,t_k}(x_1,\dots,x_k)
=e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}$ trigonometrikus f\"ugg\-v\'e\-nyek,
illetve azok line\'aris kombin\'aci\'oi a $k$-dimenzi\'os t\'erben
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyek el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'alya. A mi t\'argyal\'asunkban  Weierstrass m\'asodik
app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os t\'etel\'enek seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk
kifejezni a trigonometrikus f\"uggv\'enyek osz\-t\'a\-ly\'a\-nak
gaz\-dag\-s\'a\-g\'at. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'at meg fogjuk
adni az Appendixben. \medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, melyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
(A $P_n$ polinom foka \'es a benne szerepl\H{o} $a_k$ egy\"utthat\'ok
f\"uggnek mind az $f(\cdot)$ folytonos f\"uggv\'enyt\H{o}l \'es az
$\e>0$ sz\'amt\'ol. Ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'os
\'ert\'ek\H{u}, akkor az $a_k$ egy\"utt\-ha\-t\'o\-kat
v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy $a_{-k}=\bar a_k$ minden $k=0,1,\dots,n$
indexre, ahol $\bar z$ a $z$ sz\'am konjug\'altja. Ekkor a $P_n(t)$
trigonometrikus polinom is val\'os \'ert\'ek\H{u}.)
 
Igaz ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a k\"ovetkez\H{o} t\"obbdimenzi\'os
v\'altozata is. Ha $f(t_1,\dots,t_k)$ foly\-to\-nos f\"uggv\'eny a
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, mely minden koordin\'at\'aj\'aban
$2\pi$ szerint periodikus, azaz
$f(t_1+2j_1\pi,\dots,t_k+2j_k\pi)=f(t_1,\dots,t_k)$ minden eg\'esz
$j_1,\dots j_k$ sz\'amra, \'es $\e>0$ val\'os sz\'am,
akkor l\'etezik olyan $k$ v\'altoz\'os trigonometrikus polinom
$$
P_n(t_1,\dots,t_k)=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\: |j_1|+\cdots+|j_k|\le n}
a_{j_1,\dots,j_k}e^{i(j_1t_1+\cdots+j_kt_k)},
$$
ahol $j_1,\dots,j_k$ eg\'esz sz\'amok, melyre
$$
|f(t_1,\dots,t_k)-P_n(t_1,\dots,t_k)|<\e \quad \text {minden val\'os }
t_1,\dots,t_k\text{ sz\'amra.}
$$
}\medskip
 
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'enek alkalmaz\'asa
megfelel\H{o} \'atsk\'al\'az\'assal lehet\H{o}v\'e teszi, hogy egy
$k$-dimenzi\'os folytonos f\"uggv\'enyt tetsz\H{o}leges
pon\-tos\-s\'ag\-gal k\"o\-ze\-l\'{\i}t\-s\"unk valamely v\'eges
tartom\'anyban olyan f\"uggv\'ennyel melynek integr\'alj\'at egy
v\-al\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek szerint egyszer\H{u}en
ki lehet fejezni e m\'ert\'ek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Nevezetesen a karakterisztikus
f\"uggv\'eny k\"ul\"onb\"oz\H{o} pontokban vett \'er\-t\'e\-k\'e\-nek
alkalmas line\'aris kombin\'aci\'oja megegyezik ennek
a k\"ozel\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'enynek az integr\'alj\'aval. Az, hogy
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele csak v\'eges
tar\-to\-m\'any\-ban ad le\-he\-t\H{o}\-s\'e\-get j\'o
approxim\'aci\'ora, az nem ennek az eredm\'enynek a
gyenges\'eg\'eb\H{o}l, hanem a vizsg\'alt feladat jelleg\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik. Azt akarjuk vizsg\'alni, hogy mikor teljes\"ul a (9)
rel\'aci\'o {\it minden}\/ folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyre.
A k\"ovetkez\H{o} feladatokban bel\'atjuk, hogy ez csak akkor
lehets\'eges, ha a (9) formul\'aban szerepl\H{o} integr\'alokban a
``v\'egtelen k\"ornyezet\'enek" a hozad\'eka elhanyagolhat\'o.
El\H{o}sz\"or bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot. \medskip
\noindent
{\bf Eloszl\'asok relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak \'es
feszess\'eg\'enek definici\'oja.}
{\it Legyen adva $F_n(t_1,\dots,t_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek sorozata a $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'erben, \'es jel\"olje $\mu_n$ az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meghat\'arozott val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket az
$R^k$ t\'erben. Azt mondjuk, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
illetve $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata
relat{\'i}v kompakt, ha az $F_n$ ( vagy $\mu_n$) sorozat tetsz\H{o}leges
$F_{n_k}$ (illetve $\mu_{n_k}$) r\'eszsorozat\'anak $k=1,2,\dots$,
l\'etezik $F_{n_{k_j}}$ (illetve $\mu_{n_{k_j}}$), $j=1,2,\dots$,
eloszl\'asban konvergens r\'eszsorozata.
 
Azt mondjuk, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek ($\mu_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek) sorozata feszes,
ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $K=K(\e)$ sz\'am,
hogy a $\bold K(K)^k=\underbrace {[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}
_{k\text{\rm{-szoros szorzat}}}$ $k$-dimenzi\'os kock\'ara $\mu_n(\bold
K(K)^k)\ge1-\e$ {\rm minden} $n=1,2,\dots$ indexre.}\medskip
 
\item{19.)} Legyen $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er Borel m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-zain \'es $\e>0$ val\'os sz\'am. L\'etezik olyan
$K=K(\mu,\e)$ sz\'am, melyre a $\bold K^k(K)=\underbrace
{[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}
_{k\text{-szoros szorzat}}$ $k$-dimenzi\'os kocka teljes\'{\i}ti a
$\mu(\bold K(K)^k)>1-\e$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get.
Bizony\'{\i}tsuk be ennek az \'all\'{\i}t\'asnak \'es Weierstrass
m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\-\'os t\'etel\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
karakterisztikus f\"uggv\'enye egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meghat\'arozza a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket, azaz ha k\'et
$\mu_1$ \'es $\mu_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek ugyanaz a
karakterisztikus f\"uggv\'enye, akkor $\mu_1=\mu_2$.
\item{} Tov\'abb\'a tetsz\H{o}leges v\'eges vari\'aci\'oj\'u $\mu$
m\'ert\'eket az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'eren egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
meg\-ha\-t\'a\-roz annak $\varphi(t_1,\dots,t_k)=\int
e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}\mu(\,dx_1,\dots,dx_k)$ Fourier
transz\-for\-m\'alt\-ja, $(t_1,\dots,t_k)\in R^k$.
\item{20.)} Mutassunk p\'eld\'at arra, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'enye egy v\'eges intervallumban nem
hat\'arozza meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Azaz minden $T>0$
sz\'amra l\'etezik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} $F_1(\cdot)$ \'es
$F_2(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, melyekre a
$\varphi_i(t)=\int e^{itu}\,dF(u)$, $i=1,2$, karakterisztikus
f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik a $\varphi_1(t)=\varphi_2(t)$
azo\-nos\-s\'a\-got minden $-T\le t\le T$ sz\'amra.
\item{21.)} Legyen $\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek sorozata az az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekb\H{o}l \'all\'o sorozat
akkor \'es csak akkor relat\'{\i}v kompakt, ha feszes.
Speci\'alisan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
el\-osz\-l\'as\-ban konvergens sorozata feszes.
 
%\vfill\eject
 
%\noindent
\medskip \noindent
{\script E.) Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak kapcsolata a
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aj\'aval.}
 
\medskip Annak \'erdek\'eben, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
felt\'etel\'et ki tudjuk fejezni a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hasznos olyan eredm\'enyt megfogalmazni, mely
megadja annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et
eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy eloszl\'asok egy sorozata feszes, vagy ami az
el\H{o}z\H{o} feladat szerint ezzel ekvivalens, relat\'{\i}v kompakt
sorozat legyen. \medskip
\item{22.)} Legyen adva eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(u)$,
$n=1,2,\dots$, sorozata $\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, karakterisztikus
f\"uggv\'ennyel a sz\'amegyenesen.  Az $F_n(\cdot)$ eloszl\'as
f\"uggv\'eny sorozat akkor \'es csak akkor feszes, ha
$$
\lim_{\delta\to0}\limsup_{n\to\infty}\frac1{2\delta}\int_{-\delta}
^\delta\Re \(1-\varphi_n(t)\)\,dt=0, \tag10
$$
ahol $\Re z$ a $z$ komplex sz\'am val\'os r\'esz\'et jel\"oli.
\item{} B\'ar a k\'es\H{o}bbiekben nem lesz sz\"uks\'eg\"unk a
k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelre, mutassuk meg, hogy a (10) rel\'aci\'o
ekvivalens azzal, hogy
$$
\lim_{\delta\to0}\sup_n\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re\(1-\varphi_n(t)\)\,dt=0. \tag$10'$
$$
\medskip
A fenti eredm\'enyek \'es Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os
t\'etel\'enek seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk fogalmazni \'es be
tudjuk bizony\'{\i}tani annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et a karakterisztikus f\"uggv\'enyek nyelv\'en,
hogy eloszl\'asok egy sorozat\'anak legyen
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sa. Ezt az eredm\'enyt, melyet al\'abb fogunk
megfogalmazmi, fontoss\'aga miatt alapt\'etelnek fogjuk nevezni.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
egy sorozata az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $(t_1,\dots,t_k)$ pontban, \'es a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban,
akkor l\'etezik olyan $F_0(u_1,\dots,u_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny a
$k$-dimenzi\'os t\'erben, melynek a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. S\H{o}t a $\varphi_0$
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o felt\'etel n\'emileg
enyh\'{\i}thet\H{o}. El\'eg feltenni, hogy a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$
f\"uggv\'eny meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-sa  mindegyik
koordin\'atatengelyre folytonos az orig\'oban. Tov\'abb\'a e felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F_0(u_1,\dots,u_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.
 
Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'eren defini\'alt sorozata, mely egy $F_0(u_1,\dots,u_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$, $n=1,2,\dots$,  jel\"oli az
$F_n(u_1,\dots,u_k)$, $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az
$F_0(x_1,\dots,x_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et,
akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=\limm_{n\to\infty}
\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden $(t_1,\dots,t_k)\in
R^k$ pontban. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia egyenletes az $R^k$
t\'er minden kompakt r\'eszhalmaz\'an. Ez\'ert a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny folytonos.}\medskip
 
Az Alapt\'etelt a szok\'asosn\'al kiss\'e \'elesebb form\'aban
fogalmaztuk meg. Megjegyezt\"uk, hogy az Alapt\'etel
\'erv\'enyess\'eg\'ehez el\'eg feltenni azt, hogy a $\varphi_0(\cdot)$
ha\-t\'ar\-f\"ugg\-v\'eny\-nek a koorditn\'atatengelyekre val\'o
megszor\'{\i}t\'asai folytonosak az orig\'oban. Ezt a megjegyz\'est
az\'ert tett\"uk, mert egyr\'eszt ez az enyhe \'eles\'{\i}t\'es
semmilyen neh\'ezs\'eget nem okoz a bizony\'{\i}t\'asban, m\'asr\'eszt
egyszer\H{u}bb\'e teszi a k\'es\H{o}bb megfogalmazand\'o 45. feladat
megold\'as\'at.
 
Be k\'{\i}v\'anjuk bizony\'{\i}tani az  el\H{o}bb megfogalmazott
Alapt\'etelt. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or megoldunk egy
\"onmag\'aban is \'erdekes feladatot. \medskip
\item{23.)} Legyen $\bold\xi^{(n)}=(\xi_1^{(n)},\dots,\xi_k^{(n)})$
$k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok sorozata, \'es
je\-l\"ol\-je $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ ezek karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, $n=1,2,\dots$. Bizony\'{\i}tsuk be (a 22. feladat
eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel), hogy amennyiben az orig\'o
egy kis k\"ornyezet\'eben a $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'enyek
konverg\'alnak egy $\varphi(t_1,\dots,t_k)$ f\"ugg\-v\'eny\-hez, mely
az orig\'oban folytonos, akkor a $\bold\xi^{(n)}=(\xi_1^{(n)},\dots,
\xi_k^{(n)})$ v\'eletlen vektorok el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyei
feszesek. S\H{o}t, ahhoz, hogy ez a
feszess\'eg teljes\"ulj\"on, el\'eg az, hogy a $\varphi(t_1,\dots,t_k)$
f\"ugg\-v\'eny megszor\'{\i}t\'asai a koordin\'atatengelyekre az
orig\'oban folytonos f\"uggv\'enyek legyenek.
\item{24.)} Bizony\'{\i}tsuk be az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol
sz\'ol\'o alapt\'etelt.
\item{25.)} Mutassunk p\'eld\'at karakterisztikus f\"uggv\'enyek
olyan $\varphi_n(t)$, $n=0,1,2,\dots$, so\-ro\-za\-t\'a\-ra, melyre
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=\varphi_0(t)$, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban, de nem egyenletes az
eg\'esz sz\'amegyenesen.
\medskip
Tegy\"unk n\'eh\'any megjegyz\'est a fent megfogalmazott alapt\'etellel
kapcsolatban.\medskip
\item{i.)} Az alapt\'etelben olyan felt\'eteleket adtunk, melyek
automatikusan biztos\'{\i}tj\'ak, hogy a vizsg\'alt karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nyek limesze is karakterisztikus f\"uggv\'eny. Ez a
t\'eny az\'ert is fontos, mert ez teszi lehet\H{o}v\'e sz\'amunkra,
hogy jellemezz\"uk a lehets\'eges hat\'areloszl\'asokat illetve azok
karakterisztikus f\"uggv\'enyeit, (ha p\'eld\'aul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeit vizsg\'aljuk).
\item{ii.)} Az alapt\'etelben csak azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy a
tekintett karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek limesze, (amelyik az
alapt\'etel szerint szint\'en karakterisztikus f\"uggv\'eny) az
orig\'oban legyen folytonos, noha tudjuk, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek az eg\'esz t\'eren (egyenletesen) folytonosak, (l\'asd
a 12. feladat eredm\'eny\'et). Jegyezz\"uk meg, hogy a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek  a lehets\'eges f\"uggv\'enyeknek egy kit\"untetett
speci\'alis oszt\'aly\'at alkotj\'ak, \'es ez\'ert bizonyos extra
tulajdons\'agokkal rendelkeznek. A karakterisztikus f\"uggv\'enyeknek
l\'etezik nem trivi\'alis jellemz\'ese. Ilyen jellemz\'est ad a
Boch\-ner t\'etel, mely az \'ugynevezett pozit\'{\i}v definit
f\"uggv\'enyek \'{\i}rja le. A Boch\-ner t\'etel fontos szerepet
j\'atszik mind az anal\'{\i}zisban mind a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
bizonyos probl\'em\'ainak vizsg\'alat\'aban. B\'ar mi ezt az
eredm\'enyt nem fogjuk haszn\'alni, azt be fogjuk bizony\'{\i}tani
egy k\'es\H{o}bbi feladatsorban. A bizony\'{\i}t\'asban hasznosnak
bizonyulnak majd a hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban
kapott eredm\'enyek.
\item{iii.)} Az a felt\'etel, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
hat\'ar\'ert\'eke folytonos biztos\'{\i}tja azt, hogy az eloszl\'asok
sorozata feszes, azaz ``nem folyik ki t\"omeg a
v\'egtelenbe." Ha az eloszl\'asok sorozata ``kifolyhat a
v\'egtelenbe", akkor nem lehet eloszl\'asok aszimptotikus
viselked\'es\'et olyan \'attekinthet\H{o} m\'odon le\'{\i}rni a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mint
azt az Alapt\'etelben tett\"uk. Erre ad p\'eld\'at a k\"ovetkez\H{o}
feladat. \medskip
\item{26.)} Mutassunk p\'eld\'at val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek $\mu_n$ sorozat\'ara a sz\'amegyenesen \'ugy, hogy
$\limm_{n\to\infty}\mu_n(\bold K)=0$ minden  v\'eges halmazra \'es
a.) a $\mu_n$ m\'ert\'ekek $\varphi(t)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyeinek van hat\'ar\'ert\'eke. b.) nincs
hat\'ar\'ert\'eke.
%\medskip\noindent
 
\vfill\eject
 
\noindent
{\script F.) Egy f\"uggv\'eny illetve e f\"uggv\'eny Fourier
transzform\'altj\'anak vi\-sel\-ke\-d\'e\-se k\"oz\"otti kapcsolat.}
\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy eloszl\'asok viselked\'es\'et j\'ol
tudjuk vizsg\'alni a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'es \'altal\'aban, ha a
Fourier-transzform\'aci\'ot akarjuk alkalmazni bizonyos
vizsg\'alatokban, akkor sz\"uks\'eg\"unk van egyfajta ``sz\'ot\'arra",
mely megadja, hogy egy m\'ert\'ek  vagy f\"uggv\'eny tulajdons\'agai
hogyan t\"ukr\"oz\H{o}dnek e m\'ert\'ek vagy f\"uggv\'eny  Fourier
transz\-for\-m\'alt\-j\'a\-nak a viselked\'es\'eben, \'es hogyan
lehet a Fourier transz\-for\-m\'alt vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-b\H{o}l
az erdeti m\'ert\'ek vagy f\"uggv\'eny tulajdons\'agaira
k\"o\-vet\-kez\-tet\-ni. A k\"ovetkez\H{o} feladatokban megadott
``sz\'ot\'ar'' kor\'antsem lesz teljes, de bel\'atunk n\'eh\'any olyan
\'all\'{\i}t\'ast is, melyekre nem lesz k\"ozvetlen sz\"uks\'eg\"unk.
Ezeket az ered\-m\'e\-nye\-ket csak egy dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra fogalmazzuk meg, b\'ar a
t\"obb-dimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'as nem okoz neh\'ezs\'eget.
 
Inform\'alis m\'odon ennek a ``sz\'ot\'arnak" a tartalm\'at a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon fo\-gal\-maz\-hat\-juk meg: Min\'el
s\'{\i}m\'abb egy f\"uggv\'eny vagy m\'ert\'ek, illetve a m\'ert\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"ugg\'enye, ann\'al gyor\-sab\-ban tart annak
Fourier transz\-for\-m\'alt\-ja a v\'egtelenben null\'ahoz. Min\'el
kevesebb t\"omeget tartalmaz egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek a v\'egtelenben, vagy m\'as sz\'oval min\'el t\"obb
momentuma van egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, melynek
ez a m\'ert\'ek az eloszl\'asa, ann\'al s\'{\i}m\'abb e m\'ert\'ek
karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a a karakterisztikus
f\"uggv\'eny deriv\'altjai az orig\'oban meghat\'arozz\'ak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumait.
 
Megford\'{\i}tva: Ha egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye s\'{\i}ma, \'es ezt a
s\'{\i}mas\'agot el\'eg csak az orig\'o kis k\"ornyezet\'eben
feltenni, akkor ann\'al gyorsabban cseng le az eloszl\'asf\"uggv\'eny a
v\'egtelenben min\'el s\'{\i}m\'abb a karakterisztikus f\"uggv\'eny.
M\'as\-r\'eszt min\'el gyorsabban tart null\'ahoz a karakterisztikus
f\"uggv\'eny a v\'egtelenben, ann\'al s\'{\i}m\'abb az eredeti
eloszl\'asf\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a bizonyos eredm\'enyek azt is
mutatj\'ak, hogy ha egy f\"uggv\'eny n\'eh\'any pontot kiv\'eve
s\'{\i}ma, \'es ezekben a pontokban ennek a f\"uggv\'enynek
szingularit\'asa van, akkor a Fourier transz\-for\-m\'alt
viselked\'ese a v\'egtelenben j\'ol t\"ukr\"ozi ezeknek a
szingularit\'asoknak a jelleg\'et. Ez ut\'obbi k\'erd\'est, melynek
vizsg\'alat\'ara e feladatsor eredm\'enyeinek bizony\'{\i}t\'as\'aban
nem lesz sz\"uks\'eg\"unk csak fel\"uletesen \'es a
bizony\'{\i}t\'asok elhagy\'as\'aval fogjuk t\'argyalni.
 
Tulajdonk\'eppen a 22. feladat \'all\'{\i}t\'asa  is felfoghat\'o
\'ugy, mint egy ebbe a ``sz\'ot\'ar"-ba tartoz\'o eredm\'eny, \'es
annak tartalma \"osszhangban van az el\H{o}bb v\'azolt heurisztikus
k\'eppel. Az, hogy a tekintett eloszl\'asf\"uggv\'enyek csal\'adja
feszes azt fejezi ki, hogy meg lehet adni a v\'egtelen
olyan kis k\"ornyezet\'et, melyben az ezen
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal meghat\'arozott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek mindegyike valamilyen
el\H{o}\'{\i}rt kis korl\'atn\'al kisebb t\"omeget tartalmaz.
M\'asr\'eszt, az erre a tulajdons\'agra a (10) formul\'aban megadott
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel olyan rel\'aci\'ot fejez
ki, hogy ezen eloszl\'asok $\varphi_n(t)$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"ugg\-v\'e\-nyei va\-la\-mi\-lyen bo\-nyo\-lult \'ertelemben
egyenletesen folytonosak az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben.
(Eml\'ekezz\"unk arra, hogy $1-\varphi(0)=0$.)
 
Ugyancsak konzisztens a fenti heurisztik\'aval a 17. \'es 16. feladat
eredm\'enye is. A 17. feladat olyan \'all\'{\i}t\'ast fejez ki, mely
szerint k\'et s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oja m\'eg
s\'{\i}m\'abb, mint a konvoluci\'oban r\'esztvev\H{o} f\"uggv\'enyek.
M\'asr\'eszt a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak
Fourier transz\-for\-ma\'alt\-ja egyenl\H{o} e f\"uggv\'enyek Fourier
transz\-for\-m\'alt\-j\'anak szorzat\'aval. Az el\H{o}bb v\'azolt
heurisztikus \'erv szerint egy f\"uggv\'eny ann\'al s\'{\i}m\'abb,
min\'el gyorsabban tart e f\"uggv\'eny Fourier transz\-for\-m\'alt\-ja
null\'ahoz a v\'egtelenben. Viszont k\'et null\'ahoz
tartoz\'o f\"uggv\'eny szorzata gyorsabban tart null\'ahoz
mint az egyes f\"uggv\'enyek, \'es ez felel meg a konvoluci\'o
oper\'ator sim\'{\i}t\'o tulajdons\'ag\'anak a Fourier
transz\-for\-m\'al\-tak ter\'eben. \medskip
\item{27.)} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszol\'ut \'ert\'ek\'enek l\'etezik $k$-ik momentuma, azaz
$E|\xi^k|<\infty$ akkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$k$-szor differenci\'alhat\'o, \'es $\left.\dfrac{d^j
\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}=i^j E\xi^j$ minden $0\le j\le k$
sz\'amra.
\item{} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es
csak akkor l\'etezik exponenci\'alis momentuma, ha a $|\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye
exponenci\'alis gyorsan tart egyhez a v\'egtelenben, azaz
$Ee^{u\xi}<\infty$ minden $|u|\le t$ eset\'en valamilyen alkalmas
$t>0$ sz\'ammal, akkor \'es csak akkor ha a $P(|\xi|>x)<Ce^{-\alpha
x}$ minden $x>0$-ra alkalmas $C>0$ \'es $\alpha>0$ konstansokkal.
Ebben az esetben a $\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus
f\"uggv\'eny analitikus a $\{z\: |\Re z|<a\}$ tartom\'anyban, alkalmas
$a>0$ sz\'ammal.
\item{28.)} Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny abszol\'ut \'ert\'eke
integr\'alhat\'o a sz\'amegyenesen, akkor az $f(u)$ f\"uggv\'eny
$\varphi(t)=\int e^{itu}f(u)\,du$ Fourier transzform\'altja
teljes\'{\i}ti a $\limm_{t\to\infty}\varphi(t)=0$ \'es
$\limm_{t\to-\infty}\varphi(t)=0$ rel\'aci\'okat. (Riemann lemma.)
\item{} Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny abszol\'ut \'ert\'eke
integr\'alhat\'o, $f(u)$ $k$-szor differenci\'alhat\'o, tov\'abb\'a a
$\dfrac{d^j f(u)}{du^j}$ f\"uggv\'enyek abszol\'ut \'ert\'eke
integr\'alhat\'o minden $1\le j\le k$ sz\'amra, akkor
$\int_{-\infty}^\infty e^{itu} f(u)\,du=o\((1+|t|)^{-k}\)$
$|t|\to\pm\infty$ eset\'eben.
\item{} Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny analitikus valamilyen $\{z\: |\Re
z|<A\}$, $A>0$ tartom\'anyban, $|\int |f(u+iv)|\,du<\infty$, ha
$|v|<A$, akkor $\varphi(t)=\int e^{itu}f(u)\,du=O\(e^{-\alpha|t|}\)$
$t\to\pm\infty$ eset\'eben valamilyen $\alpha>0$ konstanssal.
\item{29.)} Tekints\"uk egy $\xi$ nem elfajul\'o, azaz nem egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konstans val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Akkor \'es csak akkor l\'etezik olyan $t\neq0$ sz\'am, melyre
$|\varphi(t)|=1$, ha $\xi$ r\'acsos eloszl\'as\'u. (A r\'acsos
eloszl\'as definici\'oj\'at l\'asd Definici\'o~A-ban.) Legyen a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy $h$
s\H{u}r\H{u}s\'egi r\'acsra (mint legritk\'abb r\'acsra)
koncentr\'alva. A $|\varphi(t)|=1$ rel\'aci\'o akkor \'es csak akkor
\'erv\'enyes ezen $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o $\varphi(\cdot)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ere, ha
$t=2\pi\dfrac kh$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$. Ha $\xi$ nem r\'acsos
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor minden
$0<A<B<\infty$ sz\'amp\'arra $\supp_{A\le |t|\le B}|\varphi(t)|<1$.
\item{30.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa $P(\xi=1)=P(\xi=\sqrt 2)=P(\xi=-1)=P(\xi=-\sqrt
2)=\dfrac12$. Ekkor a $\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus
f\"uggv\'eny egyr\'eszt teljes\'{\i}ti a $|\varphi(t)|<1$, ha
$t\neq0$ rel\'aci\'ot, m\'asr\'eszt $\limsupp_{t\to\infty}|
\varphi(t)|=1$. A $\limsupp_{t\to\infty}|\varphi(t)|=1$ \'es
$|\varphi(t)|<1$, ha $t\neq0$ rel\'aci\'ok abban az \'altal\'anosabb
esetben is \'erv\'enyesek, amikor $\xi$ tetsz\H{o}leges v\'eges vagy
megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok pontba koncentr\'alt, de nem
r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 1:}\/ A m\'ert\'ekelm\'elet egy klasszikus
eredm\'enye szerint tetsz\H{o}leges (v\'eges) m\'ert\'ek
felbonthat\'o egy abszol\'ut folytonos, egy diszkr\'et, (azaz
megsz\'aml\'alhat\'o sok pontba koncentr\'alt) valamint egy
szingul\'aris m\'ert\'ek \"osszegek\'ent. (Egy szingul\'aris
m\'ert\'ek olyan m\'ert\'ek, mely szerint minden pont m\'ert\'eke
nulla, viszont a m\'ert\'ek egy nulla Lebesgue m\'ert\'ek\H{u}
halmazra van koncentr\'alva.) Egy abszol\'ut folytonos
m\'ert\'ek el\H{o}\'all, mint egy $f(u)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny
integr\'alja. Ez\'ert a 28. feladat \'all\'{\i}t\'asa sze\-rint egy
ilyen m\'ert\'ek $\varphi(t)$ Fourier transzform\'altja null\'ahoz
tart $t\to\infty$ eset\'en, \'es min\'el s\'{\i}m\'abb ez az $f(u)$
f\"uggv\'eny ann\'al gyorsabban tart a Fourier transzform\'alt
null\'ahoz a v\'egtelenben. A 29. \'es 30. fel\-adat
\'all\'{\i}t\'asa azt mondja ki, hogy diszkr\'et m\'ert\'ek Fourier
transzform\'altja ellenkez\H{o} m\'odon viselkedik a v\'egtelenben.
Ebben az esetben a Fourier transzform\'alt abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
$\limsup$-ja a v\'egtelenben megegyezik a sz\'am\-egye\-nes
m\'ert\'ek\'evel. Egy szingul\'aris m\'ert\'ek Fourier
transzform\'altj\'anak a vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et a v\'egtelenben
nem tudjuk \'altal\'anos m\'odon jellemezni.
\medskip\noindent{\it Megjegyz\'es 2:}\/ Tekints\"uk egy olyan a
sz\'amegyenesen defini\'alt $f(s)$ f\"uggv\'eny $\tilde f(s)$ Fourier
transzform\'altj\'anak a vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et az $u\to\infty$
vagy $u\to-\infty$ eset\'eben, mely s\'{\i}ma, el\'eg sokszor
differenci\'alhat\'o, kiv\'eve egy $a$ pontot. E pont pont kis
k\"ornyezet\'eben legyen a f\"uggv\'enynek $f(s)\sim C|s-a|^\alpha$,
$\alpha>-1$, $\alpha\neq2k$, $k=0,1,2,\dots$, alak\'u szingularit\'asa.
Ekkor bel\'athat\'o, hogy $\tilde f(u)\sim \bar C e^{iua}u^{-\alpha-1}$
$u\to\infty$ eset\'en, \'es a $\bar C$ konstans explicit m\'odon
megadhat\'o. Heurisztkusan ez az \'all\'{\i}t\'as a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon magyar\'azhat\'o. Az $f(u)$ f\"uggv\'eny s\'{\i}mas\'aga miatt
a f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altj\'anak aszimptotikus
viselked\'es\'et a v\'egtelenben e f\"uggv\'eny $a$
pontbeli szingularit\'asa hat\'arozza meg, \'es az
k\"or\"ulbel\"ul a
$$     \allowdisplaybreaks
\align
\tilde g(u)&=C\int_{-\infty}^\infty
e^{ius}|s-a|^{\alpha}\,ds=
Ce^{iau}\int_{-\infty}^\infty e^{ius}|s|^{\alpha}\,ds\\
&=Ce^{iau}u^{-\alpha-1} \int_{-\infty}^\infty e^{is}|s|^{\alpha}\,ds=
\bar Ce^{iau}u^{-\alpha-1}
\endalign
$$
kifejez\'essel egyenl\H{o}, ha $u\to\infty$. A fenti sz\'amol\'as
nagyon pongyola. A f\H{o} probl\'ema az, hogy  a tekintett integr\'alok
az integrandusban szerepl\H{o} $|s|^\alpha$ faktor miatt, legal\'abbis
mint Lebesgue integr\'alok \'ertelmetlenek. Ennek ellen\'ere a
sz\'amol\'as helyes eredm\'enyt ad, s\H{o}t az integr\'al
\'athelyez\'ese az imagin\'arius tengelyre lehet\H{o}v\'e teszi a
$\bar C$ konstans meghat\'aroz\'as\'at is a $\Gamma(\cdot)$ f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha t\"obb pontban van az $f$ f\"uggv\'enynek
hasonl\'o szingularit\'asa, akkor ezek hat\'asa \"osszead\'odik, amikor
a Fourier transzform\'alt viselked\'es\'et \'{\i}rjuk
le a v\'egtelen k\"ornyezet\'eben.
 
B\'ar az ebben a megjegyz\'esben tett eredm\'enyeket ebben a
feladatsorban nem hasz\-n\'al\-juk, az ilyen jelleg\H{u} eredm\'enyek
fontos szerepet j\'atszanak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as \'es anal\'{\i}zis
sz\'amos probl\'em\'aj\'anak vizsg\'alat\'aban. Az $\alpha=2k$,
$k=0,1,\dots$, param\'etereket az\'ert kellett kiz\'arni, mert
ebben az esetben az $f(s)$ f\"uggv\'eny s\'{\i}ma az $a$ pontban.
Az $|s-a|^\alpha$ f\"uggv\'eny m\'asfajta viselked\'ese ezen
param\'eterek eset\'eben fontos szerepet j\'atszik bizonyos
statisztikus fizika probl\'em\'aban.
 
A k\"ovetkez\H{o} 31.--34. feladatok egy m\'ert\'ek
viselked\'es\'er\H{o}l adnak inform\'aci\'ot a m\'ert\'ek Fourier
transzform\'altj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{31.)} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye k\'etszer
differenci\'alhat\'o az orig\'oban, akkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik v\'eges
m\'asodik momentuma, azaz $E\xi^2<\infty$. L\'assuk
be teljes indukci\'oval, hogy amennyiben a karakterisztikus
f\"uggv\'eny $2k$-szor differenci\'alhat\'o az orig\'oban, akkor
$E\xi^{2k}<\infty$.
\item{32.)} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
dif\-fe\-ren\-ci\-\'al\-ha\-t\'o  az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben,
\'es a deriv\'alt ott Lipschitz $\alpha$ f\"uggv\'eny valamilyen
$\alpha>0$ sz\'ammal, azaz $|\varphi'(t)-\varphi'(s)|<C|t-s|^{\alpha}$
alkalmas $C>0$ sz\'ammal, ha $|s|<\e$, $|t|<\e$ valamilyen $\e>0$
sz\'ammal, akkor $E|\xi|<\infty$. \'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o}
n\'emileg tartalmasabb becsl\'es is: $P(|\xi|>u)<\const u^{-1-\alpha}$
minden $u>0$ sz\'amra.
\item{} Ha a $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny $2k+1$-szer
differenci\'alhat\'o az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben, \'es ott
a $2k+1$-ik deriv\'alt Lipschitz $\alpha$ f\"uggv\'eny valamilyen
$\alpha>0$ sz\'ammal, akkor $E|\xi|^{2k+1}<\infty$. \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 31. \'es 27. feladat eredm\'enyeib\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy hogy egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o m\'asodik momentuma akkor \'es csak akkor v\'eges, ha
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye az orig\'oban k\'etszer
differenci\'alhat\'o. Ha egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o els\H{o} momentum\'anak abszol\'ut \'ert\'eke v\'eges, akkor
ennek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak a
ka\-rak\-te\-risz\-tikus f\"uggv\'enye differenci\'alhat\'o az
orig\'oban (\'es minden\"utt). De az els\H{o} momentum v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek l\'e\-te\-z\'e\-s\'e\-nek
biz\-to\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz er\H{o}sebb megszor\'{\i}t\'ast
k\"o\-ve\-tel\-t\"unk meg mint a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny deriv\'alhat\'os\'aga az orig\'oban. (Ez lenne a 31.
fel\-adat eredm\'eny\'enek term\'eszetes analogonja.) B\'ar a 32.
feladat felt\'etelei gyeng\'{\i}thet\H{o}ek, a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny deriv\'alhat\'os\'aga az
orig\'oban nem elegend\H{o} ahhoz, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o abszol\'ut \'ert\'ek\'enek els\H{o} momentuma v\'eges
legyen. Va\-l\'o\-ban, ismeretes az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel
kifejezhet\H{o} sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele annak,
hogy a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny az orig\'oban
differenci\'alhat\'o legyen. Mivel ez a k\'erd\'es term\'eszetes
m\'odon felmer\"ul a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek
vizsg\'alat\'aban f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlag\'ara,
ez az eredm\'eny szerepel a {\it Szto\-chasz\-ti\-kus \'es egy
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H u\-s\'egi konvergencia}\/ fel\-adat\-sor 12.
feladat\'aban is. Ez a felt\'etel a k\"ovetkez\H{o}: Egy $F$
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altja az
orig\'oban akkor \'es csak akkor egyenl\H{o} egy
$-\infty<a<\infty$ sz\'ammal, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^u xF(\,dx)=a.
$$
\medskip
\item{33.)} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye analitikus a nulla kis
k\"ornyezet\'eben, akkor l\'etezik olyan $\alpha>0$ sz\'am, melyre
$P(|\xi|>x)\le\const e^{-\alpha x}$ minden $x>0$-ra.
\item{34.)} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi(u)=Ee^{iu\xi}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
in\-teg\-r\'al\-ha\-t\'o, azaz $\int|\varphi(u)|\,du<\infty$, akkor a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik $f(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ha $|\varphi(u)|<\const
|u|^{-(k+1+\e)}$ valamilyen $\e>0$ sz\'ammal, akkor az $f(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-nek l\'etezik folytonos
\'es korl\'atos $k$-ik deriv\'altja. Ha $|\varphi(u)|<\const
e^{-\alpha|u|}$ valamilyen $\alpha>0$ sz\'ammal, akkor az $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny analitikus.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 1:}\/ A 34. feladat \'all\'{\i}t\'asa r\'eszben
\'eles\'{\i}thet\H{o}. Ahhoz, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye elegend\H{o}
feltenni azt, hogy a $\xi$ v\'altoz\'o $\varphi(u)=Ee^{iu\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'enye n\'egy\-ze\-te\-sen
in\-teg\-r\'al\-ha\-t\'o. Ugyanis \'erv\'enyes a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enyt a karakterisztikus
f\"uggv\'eny inverz Fourier transzform\'altj\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kifejez\H{o} k\'ep\-let n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o Fourier transzform\'altakra is, csak ebben az esetben
a fel\'{\i}rt integr\'alt nem a szok\'asos Lebesgue
integr\'alk\'ent \'ertelmezz\"uk, hanem azt alkalmas $L_2$-beli
kiterjeszt\'essel kell defini\'ani. Ez egy a Fourier
anal\'{\i}zisben klaszikus eredm\'eny, melyet itt nem t\'argyalunk.
Az eml\'{\i}tett \'all\'{\i}t\'as innen k\"ovetkezik.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es 2:}\/ A 8. feladatban megfogalmazott lok\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben megjegyezt\"uk, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny integr\'alhat\'os\'ag\'ara kir\'ott
felt\'etel gyen\-g\'{\i}t\-he\-t\H{o}, el\'eg azt feltenni, hogy
a karakterisztikus f\"uggv\'eny el\'eg magas hatv\'anya
integr\'alhat\'o. Az exponenci\'alis eloszl\'as mutat p\'eld\'at olyan
eloszl\'asra, melynek ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye nem
integr\'alhat\'o (l\'asd 13.c) feladatot), viszont a karakterisztikus
f\"uggv\'eny n\'egyzete integr\'alhat\'o. Teh\'at ebben
az esetben a 8.) feladatnak csak ez az \'elesebb form\'aja
alkalmazhat\'o. Ennek a p\'eld\'anak m\'elyebb h\'atter\'et jobban
megvil\'ag\'{\i}tj\'ak az el\H{o}bbi eredm\'enyek. Jegyezz\"uk meg,
hogy az exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek szakad\'asa van az
orig\'oban, \'es a karakterisztikus f\"uggv\'eny eloszl\'asa e miatt
a szakad\'as miatt tart lassan null\'ahoz a v\'egtelenben. Viszont az
exponenci\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oja
\"onmag\'aval s\'{\i}m\'abb\'a teszi ezt a f\"uggv\'enyt. Az, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny n\'egyzete integr\'alhat\'o ennek a
t\'enynek felel meg. Hasonl\'o a helyzet olyan
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek eset\'eben, melyeknek van
n\'eh\'any nem t\'ul er\H{o}s szingularit\'asuk.
 
\medskip\noindent
{\script G.) A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.}
\medskip
A kor\'abbi eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \medskip
\item{35.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\xi_1=0$,
$E\xi^2_1=1$. Legyen $S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. L\'assuk be, hogy az
$\dfrac{S_n}{\sqrt n}$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak a standard norm\'alis
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. \medskip
Vizsg\'alni k\'{\i}v\'anjuk  a centr\'alis
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt \'altal\'anosabb esetben is, amikor
f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-it te\-kint\-j\"uk. \'Erdemes  a feladatot
kiss\'e \'altal\'anosabb megfogalmaz\'asban te\-kin\-te\-ni, amikor
minden $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra egym\'ast\'ol f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit
tekintj\"uk, de a k\"ul\"onb\"oz\H{o} $k$ indexekhez tartoz\'o
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok
kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol semmit nem tesz\"unk fel. Ha feltessz\"uk,
hogy az $k$-ik sorban lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kicsik, akkor bebizony\'{\i}thatjuk enyhe felt\'etelek mellett azt,
hogy az $k$-ik sorban lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeinek eloszl\'asa tart a standard norm\'alis eloszl\'ashoz.
 
L\'enyeg\'eben meg tudjuk adni annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'et, hogy ezek az \"osszegek eloszl\'asban tartsanak a
standard norm\'alis eloszl\'ashoz. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast a
k\'es\'obbiekben pontosabban  meg fogjuk fogalmazni. Ennek a
pontosabb \'es \'altal\'anosabb probl\'em\'anak a
megfogalmaz\'as\'ahoz \'erdemes bevezetni az al\'abb defini\'aland\'o
sz\'eria so\-ro\-zat fogalm\'at. A f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelek k\"ovetkeznek a sz\'eria sorozatokr\'ol
bizony\'{\i}tand\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Sz\'eriasorozatok definici\'oja.} {\it A
$$
\align
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endalign
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere, $k\to\infty$,
sz\'eriasorozat, ha az egy sorban lev\H{o}
$\xi_{k,1}$,\dots, $\xi_{k,n_k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek. (A k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorokban lev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok kapcsolat\'ar\'ol nem
t\'etelez\"unk fel semmit.)} \medskip
 
A centr\'alis hat\'arleloszl\'astelnek a karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel adand\'o
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz az \'altal\'anos esetben \'erdemes megmutatni,
hogy az $e^{it}$ f\"ugg\-v\'enyt j\'ol k\"ozel\'{\i}ti az els\H{o} $k$
tag \"osszege e f\"ugg\-v\'eny Taylor sor\'aban. Ez a k\"ovetkez\H{o}
feladat tartalma.
\item{36.)} Tetsz\H{o}leges $k$ nem negat\'{\i}v eg\'esz \'es $t$
val\'os sz\'amra
$$
\left|e^{it}-\(1+\frac{it}{1!}+\cdots+\frac{(it)^k}{k!}\)\right|\le
\frac{|t|^{k+1}}{(k+1)!}. \tag11
$$
\medskip
Ha adva van egy sz\'eriasorozat, \'es be akarjuk l\'atni, hogy az
egyes sorokban lev\H{o} \"osszegek eloszl\'asainak van
hat\'areloszl\'asa $k\to\infty$ eset\'eben, akkor term\'eszetes a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'ervel\'es. Tekints\"uk az egyes sorokban
lev\H{o} $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok $\varphi_{k,j}(\cdot)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit. Azt kell bel\'atnunk, hogy ezen
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek szorzatai konverg\'alnak.
Vegy\"uk ezen szorzatok logaritmus\'at. Ekkor a $\log \varphi_{k,j}(t)$
f\"uggv\'enyek \"osszeg\'et kell tekinteni r\"ogz\'{\i}tett $k$-ra
\'es $t$-re. Ha van olyan felt\'etel, mely szerint az egyes $\xi_{k,j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kicsik, akkor term\'eszetes
azt v\'arni, hogy $\varphi_{j,k}(t)\sim1$ r\"ogz\'{\i}tett $t$-re,
\'es a $\log\varphi_{k,j}(t)\sim(1-\varphi_{k,j}(t))$ rel\'aci\'o
el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es. Ekkor el\'eg ezen ut\'obbi
kifejez\'esek \"osszeg\'et vizsg\'alni. A k\"ovetkez\H{o}
feladat c\'elja ennek a heurisztikus \'ervel\'esnek pontos
megfogalmaz\'asa \'es bizony\'{\i}t\'asa. Ez az eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
felt\'eteleinek ne csak az el\'egs\'egess\'eg\'et, hanem a
sz\"uks\'egess\'eg\'et is vizsg\'aljuk. \medskip
\item{37.)} Tekints\"uk egy $\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\varphi(t)$ karkakterisztikus f\"uggv\'eny\'et valamilyen
r\"ogz\'{\i}tett $t$ sz\'amra.
\itemitem {a.)} Ha $E\xi=0$, $E\xi^2\le \e$ egy el\'eg
kis $\e=\e(t)>0$ sz\'ammal akkor $|1-\varphi(t)|\le \frac{t^2}2E\xi^2$,
\'es $|\log \varphi(t)+(1-\varphi(t))|\le t^4\(E\xi^2\)^2$.
\itemitem{b.)} Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
olyan sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le
n_k$, $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$,  \'es a
sz\'eriasorozat tagjai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$ kicsis\'egi
felt\'etelt. Jel\"olje $\varphi_{k,j}(t)=Ee^{it\xi_{k,j}}$,
$-\infty<t<\infty$, a $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'et. Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban az $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'ashoz, ha
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)=-\frac{\sigma^2
t^2}2+imt  \tag12
$$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra.
 
B\'ar els\H{o}sorban arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy az adott
felt\'etelek mellett az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek mikor konverg\'alnak
eloszl\'asban a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez,
 m\'egis \'erdemes volt annak a felt\'etel\'et is megfogalmazni, hogy
a limesz egy $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o legyen. Fogunk arra is p\'eld\'at mutatni, hogy b\'ar
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'et vizsg\'aljuk, a hat\'areloszl\'as lehet $m\neq0$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} is.
 
A sz\'eriasorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis
hat\'areloszl\'asfelt\'etel vizsg\'alat\'aban
alapvet\H{o} fon\-tos\-s\'a\-g\'u az al\'abb megfogalmazand\'o
Lindeberg felt\'etel. L\'atni fogjuk, hogy a 37. fel\-adat b.)
r\'esz\'eben megadott felt\'eteleket teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozatok $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ \"osszegei akkor
\'es csak akkor konverg\'alnak a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha ez a sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt. \medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja:} {\it
Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
\'es $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}
\medskip
\item{38.)} Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es amelyik
sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt. Ekkor
\itemitem{a.)} a sz\'eriasorozat tagjai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$
kicsis\'egi felt\'etelt.
\itemitem{b.)} Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
\medskip \'Erv\'enyes az el\H{o}bbi feladat k\"ovetkez\H{o}
megford\'{\i}t\'asa: \medskip
\item {39.)} Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} kicsis\'egi felt\'etelt:
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$.
Tegy\"uk fel ezen k\'{\i}v\"ul azt, hogy az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  egy
1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} \'es tetsz\H{o}leges v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.
Ekkor a $\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat
teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.
\medskip
K\"ul\"on hangs\'ulyozzuk, hogy a 39. feladatban nem csak azt
k\"ovetelt\"uk meg annak biztos\'{\i}t\'as\'ara, hogy a Lindeberg
felt\'etel teljes\"ulj\"on, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
eloszl\'asban egy norm\'alis el\-osz\-l\'as\-hoz konverg\'aljanak,
hanem azt is, hogy a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-nak a ``helyes" 1
sz\'or\'asn\'egyzete legyen. Fogunk mutatni p\'eld\'at arra, hogy
lehets\'eges az, hogy a $\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$, $1\le j\le n_k$,
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti az $\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le
n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$ ki\-csi\-s\'e\-gi felt\'etelt, nem teljes\'{\i}ti
a Lindeberg felt\'etelt, \'es az $S_k$ v\'eletlen \"osszegek
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy norm\'alis eloszl\'ashoz. De
ebben az esetben a norm\'alis hat\'areloszl\'as sz\'or\'asn\'egyzete
kisebb mint 1. Az ilyen p\'eld\'ak vizsg\'alata el\H{o}tt
meg\-t\'ar\-gyal\-juk, hogy az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyek milyen
eredm\'enyt adnak f\"uggetlen, nem felt\'etlen\"ul egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeinek hat\'areloszl\'as\'ara. Ennek \'erdek\'eben
megfogalmazzuk a Lindeberg felt\'etel alkalmas verzi\'oj\'at
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
so\-ro\-za\-t\'a\-ra. \medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozataira:} {\it Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre
$E\xi_n=0$, $\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$, \'es
az $s^2_n=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$, $n=1,2,\dots$, sorozat
teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ felt\'etelt. Azt
mondjuk, hogy a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt, ha minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{s_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_k^2I(\{|\xi_k|>\e
s_n\})=0.
$$
}\medskip
A Lindeberg felt\'etel szeml\'eletes tartalma az, hogy az egyes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok t\'uls\'agosan nagy (az
\"osszeg sz\'or\'as\'aval \"osszem\'erhet\H{o}) \'ert\'ekeinek a
hat\'asa elhanyagolhat\'oan kicsi. Az ilyen rendk\'{\i}v\"ul nagy
\'ert\'ekek kev\'ess\'e befoly\'asolj\'ak mind a normaliz\'alt \"osszeg
eloszl\'as\'at mind az \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzet\'et, teh\'at a
normaliz\'al\'o faktort. Ezt a t\'enyt fejezi ki a k\"ovetkez\H{o}
feladat. E feladat eredm\'eny\'enek a k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o 42.
fel\-adat\-tal egy\"utt a k\"ovetkez\H{o} k\"ovetkezm\'enye is van.
Tekints\"unk egy sz\'eriasorozatot, mely teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt. Ha e sz\'eriasorozat tagjainak a t\'ul nagy
(nagyobb mint $\e>0$) \'ert\'ekeit lev\'agjuk, majd a csonk\'{\i}tott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy normaliz\'aljuk, hogy
v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk nulla legyen, akkor e m\'odos\'{\i}tott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol k\'epzett
r\'eszlet\"osszegek ugyanolyan hat\'areloszl\'as t\'etelt
teljes\'{\i}tenek mint az eredeti sz\'eriasorozat tagjaib\'ol
k\'epzett r\'eszlet\"osszegek.
\medskip
\item{40.)} Ha egy $\xi_{k,j}$, $1\le j\le n_k$, sz\'eriasorozat
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, $E\xi_{k,j}=0$,
teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, $\e>0$ tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v sz\'am, $\bar\xi_{k,j}=\bar\xi_{k,j}(\e)=\xi_{k,j}
I(|\xi_{k,j}|<\e)-E\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)$,
akkor $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\bar\xi_{k,j}^2=1$.
Tov\'abb\'a, bevezetve az $\bar S_{k}=\summ_{j=1}^{n_k}\bar \xi_{k,j}$
\'es $ S_{k}=\summ_{j=1}^{n_k} \xi_{k,j}$ r\'eszlet\"osszegeket az
$S_k-\bar S_k$ k\"ul\"onbs\'egek sztochasztikusan tartanak null\'ahoz,
ha $k\to\infty$.
 
\medskip
Adva f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, melyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, \'es az $s_n^2=\summ_{k=1}^n \sigma_k^2$
teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$ rel\'aci\'ot,
defini\'aljuk e sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $j=1,\dots,n_k$, sz\'eriasorozatot:
$n_k=k$ \'es $\xi_{k,j}=\dfrac{\xi_j}{s_k}$, ha $1\le j\le k$. A
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$ akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a
Lindeberg felt\'etelt, ha az el\H{o}bb defini\'alt $\xi_{k,j}$
sorozat teljes\'{\i}ti azt. Ez\'ert a sz\'eria-sorozatokr\'ol
sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel, illetve annak
megford\'{\i}t\'asa \'atfogalmazhat\'o f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'aliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire is. (A megford\'{\i}t\'as eset\'eben a
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok\-ra vonatkoz\'o egyenletes kicsis\'egi
felt\'etel megfelel\H{o}je a
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\max\limits_{1\le k\le
n}\sigma_k^2}{s_n^2}=0$ felt\'etel.) A k\"ovetkez\H{o} feladatban
megadunk olyan tulajdons\'agokat, melyekb\H{o}l k\"o\-vet\-ke\-zik
a Lindeberg felt\'etel. \medskip
\item{41.)} Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, melyre $E\xi_n=0$,
$\sigma_n^2=E\xi_n^2<\infty$, $n=1,2,\dots$,
$\limm_{n\to\infty}s_n^2=\infty$, ahol $s_n^2=\summ_{k=1}^n\sigma_k^2$.
Ez a sorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, ha a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agok egyike teljes\"ul.
\item{a.)} $E|\xi_k|^{2+\alpha}<\infty$, minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra
valamilyen $\alpha>0$ konstanssal, \'es $\limm_{n\to\infty}\dfrac
{\(\summ_{k=1}^n E|\xi_k|^{2+\alpha}\)^{2/(2+\alpha)}}{s_n^2}=0$.
Speci\'alisan, ez a felt\'etel teljes\"ul akkor, ha $E\xi_k^2\ge K$
valamilyen $K>0$ sz\'ammal minden $k=1,2,\dots$ indexre, \'es
ezenk\'{\i}v\"ul \'erv\'enyes az $E\limm_{k\to\infty}k^{-\alpha/2}
E|\xi_k|^{2+\alpha}=0$ rel\'aci\'o.
\item{b.)} A f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egyforma eloszl\'as\'uak.
(Teh\'at a 35. feladat eredm\'enye k\"ovetkezik az
\'altal\'anos felt\'etelek k\"oz\"ott megfogalmazott centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l is.)
\medskip
P\'eld\'at akarunk mutatni, olyan a kicsis\'egi felt\'etelt
teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
v\'eges sz\'or\'as\'u, a kicsis\'egi felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra, melyek al\-kal\-ma\-san
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegei eloszl\'asban konverg\'alnak a
standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-hoz, viszont a norm\'al\'as nem
tipikus, azaz nem a r\'eszlet\"osszegek sz\'or\'asaival osztunk. Egy
ilyen konstrukci\'o egyben p\'eld\'at ad arra, hogy a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegei (nem tipikus norm\'al\'assal) teljes\'{\i}thetik a
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt akkor is, ha a
Lindeberg felt\'etel nem teljes\"ul. A konstrukci\'o elv\'egz\'es\'ehez
\'erdemes el\H{o}bb bel\'atni egy egyszer\H{u} \'es sok
vizsg\'alatban hasznos \'all\'{\i}t\'ast. Ez azt mondja ki, hogy
eloszl\'asban konvergens val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata ugyanahhoz a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-hoz konverg\'al mint e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kis perturb\'aci\'oi.
Megjegyezz\"uk, hogy hasonl\'o \'all\'{\i}t\'as nem
csak val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra \'erv\'enyes. \medskip
\item{42.)} Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\'et
$S_n$ \'es $T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata, melyekre az $S_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat eloszl\'asban konverg\'al valamilyen $F$
eloszl\'ashoz, \'es a $T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz $P(|T_n|>\e)\to0$ minden $\e>0$ sz\'amra,
ha $n\to\infty$. Ekkor az $S_n+T_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat szint\'en
konverg\'al eloszl\'asban az $F$ eloszl\'ashoz.
\item{43.)} Konstru\'aljunk f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o sorozatot,
melyre $E\xi_n=0$, $E\xi_n^2=1$, $n=1,2,\dots$, \'es az
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast:
\item{a.)} A $\sqrt{\dfrac 2n}S_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
eloszl\'asban konverg\'al a standard norm\'alis el\-osz\-l\'as\-hoz.
\item{b.)} A $\sqrt{\dfrac 2n}S_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
eloszl\'asban konverg\'al egy $m\neq0$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
\'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'ashoz.
\medskip
A 38. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy egy a 43.
feladat \'all\'{\i}t\'as\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} konst\-ruk\-ci\'o
nem teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt. A Lindeberg felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en ugyan\-is a $\dfrac {S_n}{\sqrt n}$
sorozat konverg\'alna eloszl\'asban a standard
norm\'alis eloszl\'ashoz.
 
\medskip\noindent
{\script H.) A t\"obbdimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel.} \medskip
 
A t\"obbdimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek hasonl\'oan
vizsg\'alhat\'oak az egy\-di\-men\-zi\-\'os
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek\-hez a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. S\H{o}t, a
k\"ovetkez\H{o} k\'et (szint\'en a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}that\'o) feladat lehet\H{o}v\'e
teszi, hogy a t\"obbdimenzi\'os hat\'areloszl\'ast\'etelek
vizsg\'alat\'at k\"ozvetlen\"ul visszavezess\"uk az
egydimenzi\'os esetre.
\medskip
\item{44.)} Legyen $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$, $n=1,2,\dots$,
$m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor. Te\-kint\-s\"uk
tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots,a_m$ sz\'amokra az
$Z=Z(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. A $\bold Z$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor
eloszl\'as\'at meghat\'arozza az \"osszes $Z=Z(a_1,\dots,a_m)$
egy\-di\-men\-zi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
eloszl\'asa.
\item{45.)} Legyen $\bold Z_n=(Z_{1,n},\dots,Z_{m,n})$, $n=1,2,\dots$,
$m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok sorozata. A
$\bold Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok akkor \'es csak akkor
konverg\'alnak eloszl\'asban valamilyen $m$-dimenzi\'os eloszl\'ashoz
$n\to\infty$ eset\'en, ha tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots,
a_m$ sz\'amokra a $Z_n=Z_n(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_{j,n}$,
$n=1,2,\dots$, egydimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$ eset\'en. Ha a
$\bold Z_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak valamilyen $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekhez az $m$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, akkor $\mu$ az
az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott m\'ert\'ek,
melyre egy $\mu$ eloszl\'as\'u $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$
vektorra \'es tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots,a_m$ sz\'amokra az
$Z=Z(a_1,\dots,a_m)=\summ_{j=1}^m a_jZ_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa meg\-egye\-zik az $Z_n=Z_n(a_1,\dots,a_m)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok hat\'areloszl\'as\'aval.
Speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tjuk, hogy ily m\'odon a $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-tuk. \medskip
Defini\'aljuk a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as fogalm\'at.
Ez az eloszl\'as hasonl\'o sze\-re\-pet j\'atszik a t\"obbdimenzi\'os
hat\'areloszl\'ast\'etelekben, mint a norm\'alis eloszl\'as az
egydimenzi\'os esetben. A definici\'o megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
id\'ezz\"uk fel, hogy  egy $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$ $m$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$\bold M=(M_1,\dots,M_m)$, $M_j=E\xi_j$, $1\le j\le m$,
$m$-dimenzi\'os vektor, kovariancia m\'atrixa pedig
az az $m\times m$-es $(D_{j,k})$, $1\le j,k\le m$, m\'atrix, melyre
$D_{j,k}=EZ_jZ_k-EZ_jEZ_k=E(Z_j-EZ_j)(Z_k-EZ_k)$. Megjegyezz\"uk, hogy
egy $\bold b=(b_1,\dots,b_m)$ vektoron egy sorvektort fogunk \'erteni,
\'es az ennek a transz\-po\-n\'alt\-ja\-k\'ent kapott oszlopvektort
$\bold b^*$-gal fogjuk jel\"olni. Ha $\bold x=(x_1,\dots,x_m)\in R^m$
\'es $\bold y=(y_1,\dots,y_m)\in R^n$ k\'et $m$-dimenzi\'os vektor,
akkor ezek skal\'arszorzat\'at $(\bold x,\bold y)$-nal jel\"olj\"uk,
azaz $(\bold x,\bold y)=\summ_{j=1}^mx_jy_j$. \medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.}
{\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le m$, $m$ f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Ekkor a $\bold \xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$ v\'eletlen vektort
$m$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak, eloszl\'as\'at pedig
az $m$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'asnak nevezz\"uk. Ha
$B=(b_{j,k})$, $1\le j,k\le m$, $m\times m$-es m\'atrix,
$\bold M=(M_1,\dots,M_m)$ $m$-dimenzi\'os vektor
$\bold \xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$ pedig $m$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor, akkor
$\bold\xi B+\bold M$ $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Egy $\mu$ $m$-dimenzi\'os
eloszl\'as akkor \'es csak akkor norm\'alis eloszl\'as, ha megegyezik
egy el\H{o}bb defini\'alt $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'aval alkalmas $B$
$m\times m$-es m\'atrix-szal \'es $\bold M\in R^m$ vektorral.}
\medskip Jellemezz\"uk el\H{o}sz\"or a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'asokat. \medskip
\item{46.)} Tetsz\H{o}leges $m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor $\Sigma$ kovariancia m\'atrixa szimmetrikus pozit\'{\i}v
(szemi)definit m\'atrix, azaz minden $m$-dimenzi\'os $\bold x=
(x_1,\dots,x_m)$ vektorra $\bold x\Sigma \bold x^*=(\bold
x\Sigma,\bold x)\ge0$. Megford\'{\i}tva, tetsz\H{o}leges $\Sigma$
$m\times m$ szimmetrikus, pozit\'{\i}v definit m\'atrixra
\'es $\bold M=(M_1,\dots,M_m)$ $m$-dimenzi\'os  vektorra l\'etezik
$\Sigma$ kovariancia m\'atrix-szal \'es $\bold M$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as.
Ennek az eloszl\'asnak a karakterisztikus f\"uggv\'enye
$$
\varphi(t_1,\dots,t_m)=Ee^{i(\bold t,\bold \xi)}=
Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_m\xi_m)}=
\exp\left\{-\frac{(\bold t\Sigma,\bold t)}2+i(\bold t,\bold M)\right\},
\tag13
$$
ahol $\bold t=(t_1,\dots,t_m)$, \'es $\bold \xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$
egy $\bold M$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\Sigma$ covariancia
m\'atrix\'u $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Speci\'alisan egy $\bold M$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\Sigma$ kovariancia m\'atrix\'u
norm\'alis eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz annak
$\bold M$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es $\Sigma$ kovariancia
m\'atrixa. \medskip
 
Megjegyezz\"uk, hogy annak a t\'enynek, hogy egy $m$-dimenzi\'os
$\bold M$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\Sigma$ kovariancia
m\'atrix\'u norm\'alis eloszl\'ast egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz az
eloszl\'as $\bold M$ v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es $\Sigma$ kovariancia
m\'atrixa, illetve annak a t\'enynek, hogy egy norm\'alis eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et a (13) formula \'{\i}rja le sz\'amos
viszonylag egyszer\H{u}, de fontos k\"ovetkezm\'enye van. Ez azonban
nem t\'em\'aja ennek a feladatsornak.
 
V\'eg\"ul megfogalmazzuk a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok alkalmasan normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast  nem fogalmazzuk meg
a lehet\H{o} leg\'altal\'anosabb form\'aban, \'es nem
t\'argyaljuk az eredm\'eny sz\'eria-sorozatokr\'ol sz\'ol\'o
v\'altozat\'at sem, noha az is lehets\'eges volna. \medskip
\item{47.)} Legyen $\bold\xi_k=(\xi_{1,k},\dots,\xi_{m,k})$,
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen $m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, melyek v\'arhat\'o \'ert\'eke 0, azaz  $\bold
M_k=(E\xi_{1,k},\dots,E\xi_{m,k})=(0,\dots,0)$, minden $k=1,2,\dots$,
sz\'amra. Tegy\"uk fel, hogy a $\bold\xi_k=(\xi_{1,k},\dots,\xi_{m,k})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektoroknak minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra
l\'etezik v\'eges $\Sigma_k$ kovariancia m\'atrixuk, tov\'abb\'a
teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}\dfrac1{A_n^2}\summ_{k=1}^n
\Sigma_k=\Sigma$ felt\'etel alkalmas $\Sigma$ m\'atrix-szal \'es
$A_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'a\-mok\-kal, melyekre $A_n\to\infty$, ha
$n\to\infty$. Ha ezenk\'{\i}v\"ul a $\bold\xi_k$, $k=1,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok minden koordin\'at\'aja
teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt, azaz minden $\e>0$-ra
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1{A_n^2}\sum_{k=1}^nE\xi_{j,k}^2I(|\xi_{j,k}|>\e
A_n)=0, \quad \text{ minden } j=1,\dots m \text{ sz\'amra }, \tag14
$$
akkor az $\dfrac1{A_n}\bold S_n=\dfrac1{A_n}(S_{1,n},\dots,S_{m,n})=
\dfrac1{A_n}\summ_{k=1}^n(\xi_{1,k},\dots, \xi_{m,k})$ normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gek eloszl\'asban konverg\'alnak az
$M=(0,\dots,0)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\Sigma$ kovarianci\'aval
rendelkez\H{o} $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ashoz.
\item{} Speci\'alisan, ha $\bold\xi_k=(\xi_{1,k},\dots,\xi_{m,k})$,
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u $m$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es v\'eges $\Sigma$ kovariancia m\'atrix-szal, akkor
az $\dfrac1{\sqrt n} (S_1,\dots,S_m)=\dfrac1{\sqrt n}
\summ_{k=1}^n(\xi_{1,k},\dots, \xi_{m,k})$ normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak az $M=(0,\dots,0)$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\Sigma$ kovarianci\'aval
rendelkez\H{o} $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'ashoz.
\item{48.)} Legyen $\bold\xi_n=(\xi_{1,n},\dots,\xi_{m,n})$,
$n=1,2,\dots$, f\"uggetlen $m$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata, melyek v\'arhat\'o \'ert\'eke 0,
\'es a $\bold\xi_n=(\xi_{1,n},\dots,\xi_{m,n})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektoroknak l\'etezik v\'eges $\Sigma_n$
kovariancia m\'atrixuk minden $n=1,2,\dots$, sz\'amra. Tov\'abb\'a
teljes\"ulj\"on a $\limm_{n\to\infty}\dfrac1{A_n^2}
\summ_{k=1}^n\Sigma_n=\Sigma$ felt\'etel alkalmas $\Sigma$
m\'atrix-szal \'es $A_n$, $n=1,2,\dots$, sz\'a\-mok\-kal, melyekre
$A_n\to\infty$, ha $n\to\infty$, \'es legyen \'erv\'enyes a
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{\max\limits_{1\le j\le m}
\max\limits_{1\le k\le n}E\xi_{j,k}^2}{A_n^2}=0$ kicsis\'egi
felt\'etel. Ha az $\dfrac{S_n}{A_n}$ sorozat eloszl\'asban
konverg\'al egy $\Sigma$ kovarianci\'aj\'u $m$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'ashoz, akkor teljes\"ul a (14) formul\'aban megfogalmazott
Lindeberg felt\'etel.
 
\vfill\eject
 
\beginsection N\'eh\'any tov\'abbi megjegyz\'es
 
Felsorolunk n\'eh\'any tov\'abbi probl\'em\'at, melyek vizsg\'alata
term\'eszetes folytat\'asa az itt t\'argyalt feladatsornak.
 
\item{1.)} A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt a vizsg\'alt
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek
konvergenci\'aj\'ab\'ol vezett\"uk le. Val\'oj\'aban nemcsak a
karakterisztikus f\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'at tudjuk
bizony\'{\i}tani, hanem meg tudjuk \'allap\'{\i}tani a konvergencia
sebess\'eg\'et is, illetve alkalmas sorfejt\'essel a karakterisztikus
f\"uggv\'enynek olyan jobb k\"ozel\'{\i}t\'es\'et tudjuk adni, melyben
a norm\'alis eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enyhez alkalmas
korrekci\'os tagokat adunk hozz\'a. Term\'eszetes azt v\'arni,
hogy ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel pontosabb inform\'aci\'ot tudunk nyerni
arr\'ol, hogy a normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-gek eloszl\'asai
milyen sebess\'eggel konverg\'alnak a norm\'alis eloszl\'ashoz, illetve
a normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-gek eloszl\'as\'ara
pontosabb sorfejt\'est tudunk adni.
 
\item{} Hasonl\'oan vizsg\'alhatjuk f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeinek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
konvergenci\'aj\'at a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ez a probl\'ema
egyszer\H{u}bb, mert a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt a viszonylag
egyszer\H{u} inverz Fourier formul\'aval ki tudjuk fejezni a
karakterisztikus f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara nincs ilyen
egyszer\H{u} formula, viszont alkalmas s\'{\i}m\'{\i}t\'assal
eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak vizsg\'alat\'at
vissza tudjuk vezetni a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek
vizsg\'alat\'anak egyszer\H{u}bb probl\'em\'aj\'ara. Ilyen m\'odon
n\'eh\'any \"onmag\'aban is \'erdekes gondolat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'ol tudjuk vizsg\'alni a
konvergenciasebess\'eget a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelben.
Ez a vizsg\'alat lesz a t\'em\'aja e feladatsor (l\'enyegesen
r\"ovidebb) m\'asodik r\'esz\'enek. \medskip
 
\item{2.)} B\'ar l\'attuk, hogy f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok alkalmasan normaliz\'alt r\'esz\-let\-\"ossze\-gei
nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett a norm\'alis eloszl\'ashoz
konverg\'alnak, felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy milyen egy\'eb
hat\'areloszl\'ast\'etelek lehets\'egesek f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok alkalmasan
normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeire, illetve
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-tok egy sorban lev\H{o} elemeinek az
\"osszegeire. Term\'eszetes megk\"ovetelni bizonyos ki\-csi\-s\'e\-gi
felt\'etelt, mely felt\'etel azt hivatott biztos\'{\i}tani, hogy a
vizsg\'alt \"osszegekben nincsenek olyan domin\'ans tagok, melyek
nagys\'agrendje ugyanakkora mint a teljes
\"osszeg\'e. Erre a k\'erd\'esre ismeretes  a v\'alasz. A
vizsg\'alatban kulcsszerepet j\'atszik az ebben a feladatsorban
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel}-nek
nevezett \'all\'{\i}t\'as, mely lehet\H{o}v\'e teszi a probl\'ema
ekvivalens megfogalmaz\'as\'at a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyek nyelv\'en. Az els\H{o} vizsg\'aland\'o k\'erd\'es
ebben a probl\'emak\"orben a lehets\'eges ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sok
le\'{\i}r\'asa. Ez bizonyos az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ter\'eben defini\'alt oper\'atorok fix-pont\-jai\-nak a
vizsg\'alat\'ahoz vezet. Ezek megold\'asa szol\-g\'al\-tat\-ja az
\'ugynevezett korl\'atlanul oszthat\'o eloszl\'asokat, melyek
hat\'areloszl\'ast\'etelek le\-het\-s\'e\-ges limeszei. Ezut\'an
meg tudjuk adni azt is, hogy adott korl\'atlanul oszthat\'o
eloszl\'asok milyen modellek hat\'areloszl\'asak\'ent jelennek meg.
 
\item{} B\'ar ezek a vizsg\'alatok a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
nyelv\'en megfogalmazott ma\-te\-ma\-ti\-kai ana\-l\'{\i}\-zis
probl\'em\'ak vizsg\'alat\'at tartalmazz\'ak, ezen
probl\'em\'ak megold\'asa m\"og\"ott szeml\'eletes
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi gondolatok vannak.
Megjegyezz\"uk, hogy b\'ar mint eml\'{\i}tett\"uk a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelen k\'{\i}v\"ul egy\'eb
hat\'areloszl\'ast\'etelek is vannak, a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel az egyetlen ,,univerz\'alis" jelleg\H{u}
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel, melyben a hat\'areloszl\'as
,,elfelejti" az egyes \"osszeadand\'ok eloszl\'as\'at. Ezt a
meglehet\H{o}sen pongyola megfogalmaz\'ast pontosabban is meg lehet
fogalmazni, de ezt itt nem tessz\"uk. A 2. pontban t\'argyalt
probl\'emak\"or el\'eg r\'eszletes t\'argyal\'asa
bizony\'{\i}t\'asokkal \'es a bizony\'{\i}t\'asok h\'atter\'eben
l\'ev\H{o} gondolatok kifejt\'es\'evel egy\"utt megtal\'alhat\'o a
homepage-emen {\it Hat\'areloszl\'ast\'etelek \'es korl\'atlanul
oszthat\'o el\-osz\-l\'a\-sok}\/ c\'{\i}men.
\medskip
\item{3.)} Tekints\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es v\'eges sz\'or\'as\'u
$\xi_1,\xi_2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'at, illetve ezek
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_n$, $n=1,2,\dots$, r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-it.
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o becsl\'est ad nagy $n$
\'es r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amokra  a $P\(\dfrac{S_n}{\sqrt n}>x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, tudunk-e
hasonl\'oan j\'o becsl\'est adni a $P\(\dfrac{S_n}{\sqrt n}>x_n\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre, azaz olyan  $x_n$ korl\'at
\'atl\'ep\'es\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, mely szint\'en
f\"ugg az $n$ param\'etert\H{o}l. K\"ul\"on\"osen fontos az az eset,
amikor $x_n=x\sqrt n$, azaz amikor annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
vizsg\'aljuk, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga nagyobb, mint
valamilyen $x$ korl\'at. E k\'erd\'est illetve n\'eh\'any
hozz\'akapcsol\'od\'o probl\'em\'at a {\it Nagy elt\'er\'esek
elm\'elete; F\"uggetlen val\'os \'ert\'ek\H u val\'osz\'{\i}n\H us\'egi
v\'altoz\'ok.}\/ feladatsorban t\'argyaljuk. Megjegyezz\"uk, hogy a fent
eml\'{\i}tett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre adott becsl\'es nem
egyezik meg azzal a becsl\'essel, melyet a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel form\'alis kiterjeszt\'ese sugallna.
 
\item{} Term\'eszetes gondolat lenne megpr\'ob\'alni a $P(S_n>nx)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek vizsg\'alat\'at ugyanannak a m\'odszernek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, mely lehet\H{o}v\'e tette a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben vizsg\'alt $P(S_n>\sqrt
nx)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek vizsg\'alat\'at. Ez a m\'odszer
azonban nem m\H{u}k\"odik, \'es ha meg\'ertj\"uk ennek ok\'at, akkor
k\"onnyebben megtal\'alhatjuk a matematikai anal\'{\i}zisnek azt az
egy\'ebk\'ent is fontos m\'odszer\'et, mely lehet\H{o}v\'e teszi a
minket \'erdekl\H{o} probl\'ema megold\'as\'at. Tegy\"uk fel, hogy a
vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'epen
viselkednek, p\'eld\'aul van sz\'ep s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk,
\'es vizsg\'aljuk a $P(S_n>nx)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny helyett
annak $f_n(x)= \dfrac d{dx}P(S_n> nx)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az
$f_n(x)=\dfrac n{2\pi}\dsize\int e^{-intx}\varphi^n(t)\,dt$ integr\'alt
kell vizsg\'alnunk, ahol $\varphi(t)$ a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye.
Amikor az ezzel a k\'erd\'essel analog lok\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt vizsg\'altuk, hasonl\'o integr\'alt
kellett becs\"uln\"unk. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az volt, hogy ott
az $e^{itnx}$ faktor helyett az $e^{it\sqrt nx}$ t\'enyez\H{o}
szerepelt a vizsg\'aland\'o integr\'alban. A lok\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel vizsg\'alat\'at az tette
lehet\H{o}v\'e, hogy egy szingul\'aris integr\'alt kellett
vizsg\'alni, mely er\H{o}sen lo\-ka\-li\-z\'al\-va volt az orig\'o
kis k\"ornyezet\'eben. Az analog nagy elt\'er\'es probl\'ema
vizsg\'alat\'aban is elmondhatjuk ugyanezt. M\'egis, ekkor
a probl\'ema nehezebb lesz. Ennek az az oka, hogy az integrandus
komplex \'ert\'ek\H{u}, \'es hi\'aba van az integrandus abszol\'ut
\'ert\'ek\'enek \'eles maximuma az orig\'o k\"ornyezet\'eben, az
imagin\'arius r\'eszben szerepl\H{o} nagy fluktu\'aci\'o a
maximum hozad\'ek\'at er\H{o}sen cs\"okkenti, \'es ilyen egyszer\H{u}en
nem kapunk j\'o eredm\'enyt. A lok\'alis centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben ez a probl\'ema az\'ert nem
jelenik meg, mert az itt vizsg\'alt integr\'alban az integrandus
imagin\'arius r\'esz\'enek a fluktu\'aci\'oja viszonylag kicsi. Ez
az\'ert van \'{\i}gy, mert csak $e^{-i\sqrt ntx}$ \'es nem $e^{-intx}$
faktor szerepel az integr\'alban, \'es
$\left.\frac{d\varphi(t)}{dt}\right|_{t=0}=E\xi_1=0$.
 
\item{} Ilyen jelleg\H{u} probl\'em\'ak sokszor megjelennek az
anal\'{\i}zisben, \'es ezek vizsg\'alat\'ara dolgozt\'ak ki a
nyeregpont m\'odszert. \'Irjuk a minket \'erdekl\H{o} integr\'alt
$f_n(x)=\dfrac n{2\pi}\dsize\int e^{n(-itx+\log\varphi(t))}\,dt$
form\'aban. (A most t\'argyalt heurisztikus szinten el\-te\-kin\-t\"unk
n\'eh\'any technikai k\'enyelmetlens\'egekt\H{o}l, mint p\'eld\'aul
att\'ol, hogy egy f\"ugg\-v\'eny\-nek nem mindig vehetj\"uk a
logaritmus\'at.) Ha az integrandus exponens\'eben sze\-rep\-l\H{o}
$n(-itx+\log \varphi(t))$ f\"uggv\'eny a $t$ v\'altoz\'o analitikus
f\"uggv\'enye, akkor a nyeregpont m\'odszer azt javasolja, hogy
helyezz\"uk \'at az integr\'al\'asi utat egy a nyeregponton, azaz a
$$
\dfrac{d(-izx+\log\varphi(z))}{dz}=0
$$
egyenlet megold\'as\'an \'atmen\H{o} alkalmas g\"orb\'ere. Ekkor az
\'athelyezett integr\'alban sze\-rep\-l\H{o} integrandus abszol\'ut
\'ert\'ek\'enek (lok\'alis) maximuma lesz a nyeregpontban, \'es az
imagin\'arius r\'esz fluktu\'aci\'oja is viszonylag kicsi \'es
kezelhet\H{o} lesz. Ennek a gondolatnak a k\"ovetkezetes v\'egigvitele
lehet\H{o}v\'e teszi a nagy elt\'er\'es prob\-l\'e\-ma\-k\"or
megfelel\H{o} vizsg\'alat\'at. Jegyezz\"uk meg, hogy sok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi tank\"onyvben a nagy
elt\'er\'es prob\-l\'e\-ma\-k\"or vizsg\'alat\'aban nem besz\'elnek a
nyeregpont m\'odszerr\H{o}l, hanem ehelyett \'ugynevezett konjug\'alt
eloszl\'asok bevezet\'es\'evel vizsg\'alj\'ak a probl\'em\'at.
Viszont, ha meg\'ertj\"uk e m\'odszer m\'elyebb h\'atter\'et, akkor
l\'athatjuk, hogy a konjug\'alt eloszl\'asok bevezet\'ese
interpret\'alhat\'o \'ugy is, mint a nyeregpont m\'odszer
alkalmaz\'asa a nagy elt\'er\'es probl\'emak\"or vizsg\'alat\'aban,
csak maga a m\'odszer le van ford\'{\i}tva a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as nyelv\'ere.
 
\item{} M\'eg egy fontos megjegyz\'es: Ahhoz, hogy a nyeregpont
m\'odszer m\H{u}k\"odj\"on fel kellett ten\-n\"unk, hogy analitikus
f\"uggv\'enyekkel dolgozunk. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, nem jelent-e
ez a technikai felt\'etel f\"ol\"osleges megszor\'{\i}t\'ast. A
r\'eszletes vizsg\'alat azt mutatja, hogy nem. A sz\'amol\'asokban
megjelen\H{o} f\"uggv\'enyek analitikuss\'ag\'anak konkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalma van, \'es mint azt a
r\'eszletes anal\'{\i}zis mutatja, a nagy elt\'er\'es probl\'em\'akban
vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek viselked\'ese f\"ugg att\'ol,
hogy ez az analiticit\'asi felt\'etel teljes\"ul-e vagy sem.
 
\vfill\eject
 
\parskip=2.3pt plus 1.3pt
 
\beginsection Megold\'asok
 
\item{1.)} Legyen $I=\dfrac1{\sqrt {2a\pi}}\int_{-\infty}^\infty
e^{-u^2/2a}\,du$. Ekkor kisz\'am\'{\i}tva $I^2$-et, mint k\'etszeres
integr\'alt, majd \'att\'erve pol\'ar koordin\'atarendszerre kapjuk,
hogy
$$
\align
I^2&=\frac1{{2a\pi}}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
e^{-(u^2+v^2)/2a}\,du \\
&=\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty
\frac1{2\pi}\cdot\frac ra e^{-r^2/2a}\,dr\,d\varphi
=\int_{-\pi}^\pi\frac1{2\pi}\,d\varphi=1.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik a feladat els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa.
\item{} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $a>0$ sz\'amot. Ekkor $\bar u=u-z$
helyettes\'{\i}t\'essel kapjuk, hogy
$$
F(z)=\frac1{\sqrt {2a\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2/2a}\,du=1
$$
minden {\it val\'os}\/ $z$ sz\'amra. Ha $z$ komplex sz\'amokra akarjuk
ezt az azonoss\'agot bel\'atni, akkor a k\"ovetkez\H{o} k\'et
komplexf\"uggv\'enytani \'ervel\'es valamelyike seg\'{\i}t befejezni a
bizony\'{\i}t\'ast.
\item{} {\it Els\H{o} \'ervel\'es:}\/ Mivel mind a
fent defini\'alt $F(z)$ mind a $G(z)\equiv1$ analitikus
f\"ugg\-v\'e\-nyek a komplex sz\'ams\'{\i}kon, \'es megegyeznek a
val\'os sz\'amegyenesen, ez\'ert meg\-egyez\-nek az eg\'esz komplex
sz\'ams\'{\i}kon.  Az $F(z)$ f\"uggv\'eny az\'ert analitikus, mert az
$F(z)$ f\"uggv\'enyt megkapjuk, mint analitikus f\"uggv\'enyek
kompakt halmazokon egyenletesen konvergens limesz\'et, ha az $F(z)$
f\"uggv\'enyt defini\'al\'o integr\'alt a term\'eszetes
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegekkel approxim\'aljuk.
M\'asr\'eszt tudjuk, hogy analitikus f\"ugg\-v\'e\-nyek egyenletes
limesze szint\'en analitikus f\"uggv\'eny.
 \item{} {\it M\'asodik \'ervel\'es:}\/ $\bar u-z$
helyettes\'{\i}t\'essel
$$
F(z)=\frac1{\sqrt {2a\pi}}\int_{-\infty-\Im z}^{\infty-\Im z}
e^{-u^2/2a}\,du=1,
$$
mivel $\limm_{|u|\to\infty}e^{-(u+iv)^2/2a}=0$, \'es a konvergencia
egyenletes a $v$ param\'eter szerint, ha $|v|$ egy korl\'atos
intervallumbana van. Innen, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy
egy (szingul\'aris pontokat nem tartalmaz\'o) analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja nulla k\"ovetkezik, hogy a vizsg\'alt integr\'al
\'ert\'eke nem v\'altozik, ha a $[-\infty-i\Im z,\infty-\Im z]$
integr\'al\'asi utat \'athelyezz\"uk a $[-\infty,\infty]$
integr\'al\'asi \'utra. Ez\'ert igaz a bizony\'{\i}tand\'o
\'all\'{\i}t\'as.
\item{2.)} Legyen $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda=n$ param\'eterrel, azaz $P(\xi=k)=\dfrac{n^k}{k!}e^{-n}$,
$k=0,1,2,\dots$. Ekkor a tekintend\H{o} Fourier sor a k\"ovetkez\H{o}
$P_n(t)$ f\"uggv\'eny.
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}=\sum_{k=0}^\infty
\dfrac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve a (2) formul\'ab\'ol $k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk a
(3) formul\'at.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy a (4b) formula a (3) \'es (4a)
formula valamint az $\dfrac1{1+x}=1-x+O(x^2)=1+O(x)$, ha $|x|\le
\frac12$ rel\'aci\'o egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye.
\item{} A (4a) formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben adjunk
fels\H{o} becsl\'est az integr\'al hozad\'ek\'ara a $\{t\:
|t|\ge n^{-1/3}\}$ tartom\'anyban. Azut\'an tekints\"uk
az integr\'al megszor\'{\i}t\'as\'at a $\{t\: |t|<n^{-1/3}\}$
tartom\'anyra, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek aszimptok\'aj\'at
pontosan.
\item{} Az els\H{o} becsl\'es elv\'egz\'es\'enek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
%\align
\left|e^{n(e^{it}-1-it)}\right|= e^{n\Re (e^{it}-1-it)}=e^{n(\cos
t-1)}<e^{-nt^2/4}<e^{-n^{1/3}/4}
\text{ ha }n^{-1/3}\le t\le \pi
%\endalign
$$
\'es innen
$$
\left|\int_{\{n^{-1/3}\le |t|\le \pi\}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt\right|=O\(e^{-\const n^{1/3}}\). \tag2.1
$$
A m\'asik becsl\'es v\'egrehajt\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk
ki a (4a) formula integr\'alj\'aban szerepl\H{o} integrandus
aszimptotik\'aj\'at Taylor-sorfejt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel
pontosabban az origo kis k\"ornyezet\'eben. Azt kapjuk, hogy
$n(e^{it}-1-it)=n\(-\dfrac{t^2}2-i\dfrac{t^3}6+O(t^4)\)$, \'es
$$
\align
e^{n(e^{it}-1-it)}&=e^{-nt^2/2}e^{-in{t^3}/6+O(nt^4)}\\
&=e^{-nt^2/2}\(1-\dfrac{i(\sqrt nt)^3}{6\sqrt n}+O\(\frac{(\sqrt
nt)^4}n\)+O\(\dfrac{\sqrt nt)^6}n\)\),
\endalign
$$
ha $|t|\le n^{-1/3}$. Felhaszn\'alva ezt a becsl\'est \'es elv\'egezve
az $\bar t=\sqrt nt$ helyettes\'{\i}t\'est kapjuk, hogy
$$
\align
\int_{-n^{-1/3}}^{n^{-1/3}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt&=
\frac1{\sqrt n}\int_{-n^{1/6}}^{n^{1/6}}
e^{-{\bar{t}}^2/2}\(1-i\frac{{\bar {t}}^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O\({\bar t}^4+{\bar t}^6\)}n\)\,d\bar t\\
&=\frac1{\sqrt n}\(\int_{-\infty}^\infty-\int_{|\bar t|>n^{1/6}}\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\int_{|t|\ge n^{1/6}} e^{-t^2/2}\(1-i\frac{t^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O(t^4+t^6)}n\)\,dt=O\(e^{-n^{1/3}/4}\),
$$
\'es
$$
\align
&\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\(1-i\frac{t^3}{6\sqrt
n}+\dfrac{O(t^4+t^6)}n\)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt-
\int_{-\infty}^\infty \frac i{6\sqrt n} t^3e^{-t^2/2}\,dt+O\(\frac1n\)
=\sqrt{2\pi}+O\(\frac1n\)
\endalign
$$
az els\H{o} feladatban bizony\'{\i}tott azonoss\'ag miatt, illetve
mert a $t^3e^{-t^2}$ f\"uggv\'eny p\'aratlan. Ezekb\H{o}l a
becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\int_{-n^{-1/3}}^{n^{1/3}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=\frac{\sqrt{2\pi}}{
\sqrt n} \(1+O\(\frac1n\)\). \tag2.2
$$
A (4a) rel\'aci\'o k\"ovetkezik a (2.1) \'es (2.2) formul\'akb\'ol.
 
\item{} A (4d) rel\'aci\'o hasonl\'oan k\"ovetkezik a (4c)
rel\'aci\'ob\'ol mint a (4b) rel\'aci\'o a (4a) rel\'aci\'ob\'ol. Az
egyetlen k\"ul\"onbs\'eg, hogy a pontosabb
$\dfrac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{k}x^k+O\(|x|^{k+1}\)$ sorfejt\'est
alkalmazzuk, ha $|x|\le\frac12$. A (4c) formul\'at a (4a) formul\'ahoz
hasonl\'oan bizony\'{\i}thatjuk. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen
esetben az $n(e^{it}-1-it)$ \'es az
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}(1+P_n(t))$
formula \'altal defini\'alt $P_n(t)$ f\"uggv\'enyek Taylor
sor\'at nem az els\H{o} hanem a $k$-ik tagig sz\'amoljuk ki a $|t|\le
n^{-2/3}$ intervallumban. Ilyen m\'odon az integrandust
$e^{-nt^2/2}O\(\dfrac{\sum_{j=1}^k(\sqrt n|t|)^{j(l(j)}}
{n^{(k+1)/2}}\)$ pon\-tos\-s\'ag\-gal tudjuk k\"ozel\'{\i}teni egy
$e^{-nt^2/2}Q_n(t)$ alak\'u kifejez\'essel, ahol $l(j)=\min\{ l\:lj\ge
k+1\}$, \'es a $Q_n(t)$ f\"uggv\'eny
$Q_n(t)=\summ_{j=3}^k \dfrac {\bar Q_{j}(\sqrt nt)}{n^{k/2}}$, alak\'u.
Az utols\'o kifejez\'esben szerepl\H{o} $\bar Q_j$ f\"uggv\'enyek
explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}that\'o az $n$ param\'etert\H{o}l
f\"uggetlen polinomok. Speci\'alisan $\bar Q_3(t)=\frac{-i}6 t^3$.
Elv\'egezve a $\bar t=\sqrt n t$ helyettes\'{\i}t\'est a (4a) formula
bizony\'{\i}t\'asa a pontosabb (4c) k\"ozel\'{\i}t\'est adja.
\item{3.)} Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asnak az $h$ sz\'am akkor \'es csak akkor
peri\'odusa, ha $|Ee^{2\pi i\xi/h}|=1$. Val\'oban, ha $E|e^{i\xi}|=1$,
akkor $Ee^{2\pi i\xi/h}=e^{ia}$ valamilyen, val\'os $a$ sz\'amra. Ez
viszont csak akkor lehets\'eges, ha $2\pi\frac\xi h-a$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa a $2\pi k$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, pontokba van kon\-cent\-r\'al\-va, azaz a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $nh+b$, $n=1,2,\dots$,
r\'acsra van koncentr\'alva, ahol $b=\frac h{2\pi}$.
Megford\'{\i}tva, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa egy $nh+b$, $n=0,1,\dots$, r\'acsra van koncentr\'alva,
akkor $E|e^{2\pi i\xi}|=1$. Vegy\"uk a legkisebb $t$ sz\'amot, melyre
$|Ee^{it\xi}|=1$. Ekkor $h=\frac{2\pi}t$ a legnagyobb $h$, melyre $\xi$
egy $h$ s\H{u}r\H{u}s\'eg\H{u} $nh+b$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, r\'acsra
van koncentr\'alva. Ekkor a $\xi-b$ f\"uggv\'eny
$P(t)=Ee^{i(\xi-b)}=\summ_{n=-\infty}^\infty P(\xi-b=nh)e^{itnh}$
Fourier sor\'anak a peri\'odusa $\frac{2\pi}h$. Tov\'abb\'a, a $h$
konstrukci\'oj\'ab\'ol l\'atszik, hogy $|P(t)|<1$, ha
$0<t<\frac{2\pi}h$. Ez\'ert a $P(t)$ f\"uggv\'eny szimmetri\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $|P(t)|<1$, ha $0<|t|<\frac\pi h$. Ny\'{\i}lv\'an,
$P(0)=1$.
\item{} Form\'alis, tagonk\'enti deriv\'al\'as adja, hogy
$\dfrac{P^{(k)}(t)}{dt^k}=\summ_{n=-\infty}^\infty
i^k(nh)^ke^{itnh}P(\xi-b=nh)$, \'es
$\left.\dfrac{P^{(k)}(t)}{dt^k}\right|_{t=0}=\summ_{n=-\infty}^\infty
i^k(nh)^kP(\xi-b=nh)=i^k E(\xi-b)^k$. Az $E|\xi-b|^k<\infty$ felt\'etel
miatt a fenti sz\'amol\'asban v\'egrehajtott tagonk\'enti deriv\'al\'as
jogos. Ugyanis a $P(t)$ f\"uggv\'eny $k$-ik deriv\'altjainak
k\"ozel\'{\i}t\H{o} r\'eszlet\"osszegei teljes\'{\i}tik a
$\summ_{n=-N}^N |i^k(nh)^ke^{itnh}P(\xi-b=nh)|\le E|\xi-b|^k$
egyenl\H{o}tlens\'eget.
\item{4.)} A (2) formula illetve az ut\'ana fel\'{\i}rt formula
alapj\'an
$$
P(S_n=k)=\int_{-\pi}^\pi \frac1{2\pi} e^{-ikt}
P^n(t)\,dt=\int_{|t|<\frac1{\e\sqrt n}}
+\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e}
+\int_{\e<|t|<\pi}=I_1+I_1+I_3,
$$
ahol $P(t)=\summ_{k=-\infty}^\infty e^{ikt}P(\xi_1=k)$,
\'es $\e>0$ tetsz\H{o}leges kis pozit\'{\i}v sz\'am. A feladatot
megoldjuk, ha az $I_1$, $I_2$ \'es $I_3$ integr\'alokra j\'o
becsl\'est adunk.
\item{} Az $I_3$ integr\'al becsl\'ese egyszer\H{u}. A 3. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l \'es a $P(t)$  f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\supp_{\e\le |t|<\pi}|P(t)|<1$ valamilyen
$0<q=q(\e)<1$ sz\'ammal, ez\'ert
$$
|I_3|=\left|\int_{\e<|t|\pi} \frac1{2\pi} e^{-ikt}
P^n(t)\,dt\right|<q^n
$$
alkalmas $0<q<1$ sz\'ammal. Az $I_1$ \'es $I_2$ integr\'alok
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz j\'o becsl\'est kell adnunk a $P^n(t)$
f\"uggv\'enyre, ha $|t|<\e$. K\'enyelmesebb a $\log P(t)$
f\"uggv\'ennyel dol\-goz\-ni. (Ez kis $\e>0$ sz\'amra lehets\'eges,
mert ebben az esetben a $P(t)$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke  a $[-\e,\e]$
intervallumban szepar\'alva van null\'at\'ol.) Egyszer\H{u}
sz\'amol\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
\frac{d\log P(t)}{dt}&=\dfrac{P'(t)}{P(t)},\qquad
\left.\frac{d\log P(t)}{dt}\right|_{t=0}=im,\\
\frac{d^2\log P(t)}{dt^2}&=\dfrac{P''(t)P(t)-P'(t)^2}{P^2(t)},\qquad
\left.\frac{d^2\log P(t)}{dt^2}\right|_{t=0}=-m_2+m^2=-\sigma^2,
\endalign
$$
ez\'ert Taylor sorfejt\'essel az orig\'o k\"or\"ul kapjuk, hogy
$$
\log P(t)=imt-\frac{\sigma^2}2t^2+o(t^2), \quad \text{ha }|t|<\e.
$$
Innen, mivel $|P^n(t)|=e^{n\Re \log P(t)}=e^{-n\sigma^2t^2/2+o(t^2)}\le
e^{-n\sigma^2t^2/3}$, ha $|t|<\e$ \'es $n\ge n(\e)$, ez\'ert
$$
\align
|I_2|\le \frac1{2\pi}\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e} |P^n(t)|\,dt &\le
\frac1{2\pi}\int_{\frac1{\e\sqrt n}<|t|<\e}e^{-n\sigma^2t^2/3}\,dt \\
&\le\frac1{\pi\sqrt n}\int_{-\frac1\e}^\infty e^{-\sigma^2t^2/3}\,dt
\le e^{-\sigma^2/4\e^2}.
\endalign
$$
Tov\'abb\'a
$$  \allowdisplaybreaks
\align
I_1&=\int_{-\frac1{\e\sqrt n}}^{\frac1{\e\sqrt n}} \frac1{2\pi}
e^{-ikt+inmt-n\sigma^2t^2/2+o(nt^2)}\,dt\\
&=\int_{-\frac1\e}^{\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(mn-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2+o(t^2)}\,dt \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt
-\int_{|t|>\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \\
&\qquad\qquad +o\(\frac1{\sqrt n}\).
\endalign
$$
M\'asr\'eszt
$$
\left|\int_{|t|>\frac1\e} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \right|\le e^{-\sigma^2/4\e^2}
$$
\'es az al\'abbi integr\'al exponens\'eben szerepl\H{o} kvadratikus
alakot kieg\'esz\'{\i}tve teljes n\'egyzett\'e kapjuk, hogy
$$
\align
&\int_{-\infty}^{\infty} \frac1{2\pi\sqrt n}
e^{i(nm-k)t/\sqrt n-\sigma^2t^2/2}\,dt \\
&\qquad =\frac{e^{-(nm-k)^2/2n\sigma^2}} {2\pi\sqrt n}
\int_{-\infty}^{\infty}
\exp\left\{-\frac{\sigma^2}2\(t-i\frac{nm-k}{\sqrt
n}\)^2\right\}\,dt =\frac{e^{-(nm-k)^2/2n\sigma^2}}
{\sqrt{2\pi n}\sigma}
\endalign
$$
az els\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an. Ezekb\H{o}l a
becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\left| I_1-\dfrac1{\sqrt{2\pi n}\sigma}\exp\left\{-\frac{(k-nm)^2}
{2n\sigma^2} \right\}\right|\le \const e^{-\sigma^2/4\e^2},
$$
ha $n>n(\e)$. Mivel az $I_1$, $I_2$ \'es $I_3$ kifejez\'esekre adott
becsl\'esek tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra \'erv\'enyesek, ha $n$ el\'eg
nagy, innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{5.)} A feladat megold\'asa hasonl\'o a 4. feladat\'ehoz. Mivel
jelen esetben a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
h\'arom v\'eges momentuma van ez\'ert a $\log P(t)$ f\"uggv\'enynek a
k\"ovetkez\H{o} pontosabb k\"ozelt\'{\i}t\'ese \'erv\'enyes: $\log
P(t)=imt-\dfrac{\sigma^2}2t^2+O(t^3)$, ez\'ert
$P^n(t)=e^{imnt-n\sigma^2t^2/2+O(nt^3)}$. A tov\'abbi
sz\'amol\'asokban az egyetlen l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az, hogy
az $I_1$ \'es $I_2$ kifejez\'est defini\'ali\'o integr\'alokban
m\'ask\'epp defini\'aljuk az integr\'al\'asi tartom\'anyt.
Jelen esetben $I_1=\int_{|t|<n^{-1/3}}$ \'es $I_2=\int_{n^{-1/3}\le
|t|<\e}$. Az $I_1$ kifejez\'esben szerepl\H{o} integr\'al\'asi
tartom\'anyt az\'ert \'erdemes a fenti m\'odon v\'alasztani, mert a
$\{|t|<n^{-1/3}\}$ tartom\'anyban alkalmazhatjuk az
$e^{O(nt^3)}=1+O(nt^3)$ \'es
$e^{-ikt}P^n(t)=e^{i(mn-k)t-n\sigma^2t^2/2}\(1+O(nt^3)\)$
k\"ozel\'{\i}t\'est. Ezut\'an alkalmazva a 4.~fel\-adat\-ban
v\'egrahajtott sz\'amol\'as term\'eszetes adapt\'aci\'oj\'at
kapjuk, hogy az $O(nt^3)$ elhagy\'asa az $I_1$-et defini\'al\'o
integr\'alb\'ol $O\(\dfrac1{\sqrt n}\)$ hib\'at ad. Az \"osszes
t\"obbi becsl\'es hib\'aj\'anak a nagys\'agrendje l\'enyegesen kisebb
$e^{O(-\const n^{1/3})}$ nagys\'agrend\H{u}. Ez\'ert megkapjuk az 5.
feladat becsl\'es\'et.
\item{5a.)} Jegyezz\"uk meg, hogy $P(S_n=k)=\dbinom nkp^k(1-p)^{n-k}$.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $\alpha n<k<\beta n$
valamely $0<\alpha<\beta<1$ sz\'amokkal. A Stirling formula alapj\'an
$$
\aligned
\binom nk&=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{\(\frac ne\)^n}
{\(\frac {n-k}e\)^{n-k}\(\frac ke\)^k}
\sqrt{\frac n{2\pi k(n-k)}}\(1+O\(\dfrac 1n\)\)\\
&=\(1-\dfrac kn\)^{-(n-k)}\(\dfrac kn\)^{-k}\frac 1{\sqrt{2\pi n}
\sqrt{\dfrac kn\(1-\dfrac kn\)}} \(1+O\(\dfrac 1n\)\).
\endaligned
$$
A $\log x$ f\"uggv\'eny $p$ pont k\"or\"uli
Taylor-sorfejt\'es\'eb\H{o}l kapjuk, hogy
$$
\align
p^k\(\dfrac kn\)^{-k}&=\exp\left\{k\(\log p-\log \dfrac kn\)\right\}\\
&=\exp\left\{-\dfrac kp\(\dfrac kn-p\)+\dfrac k{2p^2}\(\dfrac
kn-p\)^2+O\(n\(\dfrac kn-p\)^3\)\right\}.
\endalign
$$
Hasonl\'oan,
$$
\align
&(1-p)^{n-k}\(\dfrac{n-k}n\)^{-(n-k)} \\
&\qquad=\exp\left\{\dfrac{n-k}{1-p}\(\dfrac kn-p\)+\dfrac
{n-k}{2(1-p)^2}\(\dfrac kn-p\)^2+O\(n\(\dfrac kn-p\)^3\)\right\}.
\endalign
$$
Az utols\'o k\'et fejez\'est \"osszeszorozva \'es felhaszn\'alva azt,
hogy a vizsg\'aland\'o kifejez\'esben a $\(\dfrac kn-p\)^2$ tag
egy\"utthat\'oja
$$
\dfrac k{2p^2}+\dfrac{n-k}{2(1-p)^2}=\dfrac
{(k-np)^2}{2p(1-p)}+(1-2p)\dfrac{(k-np)^3}{n^2}
$$
kapjuk, hogy
$$
p^k\(\dfrac kn\)^{-k}(1-p)^{n-k}\(\dfrac{n-k}n\)^{-(n-k)}
=\exp\left\{-\dfrac{(kn-p)^2}{2np(1-p)}+
O\(n\(\dfrac kn-p\)^3\)\right\}.
$$
Mivel $\dfrac kn\(1-\dfrac kn\)=p(1-p)\(1+O\(\dfrac{k-np}n\)\)$ a fenti
becsl\'esekb\H{o}l k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy
$$
P(S_n=k)=\frac{\exp\left\{-\dfrac{(kn-p)^2}{2np(1-p)}+ O\(n\(\dfrac
kn-p\)^3\)+O\(\dfrac kn-p\)+O\(\dfrac 1n\)\right\}} {\sqrt{2\pi
p(1-p)n}}
$$
Mivel $E\xi_1=p$, $\text{Var}\,\xi_1=p(1-p)$ az utols\'o becsl\'es
egy a k\'{\i}v\'ant formul\'an\'al \'elesebb becsl\'est ad abban az
esetben, ha $|k-np|<\gamma n$ el\'eg kis $\gamma>0$ sz\'ammal.
Val\'oban, bevezetve az $z=\dfrac{k-np}{\sqrt n}$ mennyis\'eget
a vizsg\'alt approxim\'aci\'o hib\'aj\'at a k\"ovetkez\H{o} $\e(n)$
mennyis\'eggel becs\"ult\"uk:
$$
\e(n)=\e(n,z)\le\dfrac C{\sqrt n}e^{-K_1z^2}\[\exp\left\{K_2
\dfrac{|z|^3}{\sqrt n}+K_3\dfrac{|z|}{\sqrt n}+\dfrac{K_4}n\right\}-1\]
$$
alkalmas $C>0$, \'es $K_j>0$, $j=1,\dots,4$, konstansokkal. Azt
kell megmutatnunk, hogy $\e(z,n)\le\dfrac{\const}n$, ha $|z|\le\gamma
\sqrt n$. Ez a becsl\'es $n^{1/6}>|z|<\gamma \sqrt n$ eset\'eben
az\'ert \'erv\'enyes, mert ekkor $\e(n,z)\le e^{-K_1z^2/2}$. Ha $|z|\le
n^{1/6}$ akkor $e(n,z)\le\dfrac C{\sqrt n}e^{-K_1z^2}\(\dfrac
{|z|^3+|z|+1}{\sqrt n}\)\le\dfrac{\const}n$, teh\'at a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es ekkor is \'er\-v\'e\-nyes.
\item{} Ha $|k-np|\ge \gamma n$, akkor az \'all\'{\i}t\'as
k\"ovetkezik a $P(S_n=k)\le \dfrac{\const}n$ \'es az
$e^{-(k-np)^2/2np(1-p)}<\dfrac{\const}{n^2}$ rel\'aci\'okb\'ol.
Val\'oj\'aban sokkal \'elesebb becsl\'esek \'er\-v\'e\-nye\-sek. Az
els\H{o} \'all\'{\i}t\'as a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
k\"ovetkezm\'enye, mert $P(S_n=k)\le P(|S_n-ES_n|\ge \gamma n)\le
\dfrac{\text{Var\,}S_n}{\gamma^2n^2}\le\dfrac{\const}n$. A m\'asodik
egyenl\H{o}tlens\'eg nyil\-v\'an\-va\-l\'o.
\item{6.)} Vezess\"uk be a $\bar\xi_j=\dfrac{\xi_j-b}h$,
$j=1,\dots,n$, \'es $\bar S_n=\summ_{j=1}^n\bar \xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$E\bar\xi_j=\dfrac{m-b}h$ \'es $\text{Var}\,\bar\xi_j
=\dfrac{\sigma^2}{h^2}$. Mivel $P(S_n=kh+nb)=P(\bar S_n=k)$, \'es
$\bar S_n$ az eg\'esz pontokra van koncentr\'alva mint legritk\'abb
r\'acsra, ez\'ert a feladat \'all\'{\i}t\'asa a 4. \'es 5. feladat
k\"ovetkezm\'enye.
\item{7.)} Az (5) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges
$-\infty<A<B<\infty$ intervallumra igaz a
$$
\lim_{n\to\infty}P\(A<\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<B\)
=\int_{A}^B \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du, \tag2.3
$$
tov\'abb\'a a fenti rel\'aci\'o egyenletes mindazon $(A,B)$
pontp\'arokra, melyekre $C_1\le a<b\le C_2$ valamilyen r\"ogz\'{\i}tett
$-\infty<C_1<C_2<\infty$ sz\'amokra. Val\'oban,
$$
\align
&P\(A<\frac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<B\)=P(A\sqrt n\sigma+nm-nb<S_n-nb
<B\sqrt n\sigma+nm-nb)\\
&\qquad =\summ_{k\:k\in \Cal K(A,B)}P(S_n=kh+nb) \\
&\qquad =\frac h{\sqrt{2\pi n}\sigma}\summ_{k\:k\in \Cal K(A,B)}
\exp\left\{
-\frac{(kh+nb-nm)^2} {2n\sigma^2} \right\}+o\(\frac1{\sqrt n}\)\\
&\qquad =\frac h{\sqrt n\sigma}\summ_{l(k,n)\in\Cal L(A,B)}
\frac1{\sqrt2\pi} e^{-l(k,n)^2/2}+o(1)
\endalign
$$
ahol $\Cal K(A,B)=\{k\:A\sqrt n\sigma<kh+nb-nm>B\sqrt n\sigma\}$ \'es
$$
\Cal L(k,n)=\left\{\dfrac{kh-nm+nb}{\sqrt
n\sigma},\;k=0,\pm1,\pm2,\dots\right\}\cap (a,b),
$$
azaz az $\dfrac{nb-nm}{\sqrt n\sigma}$ pontot tartalmaz\'o $\dfrac
h{\sqrt n\sigma}$ s\H{u}r\H{u}s\'eg\H{u} r\'acsnak az $(a,b)$
intervallumba es\H{o} pontjai. Innen k\"ovetkezik a (2.3) formula, mert
adott $n$ sz\'amra a baloldalon szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
a jobboldalon szerepl\H{o} integr\'alnak egy $\dfrac h{\sqrt n\sigma}$
finoms\'ag\'u r\'acson vett k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszege plusz egy
hiba, mely null\'ahoz tart.
\item{} Bel\'atjuk, hogy a fenti \'all\'{\i}t\'as $A=-\infty$ eset\'en
is \'erv\'enyes. Val\'oban minden $\e>0$-ra v\'alaszthatunk olyan
$K=K(\e)$ sz\'amot, melyre
$\dsize\int_{-K}^K\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du\ge1-\e$. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\dfrac{S_n-nm}{\sqrt
n\sigma}\right|<K\)>1-\e$, \'es
$\limm_{n\to\infty}P\(\dfrac{S_n-nm}{\sqrt
n\sigma}<-K\)<\e$. Innen
$$
\align
&\limsupp_{n\to\infty}\left|
P\(\dfrac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<x\)
-\int_{-\infty}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du\right| \\
&\qquad \le\limsupp_{n\to\infty}\left|
P\(-K\le \dfrac{S_n-nm}{\sqrt n\sigma}<x\)
-\int_{-K}^x\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du\right|+\e\le\e.
\endalign
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o igaz minden $\e>0$ sz\'amra, innen k\"ovetkezik
az \'all\'{\i}t\'as.
\item{8.)} Ha a $\xi_1$ Fourier transzform\'altja
$\varphi(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)\,dx=Ee^{it\xi_1}$, akkor
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$ Fourier transzform\'altja
$Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}=\(Ee^{it\xi_1}\)^n=\varphi^n(t)$. Mivel
$|\varphi(t)|\le1$ ez\'ert a $\varphi^n(t)$ f\"uggv\'eny
integr\'alhat\'o $k\ge n$ esetben, \'es az $f_n(t)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}that\'o a (6) formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ha abban a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny helyett
$\varphi^n(t)$ f\"uggv\'enyt \'{\i}rjuk. Ez\'ert a 8. feladat
hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o a 4. feladathoz, csak az ott
vizsg\'alt (2) integr\'al helyett a (6) integr\'alt kell becs\"ulni,
(ahol $\varphi^n(t)$-t \'{\i}runk $\varphi(t)$ helyett). Tov\'abb\'a
a $E\xi^2<\infty$ felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en a $\varphi(t)$
Fourier transzform\'alt k\'etszer deriv\'alhat\'o, \'es
$\varphi'(0)=iE\xi_1$,  $\varphi(0)''=-E\xi_1^2$, azaz teljes\"ulnek
azon a $P(t)$ f\"uggv\'enyre felhaszn\'alt rel\'aci\'ok analogonjai,
melyeket a 4. feladat megold\'as\'aban haszn\'altukunk. (A $\varphi(t)$
Fourier transzform\'alt tulajdons\'agait az \'altal\'anos esetben
k\'es\H{o}bb r\'eszletesen t\'argyaljuk.)
\item{} A most vizsg\'alt integr\'al becsl\'es\'eben az egyetlen
l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg az, hogy a 4. feladatban szerepl\H{o}
$I_1=\int_{\e<|\e|<\pi}e^{-ikt}P^n(t)\,dt$ integr\'al helyett az
$I_1'=I_1'(x)=\int_{\e<|t|<\infty}e^{-itx}\varphi^n(t)\,dt$
integr\'alt kell becs\"ulni. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
I_1'\le\int_{\e<|t|<\infty}|\varphi(t)|^n\,dt&\le
\sup_{\e\le |t|<\infty}|\varphi(t)|^{n-k}
\int_{\e<|t|<\infty}|\varphi(t)|^k\,dt \\
&\le \const \sup_{\e\le |t|<\infty}\varphi(t)|^{n-k},
\endalign
$$
mivel $\varphi^k(\cdot)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny.
R\"ogz\'{\i}tett $t$, $t\neq0$, sz\'amra $|\varphi(t)|<1$. Tov\'abb\'a
a Riemann lemma szerint $\limm_{|t|\to\infty}|\varphi(t)|=0$, \'es
$\varphi(t)$ folytonos f\"uggv\'eny. (K\'es\H{o}bbi fel\-ada\-tok
tartalmazz\'ak ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at.)
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik a $\supp_{\e<|t|<\infty}|\varphi(t)|<q<1$
\'all\'{\i}t\'as, ez\'ert az el\H{o}z\H{o} becsl\'esekb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy $|I_1'|\le\const q^n$. Az egyetlen tov\'abbi
k\"ul\"onbs\'eg a bizony\'{\i}t\'asban az, hogy az $I_1$ \'es $I_2$
kifefejez\'eseket defini\'al\'o integr\'alokban az $e^{-ikt}P^n(t)$
in\-teg\-ran\-dust az $e^{-itx}\varphi^n(t)$ f\"uggv\'ennyel
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-j\"uk. Ezeket a kifejez\'eseket ugyan\'ugy
becs\"ulhetj\"uk, mint a nekik megfelel\H{o} integr\'alokat a 4.
feladatban.
\item{9.)} A feladat bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a 6. feladat
megold\'as\'ahoz, csak a jel\"ol\'es egyszer\H{u}bb. A
felt\'etelb\H{o}l k\"ozvetlen\"ul k\"ovetkezik, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}(F_n(B)-F_n(A))=\int_{A}^B\frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}\,du,
$$
\'es a konvergencia egyenletes egy korl\'atos halmazba es\H{o}
$(A,B)$ pontp\'arokra. Ezut\'an az 6. feladathoz hasonl\'oan
bizony\'{\i}thatjuk, hogy a fenti formul\'aban az $A$ sz\'amot
helyettes\'{\i}thetj\"uk  $-\infty$-nel.
\item{10.)} A bizony\'{\i}t\'ast a 8. feladatban v\'azolt
bizony\'{\i}t\'asnak bizonyos m\'odos\'{\i}t\'as\'aval tehetj\"uk. Ez
hasonl\'o ahhoz, ahogy az 5. feladat  megold\'as\'aban a 4. feladat
vizsg\'alat\'anak m\'odszer\'et m\'odos\'{\i}tottuk.
Mivel jelen esetben $E|\xi_1|^3<\infty$, ez\'ert a
$$
\log \varphi(t)=it E\xi_1-\frac {t^2}x E\xi_1^2+O(t^3)
$$
k\"ozel\'{\i}t\'est \'{\i}rhatjuk fel az orig\'o egy kis
k\"ornyezet\'eben. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy az $I_2$ \'es $I_3$
integr\'alok definici\'oj\'aban az 5. feladat megold\'as\'ahoz
hasonl\'oan megv\'altoztatva az integr\'al\'asi tartom\'anyt
megkapjuk az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at.
\item{11.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}
ue^{-u^2/2}\,du=0,
$$
mivel az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny ebben az integr\'alban.
M\'asr\'eszt parci\'alis integr\'al\'assal
$$
\align
E\xi^2&=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}u^2e^{-u^2/2}\,du
=-\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}} u\(\dfrac
d{du}e^{-u^2/2}\)\,du\\
&=\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}} e^{-u^2/2}\,du=1.
\endalign
$$
Ha $\xi$ $\Phi_{m,\sigma}$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, akkor $\dfrac{\xi-m}\sigma$  standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, teh\'at nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy sz\'or\'as\'u. Ez\'ert $\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ \'es sz\'or\'asn\'enyzete $\sigma^2$.
\item{12.)} Legyen $\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)
=Ee^{i(t,\xi)}=Ee^{i(t_1\xi_1+\cdots+t_k\xi_k)}$ egy
$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os v\'eletlen vektor
karakterisztikus f\"uggv\'enye, ahol $t=(t_1,\dots,t_k)$ \'es
$(t,\xi)=\summ_{j=1}^k t_j\xi_j$. Ekkor $|\varphi(t)|\le
E|e^{i(t,\xi)}|=1$. Tetsz\H{o}leges $\e>0$
sz\'amra l\'etezik olyan $R=R(\e)$, melyre
$P(|\xi|>R)=P\(\summ_{j=1}^k\xi_j^2>R^2\)<\dfrac\e2$. Ekkor
$|t|^2=\summ_{j=1}^kt_j^2<\delta$, $\delta=\dfrac{\e}{2R(\e)}$ \'es
$|x|<R(\e)$ eset\'en $|e^{i(t,\xi)}-1|\le|(t,\xi)|\le \dfrac\e2$.
Ez\'ert $|\varphi(t)-\varphi(\bar t)|=|Ee^{i(t,\xi)}-Ee^{i(\bar
t,\xi)}|=|Ee^{i(t-\bar t,\xi)}-1|
\le E|e^{i(t-\bar t,\xi)}-1|I(|\xi|\le R)+P(|\xi|>R)\le
E|(t-\bar t,\xi)|I(|\xi|\le R)+\dfrac \e2\le\e$, ha $|t-\bar t|
\le\delta$, ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.
Ez\'ert a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos.
\item{} Az $a\xi+m$ v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'enye
egy $t\in R^k$ pontban, $a\in R$, az
$Ee^{i(t,a\xi+m)}=e^{(it,m)}Ee^{i(at,\xi)}=e^{(it,m)}\varphi(at)$
f\"uggv\'eny, ahol $\varphi$ a $\xi$ v\'eletlen vektor karakterisztikus
f\"uggv\'enye.
\item{} Ha $\xi_j$, $j=1,\dots,n$, f\"uggetlen v\'eletlen vektorok
$\varphi_j(t)$ karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel, akkor a
$\xi_1+\cdots+\xi_n$ v\'eletlen \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye egy $t\in R^k$ pontban
$Ee^{i(t,\xi_1+\cdots+\xi_n)}=Ee^{i(t,\xi_1)}\cdots e^{i(t,\xi_n)}
=Ee^{i(t,\xi_1)}\cdots Ee^{i(t,\xi_n)}=\prodd_{j=1}^k\varphi_j(t)$.
\item{13.)}
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{itu-u^2/2}\,du
=e^{-t^2/2}\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(it-u)^2/2}\,du
=e^{-t^2/2}
$$
az els\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, akkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_0^1e^{itu}\,du=\frac{e^{itu}-1}{it}.
$$
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ exonenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel, akkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_0^\infty \lambda e^{itu-\lambda u}\,du
=\dfrac{\lambda}{\lambda-it}.
$$
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ Cauchy eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$$
Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty \frac1\pi \frac{e^{itu}}{1+u^2}\,du.
$$
Ezt az integr\'alt a komplex f\"uggv\'enytan rezidium t\'etele
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk kisz\'am\'{\i}tani.
\itemitem{} A $g(z)=g(z,t)=\dfrac{e^{itz}}{\pi(1+z^2)}$ f\"uggv\'eny
analitikus a komplex sz\'ams\'{\i}kon, k\'et p\'olusa van a $z=\pm i$
pontokban. A $g(z)$ f\"uggv\'eny rezidiuma az $i$ pontban $e^{-t}$ a
$-i$ pontban $e^t$. Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} k\"orintegr\'alt.
A $g(z)=g(z,t)$ f\"uggv\'enyt integr\'aljuk a $[-R,R]$ szakaszon,
majd a a $|z|=R$ $\Im z\ge0$ f\'elk\"or\"on, ha $t\ge0$ \'es a $|z|=R$,
$\Im z\le 0$ f\'elk\"or\"on, ha $t\le0$. Ekkor ennek a
k\"orintegr\'alnak az \'ert\'eke a $g(z)$ f\"uggv\'eny $i$
pontbeli rezidium\'aval egyenl\H{o} $t>0$ \'es a $-i$ pontbeli
rezidium\'aval a $t<0$ esetben. M\'asr\'eszt az integr\'al
megszor\'{\i}t\'asa az $R$ sugar\'u f\'elk\"orre null\'ahoz tart, ha
$R\to0$. Innen k\"ovetkezik, hogy $Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty
g(t,u)\,du=e^{-|t|}$.
\itemitem{} A feladatnak egy m\'asik, kiss\'e mesterk\'elt, de korrekt
bizony\'{\i}t\'as\'at adja a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} \'ervel\'es. Az
$f(x)=\frac12e^{-|x|}$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'enye az
$$
\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|+itx}\,dx=\dfrac12
\(\frac1{1+it}+\frac1{1-it}\)=\frac1{1+t^2}
$$
f\"uggv\'eny. Mivel $\dfrac1{1+t^2}$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, az
inverz Fourier transz\-for\-m\'a\-ci\'os k\'epletb\H{o}l k\"ovetkezik a
k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as.
\itemitem{e.)} Ha $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda>0$ param\'eterrel, akkor
$$
Ee^{it\xi}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{ikt}=\exp\left\{\lambda(e^{it}-1)\right\}.
$$
\itemitem{f.)} Ha $\xi$ binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es $p$ param\'eterekkel,
akkor
$$
Ee^{it\xi}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^n \binom nkp^ke^{ikt}(1-p)^{n-k}
=\(1-p+pe^{it}\).
$$
\itemitem{g.)} Ha $\xi$  negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $n$ \'es $p$ param\'eterekkel,
akkor $\xi$ eloszl\'asa megegyezik a $\xi_1+\cdot+\xi_n$ \"osszeg
eloszl\'as\'aval, ahol $\xi_j$, $1\le j\le n$, f\"uggetlen
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $1$ \'es $p$ param\'eterekkel. (A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi egy lehets\'eges interpret\'aci\'oja a
k\"ovetkez\H{o}. Ha egym\'as ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen
kis\'erleteket v\'egz\"unk, melyek $p$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
sikeresek, akkor h\'any sikertlen kis\'erlet t\"ort\'ent az $n$-ik
sikeres kis\'erlet be\-k\"o\-vez\-t\'e\-ig. Ha $\xi_j$ jel\"oli a
$j-1$-ik \'es $j$-ik sikeres kis\'erletek k\"oz\"otti sikertelen
kis\'erletek sz\'am\'at, akkor megkapjuk a fenti repzerent\'aci\'ot.)
Ez\'ert $Ee^{it\xi}=\(Ee^{it\xi_1}\)^n$. M\'asr\'eszt
$$
Ee^{it\xi_1}=\sum_{k=0}^\infty
(1-p)p^ke^{it}=\dfrac{1-p}{1-pe^{it}}.
$$
\item{14.)} Ha $f(x_1,\dots,x_k)$
\'es $g(x_1,\dots,x_k)$ k\'et integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, akkor
$$
\align
\infty&>\int\int |f(x_1,\dots,x_k)||g(u_1,\dots,u_k)|\,dx_1\cdots
dx_kdu_1\dots du_k \\
&\hskip6truecm (\bar u_j=x_j+u_j \;j=1,\dots,k \text{
helyettes\'{\i}t\'essel},) \\
&=\int\int |f(x_1,\dots,x_k)| |g(\bar u_1-x_1,\dots,\bar u_k-x_k)|
\,dx_1\cdots dx_kd\bar u_1\dots\bar u_k \\
&=\int\(\int |f(x_1,\dots,x_k)|
|g(\bar u_1-x_1,\dots,\bar u_k-x_k)|\,dx_1\cdots dx_k\)d\bar u_1\dots
du_k\\
&=\int |f|*|g|(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots dx_k.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy az $f*g(x_1,\dots,x_k)\le |f|*|g|
(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny majd\-nem minden $(x_1,\dots,x_k)\in R^k$
pontban v\'eges, s\H{o}t integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. A
to\-v\'ab\-biak\-ban $(x_1,\dots,x_k)$ helyett $x$-et $(u_1,\dots,u_k)$
helyett $u$-t \'{\i}runk.
\item{} Ha $\mu$ \'es $\nu$ k\'et korl\'atos v\'altozas\'u
f\"uggv\'eny, akkor l\'etezik $\mu=\mu_1-\mu_2$, $\nu=\nu_1-\nu_2$
reprezent\'aci\'o, melyre $\mu_i$, $\nu_i$, $i=1,2$, v\'eges
m\'ert\'ekek, \'es $\mu*\nu=(\mu_1*\nu_1+\mu_2*\nu_2)
-(\mu_1*\nu_2+\mu_2*\nu_1)$. Mivel $\mu_i*\nu_j(R^k)<\infty$ minden
$i,j=1,2$-re  ez\'ert $\mu*\nu$ korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek.
\item{} Ha a $\mu$ m\'ert\'eknek l\'etezik $f$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $A\subset R^k$ halmazra
$$
\align
\int_A\mu*f(x)\,dx&=\int_A\(\int f(u)\nu(x-\,du)\)\,dx
=\int_A\(\int f(x-u)\nu(\,du)\)\,dx\\
&=\int\(\int I({x\:x\in A})f(x-u)\,dx\)\nu(\,du)\\
&=\int\(\int I({v\:u+v\in A})f(v)\,dv\)\nu(\,du)\\
&=\int\int I({v\:u+v\in A})\mu(\,dv)\nu(\,du)\\
&=\mu\times\nu\(\{(u,v)\:u+v\in A\}\)=\mu*\nu(A)
\endalign
$$
\'es ez azt jelenti, hogy $\mu*f$ a $\mu*\nu$ konvoluci\'os m\'ert\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti sz\'amol\'asb\'ol az is
k\"ovetkezik, hogy a $\mu*f(x)$ f\"uggv\'eny majdem minden $x\in R^k$
pontban v\'eges \'es integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Val\'oban, $A=R^k$
v\'alaszt\'assal a fenti sz\'amol\'as bizony\'{\i}tja ezt az
\'all\'{\i}t\'ast abban az esetben, ha $\mu$ \'es $\nu$ (v\'eges)
pozit\'{\i}v m\'ert\'ekek. Az \'altal\'anos eset pedig
visszavezethet\H{o} erre az esetre, ha a $\mu$ \'es $\nu$
m\'ert\'ekeket felbontjuk k\'et pozit\'{\i}v (v\'eges) m\'ert\'ek
k\"ul\"onbs\'eg\'ere. (Feltehetj\"uk, hogy a $\mu=\mu_1-\mu_2$
felbont\'asban szerepl\H{o} m\'ert\'ekeknek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk.)
\item{} Ha a $\mu$ m\'ert\'eknek l\'etezik $f$ a $\nu$ m\'ert\'eknek
pedig $g$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor de\-fi\-ni\-\'al\-juk
minden $x\in R^k$-re a $\bar \nu_x(A)=\nu(x-A)$ m\'ert\'eket. Ennek a
$\bar \nu_x$ m\'ert\'ek s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$u\in R^k$ pontban $g(x-u)$, \'es a $\mu*\nu$ m\'ert\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a m\'ar bizony\'{\i}tott eredm\'enyek
alapj\'an
$$
\int f(u)\bar \nu_x(du)=\int f(u)g(x-u)\,du=f*g(x).
$$
\item{15.)} M\'ert\'ekek konvoluci\'oj\'anak a definici\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu$ \'es $\nu$
eloszl\'asokkal, akkor $\xi+\eta$ eloszl\'asa $\mu*\nu$. Az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
amennyiben a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\mu$
eloszl\'as\'anak l\'etezik $f$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$\xi+\eta$ $\mu*\nu$ eloszl\'as\'anak $f*\nu$ a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ha ezenk\'{\i}v\"ul a $\nu$
m\'ert\'eknek l\'etezik $g$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor
$\mu*\nu$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f*g$.
\item{} Ha egy $Z$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
$F(x)$, akkor $\bar Z=\dfrac{Z-A}B$, $B>0$, eloszl\'asa $F(Bx+A)$, ha a
$Z$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye akkor $\bar Z$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $Bf(Bx+A)$. Innen, illetve az
el\H{o}z\H{o}ekb\H{o}l k\"ovetkeznek a $\bar S_n$ eloszl\'as\'ar\'ol
\'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
\'all\'{\i}t\'asok.
\item{} Az, hogy $\mu*\nu=\nu*\mu$ k\"ovetkezik m\'ert\'ekek
konvoluci\'oj\'anak a definici\'oj\'ab\'ol. Az, hogy
$(\mu_1*\mu_2)*\mu_3=\mu_1*(\mu_2*\mu_3$ k\"ovetkezik abb\'ol, hogy
minden $A$ halmazra
$$
(\mu_1*\mu_2)*\mu_3(A)=\mu_1*(\mu_2*\mu_3)(A)
=\mu_1\times\mu_2\times\mu_3(\{(u,v,w)\:u+v+w\in A\}).
$$
Az analog \'all\'{\i}t\'asok f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'ara
visszavezethet\H{o}ek erre az \'all\'{\i}t\'asra, ha f\"uggv\'enyek
konvoluci\'oj\'at mint megfelel\H{o} m\'ert\'ekek konvoluci\'oj\'anak
a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et reprezent\'aljuk.
Egy\'ebk\'ent egyszer\H{u} sz\'amol\'assal is bizony\'{\i}that\'oak
ezek az \'all\'{\i}t\'asok.
\item{16.)} Ha $\mu$ \'es $\nu$ k\'et korl\'atos v\'altoz\'as\'u
f\"uggv\'eny $\tilde f(t_1,\dots,t_k)$ \'es $\tilde g(t_1,\dots,t_k)$
Fourier transzform\'altakkal, akkor
$$
\align
&\tilde f(t_1,\dots,t_k)\tilde g(t_1,\dots,t_k) \\
&\qquad=\int e^{i(t_1(u_1+v_1)+\cdots+t_k(u_k+v_k))}
\mu(\,du_1,\dots,\,du_k) \nu(\,du_1,\dots,\,du_k).
\endalign
$$
A $\bold T(u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_k)=(u_1+v_1,\dots,u_k+v_k$,
$(u_1,\dots,u_k)\in R^k$, $(v_1,\dots,v_k)\in R^k$, lek\'epez\'es
m\'ert\'ektart\'o transzform\'aci\'o az $(R^k\times R^k, \Cal
B,\mu\times\nu,\Cal B_{2k},\mu\times\nu)$ t\'err\H{o}l az $R^k,\Cal
B_k,\mu*\nu)$ t\'erre, ahol $\Cal B_{2k}$ \'es $\Cal B_k$ az $R^{2k}$
iletve $R^k$ t\'eren tekintett Borel $\sigma$-algebr\'at jel\"oli.
Alkalmazva azt a m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, mely le\'{\i}rja,
hogy m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'esek hogyan transzform\'alnak
integr\'alokat a
$$
g(u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_k)=
e^{i(t_1(u_1+v_1)+\cdots+t_k(u_k+v_k))}
$$
f\"uggv\'enyre kapjuk a megold\'as elej\'en fel\'{\i}rt
rel\'aci\'ob\'ol, hogy
$$
\tilde f(t_1,\dots,t_k)\tilde g(t_1,\dots,t_k)
=\int e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}
\mu*\nu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
$$
Ezzel bebizony\'{\i}tottuk a m\'ert\'ekek konvoluci\'oj\'anak Fourier
transzform\'altj\'ar\'ol kimondott \'all\'{\i}t\'ast. Innen, illetve
m\'ert\'ekek \'es azok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeinek
konvoluci\'oja k\"oz\"otti kapcsolatb\'ol k\"ovetkezik a feladatnak
az az \'all\'{\i}t\'asa, mely s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek
konvoluci\'oj\'anak Fourier transzform\'altj\'ar\'ol sz\'ol.
\item{17.)} Az $f*g(x)=\int f(x-u)g(u)\,du$ azonoss\'agot $k$-szor
differenci\'alva kap\-juk, hogy
$$
\dfrac {df*g^k(x)}{dx^k}=\int \left.\dfrac
{df^k(v)}{dv^k}\right|_{v=x-u}g(u)\,du
=\int \left.\dfrac
{df^k(v)}{dv^k}\right|_{v=u}g(x-u)\,du.
$$
A feladat felt\'etelei lehet\H{o}v\'e teszik ezt a szukcessziv
differenci\'al\'ast. A tov\'abbiakban az utols\'o formula jobboldal\'at
haszn\'alva tov\'abbi $l$ deriv\'al\'as lehets\'eges, \'es azt kap\-juk,
hogy
$$
\dfrac {df*g^{k+l}(x)}{dx^{k+l}} =\int\left.\frac {df^k(v)}{dv^k}
\right|_{v=u}\left.\frac{dg^l(v)}{dv^l}\right|_{v=x-u}\,du.
$$
\item{} Ha $f(u)$ analitikus f\"uggv\'eny, \'es teljes\'{\i}ti a
t\"obbi felt\'etelt is akkor az
$$
F(z)=\int f(z-u)g(u)\,du
$$
f\"uggv\'eny az $f*g(x)$ konvoluci\'o analitikus folytat\'asa a
$\{z\:\Im z<A\}$ tartom\'anyba.
\item{18.)} a.) Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik az integr\'alok konvergenci\'aja:
\item{} Mivel $F(x_1,\dots,x_k)\to 1$, ha $x_j\to\infty$ minden
$j=1,\dots,k$-ra, \'es $F(x_1,\dots, x_k)\to 0$, ha $x_j\to-\infty$
valamelyik $1\le j\le k$-ra, ez\'ert tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
l\'etezik olyan $\bold K$ t\'eglatest, melyre $\mu_F(\bold K)>1-\e$.
(Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny $\mu_F$-fel fogjuk a
tov\'abbiakban jel\"olni az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket.) To\-v\'ab\-b\'a, mivel
$F_n\to F$, ha $n\to \infty$, ez\'ert el\'erhet\H{o} a $\bold K$
halmazt esetleg nagyobbra v\'alasztva, hogy $\mu_{F_n}(\bold K)>1-\e$
legyen minden $F_n$, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyre. Azt is
feltehetj\"uk, hogy a $\bold K$ halmaz minden hat\'arpontja
folytonoss\'agi pontja az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek, mivel az $F$
eloszl\'as vet\"ulete a $j$-ik koordin\'at\'ara olyan 1~dimenzi\'os
eloszl\'as, amelyiknek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok atomja van minden
$j=1,\dots,k$-ra.
\item{} Az $f$ f\"uggv\'eny korl\'atoss\'aga miatt $|\int_{R^k\setminus
\bold K}f(x_1,\dots,x_k)\,dF(x_1,\dots,x_k)|<\const\e$, \'es
$|\int_{R^k\setminus \bold K}f(x_1,\dots, x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)|
<\const\e$ minden $n=1,2,\dots$-ra. To\-v\'ab\-b\'a, az $f$ folytonos
f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos a $\bold K$ t\'eglatesten, ez\'ert
l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am, melyre $|f(x)-f(y)|<\e$, ha
$|x-y|\le\delta$. A $\bold K$ t\'eglatest felbonthat\'o v\'eges sok,
k\"oz\"os bels\H{o} ponttal nem rendelkez\H{o}, legfeljebb $\delta$
\'atm\'er\H oj\H{u} $\Delta_j$, $j=1,\dots, p(\bold K)$ t\'eglatest
uni\'oj\'ara, amelyeknek a hat\'ara 0 m\'ert\'ek\H{u} az $F$ \'altal
induk\'alt $\mu_F$ m\'ert\'ek szerint. \'Igy
$\lim\limits_{n\to\infty}\mu_{F_n}(\Delta_j)
=\mu_F(\Delta_j)$ minden $j=1,\dots, p(\bold K)$-ra, \'es az $f$
f\"uggv\'eny egyenletes folytonoss\'aga miatt a $\bold K$ halmazon
$$
\limsup\left|\int_{\bold K}f\,dF_n-\int_{\bold K}f\,dF\right|<\e.
$$
A fenti egyenl\H otlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limsup\left|\int f\,dF_n-\int f\,dF\right|<\const\e$, ahol $\const$
f\"uggetlen az $\e$-t\'ol. Mivel ez igaz minden $\e>0$-ra, innen
k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as. \medskip
\item{b.)} Az integr\'alok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik
az eloszl\'asban val\'o konvergencia:
\item{} Legyen $x=(x_1,\dots,x_k)$ az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontja. Ekkor minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan
$\delta>0$, hogy az $y=(y_1,\dots,y_k)=(x_1-\delta,\dots,x_k-\delta)$
\'es $z=(z_1,\dots,z_k)=(x_1+\delta,\dots,x_k+\delta)$  pontokra
$F(y)>F(x)-\e$ \'es $F(z)<F(x)+\e$. L\'eteznek olyan $f_1(u)$ \'es
$f_2(u)$ folytonos f\"uggv\'enyek az $R^k$-n, melyek teljes\'{\i}tik a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat: $0\le f_i(u)\le1$ minden $u\in
R^k$-ra, $i=1,2$. Tov\'abb\'a $f_1(u)=1$, $u=(u_1,\dots,u_k)$-ra, ha
$u_j\le y_j$, minden $j=1,\dots,k$, \'es  $f_1(u)=0$, ha $u_j\ge x_j$
valamely $1\le j\le k$-re. Az $f_2(\cdot)$ f\"uggv\'eny pedig
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'okat: $f_2(u)=1$, ha
$u_j\le x_j$ minden $j=1,\dots,k$-ra, \'es $f_2(u)=0$, ha $u_j\ge z_j$
valamely $1\le j\le k$-ra. Ekkor
$$
\align
\limsup_{n\to\infty} F_n(x)&\ge \lim_{n\to\infty}\int
f_1(u)\,dF_n(u)=\int f_1(u)\,dF(u)\ge
F(x)-\e\\
\liminf_{n\to\infty}F_n(x)&\le \lim_{n\to\infty} \int
f_2(u)\,dF_n(u)=\int f_2(u)\,dF(u)\le
F(x)+\e. \endalign
$$
Mivel ezek az egyenl\H{o}tlens\'egek minden $\e>0$-ra igazak, innen
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.
 
\item{19.)}  Mivel $\bigcupp_{K=1}^\infty \bold K(K)^k= R^k$ \'es a
$\bold K(K)^k$, $K=1,2,\dots$, monoton n\"ovekv\H{o} halmazsorozat,
ez\'ert $\limm_{K\to\infty}\mu(\bold K(K)^k)=\mu(R^k)=1$, azaz
$\mu(\bold K(K)^k)\ge 1-\e$, ha $K\ge K(\e)$.
\item{} Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy a $\mu$
m\'ert\'ek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye meghat\'arozza a $\mu$
m\'ert\'eket vegy\"uk \'eszre el\H{o}sz\"or azt, hogy az $\int
f(u)\,d\mu(u)$ integr\'alok egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a
$\mu$ m\'ert\'eket, ha az \"osszes folytonos \'es kompakt tart\'oj\'u
$f(\cdot)$ f\"uggv\'eny integr\'alj\'at tekintj\"uk. Val\'oban azon
$\bold P=[K_1,L_1)\times\cdots\times [K_k,L_k)$ t\'eglatestek $\mu$
m\'ert\'eke, melyek hat\'ar\'anak a $\mu$ m\'ert\'eke nulla
meghat\'arozz\'ak a $\mu$ m\'ert\'eket, m\'asr\'eszeszt tetsz\H{o}leges
$\e>0$ sz\'amra \'es minden $\bold P$ t\'eglatestre l\'etezik
olyan $f_{\e,\bold P}(\cdot)$ f\"uggv\'eny, melyre
$0\le f_{\e,\bold P}(u)\le1$ minden $u\in R^k$ pontra,
$f_{\e,\bold P}(u)=1$, ha $u\in \bold P$ $f_{\e,\bold P}(u)=0$, ha
$\rho(u,\bold P)>\e$. A tov\'abbiakban $\rho(\cdot,\cdot)$ jel\"oli a
szok\'asos euklideszi t\'avols\'agot az $R^k$ t\'eren. Ekkor a
$\mu(\bold P)=\limm_{\e\to0}\int
f_{\bold P,\e}\,d\mu(u)$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Egy adott tulajdons\'ag\'u $f_{\bold
P,\e}$ f\"uggv\'eny lehets\'eges konst\-ruk\-ci\'o\-ja a
k\"ovetkez\H{o}: $f_{\bold P,\e}(u)=1-g_{\bold P,\e}(u)$, \'es
$g_{\bold P,\e}(u)=\min\(1,\dfrac1\e \rho(u,\bold P)\)$.
\item{} Adva egy $f(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u folytonos
f\"uggv\'eny, \'es egy nagy $K>0$ sz\'am, melyre a
$[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]$ kocka tartalmazza az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny tart\'oja defini\'aljuk az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny $2K$
periodus\'u $f_K(\cdot)$ periodikus kiterjeszt\'es\'et az
$f_K(u_1+2Kj_1,\cdots,u_k+2Kj_k)=f(u_1,\cdots,u_k)$, $-K\le u_j<K$,
$l_j=0,\pm1,\pm2,\dots$, $j=1,\dots,k$, k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Ezen periodikus kiterjeszt\'esek $\int f_K(u)\,d\mu(u)$ integr\'aljai
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a $\mu$ m\'ert\'eket, mert $\int
f(u)\,d\mu(u)=\limm_{K\to\infty}\int f_K(u)\,d\mu(u)$ a $\mu$
m\'ert\'ek fe\-szes\-s\'e\-ge miatt.
\item{} V\'eg\"ul Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele
alapj\'an tetsz\H{o}leges $f_K(\cdots)$ $K$ peri\'odus\'u folytonos
f\"uggv\'enyhez \'es $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$$
g_{\e}=g_{\e,f_K}(u_1,\cdots,u_k)=\summ
c^{\e}_{j_1,\dots,j_k}e^{i\pi(j_1u_1+\cdots+j_ku_k)/K}
$$
trigonometrikus polinom, melyre $\supp_{u\in R^k}|f_K(u)-g_\e(u)|
\le\e$. Ez\'ert
$$
\left|\int f_K(u)\,d\mu(u)-\int
g_\e(u)\,d\mu(u)\right|\le\e.
$$
Viszont $\int g_\e(u)\,d\mu(u)=\summ c^{\e}_{j_1,\dots,j_k}
\varphi\(\dfrac{\pi j_1}{K},\dots,\dfrac{\pi j_k}{K}\)$, azaz ez
az integr\'al ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-ha\-t\'o a karakterisztikus
f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Innen k\"ovetkezik, hogy a
karakterisztikus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az $\int f_K(u)\,d\mu(u)$
alak\'u integr\'alokat, ez\'ert a $\mu$ m\'ert\'eket is.
\item{} A bizony\'{\i}t\'as l\'enyeg\'eben v\'altoztat\'as n\'elk\"ul
\'atvihet\H{o} tetsz\H{o}leges korl\'atos v\'altoz\'as\'u $\mu$
m\'ert\'ekre.
\item{20.)} El\H{o}sz\"or azt mutatjuk meg, hogy tetsz\H{o}leges $a>0$
sz\'amra l\'etezik olyan $f(u)$ p\'aros s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny,
melynek $\varphi(t)$ Fourier transzform\'altja el\'eg s\'{\i}ma,
p\'eld\'aul k\'etszer differenci\'alhat\'o, \'es a $[-a,a]$
intervallumon k\'{\i}v\"ul z\'er\'o.
\item{} Val\'oban, legyen $g(u)$ egy a $\[-\dfrac a2,\dfrac a2\]$
intervallumba koncentr\'alt folytonosan dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o
f\"uggv\'eny, $g^-(u)=g(-u)$, $h(u)=g*g(u)$, $f(u)=\frac{2\pi}M\int
e^{itu}h(u)\,du$, ahol $*$ konvoluci\'ot jel\"ol, \'es $M=h(0)=\int
|f(u)|^2\,du$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $f$
f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, \'es ennek karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\frac{h(u)}M$ f\"uggv\'eny, mely a $[-a,a]$
intervallumon k\'{\i}v\"ul elt\"unik. Ugyanis a $h(\cdot)$ f\"uggv\'eny
k\'etszer differenci\'alhat\'o, (l\'asd 17. feladatot), ez\'ert ennek
Fourier transzform\'altja a plusz--minusz v\'egtelenben $|t|^{-2}$
nagys\'agrendben cseng le (l\'asd p\'eld\'aul a k\'es\"obb
t\'argyaland\'o 28. feladatot), ez\'ert a $\frac{2\pi h(t)}M$
f\"uggv\'eny el\H{o}bb defini\'alt $f(\cdot)$ Fourier transzform\'altja
integr\'alhat\'o, \'es alkalmazhat\'o r\'a az inverz Fourier
transzform\'aci\'os formula. Mivel $f(\cdot)$ p\'aros f\"uggv\'eny, ez
azt jelenti, hogy $\frac{h(u)}M=\int e^{itx}f(u)\,du$, az $f(u)$
f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja, speci\'alisan
$\frac{h(0)}M=1=\int f(u)\,du$. V\'eg\"ul az $f(t)\ge0$ minden $t\in
R^1$-re, mivel az $g*g^-(\cdot)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja
$\int e^{itu}g*g^-(u)\,du=\int e^{itu}g(u)\,du\int
e^{itu}g^-(u)\,du=\left|\int e^{itu}g(u)\,du\right|^2\ge0$. Teh\'at
$f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.  (Az itt t\'argyalt
probl\'em\'ahoz a feladatsor m\'asodik r\'esz\'eben vissza fogunk
t\'erni.)
\item{} Tekints\"unk egy  $f(u)$ p\'aros
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt, melynek $\varphi(t)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-nye k\'etszer differenci\'alhat\'o, \'es egy $[-a,a]$
intervallumon k\'{\i}v\"ul elt\H{u}nik. Legyen $T>a$ \'es defin\'aljuk
az $a_k=\dfrac1{4\pi T}\dsize\int e^{\pi ikt/T}\varphi(t)\,dt$
sz\'amokat. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy ha az $\dfrac{\pi k}T$ pontokba
$a_k$ s\'ulyt rendel\"unk, $k=0,\pm1,\pm2,\cdots$, akkor egy olyan
r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
defini\'alunk, melynek karakterisztikus f\"uggv\'enye a $[-T,T]$
intervallumon a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'asa erre az
intervallumra, ezen k\'{\i}v\"ul pedig e f\"uggv\'enynek a $2T$
periodus szerinti periodikus kiterjeszt\'ese. Ez speci\'alisan azt is
jelenti, hogy ez az eloszl\'as \'es az $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott eloszl\'as
egy\"utt a feladat \'all\'{\i}t\'as\'at kiel\'eg\'{\i}t\H{o} p\'eld\'at
szolg\'altat.
\item{} Ez az \'all\'{\i}t\'as az\'ert igaz, mert
\"osszehasonl\'{\i}tva az $a_k$ sz\'am definici\'oj\'at az $f(\cdot)$
f\"ugg\-v\'enyt kifejez\H{o} inverz Fourier-transzform\'aci\'oval
kapjuk, hogy $a_k=\dfrac1{2T} f\(\dfrac {\pi k}T\)\ge0$, \'es a
$\summ_{k=-\infty}^\infty  a_ke^{2\pi ik/T}$ \"osszeg a $\varphi(t)$
f\"uggv\'enynek a $[-T,T]$ intervallumra val\'o
meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a Fourier sora. Speci\'alisan
$\varphi(0)=1=\summ_{k=-\infty}^\infty a_k$. (Mivel $\varphi(\cdot)$
k\'etszer differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny, ez\'ert minden
pontj\'aban megegyezik a Fourier sor\'aval.)
\item{21.)} L\'assuk el\H{o}sz\"or azt be, hogy amennyiben a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata relat\'{\i}v kompakt akkor feszes is.
\item{} Tegy\"uk fel indirekt m\'odon, hogy ez a $\mu_n$ m\'ert\'ek
sorozat nem fe\-szes. Ekkor l\'etezik olyan $\e>0$ sz\'am,
a $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeknek olyan $\mu_{n_k}$
r\'eszsorozata, \'es olyan $K_n\to\infty$ sz\'amsorozat, melyekre
$\mu_{n_k}([-K_n,K_n]\times\cdots\times[-K_n,K_n])<1-\e$. Megmutatjuk,
hogy ennek a $\mu_{n_k}$ m\'ert\'eksorozatnak nincs eloszl\'asban
konvergens r\'eszsorozata. Innen k\"ovetkezik, hogy az indirekt
feltev\'es ellentmond\'ashoz vezet.
\item{} Val\'oban, tegy\"uk fel, hogy a $\mu_{n_k}$ m\'ert\'eksorozat
valamely $\mu_{n_{k_j}}$ r\'eszsorozata el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'al
egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez. Ekkor l\'etezik
olyan $K>0$ sz\'am, melyre $\mu([-K,K]\times\cdots\times[-K,K])>
1-\frac\e2$, \'es az $u_j=\pm K$, $j=1,2,\dots,k$, hipers\'{\i}kok
$\mu$ m\'ert\'eke nulla. Ekkor a $\limm_{k\to\infty}\mu_{n_{k_j}}
([-K,K]\times\cdots\times[-K,K])=\mu([-K,K]\times\cdots\times[-K,K])$
rel\'aci\'onak teljes\"ulni kellene. Ez azonban nem lehets\'eges, mert
a baloldalon szerepl\H{o} $\limsup$ kisebb mint $1-\e$, m\'{\i}g a
jobboldal nagyobb mint $1-\frac\e2$.
\item{} Mutassuk meg, hogy amennyiben a $\mu_n$ m\'ert\'ekek sorozata
feszes, akkor relat\'{\i}v kompakt. Azt kell bel\'atnunk,
hogy a $\mu_n$ sorozat tetsz\H{o}leges r\'eszsorozat\'anak l\'etezik
eloszl\'asban konvergens r\'eszorozata. Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es
\'erdek\'eben a r\'eszsorozat \'ujra indexel\'es\'evel jel\"olj\"uk ezt
a r\'eszsorozatot is $\mu_n$-nel. Azt kell bel\'atnunk, hogy ennek az
\'uj (szint\'en feszes) $\mu_n$ m\'ert\'eksorozatnak
l\'etezik el\-osz\-l\'as\-ban konvergens r\'eszsorozata.
\item{} Jel\"olje $F_n(u)=F_n(u_1,\dots,u_k)$ a $\mu_n$ m\'ert\'ek
\'altal meghat\'arozott $F_n(u_1,\dots,u_k)=\mu_n(\{(v_1,\dots,v_k)\:
v_j<u_j,\;j=1,\dots,k\})$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Legyen
$$
u^{(p)}=\(u_1^{(p)},\dots,u_k^{(p)}\),\quad p=1,2,\dots,
$$
a racion\'alis koordin\'at\'aj\'u $u^{(p)}\in R^k$ pontok
(megsz\'aml\'alhat\'o) halmaza valamilyen indexel\'essel felsorolva.
El\H{o}sz\"or bel\'atjuk  az \'ugynevezett \'atl\'os
m\'odszer se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy egy alkalmas $n_j$,
$j=1,2,\dots$, sz\'amsorozatra a
$$
\limm_{j\to\infty}
F_{n_j}\(u_1^{(p)},\dots,u_k^{(p)}\)= \tilde
F\(u_1^{(p)},\dots,u_k^{(p)}\) \tag2.4
$$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Val\'oban, mivel $0\le F_n(u)\le1$ l\'etezik az eg\'esz
sz\'amoknak olyan $\bar n_j=(n_{j,1})$ r\'eszsorozata, melyre
l\'etezik a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,1}}(u^{(1)})=\tilde F(u^{(1)})$
hat\'ar\'ert\'ek. Ennek l\'etezik olyan $n_{j,2}$ r\'eszsorozata,
melyre l\'etezik a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,2}}(u^{(2)})=\tilde
F(u^{(2)})$ hat\'ar\'ert\'ek. Ezt az elj\'ar\'ast
folytatva kapunk egym\'asba skatuly\'azott $n_{j,p}$, $j=1,2,\dots$,
sorozatot minden $p=1,2,\dots$ sorozatokat, melyekre
$\{n_{p+1,j},\;j=1,2,\dots\}\subset \{n_{p,j},\;j=1,2,\dots\}$,
$p=1,2,\dots$, \'es minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra l\'etezik a
$\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,p}}(u^{(p)})=\tilde F(u^{(p)})$
hat\'ar\'ert\'ek. Ekkor az $n_j=n_{j,j}$ sorozat teljes\'{\i}ti a
(2.4) rel\'aci\'ot.
\item{} Vezess\"uk be az
$$
F(u_1,\dots,u_k)=\sup_{\left\{n_j\:u_s^{(n_j)}<u_s,
\;s=1,\dots,k\right\}}
\tilde F\(u_1^{(n_j)},\dots,u_1^{(n_j)}\) \tag2.5
$$
f\"uggv\'enyt. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy $F(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es az $F_{n_j}(u_1,\dots,u_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az
$F(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ahol az $n_j$
sz\'amsorozat olyan, mely teljes\'{\i}ti a (2.4) rel\'aci\'ot. Ha ezt
az \'all\'{\i}t\'ast bel\'atjuk, akkor ily m\'odon befejezz\"uk a 21.
feladat megold\'as\'at.
\item{} Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy
$F(u_1,\dots,u_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny felhaszn\'aljuk az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek k\"ovetkez\H{o} ,,bels\H{o}"
azaz csak az $F$ f\"uggv\'eny tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-t\'ol
f\"ugg\H{o} jellemz\'es\'et. Az $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"uggv\'eny akkor
\'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'eny, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} n\'egy tulajdons\'agot.
\medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }1\le
j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$.
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.
\medskip
\item{} Mivel a racion\'alis koordin\'at\'aj\'u pontokon defini\'alt
$\tilde F(u_1,\dots,u_1)$ minden koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-nak monoton
f\"uggv\'enye, ez\'ert a (2.5) formul\'aban defini\'alt $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az tulajdons\'agot. Tov\'abb\'a ebb\H{o}l a
monotonit\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy a (2.5) formul\'aban
a $\sup$ helyett limeszt \'{\i}rhatunk, ahol olyan
$\(u_1^{(p)},\dots,u_k^{(p)}\)$, $p=1,2,\dots$, sorozatot
tekint\"unk a limeszben, melyre $u_j^{(p)}<u_j$ minden $1\le k\le k$
\'es $p=1,2,\dots$ sz\'amokra, tov\'abb\'a $\limm_{p\to\infty}
u_j^{(p)}=u_j$ minden $j=1,\dots,k$ sz\'amra. Tekints\"unk olyan $\bold
K(p)$ racion\'alis koordin\'at\'aj\'u t\'eglatestesteket, melyekben
minden pont \"osszes koordin\'at\'aja szigor\'u monoton n\"ovekv\H{o}
m\'odon tart a $\bold K$ t\'egla\-test megfelel\H{o} pontj\'anak a
koordin\'at\'ahoz. Ekkor $\mu_{\tilde F}(\bold K(p))\ge0$, mivel $\tilde
F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek limesze. Ez\'ert $\mu_F(\bold
K)=\limm_{p\to\infty} \mu_{\tilde F}(\bold K(p))\ge0$, azaz az $F$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (iv) tulajdons\'agot. Vegy\"uk \'eszre,
hogy a (ii) \'es (iii) tulajdons\'ag \'erv\'enyes akkor, ha az $F_n$
f\"uggv\'enyeket a $\tilde F$ f\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk,
\'es a limeszt csak racion\'alis koordin\'at\'aj\'u pontokban
tekintj\"uk. (A bizony\'asnak ebben a pontj\'aban haszn\'aljuk ki, hogy
a $\mu_n$ m\'ert\'ekek feszesek.) Innen \'es a (2.5) formul\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy az $F$ f\"uggv\'eny a (ii) \'es (iii)
tulajdons\'agokat is teljes\'{\i}ti.
\item{} Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy az $F_{n_k}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez tekints\"uk az $F$ f\"uggv\'eny valamely
$u=(u_1,\dots,u_k)$ folytonoss\'agi pontj\'at, majd minden
r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amhoz v\'alasszunk olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'amot, melyre $F(u)-\e\le F(u-\delta)\le F(u)\le
F(u+\delta)\le F(u)+\e)$, ahol $u\pm\delta=(u_1\pm
\delta,\dots,u_k\pm\delta)$. V\'alasszunk ezut\'an k\'et racion\'alis
koordin\'at\'aj\'u $r=(r_1,\dots,r_k)\in R^k$ \'es
$\bar r=(\bar r_1,\dots,\bar r_k)\in R^k$ pontot, melyekre
$u_j-\delta <r_j<u_j<\bar r_j<u_j+\delta$ minden $j=1,\dots,k$ indexre.
Ekkor a $\tilde F(\cdot)$ f\"uggv\'eny monotonit\'asi tulajdons\'agai
\'es az $F$ f\"uggv\'eny definici\'oja alapj\'an
$$
F(u)-\e\le F(u-\delta)<\tilde F(r)\le F(u)\le \tilde F(\bar r)\le
F(u+\delta)\le F(u)+\e
$$
Innen, a $\tilde F$ f\"uggv\'eny definici\'oja \'es az $F_{n_j}$
f\"uggv\'enyek monotonit\'asi tulajdons\'agai miatt
$$
\align
F(u)-\e&\le \lim_{j\to\infty}F_{n_j}(r) \le
\liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(u)\\
&\le\limsup_{j\to\infty}F_{n_j}(u)\le
\lim_{j\to\infty}F_{n_j}(\bar r)\le F(u)+\e,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
-\e\le \liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(u)-F(u) \le
\limsup_{j\to\infty}F_{n_j(u)}-F(u)\le\e.
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$-ra igaz, innen k\"ovetkezik,
hogy $\limm_{j\to\infty}F_{n_j}(u)=F(u)$.
\item{22.)} \'Irjuk fel a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\aligned
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\dfrac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)=I^{\delta}_{1,n}(K)+I^{\delta}_{2,n}(K).
\endaligned \tag2.6
$$
\item{} L\'assuk be el\H{o}sz\"or a (2.6) rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt, hogy a (10) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik,
hogy az $F_n$ m\'ert\'ekek feszesek. Mivel
$\(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)\ge0$ minden $x$-re \'es
$\delta$-ra, ez\'ert a (2.6) formula baloldala fels\H{o} becsl\'est ad
az $I^{\delta}_{2,n}(K)$ kifejez\'esre tetsz\H{o}leges $\delta>0$
$n\ge1$ \'es $K>0$ sz\'amokra. Ez\'ert a (10) formula alapj\'an
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan $\delta=\delta(\e)>0$
sz\'am \'es $n_0=n_0(\delta)$ k\"usz\"obindex, melyekre $\dfrac\e2\ge
\dsize\int_{|x|>K} \(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)$.
Legyen $K=\dfrac2\delta$. Akkor minden $|x|\ge K$-ra
$1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge\dfrac12$. Ez\'ert az el\H{o}z\H{o}
becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\dfrac\e2\ge\dsize
\int_{|x|>K}\(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)\ge
\dfrac12[(1-F_n(K))+F_n(-K)]$, azaz $\e\ge [(1-F_n(K))+F_n(-K)]$,
ezzel a $K$ sz\'ammal ha $n\ge n_0$. A $K>0$ sz\'am esetleges
megn\"ovel\'es\'evel el\'erhetj\"uk, hogy a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
minden $n\ge1$ sz\'amra \'erv\'enyes legyen. Teh\'at az $F_n$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek.
\item{} Mutassuk meg a (2.6) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az
$F_n$ m\'ert\'ekek fe\-szes\-s\'e\-g\'e\-b\H{o}l
k\"ovetkezik a (10) formula, s\H{o}t annak az a n\'emileg er\H{o}sebb
v\'altozata, melyben a $\limsupp_{n\to\infty}$ helyett
$\supp_{n\ge1}$-et \'{\i}rjunk. Mivel $\left|1-\dfrac{\sin\delta
x}{\delta x}\right|\le2$, az $F_n$ m\'ert\'ekek fe\-szes\-s\'e\-ge
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra olyan
$K=K(\e)>0$ sz\'amot v\'alasszunk, melyre $|I^{\delta}_{2,n}(K)|
=\left| \dsize\int_{|x|>K}\(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)\right|\le\dfrac\e2$ minden $\delta>0$ \'es
$n=1,2,\dots$ sz\'amra. A $K>0$ sz\'am r\"ogz\'{\i}t\'ese ut\'an
v\'alaszthatunk olyan $\bar\delta=\bar\delta(\e,K)>0$ sz\'amot, melyre
$\e\ge1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\ge0$ minden $|x|<K$ \'es
$0<\delta<\bar\delta$ sz\'amra. Ez\'ert $|I^{\delta}_{1,n}(K)|=\left|
\dsize\int_{-K}^K\(1-\dfrac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)\right|\le\dfrac\e2$. E becsl\'esekb\H{o}l \'es a (2.6)
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\left|\dfrac1{2\delta}\dsize\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt\right|\le\e$ minden $n\ge1$-re, ha
$\delta\le\delta(\e)$. Ezzel az \'all\'{\i}t\'ast bel\'attuk.
\item{23.)} Tekints\"uk a $\bold\xi^{(n)}$ v\'eletlen
vektorok $j$-ik koordin\'at\'aj\'at, $1\le j\le k$, azaz a
$\bold\xi^{(n)}_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat minden
$n=1,2,\dots$, sz\'amra. A $\xi^{(n)}_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi^{(j)}_{n}(t)=\varphi_n(\underbrace{0,\cdots,0,}\Sb j-1 \\
\text{0 koordin\'ata}\endSb
t,\underbrace{0,\cdots,0}\Sb n-j-1\\ \text{0 koordin\'ata}\endSb)
$$
f\"uggv\'eny. A felt\'etelek szerint a $\varphi^{(j)}_n(t)$
f\"uggv\'enyek az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben konverg\'alnak egy
a null\'aban folytonos $\varphi^{(j)}(t)$ f\"uggv\'enyhez. Vegy\"uk
\'eszre, hogy $\varphi^{(j)}(0)=\limm_{n\to\infty}\varphi^{(j)}_n(0)=1$.
Ez\'ert a $\varphi^{(j)}(t)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik egy $\bar\delta=\bar\delta(\e)>0$ k\"usz\"ob \'ugy, hogy
minden $0<\delta<\bar\delta$ sz\'amra
$$
0\le\dsize\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi^{(j)}(t)]\,dt<\e.
$$
Tov\'abb\'a mivel $\limm_{n\to\infty}\Re[1-\varphi^{(j)}_n(t)]=
\Re[1-\varphi^{(j)}(t)]$, ha $|t|<\delta<\bar\delta$ (a $\bar\delta>0$
k\"usz\"ob\"ot cs\"okkentj\"uk, ha ez sz\"uks\'eges), \'es
$0\le\Re[1-\varphi^{(j)}_n(t)]\le2$, a Lebesgue t\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $0\le\dsize\limsupp_{n\to\infty}
\frac1{2d}\int_{-\delta}^\delta\Re[1-\varphi^{(j)}(t)]\,dt<\e$.
Ez\'ert a 22. fel\-adat eredm\'enye alapj\'an a
$\xi^{(j)}_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asai feszesek, azaz minden $\e>0$-hoz l\'etezik
olyan $K=K(\e)>0$ sz\'am, melyre teljes\"ul a
$P\(\left|\xi^{(j)}_n\right|>K\) <\dfrac\e k$ egyenl\H{o}tlens\'eg.
Mivel ez az \'all\'{\i}t\'as minden $j=1,\dots,k$ sz\'amra igaz, innen
k\"ovetkezik, hogy a $\bar\xi_n= (\xi_1^{(n)},\dots,\dots,\xi_k^{(n)})$
v\'eletlen vektorok eloszl\'asai feszesek.
\item{24.)} A 21. \'es 23. feladat eredm\'enye alapj\'an az
$F_n(u_1,\dots,u_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata relat\'{\i}v
kompakt, azaz az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enysorozat tetsz\H{o}leges
r\'esz\-so\-ro\-za\-t\'a\-nak van konvergens r\'eszsorozata,
ha ezen eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak
egy folytonos f\"uggv\'enyhez. Ahhoz, hogy bel\'assuk, hogy az $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak el\'eg
azt bel\'atni azt, hogy ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
tetsz\H{o}leges konvergens r\'eszsorozat\'anak ugyanaz a
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sa. Va\-l\'o\-ban, v\'a\-lasszunk ki egy
konvergens r\'eszsorozatot, mely konverg\'al valamely
$F(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ha az
$F(\cdot)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny nem lenne az $F_n$
eloszl\'asok ha\-t\'ar\-elosz\-l\'a\-sa, akkor l\'etezne ennek egy
$u=(u_1,\dots,u_k)$
folytonoss\'agi pontja, egy $\e>0$ sz\'am \'es $n_j$, $j=1,2,\dots$,
indexek olyan sorozata, melyekre
$|F_{n_j}(u_1,\dots,u_k)-F(u_1,\dots,u_k)|>\e$. Ekkor viszont ennek az
$F_{n_j}$, $j=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-zat
konvergens r\'eszsorozatainak m\'as lenne a hat\'ar\'ert\'eke.
\item{} Az, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enysorozat konvergens
r\'eszsorozatainak ugyanaz a hat\'ar\'ert\'eke k\"ovetkezik a
T\'etel~A-b\'ol \'es a 19. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l. A
T\'etel~A-b\'ol ugyanis k\"ovetkezik, hogy ezen
eloszl\'asok egy konvergens r\'esz\-so\-ro\-za\-t\'a\-nak a
karakterisztikus f\"uggv\'enye a tekintett eloszl\'asok
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek a limesze, amelyik
f\"uggetlen att\'ol milyen r\'eszsorozatot vett\"unk. Viszont a
karakterisztikus f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az
eloszl\'ast. Teh\'at abb\'ol, hogy az eloszl\'asok karakterisztikus
f\"uggv\'enyei konverg\'alnak egy folytonos f\"uggv\'enyhez
k\"ovetkezik, hogy az eloszl\'asok konverg\'alnak valamint az is,
hogy a hat\'areloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye a
karakterisztikus f\"uggv\'enyek limesze.
\item{} Ha $F_n(u_1,\dots,u_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata
egy $F_0(u_1,\dots,u_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez
konverg\'al eloszl\'asban, akkor a T\'etel~A-b\'ol k\"ovetkezik,
hogy ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak az $F_0$ eloszl\'as
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez minden
$(t_1,\dots,t_k)$ pontban. Az alap\-t\'e\-tel
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak befejez\'es\'ehez azt kell m\'eg
megmutatni, hogy ez a konvergencia minden kompakt halmazon egyenletes.
\item{} Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak az \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy mivel az $F_n$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak, ez\'ert feszesek. Teh\'at
tetsz\H{o}leges $\e>0$-hoz l\'etezik olyan $K=K(\e)$ sz\'am, hogy az
$F_n$ eloszl\'as\'u $\bold\xi_n=(\xi^{(1)}_n,\dots,\xi^{(k)}_n)$,
$n=1,2,\dots$, v\'eletlen vektorok teljes\'{\i}tik a
$P(|\xi_n|>K)<\frac\e3$ egyenl\H{o}tlens\'eget minden
$n=0,1,2,\dots$ sz\'amra. (A bizony\'{\i}t\'as tov\'abbi r\'esz\'eben
$\xi(\oo)$, $t\in R^k$, $u\in R^k$ a $k$-dimenzi\'os t\'er pontjait
jel\"oli, \'es $(u,t)$, $u\in R^k$, $t\in R^k$, jel\"oli az $u$ \'es
$t$ vektor skal\'arszorzat\'at.) V\'alasszunk egy olyan kis
$\delta=\delta(K,\e)$ sz\'amot, melyre
$\left|e^{i(t,u)}-1\right|<\frac\e3$, ha $u\in R^k$,
$t\in R^k$, $|u|<\delta$ \'es $|t|<K$. V\'alasszunk ezut\'an egy
olyan v\'eges $\bold T=\left\{t^{(1)},\dots,t^{(s)}\right\}\subset
\bold K$, $s=s(\bold K,\delta)$, ponthalmazt a $\bold K\subset R^k$
kompakt halmazban, melyre igaz, hogy tetsz\H{o}leges $t\in \bold K$
l\'etezik olyan $t^{(j)}\in \bold T$ pont, melyre
$\rho(t,t^{(j)})<\delta$. Ekkor
$$  \allowdisplaybreaks
\align
\left|\varphi_n(t)-\varphi_n(t^{(j)})\right|&=
\left|Ee^{i(t,\bold\xi_n)}-e^{i(t^{(j)},\bold\xi_n)}\right| \\
&\le E\left|e^{i(t-t^{(j)},\bold\xi_n)}-1\right|
I\(|\bold\xi_n|\le K\)+P(|\bold\xi_n|>K) \le \frac{2\e}3
\endalign
$$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Tov\'abb\'a v\'alaszthatunk olyan
$n_0=n_0(\e)$ k\"u\-sz\"ob\-in\-dexet, melyre teljes\"ul a
$\supp_{n\ge n_0}\supp_{t^{(j)}\in\bold T}\left|\varphi_n(t^{(j)})-
\varphi_0(t^{(j)})\right|<\frac\e3$ egyenl\H{o}tlens\'eg. Az utols\'o
k\'et egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\supp_{t\in\bold
K}|\varphi_n(t)-\varphi_0(t)|<\e$, ha $n\ge n_0$, teh\'at a
$\varphi_n(t)\to\varphi_0(t)$ konvergencia egyenletes a $\bold K$
halmazon.
\item{25.)} Legyen $\varphi_0(t)$ a $[-1,1]$ intervallumon egyenletes
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye, azaz
$\varphi_0(t)=\dsize\int_{-1}^1\frac12e^{it}\,dt
=\dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$. Defini\'aljuk a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket, mint
a $[-1,1]$ intervallumon egyenletes eloszl\'as k\"ovetkez\H{o}
$\mu_n$, $n=1,2,\dots$, diszkretiz\'altjainak a karakterisztikus
f\"uggv\'enyeit: $\mu_n\(\dfrac kn\)=\dfrac1{2n+1}$, $-n\le k\le n$.
Teh\'at
$$
\varphi_n(t)=\frac1{2n+1}\summ_{k=-n}^n
e^{ikt/n}=\frac{e^{i(n+1)t/n}
-e^{i(-n+1)t/n}}{(2n+1)(e^{it/n}-1)}.
$$
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as mutatja, hogy $\varphi_n(t)\to\varphi_0(t)$
minden $t\in R^1$ pontra, \'es a konvergencia egyenletes minden
v\'eges intervallumban. M\'asr\'eszt ez a konvergencia nem egyenletes
az eg\'esz sz\'amegyenesen, mert $\limm_{t\to\infty}\varphi(t)=0$,
m\'{\i}g  $\varphi_n(t)=1$ a $t=2\pi kn$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, alak\'u
pontokban. (A konstrukci\'o h\'attere: S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et
k\"ozel\'{\i}tett\"uk az eloszl\'ast egyre jobban k\"ozel\'{\i}t\H{o}
r\'acsos eloszl\'as\'u eloszl\'as karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-vel. Ekkor a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
v\'eges intervallumban egyenletesen kon\-ver\-g\'al\-nak a
hat\'arm\'ert\'ekhez az alapt\'etel szerint. M\'asr\'eszt a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'enye a v\'egtelenben null\'ahoz tart a
Riemann lemma szerint. M\'asr\'eszt a r\'acsos eloszl\'as\'u
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye periodikus, ez\'ert
bizonyos pontokban 1 az abszol\'ut \'ert\'eke.
\item{26.)} P\'elda az a) esetre: Legyen a $\mu_n$ m\'ert\'ek az
egyenletes m\'ert\'ek a $[0,1]$ intervallumon. Ekkor
$\varphi_n(t)=\dsize\dfrac1{2n}\int_{-n}^{n}e^{it}\,dt
=\dfrac{e^{itn}-e^{-itn}}{2in}$. Ekkor
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$.
\item{} P\'elda a b) esetre: Legyen $\mu_{2n}(\{n\})
=\mu_{2n}(\{-n\})=\frac12$, \'es $\mu_{2n+1}$ az a)
esetben defini\'alt $\mu_n$ m\'ert\'ek. Ekkor $\varphi_{2n}(t)=
\dfrac12(e^{itn}+e^{-itn})$, \'es ez eggyel egyenl\H{o}
a $\dfrac{2k\pi}n$ alak\'u pontokban. Ez azt jelenti, hogy a
$t=\varphi\(\dfrac{2k\pi}l\)$ alak\'u pontokban bizonyos $n_k$
r\'eszsorozatra $\varphi_{n_k}(t)=0$, \'es bizonyos $\bar n_k$
r\'eszsorozatra $\varphi_{\bar n_k}(t)=1$.
\item{27.)} Jel\"olje $F(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $\varphi(t)=\int
e^{itu}dF(u)$, \'es e formula szukcessziv deriv\'al\'as\'aval kapjuk,
hogy $\dfrac{d^k\varphi(t)}{dt^k}=i^k\int u^ke^{itu}\,dF(u)$,
speci\'alisan $\left.\dfrac{d^k\varphi(t)}{dt^k}\right|_{t=0}=i^k\int
u^k\,dF(u)=i^kE\xi^k$, felt\'eve hogy a deriv\'al\'as \'es
integr\'al\'as sorrendje felcser\'elhet\H{o} a fenti sz\'amol\'asokban.
Ez a felcser\'elhet\'os\'eg teljes\"ul akkor, ha az $F$ eloszl\'as
valamely v\'eges $[-K,K]$ intervallumba van koncentr\'alva, mert az a
$\dfrac{\varphi(t+h)-\varphi(t)}h$ differenciah\'anyadost kifejez\H{o}
integr\'alban szerepl\H{o} in\-teg\-ran\-dus teljes\'{\i}ti
$\dfrac{e^{i(t+h)u}-e^{itu}}h=ith+O(h^2)$ rel\'aci\'ot, ahol
r\"ogz\'{\i}tett $t$-re $O(h^2)$ egyenletes, ha $u\in [-K,K]$. Ha
$E|\xi|=\int|u|\,dF(u)<\infty$ akkor az els\H{o} deriv\'altra
vonatkoz\'o \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a $G_n(t)=\int_{-n}^n e^{iux}\,dF(u)$, $n=1,2,\dots$,
\'es $G(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{iux}\,dF(u)$ f\"uggv\'enyeket.
Ekkor $\limm_{n\to\infty}G_n(t)=G(t)$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\dfrac{dG_n(t)}{dt}=H(t)$, ahol
$H(t)=i\int_{-\infty}^\infty ue^{iux}\,dF(u)$. Tov\'abb\'a ez a
konvergencia egyenletes minden v\'eges intervallumban, ez\'ert
speci\'alisan $H(t)$ folytonos f\"uggv\'eny. Innen a klasszikus
anal\'{\i}zis eredm\'enyei alapj\'an k\"ovetkezik, hogy $G(t)$
differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny, \'es $\dfrac{dG(t)}{dt}=H(t)$,
mert $G(t)=G(0)+\int_0^t H(s)\,ds$. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast kellett
bizony\'{\i}tani. A Fourier transzform\'alt $k$-ik
deriv\'altj\'ar\'ol sz\'ol\'o formula $E|\xi|^k<\infty$ eset\'en
hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o $k$ szerinti indukci\'oval.
\item{} Ha $Ee^{t\xi}<\infty$ valamilyen $t>0$ sz\'ammal, akkor
$P(\xi>x)=P(e^{t\xi}>e^{tx})\le e^{-tx}Ee^{t\xi}\le \const e^{-tx}$
minden $x\ge 0$ sz\'amra. Hasonl\'oan $P(\xi<-x)\le \const e^{-tx}$,
ha $Ee^{-t\xi}<\infty$, teh\'at $P(|\xi|>x)\le\const e^{-tx}$, ha
$Ee^{ux}<\infty$ $|u|\le t$ eset\'en. Megford\'{\i}tva, ha
$G(u)=P(|\xi|>x)\le\const e^{-\alpha x}$, akkor $0<t<\alpha$ eset\'en
parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy $Ee^{t|\xi|}=\int_0^\infty
e^{tu}\,dG(u)=[e^{tu}G(u)]_{0}^\infty-\int_0^\infty
te^{tu}G(u)\,du<\infty$, ez\'ert $Ee^{\pm t\xi}\le1+Ee^{t|\xi|}<\infty$.
\item{} V\'eg\"ul, ha $P(|\xi|>x)\le \const e^{-\alpha}$, akkor a
$G(z)=\int e^{izx}\,dF(x)$ f\"uggv\'eny analitikus a $\{z\: |\Im
z|<\alpha\}$ s\'avban, mert tetsz\H{o}leges e tartom\'any belsej\'eben
lev\H{o} kompakt halmazban el\'o\'all\'{\i}that\'o mint analitikus
f\"uggv\'enyek (integr\'al k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek)
egyenletes limesze. \'Igy ez a $G(z)$ f\"uggv\'eny  a $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny analitikus kiterjeszt\'ese a fenti
s\'avba.
\item{28.)} L\'assuk be el\H{o}sz\"or a Riemann lemm\'at. Ha
$g(u)=I([a,b])$, egy $[a,b]$ intervallum indik\'ator f\"uggv\'enye,
akkor $\dsize\int e^{itu}g(u)\,du=\dfrac{e^{ibt}-e^{iat}}t\to0$, ha
$t\to\infty$ vagy $t\to-\infty$. Ez a rel\'aci\'o \'erv\'enyes akkor
is, ha $g(u)=\summ_{j=1}^k c_j I([a_j,b_j])$, azaz $g(\cdot)$
intervallumok indik\'atorf\"uggv\'enyeinek line\'aris kombin\'aci\'oja.
Az ilyen f\"uggv\'enyek minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak az
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'eben az $L_1$ norm\'aban, azaz
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra \'es integr\'alhat\'o $f(\cdot)$
f\"uggv\'enyre l\'etezik olyan al\'abbi alak\'u $g(\cdot)$
f\"uggv\'eny, melyre $\int|f(u)-g(u)|\,du<\e$. Mivel innen
k\"ovetkezik, hogy $\left|\int e^{itu} f(u)\,du-\int
e^{itu}g(u)\,du\right|<\e$ minden $t\in R^1$ sz\'amra. A
Riemann lemma a fenti rel\'aci\'ok k\"ovetkezm\'enye.
\item{} Ha $f(t)$ $k$-szor differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny, \'es
a differenci\'alh\'anyadosok a sz\'am\-egye\-ne\-sen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek, akkor szukcessziv parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk,
hogy $\varphi(t)=i^kt^{-k}\dsize\int e^{itu}\left.\dfrac
{df^k(s)}{ds^k}\right|_{s=u}\,du$. Innen, illetve a Riemann
lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $\varphi(t)=o(t^{-k})$, ha
$t\to\pm\infty$.
\item{} Ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny analitikus egy a val\'os
sz\'amegyenes k\"or\"uli $\{z\: \Re z\in [-A,A]\}$ s\'avban, \'es
$f(-ia+\cdot)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, $a<A$, akkor mivel
$\left.|e^{i(u-ia)t}\right|<e^{-at}$, ez\'ert
$$
|\varphi(t)|=\left|\int_{-ia-\infty}^{-ia+\infty}e^{itu}f(u)\,du\right|
\le e^{-at}\int_{-\infty}^{\infty}|f(u-ia)|\,du\le\const e^{-at},
$$
ha $t>0$. A $t<0$ eset hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o csak ott az
integr\'alt ebben az esetben az integr\'alt a $[-\infty+ia,\infty+ia]$
egyenesre helyezz\"uk \'at.
\item{29.)}A $|\varphi(t)|=1$ rel\'aci\'o akkor \'es csak akkor
\'erv\'enyes, ha $\varphi(t)=e^{ita}$, azaz, ha $Ee^{it(\xi-a)}=1$
valamilyen $a$ val\'os sz\'ammal. Ez ut\'obbi azonoss\'ag akkor \'es
csak akkor teljes\"ul, ha $P(2\pi t(\xi-a)\in\{0,\pm1,\pm2,\dots,\})=1$.
Teh\'at $|\varphi(t)|=1$ valamely $t\neq0$ eset\'en akkor \'es csak
akkor, ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ekei egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel valamely $\left\{\dfrac k{2\pi
t}+a,\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\right\}$ r\'acsra vannak koncentr\'alva.
A feladat megold\'as\'anak befejez\'es\'ehez, csak azt kell
\'eszrevenni, hogy a $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny foly\-to\-nos,
\'es egy nem r\'acsos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti a
$|\varphi(t)|<1$ egyenl\H{o}tlens\'eget, ha $t\neq0$. Ez\'ert
$\supp_{A\le |t|\le B}|\varphi(t)|<1$.
\item{30.)} A feladatban defini\'alt $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\varphi(t)=\frac12\(cos
t+\cos (\sqrt2t)\)$. L\'eteznek olyan $(p_n,q_n)$, $n=1,2,\dots$,
eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o sz\'amp\'arok, melyekre $q_n\to\infty$,
\'es $|\sqrt2q_n-p_n|\le \dfrac1{q_n}$. (Ha a $(p_n,q_n)$
sz\'amp\'arokat \'ugy v\'alasztjuk meg, hogy a $\dfrac{p_n}{q_n}$
t\"ortek a $\sqrt 2$ sz\'am l\'anct\"ortjei, akkor ezek a sz\'amok
teljes\'{\i}tik a k\'{\i}v\'ant felt\'etelt.) Legyen $t_n=2\pi q_n$.
Ekkor $\cos t_n=1$, \'es $\limm_{n\to\infty}\cos (\sqrt2t_n)=1$.
Ez\'ert $t_n\to\infty$, \'es $\varphi(t_n)\to1$, ha $n\to\infty$.
M\'asr\'eszt $\varphi(t)\neq1$, ha $t\neq0$.
\item{} Ha $\xi$ valamely v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen sok \'ert\'eket felvev\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, akkor minden
$\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $p=p(\e)<\infty$ eg\'esz sz\'am, \'es
$u_1,\dots, u_p$ \'ert\'ekek, melyekre
$P(\xi\in\{u_1,\dots,u_p\})\ge1-\frac\e3$. Tov\'abb\'a a
sz\'amelm\'elet egyik klasszikus eredm\'enye, a Dirichlet t\'etel
szerint minden $N\ge1$ sz\'amra l\'etezik olyan $1\le q_N\le N$
eg\'esz sz\'am, \'es $p_1,\dots,p_N$ eg\'esz sz\'amok, melyekre $|q_N
u_k-p_k|\le N^{-1/p}$, minden $k=1,\dots,p$ sz\'amokra. Ez\'ert, ha
el\'eg nagyra v\'alasztjuk az $N$ sz\'amot, el\'erhetj\"uk, hogy
$t=2\pi q_N$ v\'alaszt\'assal $\Re e^{itu_k}\ge1- \dfrac\e3$ minden
$1\le k\le p$ indexre. Ekkor $\Re Ee^{it\xi}\ge \summ_{k=1}^p
P(\xi=u_k)(1-\frac\e3)-\frac\e3 \ge1-\e$. Mivel tetsz\H{o}leges
$\e>0$-ra tudunk ilyen sz\'amot tal\'alni, ez\'ert l\'etezik
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amoknak olyan $k_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata,
melyekre a $t_n=2\pi k_n$ sorozat teljes\'{\i}ti a $\limm_{n\to\infty}
\varphi(t_n)=1$ rel\'aci\'ot. Mivel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem r\'acsos eloszl\'as\'u, ez\'ert minden $B>2\pi$
sz\'amra $\supp_{2\pi\le t\le B}|\varphi_n(t)|\le q<1$ alkalmas
$q=q(B)<1$ sz\'ammal. Ez\'ert az el\H{o}bb konstru\'alt $t_n$
sz\'amsorozatra $t_n\to\infty$, ha $n\to\infty$.
\item{31.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(u)$, karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye
$\varphi(t)$, \'es $\Re \varphi(t)=u(t)$. Ekkor minden $h\ge0$-ra
$$
\frac{1-u(h)}{h^2}=\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos
hu}{h^2u^2}u^2\,dF(u)
$$
\'es mivel $\limm_{h\to0}\dfrac{1-\cos hu}{h^2u^2}=\dfrac12$,
$\dfrac{1-cos hu}{h^2u^2}\ge0$ minden $u\in R^1$ \'es $h\in R^1$
sz\'amra, ez\'ert a Fatou lemma alapj\'an $\dsize\liminff_{h\to0}
\int_{-\infty}^\infty \frac{1-\cos
hu}{h^2u^2}u^2\,dF(u)\ge\dfrac12 \int_{-\infty}^{\infty}u^2\,dF(u)
=\dfrac12E\xi^2$. Ez\'ert a feladat megold\'as\'ahoz el\'eg megmutatni,
hogy $\limsupp_{h\to0}\dfrac{1-u(h)}{h^2}<\infty$, ha $\varphi(t)$ az
orig\'oban k\'etszer deriv\'alhat\'o. De ha $\varphi(t)$ az orig\'oban
differenci\'alhat\'o akkor ugyanez \'erv\'enyes az $u(t)$
f\"uggv\'enyre. Ekkor az $u'(t)=\dfrac{du(t)}{dt}$ deriv\'alt l\'etezik
az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben, \'es $u'(0)=0$, mivel
$u(\cdot)$ p\'aratlan f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a $u(0)=1$, $u(t)\le 1$
minden $t\in R^1$ sz\'amra, ez\'ert
$0\le\dfrac{1-u(h)}{h^2}=\dfrac{u(0)-u(h)}{h^2}=\dfrac
{u'(\vartheta h)}h\le \supp_{0\le s\le h} \dfrac{u'(s)-u'(0)}s<\infty$
kis $h>0$-ra, ha $u(\cdot)$ k\'etszer differenci\'alhat\'o az
orig\'oban, ahol $0\le\vartheta\le1$ alkalmas sz\'am, \'es $u'(\cdot)$
jel\"oli az $u(\cdot)$ f\"uggv\'eny deriv\'altj\'at. Ez\'ert
$\limsupp_{h\to0}\dfrac{1-u(h)}{h^2}<\infty$ ebben az esetben.
\item{} A $k$ param\'eter szerinti teljes indukci\'oval bel\'athatjuk,
hogy amennyiben az $F$ el\-osz\-l\'a\-s\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $2k$-ik deriv\'altja v\'eges az
orig\'oban, akkor a $\xi$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'onak l\'etezik v\'eges $2k$-ik momentuma. Ekkor az
indukci\'os feltev\'es szerint l\'etezik az $F^{(k-1)}(du)=\dfrac
{(u^{(2k-2)}F(du)}{m_{2k-2}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eloszl\'as,
ahol $m_{2k-2}=\int u^{2k-2}\,dF(u)$. Tov\'abb\'a, az $F^{(k-1)}$
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek l\'etezik m\'asodik
deriv\'altja az orig\'oban, mert ezen eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'enye megegyezik az $F$ eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a $2k-2$-ik deriv\'altj\'aval meg\-szo\-roz\-va
$(-1)^{k-1}m_{2k-2}^{-1}$-gyel. Ez\'ert a m\'ar bizony\'{\i}tottak
alapj\'an egy $F^{(k-1)}$ eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'onak l\'etezik m\'asodik momentuma, \'es ez ekvivalens
azzal, hogy egy $F$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak l\'etezik $2k$-ik momentuma.
\item{32.)} A bizony\'{\i}t\'as hasonl\'o a 22. feladat
megold\'as\'ahoz. A 22. feladatban a ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'enyek null\'aban val\'o bizonyos jelleg\H{u}
folytonoss\'ag\'ab\'ol vezett\"unk le becsl\'est az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek farokeloszl\'as\'ara. Ebben a
feladatban azt haszn\'aljuk ki, hogy amennyiben er\H{o}sebb
folytonoss\'agi felt\'etelek \'erv\'enyesek, akkor az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek v\'egtelenben val\'o
viselked\'es\'er\H{o}l \'elesebb becsl\'eseket
bi\-zo\-ny\'{\i}t\-ha\-tunk.
\item{} Jel\"olje $F(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, $u(t)=\Re \varphi(t)$ a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny val\'os r\'esz\'et.
Az $\left|\dfrac{1-u(h)}h\right|=|u'(\vartheta h)|\le \const h^\alpha$
becsl\'es teljes\"ul, ha a feladat felt\'etelei teljes\"ulnek egy
alkalmas $0<\vartheta<1$ sz\'ammal. Ekkor \'erv\'enyes a (2.6) formula
k\"ovetkez\H{o} analogonja.
$$  \allowdisplaybreaks
\align
\const h^{1+\alpha}&>\int_{-h}^h \frac{1-u(t)}h\,dt=
\int_{-1/2h}^{1/2h}\(1-\frac{\sin h x}{hx}\)\,dF(x)\\
&\qquad +\int_{|x|>\frac1{2h}}\(1-\frac{\sin h x}{h x}\) \,dF(x)
\ge\int_{|x|>\frac1{2h}}\frac12 \,dF(x) \\
&=\frac12 P\(|\xi|>\frac1{2h}\).
\endalign
$$
Innen $P(|\xi|>u|)\le \const u^{-1-\alpha}$ minden $u>0$ sz\'amra.
Vezess\"uk be a $G(u)=P(|\xi|>u|)$ f\"uggv\'enyt.
Parci\'alis in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk, hogy
$$
E|\xi|=\int_0^\infty |u|\,dG(u) =\[uG(u)\]_0^\infty-\int
G(u)\,du<\infty.
$$
\item{} Ha a $\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny $2k+1$-szer
differenci\'alhat\'o az orig\'o egy kis k\"or\-nye\-ze\-t\'e\-ben,
\'es a $2k+1$-ik differenci\'alh\'anyados Lipschitz $\alpha$,
$\alpha>0$, ebben a kis k\"ornyezetben, akkor vezess\"uk be az
$F^{(k)}(du) =\dfrac{u^{2k}F(du)}{m_k}$ eloszl\'ast, ahol $F(\cdot)$ a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye, \'es $m_k=\int u^{2k}\,dF(u)$. Az el\"oz\H{o}
fel\-adat \'ervel\'es\'et adap\-t\'al\-hat\-juk erre az esetre is.
Egy $F^{(k)}$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
alkalmazhat\'o a feladat m\'ar bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asa,
\'es innen k\"ovetkezik, hogy $E|\xi|^{2k+1}<\infty$.
\item{33.)} A Cauchy-f\'ele integr\'alformula \'es a 31. feladat
eredm\'enye alapj\'an
$(-1)^k E\xi^{2k}=\left.\dfrac{d^k\varphi(t)}{dt^k}\right|_{t=0}
=\dfrac{2k!}{2\pi i}\dsize\oint_{z=R} \dfrac{\varphi(z)}{z^{2k+1}}\,dz$,
ha az orig\'o k\"uz\'eppont\'u \'es $R$  sugar\'u k\"or a $\varphi(z)$
f\"uggv\'eny analicit\'asi tartom\'any\'aban van. Ez\'ert
$E\xi^{2k}=(ak)^{2k}$ alkalmas $a>0$ sz\'ammal, \'es
$P(|\xi|>x)\le\(\dfrac{ak}x\)^{2k}$ tetsz\H{o}leges $k\ge1$ eg\'esz
sz\'ammal. Ha $x\ge C_0$ valamilyen $C_0$ sz\'ammal, akkor v\'alasszunk
$k=\[\dfrac x{2a}\]$ sz\'amot, ahol $[u]$ a legnagyobb $u$-n\'al kisebb
eg\'esz sz\'am. Innen k\"ovetkezik a $P(|\xi|>x)<\const e^{-\alpha x}$
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $x>0$ sz\'amra.
\item{} Megjegyzem, hogy az\'ert volt sz\"uks\'eg ilyen viszonylag
bonyolult bizony\'{\i}t\'asra, mert a bizony\'{\i}t\'as elej\'en
m\'eg nem tudtuk, hogy a karakterisztikus f\"uggv\'eny analitikus
kiterjeszt\'ese a $\varphi(z)=Ee^{iz}$ f\"uggv\'eny.
\item{34.)} Ha a $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'enye integr\'alhat\'o, akkor al\-kal\-maz\-ha\-t\'o az
inverz Fourier-transzform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel. Innen
 kapjuk, hogy l\'etezik a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
$f(x)=\dfrac1{2\pi}\dsize \int e^{-itx}\varphi(t)\,dt$. Ezt a
formul\'at $k$-szor deriv\'alva kapjuk, hogy
$\dfrac{d^kf(x)}{dx^k}=\dfrac{(-i)^k}{2\pi}\dsize \int t^k
e^{-itx}\varphi(t)\,dt$, felt\'eve, hogy az inverz Fourier
transzform\'aci\'os formul\'aban az integr\'al\'as \'es deriv\'al\'as
sorrendje felcser\'elhet\H{o}. Tulajdonk\'eppen a 27. feladat
megold\'as\'aban bebizony\'{\i}tottuk, hogy ez az
integr\'al\'as \'es deriv\'al\'as felcser\'elhet\H{o}, ha
$|t|^j|\varphi(t)|$ f\"uggv\'enyek minden $0\le j\le k$ sz\'amokra
integr\'alhat\'oak. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa
abban az esetben, ha $|\varphi(u)|<\const |u|^{-(k+1+\e)}$ valamilyen
$\e>0$ sz\'ammal. Ha $|\varphi(u)|<\const e^{-\alpha|u|}$ valamilyen
$\alpha>0$ sz\'ammal, akkor az $f(z)=\dfrac1{2\pi}\dsize \int
e^{-itz}\varphi(t)\,dt$ f\"ugg\-v\'eny az $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny analitikus kiterjeszt\'ese.
\item{35.)} Jel\"olje $\varphi(t)=E^{it\xi}$ a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et. Mivel az $\dfrac{S_n}{\sqrt n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n}\)$, ez\'ert az eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o alapt\'etel \'es a 13a.) feladat
eredm\'enye alapj\'an el\'eg azt megmutatni, hogy $\varphi^n\(\dfrac
t{\sqrt n}\)\to e^{-t^2/2}$ minden $t\in R^1$ sz\'amra, ha $n\to\infty$.
Viszont a $\varphi(t)$ f\"uggv\'enynek a $t=0$ k\"or\"uli
Taylor-sorfejt\'esb\H{o}l \'es a 27. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l
kapjuk, hogy $\varphi(t)=1-\dfrac{t^2}2+o(t^2)$, $\varphi\(\dfrac
t{\sqrt n}\)=1-\dfrac {t^2}n+o\(\dfrac1n\)=e^{-t^2/2n+o(n^{-1})}$,
ahonnan $\varphi^n\(\dfrac t{\sqrt n}\)=e^{-t^2/2+o(1)}\to e^{-t^2/2}$,
ha $n\to\infty$.
\item{36.)} Vezess\"uk be az
$F(t)=e^{it}-\(1+\dfrac{it}{1!}+\cdots+\dfrac{(it)^k}{k!}\)$
f\"uggv\'enyt, \'es tekints\"uk ennek $F^{(j)}(t)$ deriv\'altjait.
$F^{(j)}(0)=0$, ha $0\le j\le k$, \'es $|F^{(k+1)}(t)|=|e^{ikt}|=1$
minden $t\in R^1$ sz\'amra. Teljes indukci\'oval kapjuk, hogy
$|F^{(j)}(t)|\le \int_0^t |F^{(j+1)}(s)|\,ds\le\dsize \int_0^t \dfrac
{|s|^{k-j}\,ds}{(k-j)!}=\dfrac{|t|^{k+1-j}}{(k+1-j)!}$ minden
$j=k+1,k,\dots,0$ sz\'amra. Teh\'at $|F(t)|\le
\dfrac{|t|^{k+1}}{(k+1)!}$, \'es ez a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\parindent=30pt
\item{37.a)} Alkalmazva a (11) formul\'at $k=1$-re kapjuk, hogy
$|e^{it\xi}-1-it\xi|\le \frac{t^2\xi^2}2$. Ez\'ert v\'eve a
baloldalon az abszol\'ut\'ert\'ek jelek k\"oz\"otti kifejez\'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et kapjuk, hogy $|\varphi(t)-1|\le
\frac{t^2}2E\xi^2$.  Ha $E\xi^2<\e$ el\'eg kis $\e=\e(t)>0$ sz\'ammal,
akkor $|1-\varphi(t)|\le \frac14$, \'es
$|\log\varphi(t)+(1-\varphi(t))|=
|\log\(1-(1-\varphi(t))\)-(1-\varphi(t))|
\le |1-\varphi(t)|^2\le t^4\(E\xi^2\)^2$.
\item{b.)} Az $S_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor
\'es csak akkor konverg\'alnak az $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'ashoz, ha
$$
\limm_{k\to\infty}\prodd_{j=1}^{n_k}\varphi_{k,j}(t)
=e^{-\sigma^2t^2/2+imt}.
$$
Mivel a jobboldal nem zer\'o jogunk van e formul\'aban logaritmust
venni, azaz ez a rel\'aci\'o ekvivalens a
$$
\limm_{k\to\infty} \summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)
=-\dfrac{\sigma^2t^2}2+imt
$$
formul\'aval. M\'asr\'eszt az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele \'es e
feladat a) r\'esze miattt $k\ge k_0(t)$ eset\'en
$$
\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|\le t^4\summ_{j=1}^{n_k}
\(E\xi^2_{k,j}\)^2\le\const t^4 \max_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2,
$$
mert $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{j,k}^2=1$. Innen, \'es
az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele miatt
$$\limm_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}\log\varphi_{k,j}(t)-
\summ_{j=1}^{n_k}(\varphi_{k,j}(t)-1)\right|=0.
$$
E rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik a 37. feladat b) r\'esze is.
\parindent=20pt
\item{38.)} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot. Ekkor
$$
E\xi_{k,j}^2=E\xi_{k,j}^2I(\{(|\xi_{k,j}|<\e\})+
E\xi_{k,j}^2I(\{|\xi_{k,j}|\ge\e\}) \le \e^2+\sum_{j=1}^{n_k}
E\xi_{k,j}^2I(\{|\xi_{k,j}|\ge\e\}),
$$
ez\'ert a Lindeberg felt\'etel alapj\'an
$\limsupp_{k\to\infty}\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\le\e^2$. Mivel
ez az \'all\'{\i}t\'as minden $\e>0$ sz\'amra \'erv\'enyes, innen
k\"ovetkezik az egyenletes kicsis\'eg felt\'etele.
\item{} A (12) formula alapj\'an ($m=0$ \'es $\sigma=1$
v\'alaszt\'assal) a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell megmutatni,
hogy az adott felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}\(\varphi_{k,j}(t)-1\)=
\lim_{k\to\infty}\summ_{k=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}\)\to-\frac12,
$$
vagy mivel $\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi^2_{k,j}=1$, azt
hogy
$$
\lim_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\)\to0.
$$
Alkalmazva a (11) formul\'at $k=2$-re, ha $|tx|\le\e$ \'es $k=1$-re,
ha $|tx|\ge\e$ valamint a Lindeberg felt\'etelt, kapjuk hogy
$$
\align
\left|\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\)
I(\{|\xi_{k,j}|\le \e\})\right| &\le
\summ_{j=1}^{n_k} E\dfrac{|t\xi_{k,j}|^3}6I(\{|\xi_{k,j}|\le \e\}) \\
&\le\e |t|^3 \summ_{j=1}^{n_k}E\dfrac{\xi_{k,j}^2}6\le \const\e,
\endalign
$$
\'es
$$
\align
&\lim_{k\to\infty}\left|\summ_{j=1}^{n_k}
E\(e^{it\xi_{k,j}}-1-it\xi_{k,j}+\frac{t^2}2\xi_{k,j}^2\))
I(\{|\xi_{k,j}|>\e\})\right| \\
&\qquad\qquad\le \lim_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
Et^2\xi_{k,j}^2 I(\{|\xi_{k,j}|>\e\})=0.
\endalign
$$
Mivel ezek a rel\'aci\'ok minden $\e=0$-ra \'erv\'enyesek, innen
k\"ovetkezik a (12) formula $m=0$ \'es $\sigma^2=1$ v\'alaszt\'assal.
\'Igy a 38. feladatot megoldottuk.
\item{39.)} A feladat felt\'eteleinek teljes\"ul\'ese eset\'en
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\Re(\varphi_{k,j}(t)-1)=
-\frac{t^2}2$. Tov\'abb\'a, mivel nagy $k$ indexre a sz\'eriasorozat
sorainak az \"osszege k\"ozel egy sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}, ez\'ert
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k} E\(\cos
(t\xi_{k,j})-1+\frac{t^2\xi_{k,j}^2}2\)=0\quad \text{minden $t\in R^1$
sz\'amra.}
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\cos u-1+\dfrac{u^2}2\ge 0$ minden $u\in R^1$
sz\'amra, \'es $\cos u-1+\dfrac{u^2}2\ge \dfrac {u^2}4$, ha  $|u|>3$.
Ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}
\frac{t^2}4E\xi_{k,j}^2 I\(\left\{|\xi_{k,j}|\ge \frac3t\right\}\)=0.
$$
$t=\dfrac3\e$ v\'alaszt\'assal megkapjuk a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'at.
\item{40.)} Vegy\"uk \'eszre, hogy $|E\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)|=
|E\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|>\e)|\le\dfrac1\e
E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)$. Mivel
$|E\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)|\le\e$, ez\'ert a Lindeberg
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\limm_{k\to\infty}
\summ_{j=1}^{n_k}\(E\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)\)^2=0$ \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|<\e)=1$.
E k\'et re\-l\'a\-ci\'o\-b\'ol k\"ovetkezik a feladat els\H{o}
\'all\'{\i}t\'asa. M\'asr\'esz a fenti egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l
\'es a Lindeberg felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\summ_{j=1}^{n_k}\bar\xi_{k,j}-\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)
=-\summ_{j=1}^{n_k}E(\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e))\to0,
\quad\text{ha } k\to\infty.
$$
Tov\'abb\'a a Lindeberg felt\'etelb\H{o}l \'es a Csebisev
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-b\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{j=1}^{n_k}\(\xi_{k,j}-\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|<\e)\)=
\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|>\e)$ ki\-fe\-je\-z\'es
sztochasztikusan konverg\'al null\'ahoz, ha $k\to\infty$, mivel
$$
\text{Var}\,\(\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}I(|\xi_{k,j}|>\e)\)\le
\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I(|\xi_{k,j}|>\e)\to0\quad\text{ha }k\to0.
$$
Az utols\'o k\'et rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'asa is.
\item{41.)} A H\"older egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$ %  \allowdisplaybreaks
\align
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)
&\le \sum_{k=1}^n \( E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}
P(|\xi_k|>\e s_n)^{\alpha/(2+\alpha)}\\
&\le \( \summ_{k=1}^n
E|\xi_k|^{(2+\alpha)}\)^{(2/\alpha+2)}\(\summ_{k=1}^n P(|\xi_k|>\e
s_n)\)^{\alpha/(2+\alpha)}.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt, a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an $\summ_{k=1}^n
P(|\xi_k|>\e s_n)\le\summ_{k=1}^n\dfrac{E\xi_k^2}{\e^2s_n^2}
=\dfrac1{\e^2}$. Ez\'ert ha teljes\"ulnek a 41. feladat a)
r\'esz\'enek a felt\'etelei, akkor
$$
\limm_{n\to\infty}\dfrac1{s_n^2}
\summ_{k=1}^n E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=0,
$$
azaz teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.
\item{} Aa a.) r\'esz v\'eg\'en tekintett esetben $s_n^2\ge \const
n$, \'es $\summ_{k=1}^nE|\xi_k|^{2+\alpha}=o\(n^{(\alpha+2)/2)}\)$,
ha $n\to\infty$, ez\'ert ekkor teljes\"ul a 41a.) feladatban
megfogalmazott felt\'etel.
\item{} Ha $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E\xi_1=0$,
$0<E\xi_1^2<\infty$, akkor $\dfrac1{s_n^2}\summ_{k=1}^n
E\xi_k^2I(|\xi_k|>\e s_n)=\dfrac1{E\xi_1^2} E\xi_1^2I\(|\xi_1|>\e
\sqrt{nE\xi_1^2}\)\to0$, ha $n\to\infty$. Teh\'at ebben az esetben is
teljes\"ul a Lindeberg felt\'etel.
\item{42.)} Ha az $x$ pont az $F(\cdot)$ hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontja, akkor minden $\e>0$-ra l\'etezik olyan
$\delta>0$ melyre $F(x)-\frac\e2<F(x-\delta)<F(x)<F(x+\delta)
<F(x+\delta)+\frac\e2$. Mivel az $F(\cdot)$ monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'oan sok szakad\'asi pontja van, az
\'altal\'anoss\'ag megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk, hogy
az $x\pm\delta$ pont is folytonoss\'agi pontja az $F(\cdot)$
f\"uggv\'enynek. L\'etezik olyan $n_0=n_0(\delta,\e)$, melyre
$P(S_n<x+\delta)<F(x+\delta)+\frac\e4$,
$P(S_n>x-\delta)<1-F(x-\delta)+\frac\e4$, \'es
$P(|T_n|\ge \delta)<\frac\e4$, ha $n\ge n_0$. Ekkor $P(S_n+T_n<x)\le
P(S_n<x+\delta)+P(|S_n-T_n|>\delta)<F(x+\delta)+\frac\e2<F(x)+\e$, ha
$n\ge n_0(\e,\delta)$. Hasonl\'oan kapjuk, hogy
$P(S_n+T_n>x)<1-F(x)+\e$, ha $n\ge n_0(\e,\delta)$. Mivel a fenti
\'all\'{\i}t\'asok tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra igazak, innen
k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{43.)} Legyenek a f\"uggetlen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa a k\"ovetkez\H{o}:
$P(\xi_n=n)=P(\xi_n=-n)=\dfrac1{4n^2}$,
$P(\xi_n=2)=P(\xi_n=-2)=\dfrac14$, \'es
$P(\xi_n=0)=\dfrac12-\dfrac1{2n^2}$, $n=1,2,\dots$. Ekkor $E\xi_n=0$,
$E\xi_n^2=1$. Legyen $X_n=\xi_n I(|\xi_n|\le 2)$, $Y_n=\xi_n
I(|\xi_n|>2)$. Ekkor $S_n=\summ_{k=n}^n X_k$ \'es $T_n=\summ_{k=1}^n
Y_k$ r\'eszlet\"osszegek k\"oz\"ul $\sqrt{\dfrac 2n} S_n$ eloszl\'asban
konverg\'al a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, mert az $X_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'eszlet\"osszegei teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit, \'es $EX_n=0$,
$EX_n^2=\dfrac12$. A $\sqrt{\dfrac 2n} T_n$ kifejez\'esek pedig
sztochasztikusan konverg\'alnak null\'ahoz, ha $n\to\infty$. Ugyanis
$\summ_{k=1}^\infty P(Y_k\neq0)<\infty$, ez\'ert egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $Y_k(\oo)$ nem
egyenl\H{o} null\'aval, \'es $\summ_{k=1}^\infty |Y_k(\oo)|\le K(\oo)$.
Mivel $\sqrt{\dfrac2n}\summ_{k=1}^n\xi_k=\sqrt{\dfrac2n}S_n+
\sqrt{\dfrac2n}T_n$, a fenti sz\'amol\'asokb\'ol \'es a 42. feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a fenti konstrukci\'o p\'elda
a 43~a.) feladat \'all\'{\i}t\'as\'ara.
\item{} Alkalmazzunk a fenti $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok konstrukci\'oj\'aban n\'emi v\'altoztat\'ast. Legyen az
el\H{o}bbiekhez hasonl\'oan $P(\xi_n=2)=P(\xi_n=-2)=\frac14$, \'es
$P(\xi_n=n)=\frac1{4n^2}$. Legyen tov\'abb\'a
$$
P\(\xi_n=\dfrac1{\sqrt n}\)=\dfrac12-\dfrac1{2n^2},\quad\text{\'es}
\quad P\(\xi_n=-n-2n^{3/2}\(1-\dfrac1{n^2}\)\)=\dfrac1{4n^2},
$$
$n=1,2,\dots$, akkor $E\xi_n=0$, $n=1,2,\dots$. Az a) r\'eszben
alkalmazott csonk\'{\i}t\'as \'es az ottani sz\'amol\'as
term\'eszetes m\'odos\'{\i}t\'as\'aval kapjuk, hogy ezek a $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok p\'eld\'at
szolg\'altatnak a 43. feladat b) r\'esz\'enek az \'all\'{\i}t\'as\'ara.
\item{44.)} A $\bold Z=(Z_1,\dots,Z_m)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nye.
(L\'asd p\'eld\'aul a 19. feladat eredm\'eny\'et.) Viszont e v\'eletlen
vektor $E^{i(t_1Z_1+\cdots+t_mZ_m)}$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
megegyezik a feladatban defini\'alt
$Z(t_1,\dots,t_m)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel az 1 pontban. Te\-h\'at a
$\bold Z$ v\'eletlen vektor karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et
meghat\'arozz\'ak a feladatban tekintett egydimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'a\-sai. Innen
k\"ovetkezik a fel\-adat \'all\'{\i}t\'asa.
\item{45.)} Az Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o
Alapt\'etel alapj\'an l\'athatjuk, hogy a $\bold
Z_n=(Z_{1,n},\dots,Z_{m,n})$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak valamilyen $m$-dimenzi\'os eloszl\'ashoz
$n\to\infty$ eset\'en, ha a $Z_n=Z_n(a_1,\dots,a_m)$,
$n=1,2,\dots$, egydimenzi\'os va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok tetsz\H{o}leges val\'os $a_1,\dots, a_m$ sz\'amokra
eloszl\'asban konverg\'alnak $n\to\infty$ eset\'en. Val\'oban
a $\bold Z_n$, $n=1,2,\dots$, vektorok karakterisztikus f\"uggv\'enyei
ebben az esetben minden $(t_1,\dots,t_m)\in R^m$ pontban
konverg\'alnak egy $\varphi(t_1,\dots,t_m)$ f\"uggv\'enyhez,
\'es ennek a $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'enynek a megszor\'{\i}t\'asa a
koordin\'atatengelyekre folytonos. Az eml\'{\i}tett alapt\'etelb\H{o}l
k\"oz\-vet\-le\-n\"ul  ad\'o\-dik az is, hogy a $\bold Z_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektorok eloszl\'asban val\'o
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-b\'ol k\"ovetkezik a $Z_n(a_1,\dots,a_m)$
val\'oszin\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban
val\'o konvergenci\'aja is. Va\-l\'o\-ban ekkor ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak egy folytonos f\"uggv\'enyhez.
\item{} Ha a $\bold Z_n$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asban
konverg\'alnak, akkor a hat\'arm\'ert\'eket egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en
jellemzi annak ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye, mely a $\bold
Z_n$ ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek limesze. Hasonl\'oan, a
$\bold Z_n(a_1,\dots,a_m)$ eloszl\'asok limesz\'enek a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nye ezen eloszl\'asok
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a limesze. Ebb\H{o}l a
t\'enyb\H{o}l k\"ovetkezik a $\mu$ hat\'areloszl\'asf\"uggv\'enynek a
feladatban megadott jel\-lem\-z\'e\-se, illetve az a t\'eny, hogy  a
le\'{\i}rt jellemz\'es egy\'ertelm\H{u}en jellemzi a hat\'areloszl\'as
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, ez\'ert mag\'at a
hat\'areloszl\'ast is.
\item{46.)} Legyen a $\Sigma=\(D_{j,k}\)$, $1\le j,k\le m$, egy
$m$-dimenzi\'os $(Z_1,\dots,Z_m)$ v\'eletlen vektor ko\-va\-rian\-cia
m\'atrixa, azaz legyen $D_{j,k}=E(Z_j-EZ_j)(Z_k-EZ_k)$, $1\le j,k\le
m$. Ekkor a $\Sigma$ m\'atrix ny\'{\i}lv\'an szimmetrikus. M\'asr\'eszt
tetsz\H{o}leges $\bold x=(x_1,\dots,x_m)\in R^m$ vektorra $\bold x\Sigma
\bold x^*=\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^m x_jE(Z_j-EZ_j)(Z_k-EZ_k)x_k=
E\(\summ_{j=1}^k x_j(Z_j-EZ_j)\)^2\ge0$, teh\'at a $\Sigma$ m\'atrix
pozit\'{\i}v (szemi)definit.
\item{} M\'asr\'eszt, ha $\Sigma$ egy tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v
(szemi)definit $m\times m$-szeres m\'atrix, akkor a line\'aris algebra
eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy l\'etezik olyan (nem
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott) $B$ $m\times m$-es m\'atrix, melyre
$\Sigma=BB^*$. (Egy lehets\'eges konstrukci\'o: Minden szimmetrikus
$\Sigma$ m\'atrix el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $\Sigma=U\Lambda U^*$
alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$ elemekkel a diagon\'alisban. A $\Sigma$
m\'atrix akkor \'es csak akkor pozit\'{\i}v szemidefinit, ha az
\'atl\'oban szerepl\H{o} $\lambda_j$, $1\le j\le m$, elemek nem
negat\'{\i}vak. Ha $\Sigma =U\Lambda U^*$ pozit\'{\i}v (szemi)definit
m\'atrix, akkor defini\'aljuk a $B=U\sqrt \Lambda U^*$ szimmetrikus
m\'atrixot, ahol $\sqrt \Lambda$ az a diagon\'alis m\'atrix, melynek
diagon\'alis elemei a $\sqrt {\lambda_j}$, $j=1,\dots,m$, sz\'amok.
Ekkor $\Sigma=B^2=BB^*$.)
\item{} Legyen $\Sigma=(D_{j,k})$, $1\le j,k\le m$, tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v (szemi)definit $m\times m$-es m\'atrix, \'es
$\bold M=(M_1,\dots,M_m)\in R^m$ vektor az $R^m$ t\'erben. Legyen
$\bold\xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$ egy $m$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $B=(b_{j,k})$,
$1\le j,k\le m$, olyan $m\times m$-es m\'atrix, melyre $BB^*=\Sigma$.
Defini\'aljuk az $\bold \eta=(\eta_1,\dots,\eta_m)=\bold \xi B+\bold M$
$m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektort. Azt
\'all\'{\i}tjuk, hogy $\bold \eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eke $\bold M$
kovariancia m\'atrixa pedig $BB^*=\Sigma$. Ebb\H{o}l az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges
pozit\'{\i}v (szemi)definit $\Sigma$ $m\times m$-es m\'atixra \'es
$\bold M\in R^m$ vektorra l\'etezik olyan norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor, melynek v\'arhat\'o \'ert\'eke $\bold M$ kovarianciam\'atrixa
pedig $\Sigma$.
\item{} Val\'oban,  $E\bold \eta=(E\eta_1,\dots,E\eta_m)=(M_1,\dots,
M_m)=\bold M$, \'es a kovarianciam\'atrix elemeit a
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen sz\'am\'{\i}thatjuk ki.
$$
E(\eta_j-E\eta_j)(\eta_k-E\eta_k)=E\(\summ_{l=1}^m
b_{j,l}\xi_l\)\(\summ_{p=1}^m b_{k,p}\xi_k\)=\summ_{l=1}^p
b_{j,l}b_{k,l}=D_{j,k}
$$
minden $1\le j,k\le m$ sz\'amra, mert
$E\xi_l\xi_p=0$, ha $l\neq p$, $E\xi_l^2=1$, \'es az utols\'o
egyenl\H{o}s\'eg a $BB^*=\Sigma$  azonoss\'agot fejezi ki a
megfelel\H{o} m\'atrixok elemeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} Tekints\"unk egy $\bold\eta=(\eta_1,\dots,\eta_m)=\bold\xi
B+\bold M$ $m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektort, ahol
$\bold\xi=(\xi_1,\dots,\xi_m)$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
vektor, $B$, $m\times m$-es m\'atrix, $\bold M=(M_1,\dots,M_m)\in R^m$.
Legyen $BB^*=\Sigma=(D_{j,k})$, $1\le j,k\le m$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$\bold\eta$ vektor
$\varphi(t_1,\dots,t_m)=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_m\eta_m)}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Vezess\"uk be a $\zeta=
t_1\eta_1+\cdots+t_m\eta_m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Ekkor $\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o  $\bar M=\bar M(t_1,\dots,t_m)=\summ_{k=1}^m
t_kM_k=(\bold M,\bold t)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma^2=\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^m
t_jt_kE\eta_j\eta_k=\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^m t_j t_kD_{j,k}=\bold t
\Sigma \bold t^*$ sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet\-tel, ahol $\bold
t=(t_1,\dots,t_m)$. Ez\'ert $\zeta$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\psi(u)=Ee^{iu\zeta}=e^{-u^2 \bold t\Sigma t/2+i(\bold M,t) u}$. Innen,
$\varphi(t_1,\dots,t_m)=Ee^{i(t_1\eta_1+\cdots+t_m\eta_m)}=\psi(1)
=e^{-\bold t\Sigma \bold t^*/2+i(\bold M,\bold t)}$, azaz igaz a (13)
formula.
\item{} A (13) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy ha $\bold \eta$
$m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektor, akkor  $\bold\eta$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et \'es ez\'ert eloszl\'as\'at
meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora \'es kovariancia
m\'atrixa. Jegyezz\"uk meg, hogy meg lehet adni k\'et k\"ul\"onb\"oz\'o
$B_1$ \'es $B_2$ $m\times m$-es m\'atrixot, melyekre
$B_1B_1^*=B_2B_2^*$. Legyen $\bold x$ $m$-dimenzi\'os standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}\'es\'egi v\'altoz\'o,
$B_1$ \'es $B_2$ k\'et ilyen $m\times m$-es m\'atrix, \'es $\bold M\in
R^m$ tetsz\H{o}leges vektor. Defini\'aljuk a $\eta_1=\bold \xi
B_1+\bold M$ \'es $\eta_2=\bold \xi B_2+\bold M$ norm\'alis v\'eletlen
vektorokat. Akkor e k\'et vektor kovarianciaf\"uggv\'enye \'es
v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora, ez\'ert eloszl\'asa is megegyezik, noha
ez $B_1\neq B_2$ miatt nem mag\'at\'ol \'ertetend\H{o} \'all\'{\i}t\'as.
\item{47.)} A 45. feladat eredm\'enye alapj\'an el\'eg bel\'atni, hogy
tetsz\H{o}leges $\bold a=(a_1,\dots,a_m)\in R^m$ vektorra az
$\dfrac1{A_n}S_n=\dfrac1{A_n}S_n(a_1,\dots,a_m)=\dfrac1{A_n}\summ_{p=1}^m
a_pS_{p,n}$, $n=1,2,\dots$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok a nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, $\sigma^2=\bold a
\Sigma \bold a^*$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'ashoz
konverg\'alnak, ha $n\to\infty$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\dfrac1{A_n}S_n=\dfrac1{A_n}\summ_{k=1}^n \eta_k$,
$n=1,2,\dots$, ahol $\eta_k=\summ_{p=1}^m a_p\xi_{p,k}$, $k=1,2,\dots$.
Jegyezz\"uk meg, hogy $\eta_k$, $k=1,2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $E\eta_k=0$ \'es
$E\eta_k^2=\bold a\Sigma_k \bold a^*$.
\item{} Tekints\"uk az $\eta_{j,k}=\dfrac{\eta_j}{A_k\sqrt{\bold
a\Sigma\bold a^*}}$, $1\le j\le k$, $k=1,2,\dots$, sz\'eriasorozatot,
ha $\bold a\Sigma\bold a^*>0$, \'es legyen
$\eta_{j,k}=\dfrac{\eta_j}{A_k}$, ha $\bold a\Sigma\bold a^*=0$.
Ekkor $\summ_{j=1}^k E\eta_{j,k}^2=\dfrac1{A_k^2}\summ_{j=1}^k
\dfrac{\bold a\Sigma_j\bold a^* }{\bold a\Sigma\bold a^*}\to1$, ha
$k\to\infty$, \'es $\bold a\Sigma \bold a^*>0$. Ha $\bold a\Sigma\bold
a^*=0$, akkor $\dfrac1{A_n^2}ES_n^2=\dfrac1{A_k^2}\summ_{j=1}^k
\bold a\Sigma_j\bold a^*\to0$, ha $k\to0$, ez\'ert $\dfrac{S_n}{A_n}$
sztochasztikusan tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$. Azaz, ebben az
eset\-ben az $\dfrac1{A_n}S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asban konverg\'alnak az (elfajult) nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} \'es $\bold a\Sigma \bold a^*=0$ sz\'or\'as\'u
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
Azt, hogy $\dfrac1{A_n}S_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
eloszl\'asban konverg\'al a nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\bold a\Sigma \bold a^*$ s\'ozr\'asn\'egyzet\H{u} nor\-m\'a\-lis
eloszl\'ashoz, ha $n\to\infty$, a $\bold a \Sigma\bold a^*>0$ esetben
is megkapjuk, mint a 38. feladatban megfogalmazott sz\'eria
sorozatokr\'ol sz\'ol\'o centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
k\"ovetkezm\'eny\'et, ha megmutatjuk, hogy a fent defini\'alt
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt.
Innen a feladat \'all\'{\i}t\'asa is k\"ovetkezik. Viszont
$$ \allowdisplaybreaks
\align
0&\le\sum_{j=1}^{k}E\eta_{k,j}^2I\(\{|\eta_{k,j}|>\e\}\)\le
\dfrac1{A_k^2\bold a\Sigma \bold a^*}
\sum_{j=1}^{k}E\(\summ_{p=1}^m|a_p\xi_{p,j}|I\(\{|\xi_{p,j}|> \bar\e
A_k\)\)^2, \\
&\le\dfrac{m}{A_k^2\bold a\Sigma \bold a^*}
\summ_{p=1}^m a_p^2 \(\sum_{j=1}^{k}E\xi_{p,j}^2I\(\{|\xi_{p,j}|>
\bar\e A_k\)\),           \tag2.7
\endalign
$$
ahol $\bar\e=\bar \e(k)=\dfrac{\e}{m\supp_{1\le p\le m}|a_p|}\cdot
\dfrac1{A_k \bold a\Sigma\bold a^*}$. Ugyanis az
$\{\oo\:|\eta_{k,j}(\oo)|>\e\}\subset\bigcupp_{p=1}^M\{\oo\:
|\xi_{p,j}(\oo)| >\bar\e A_k\}$ rel\'aci\'o miatt
$$
\eta_{j,k}^2I\(\{|\eta_{j,k}|>\e\)\le \dfrac1{A_k^2\bold a\Sigma
\bold a^*} \(\summ_{p=1}^m|a_p\xi_{p,j}|I\(\{|\xi_{p,j}|> \bar\e
A_k\)\)^2.
$$
Mivel $\bar\e(k)$ el\'eg nagy $k$-ra szepar\'alva van null\'at\'ol, a
fenti becsl\'esekb\H{o}l \'es a (14) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
a (2.7) formula jobboldala null\'ahoz tart. Ez\'ert \'erv\'enyes a
bizony\'{\i}tani k\'{\i}v\'ant Lindeberg felt\'etel.
\item{} V\'eg\"ul azt vegy\"uk \'eszre, hogy ha
$\bold\xi_k=(\xi_{1,k},\dots,\xi_{m,k})$,
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u $m$-dimenzi\'os
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es v\'eges $\Sigma$ kovariancia m\'atrix-szal, akkor
ez a sorozat teljes\'{\i}ti a (14) rel\'aci\'ot $A_n^2=n$
v\'alaszt\'assal. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast bebizony\'{\i}tottuk a 41b.)
feldatban  azon $p$ koordin\'at\'akra, melyekre $E\xi_{p,1}^2>0$. Azon
$p$ koordin\'at\'akra, melyekre $E\xi_{p,1}^2=0$, $\xi_{p,1}\equiv0$,
\'es ezeket a koordin\'at\'akat elhagyhatjuk.
\item{48.)} R\"ogz\'{\i}ts\"unk el\H{o}sz\"or egy olyan $p$ sz\'amot,
melyre a $\Sigma$ (szint\'en pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'atrix
\'atl\'oj\'anak $p$-ik tagja $D_{p,p}$ teljes\'{\i}ti a $D_{p,p}>0$
egyenl\H{o}tlens\'eget. Defini\'aljuk az $\eta_{k,j}=\eta_{k,j}(p)
=\dfrac{\xi_{p,j}}{A_k D_{p,p}}$, $1\le j\le k$, $k=1,2,\dots$,
sz\'eriasorozatot. Ekkor $\limm_{k\to\infty}E\eta_{k,j}^2=0$, \'es
az $\eta_{k,j}$, $1\le j\le k$, $k=1,2,\dots$ sz\'eria sorozat
teljes\'{\i}ti az egyenletes kicsis\'eg felt\'etel\'et \'es a
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt. Ez\'ert ilyen $p$
indexre a 39. feladat eredm\'enye alapj\'an teljes\"ul a (14)
formul\'aban megfogalmazott Lindeberg felt\'etel.
\item{} Ha a $p$ index olyan, hogy $D_{p,p}=0$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\dfrac1{A_n^2}\summ_{k=1}^nE\xi_{p,k}^2=0$. Mivel
$E\xi_{p,k}^2\ge E\xi_{p,k}^2I(|\xi_{p,k}|>\e A_n)$, ez\'ert a (14)
rel\'aci\'o ilyen $p$ indexekre is teljes\"ul.
 
\vfill\eject
 
\parskip=2pt plus 1pt
 
\beginsection Appendix
 
{\bf A Fourier inverzi\'os formula bizony\'{\i}t\'asa:}
\medskip\noindent
Vezess\"uk be az $\hat f(u)=\int e^{-itu}\tilde f(u)\,du$
f\"uggv\'enyt. Azt kell bel\'atnunk, hogy $\hat f(u)=f(u)$ majdnem
minden $u$ sz\'amra, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy
$\int_0^t f(u)\,du=\int_0^t \hat f(u)\,du$ minden $t$ sz\'amra. Mivel
$$
\int_0^t \hat f(u)\,du=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_0^t
e^{-ius}\tilde f(u)\,ds\,du= \dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
\dfrac{e^{-itu}-1}{-itu} \tilde f(u)\,du,
$$
ez\'ert a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot kell bel\'atnunk:
$$
\int_{-\infty}^\infty  I_{[0,t]}(u)f(u)\,du=\dfrac1{2\pi}
\int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{-itu}-1}{-itu} \tilde f(u)\,du,  \tag A1
$$
ahol $I_{[0,t]}(\cdot)$ a $[0,t]$ intervallum indik\'atorf\"uggv\'enye.
Ez az azonoss\'ag speci\'alis esete a Fourier anal\'{\i}zis egyik
legfontosabb azonoss\'ag\'anak, a Parseval formul\'anak. Ez a
k\"ovetkez\H{o}t mondja ki: \medskip\noindent
{\bf Parseval formula.} {\it
$$
\int f(u)\bar g(u)\,du=\frac1{2\pi}\int \tilde f(u)\bar{\tilde
g}(u)\,du, \tag A2
$$
ahol $\bar f(\cdot$ az $f(\cdot)$ konjug\'altj\'at jel\"oli. Ez a
formula \'erv\'enyes akkor, ha  a k\"ovetkez\H{o} k\'et felt\'etel
valamelyike teljes\"ul: \medskip
\item{a.)} Az $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyek mindegyike n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o.
\item{b.)} Az $\tilde f$ \'es $\tilde g$ f\"uggv\'enyek mindegyike
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o.
\medskip
Ha az a.) \'es  b.) felt\'etelek egyike teljes\"ul, akkor a
m\'asik is teljes\"ul. Ugyanis ebben az esetben (a Parseval formula
miatt) $\int |f(u)|^2\,du=\dfrac1{2\pi}\int|\tilde f(u)|^2,du$. Az
$f\to\dfrac1{\sqrt{2\pi}}\tilde f$ lek\'epez\'es automorfizmus a
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'eben.  (A k\'ept\'er
tartalmaz minden n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyt.)
 
V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy ahhoz, hogy a Parseval formula az
adott form\'aban \'er\-v\'e\-nyes legyen ki kell terjeszteni a Fourier
transz\-for\-m\'alt fogalm\'at olyan $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyekre is,
melyek n\'egyzetesen integr\'alhat\'oak, de nem felt\'etlen\"ul
integr\'alhat\'oak. Ez a fent eml\'{\i}tett $L_2$ izomorfizmus
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehets\'eges. Minden n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez l\'etezik
integr\'alhat\'o \'es n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"ugg\-v\'e\-nyeknek olyan $f_n(\cdot)$ so\-ro\-za\-ta, amelyik
n\'egyzetes norm\'aban konverg\'al az $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez,
azaz $\int |f_n(u)-f(u)|^2\,du\to0$, ha $n\to\infty$. Az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny $\tilde f(\cdot)$ Fourier transzform\'altja az $\tilde
f_n(\cdot)$ Fourier transzform\'altaknak (l\'etez\H{o}) n\'egyzetes
norm\'aban vett limesze.} \medskip
 
A Parseval formula \'altalunk megadott v\'altozat\'aban szerepel egy
$\frac1{2\pi}$ faktor, mely a tank\"onyvekben megadott k\'epletben nem
szerepel. Ennek oka, hogy mi a szok\'asost\'ol elt\'er\H{o}
normaliz\'al\'ast v\'alasztottunk a Fourier transzform\'alt
definici\'oj\'aban. (Elhagytuk a $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ faktort a
definici\'ob\'ol.)
 
Ha egy $f$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny Fourier transz\-for\-m\'alt\-ja
integr\'alhat\'o, akkor az n\'egyzetesen is integr\'alhat\'o, mivel
korl\'atos. Tov\'abb\'a a $g(u)=I_{[0,t]}(u)$ Fourier
transz\-for\-m\'alt\-ja a $\tilde g(v)=\int_0^t
e^{iuv}\,du=\dfrac{e^{iv}-1}{iv}$ f\"uggv\'eny. Ez\'ert az (A1)
k\'eplet a Parseval formula k\"ovetkezm\'enye a fenti $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyekkel.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy bel\'assuk az egy integr\'alhat\'o Fourier
transzform\'alttal rendelkez\H{o} $\mu$ m\'ert\'ekr\H{o}l megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'ast, tekints\"unk minden $\e>0$ sz\'amhoz egy nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\e$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
$\nu_e$ norm\'alis eloszl\'as\'u m\'ert\'eket, melynek  Fourier
transzform\'altja az $e^{-\e u^2/2}$ f\"uggv\'eny. Jel\"olje
$\varphi_\e(u)$ a $\nu_\e$ m\'ert\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, \'es vezess\"uk be a
$\mu_\e=\mu*\nu_e$ konvol\'uci\'ot, azaz a a $\mu_e=\mu*\nu_\e(A)=\int
\mu(A-u)\varphi_e(u)\,du$ m\'ert\'eket. A $\mu_\e$ m\'ert\'eknek
l\'etezik $f_\e(u)=\int \varphi_\e(u-v)\mu(\,dv)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,  e m\'ert\'ek Fourier
transz\-for\-m\'alt\-ja pedig az integr\'alhat\'o $\tilde
f_\e(u)=e^{-\e u^2/2}\tilde f(u)$ f\"uggv\'eny. Ez\'ert az $f_e(u)$
f\"uggv\'eny kifejezhet\H{o}, mint a $\tilde f_\e(u)$ f\"uggv\'eny
inverz Fourier transzform\'altja. Ha $\e\to0$, akkor $f_\e(u)\to f(u)$,
ahol $f(u)$ a (6) formul\'aban kifejezett f\"uggv\'eny, \'es ez a
konvergencia egyenletes az $u$ v\'altoz\'oban. M\'asr\'eszt a $\mu$
m\'ert\'ek a $\mu_\e$ m\'ert\'ekek gyenge limesze, ha $\e\to0$, azaz
az $\dfrac {\mu_\e}{\mu(R^1)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
gyeng\'en konverg\'alnak a $\dfrac {\mu}{\mu(R^1)}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez. (Megjegyezz\"uk, hogy
$\mu(R^1)=\mu_\e(R^1)$.) Ez\'ert $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel
kapjuk, hogy $\mu((a,b])=\int_a^b f(u)\,du$, ha
$\mu(\{a\})=\mu(\{b\})=0$. Innen k\"ovetkezik, hogy $f$ a
$\mu$ m\'ert\'ek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
 
A  fenti m\'odszer n\'emi v\'altoztat\'as\'aval kapjuk a fenti
\'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at abban az esetben is, ha $\mu$
korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek. Megjegyezz\"uk, hogy a a fenti
\'ervel\'esben a hat\'armenet indokl\'as\'at finom\'{\i}tva \'es
felhaszn\'alva a Fourier transzform\'alt $L_2$ izomorfia
tulajdons\'ag\'at a $\mu$ m\'ert\'ek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'as
n\'emileg \'eles\'{\i}thet\H{o}. El\'eg azt feltenni, hogy a $\mu$
m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja n\'egy\-ze\-te\-sen
integr\'alhat\'o. Ekkor vi\-szont a (6) formul\'aban defini\'alt inverz
Fourier transzform\'altat a Parseval formul\'aban is elmagyar\'azott
$L_2$ izomorfia seg\'{\i}ts\'eg\'evel kell de\-fi\-ni\-\'al\-ni.
 
\medskip\noindent
{\it A Parseval formula bizony\'{\i}t\'asa:}\/ L\'assuk be
el\H{o}sz\"or a Parseval formul\'at olyan speci\'alis $(f,g)$
f\"uggv\'enyp\'arokra, melyek egy korl\'atos $[-A,A]$ intervallumon
k\'{\i}v\"ul elt\"unnek, \'es el\'eg s\'{\i}m\'ak, p\'eld\'aul
k\'etszer differenci\'alhat\'oak. Ekkor tekintve ezen f\"uggv\'enyek
meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-s\'at valamely $[-\pi T,\pi T]$ intervallumra,
ezek Fourier sor\'at, illetve a Parseval formula diszr\'et
(egyszer\H{u}) v\'altozat\'at, kapjuk, hogy
$$
\int f(u)g(u)\,du=2\pi T \sum_{k=-\infty}^\infty a_k(T)\bar b_k(T),
$$
ahol $a_k(T)=\dfrac1{2\pi T}\dsize \int e^{iku/T}f(u)\,du=
\dfrac1{2\pi T} \tilde f\(\dfrac kT\)$, \'es $b_k(T)=
\dfrac1{2\pi T} \tilde g\(\dfrac kT\)$. Vi\-szont a fenti
$2\pi T \summ_{k=-\infty}^\infty a_k(T)\bar b_k(T)$ kifejez\'es
az $\int\tilde f(u)\bar {\tilde g}(u)\,du$, integr\'al
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszege, \'es az $\tilde f(u)$ \'es a $\tilde
g(u)$ Fourier transz\-for\-m\'al\-tak gyorsan tartanak null\'ahoz, ha
$|u|\to\infty$ az $f$ \'es $g$ f\"uggv\'enyek folytonoss\'aga miatt.
(L\'asd p\'eld\'aul a 28. feladat eredm\'eny\'et.) Ez\'ert $T\to\infty$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (A2) formul\'at ebben a
speci\'alis esetben.
 
Mivel a Parseval formula $f=g$ v\'alaszt\'assal a $\int
|f(u)|^2\,du=\dfrac1{2\pi}\int |\tilde f(u)|^2\,du$ azonoss\'agot adja,
tov\'abb\'a a m\'ar tekintett f\"uggv\'enyek, melyre ezt a formul\'at
bel\'attuk a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'eben
minden\"utt s\H{u}r\H{u}en vannak, ez\'ert a Parseval formula
\'all\'{\i}t\'as\'at megkapjuk az $\bold T\: f\to \bold T
f=\dfrac 1{\sqrt {2\pi}}\tilde f$ $L_2$ izometria
kiterjeszt\'es\'evel a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek
ter\'ere. Ahhoz, hogy ilyen m\'odon a teljes bizony\'{\i}t\'ast
megkapjuk, azt kell m\'eg bel\'atnunk, hogy a $\bold T$
transzform\'aci\'o k\'eptere tartalmaz minden n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyt.
 
Ennek a hi\'anyz\'o r\'esz bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben
tekints\"unk olyan $f$ f\"uggv\'enyeket, melyek el\'eg s\'{\i}m\'ak
(mondjuk sz\'azszor differenci\'alhat\'oak) \'es el\'eg gyorsan
tartanak nul\-l\'a\-hoz a v\'egtelenben (p\'eld\'aul $|f(u)|\le
\const \(1+|u|^{100}\)$). Mivel ezek a f\"uggv\'enyek min\-de\-n\"utt
s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek ter\'eben el\'eg bel\'atni, hogy e f\"uggv\'enyek benne
vannak a $\bold T$ transzform\'aci\'o k\'epter\'eben. Bel\'atjuk, hogy
a $\bold T \sqrt{2\pi} \tilde{f^-}=f$, azonoss\'ag, ahol $f^-(u)=f(-u)$,
k\"ovetkezik a m\'ar bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokb\'ol.
Az $\tilde f$ f\"uggv\'eny is s\'{\i}ma, \'es gyorsan tart null\'ahoz.
(Ez k\"ovetkezik a 27. \'es 28. feladat \'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol is.
B\'ar a 27. feladat \'all\'{\i}t\'asa csak eloszl\'asf\"uggv\'enyek
Fourier-transzform\'aci\'oj\'ar\'ol sz\'ol, nem neh\'ez bel\'atni, hogy
tetsz\H{o}leges integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny Fourier
transzform\'altj\'ara \'erv\'enyes.) Ez\'ert az (A1) formula
\'erv\'enyes az $(f,\tilde f)$ f\"ugg\-v\'eny\-p\'ar\-ra is, \'es
az $f$ f\"uggv\'eny a $2\pi \tilde {f^-}$, $f^-(u)=f(-u)$,
f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja. Innen k\"ovetkezik a
k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as.
 
\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'enek
bizony\'{\i}t\'asa:}
\medskip
Abb\'ol, hogy az $\dfrac1{(2\pi)^{k/2}} e^{i(j_1t_1|+\cdots+j_kt_k)}$
trigonometrikus f\"uggv\'enyek teljes or\-to\-nor\-m\'alt rendszert
alkotnak a minden koordin\'at\'ajuk szerint $2\pi$ szerint periodikus
\'es n\'egy\-ze\-te\-sen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'eban,
k\"ovetkezik, hogy tetsz\H{o}leges el\'eg s\'{\i}ma \'es minden
koordin\'at\'aja szerint $2\pi$ szerint periodikus f\"uggv\'enyhez
egyenletesen konverg\'al a Fourier sora. (Ekkor ugyanis a Fourier
egy\"utthat\'ok gyorsan tartanak null\'ahoz.) Mivel ezek a
f\"uggv\'enyek minden\"utt s\H{u}r\H{u}ek a folytonos f\"uggv\'enyek
ter\'eben a szupr\'emum norm\'aban, innen k\"ovetkezik Weierstrass
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele. Ehelyett az indokl\'as helyett
egy m\'asik, direkt bizony\'{\i}t\'ast adunk, amelyik nem
h\'{\i}vatkozik a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyek\-b\H{o}l
\'all\'o ortogon\'alis rendszer teljess\'eg\'ere. Bel\'atjuk a Fej\'er
t\'etelt, pontosabban annak t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os v\'altozat\'at.
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'e\-te\-le ennek az
eredm\'enynek direkt k\"ovetkezm\'enye.
\medskip\noindent
{\bf Fej\'er t\'etel.} {\it Legyen $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$ v\'altoz\'os
folytonos f\"uggv\'eny, mely $2\pi$ periodikus minden
koordin\'at\'aj\'aban. Minden $(n_1,\dots, n_k)$, nem
negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokb\'ol \'all\'o $k$-dimenzi\'os vektorra
defin\'aljuk az $s_{n_1,\dots,n_k}(f)$ Fourier sort a k\"ovetkez\H{o}
k\'eplettel:
$$
\align
s_{n_1,\dots,n_k}(f)(t_1,\dots,t_k)&=\sum_{j_1=-n_1}^{n_1}\cdots
\sum_{j_k=-n_k}^{n_k} A_{j_1,\dots, j_k}e^{i(j_1t_1+\cdots+j_kt_k)},\\
\intertext{ahol }
A_{j_1,\dots,j_k}&=\frac1{(2\pi)^k}\int_{-\pi}^\pi \cdots\int_{-\pi}^\pi
e^{-i(j_1u_1+\cdots+j_ku_k)} f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k.
\endalign
$$
Tekints\"uk a fenti Fourier sorok k\"ovetkez\H{o} $A_n(f)$ Cezaro
k\"ozepeit, $n=1,2,\dots$,
$$
A_n(f)(t_1,\dots,t_k)=\frac1{(n+1)^k}\sum \Sb 0\le n_j\le n\\
\text{minden }1\le j\le k\text{-ra} \endSb
s_{n_1,\dots,n_k}(f)(t_1,\dots,t_k).
$$
Ekkor $\limm_{n\to\infty}A_n(f)(t_1,\dots,t_k)=f(t_1,\dots,t_k)$, \'es
a fenti konvergencia egyenletes az \"osszes $t_1,\dots,t_k$
argumentumban.} \medskip
\medskip\noindent
{\it A Fej\'er t\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ A Fej\'er t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa a k\"ovetkez\H{o} fomul\'an alapul:
$$
A_n(f)(t_1,\dots,t_k)=\int_{-\pi}^\pi\cdots\int_{-\pi}^\pi
f(u_1,\dots,u_k)\bar K_n(t_1-u_1,\dots,t_k-u_k)\,du_1\dots\,du_k \tag A3
%=\bar K_n*f(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol
$$
\bar K_n(u_1,\dots,u_k)=K_n(u_1)\cdots K_n(u_k), \tag A4
$$
\'es
$$
K_n(u)=\frac1{2\pi(n+1)}\sum_{k=-n}^n(n+1-|k|)e^{iuk}
=\frac{\sin^2\(\frac{n+1}2u\)} {2\pi(n+1)\sin^2\(\frac u2\)}. \tag A$4'$
$$
Val\'oban, be\'{\i}rva az $A_n(f)$ illetve $s_{n_1,\dots,n_k}$
definici\'oj\'aba az $A_{j_1,\dots,j_k}$ Fourier egy\"utthat\'o
definici\'oj\'at megkapjuk az (A4) formul\'at, azaz
$$
\align
\bar K_n(u_1,\dots,u_k)&=
\frac1{(2\pi(n+1))^k}\sum \Sb 0\le n_j\le n\\
\text{minden }1\le j\le k\text{-ra} \endSb \sum \Sb |m_j|\le n_j\\
\text{minden }1\le j\le k\text{ sz\'amra}\endSb
e^{i(m_1u_1+\dots+m_ku_k)} \\
&=\frac1{(2\pi(n+1))^k}\prod_{j=1}^k \(
\sum_{n_j=0}^n \sum_{m_j=-n_j}^{n_j} e^{im_j u_j}\)=K_n(u_1)\dots
K_n(u_k),
\endalign
$$
ahol a $K_n(u)$ f\"uggv\'enyt az (A$4'$) formula k\"oz\'eps\H{o}
formul\'aja defini\'alja. Ezt az \"osszeget p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon hozhatjuk z\'art alakba.
 
$$
\align
&\frac1{2\pi(n+1)}\sum_{k=-n}^n(n+1-|k|)e^{iuk}=
\frac1{2\pi(n+1)}\(\sum_{k=0}^n e^{iuk}\) \(\sum_{k=0}^n e^{-iuk}\)\\
&\qquad=\frac{1}{2\pi(n+1)}\left|\frac{e^{i(n+1)u}-1}
{e^{iu}-1}\right|^2 =\frac1{2\pi(n+1)}
\frac{\left|e^{i(n+1)u/2}-e^{-i(n+1)u/2}\right|^2}
{\left|e^{iu/2}-e^{-iu/2}\right|^2}\\
&\qquad=\frac{\sin^2\(\frac{n+1}2u\)} {2\pi(n+1)\sin^2\(\frac u2\)}.
\endalign
$$
Az (A$4'$) formul\'aban defini\'alt $K_n(u)$ f\"uggv\'enynek a
k\"ovetkez\H{o} sz\'amunkra fontos tulajdons\'agai vannak:
\medskip
\item{(i)} $\int_{-\pi}^\pi K_n(u)\,du=1$. Ez a $K_n(\cdot)$ \"osszeg
form\'aban megadott alakj\'ab\'ol l\'athat\'o.
\item{(ii)} $K_n(u)\ge0$ minden $u\in R^1$ sz\'amra.
\item{(iii)} $\limm_{n\to\infty}\supp_{\e\le |u|\le \pi}K_n(u)=$ minden
$\e>0$ sz\'amra.
 
A (ii) \'es (iii) \'all\'{\i}t\'as a $K_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt z\'art
alakban defini\'al\'o formul\'ab\'ol l\'athat\'o.
 
Mivel egy kompakt halmazon folytonos f\"uggv\'eny egyenletesen
folytonos, ez\'ert minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e,f)$ korl\'at, melyre a folytonos
\'es koordin\'at\'aiban periodikus $f$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
$|f(x_1,\dots,x_k)-f(y_1,\dots,y_k)|<\e$ egyenl\H{o}tlens\'eget, ha
$|x_j-y_j|<\delta$ minden $j=1,\dots,k$ indexre. (Itt az $x_j+2\pi l$,
$l=0\pm1,\pm2,\dots$, pontokat azonos\'{\i}tjuk, \'es az
$|x_j-y_j|<\delta$ egyenl\H{o}tlens\'eg azt jelenti, hogy
$|x_j-y_j+2\pi l_l|<\delta$ alkalmas eg\'esz $l_j$ sz\'ammal.)
Vezess\"uk be a $\bold B(\delta,(t_1,\dots,t_k))=\{(u_1,\dots,u_k)\:
|u_j-t_j|<\delta,\;-\pi\le  u_j<\pi,\; j=1,\dots,k\}$ jel\"ol\'est. Az
(i) tulajdons\'ag miatt
$$
\align
&A_n(f)(t_1,\dots,t_k)-f(t_1,\dots,t_k)\\
&\qquad =\int_{[-\pi,\pi)^k}
\(f(u_1,\dots,u_k)-f(t_1,\dots,t_k)\)
K_n(t_1-u_1)\cdots K_n(t_k-u_k)\,du_1\dots\,du_k \\
&\qquad=\int_ {\bold B(\delta,(t_1,\dots,t_k))}
[\cdots]\,du_1\dots\,du_k + \int_ {[-\pi,\pi)^k\setminus\bold
B(\delta,(t_1,\dots,t_k))} [\cdots]\,du_1\dots\,du_k \\
&\qquad =I_{1,n}(t_1,\dots,t_k)+I_{2,n}(t_1,\dots,t_k).
\endalign
$$
A $B(\delta,(t_1,\dots,u_t))$ halmaznak \'es a $\delta$ sz\'amnak a
definici\'oj\'ab\'ol valamint az (i) \'es (ii)
re\-l\'a\-ci\'ok\-b\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\left|I_{1,n}(t_1,\dots,t_k)\right| \le \e\int_{[-\pi,\pi)^k}
K_n(t_1-u_1)\cdots K_n(t_k-u_k)\,du_1\dots\,du_k \le\e
$$
minden $n=1,2,\dots$ indexre \'es $(t_1,\dots,t_k)$ pontra.
M\'asr\'eszt, a $\supp_{(u_1,\dots,u_k)}|f(u_1,\dots,u_k)|= L$
jel\"ol\'est haszn\'alva \'es elv\'egezve a $t_j-u_j=\bar u_j$
helyettes\'{\i}t\'eseket az (i), (ii) \'es (iii) rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk mutatni, hogy
$$
\left|I_{2,n}(t_1,\dots,t_k)\right|\le 2L
\int_ {[-\pi,\pi)^k\setminus\bold
B(\delta,(0,\dots,0))} K_n(\bar u_1)\dots K_n(\bar
u_k)\,d\bar u_1\dots\,d\bar u_k\to0,
$$
ha $n\to\infty$, mert minden $1\le j\le k$  sz\'amra
$$
\align
& \int \Sb \delta< |u_j|<\pi\\ -\pi\le u_l<\pi, \, l\neq j,\,1\le
l\le k\endSb K_n(\bar u_1)\dots K_n(\bar u_k)\,d\bar u_1\dots\,d\bar
u_k=\int_{\delta<|u|<\pi} K_n(u)\,du\\
&\qquad\qquad \le 2\pi\sup_{\delta<|u|<\pi} K_n(u)\to0,
\quad \text {ha } n\to\infty.
\endalign
$$
Mivel a fenti becsl\'eseket tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra
elv\'egezhetj\"uk (alkalmas $\delta=\delta(\e,f)$ sz\'ammal),
e rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik a Fej\'er t\'etel.
 
 
 
 
 \bye